4.2 认识一次函数（第3课时 分段计费问题）（教学课件）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数概念及分段计费问题应用，通过回顾一次函数定义，结合租车公司计费实例导入，搭建从函数表达式到实际应用的学习支架，帮助学生衔接旧知与新知。 其亮点是以真实生活情境（租车、水费、出租车计费）为载体，通过“问题探究—题型归纳—变式训练”路径，培养抽象能力、模型意识和应用意识。如水费分档计费问题引导建立分段函数关系式，小结明确一次函数形式及应用类型，助力学生提升用数学解决实际问题的能力，也为教师提供结构化教学资源。

【新教材】北师版·八年级上册 第四章 一次函数 4.2 认识一次函数 4.2.3 分段计费问题（第3课时） 学 习 目 标 1 2 3 通过实际问题探索一次函数与正比例函数的概念，感受函数在实际生活中的应用。 能根据条件求出一次函数的关系式． 能根据问题信息写出一次函数的解析式，并利用一次函数解决实际问题。 情景引入 什么是一次函数？ 如果两个变量 x、y 之间的对应关系可以表示成y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的一次函数. 特别地，当 b=0 时，称y是x的正比例函数. 即正比例函数可以表示为 y=kx（k≠0）. 想一想：在实际生活中，能否运用一次函数解决某些问题？ 新知探究 某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元。乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1km按1km计算）。（1）假设该单位用车里程为30km，你建议租用哪家公司的客车？ 答案 甲公司 理由如下 解：∵15×30=450 10×30＋200=500 即 450＞500，∴选甲公司 新知探究 某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元。乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1km按1km计算）。（2）假设该单位用车里程为52km，你建议租用哪家公司的客车？ 答案 乙公司 理由如下 解：∵15×52=780 10×52＋200=720 即 780＞720，∴选乙公司 新知探究 某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元。乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1km按1km计算）。 （3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 用车里程大于39km，不超过40km 答案 理由如下 解：设大客车行驶x㎞, ∵y1＝15x；y2＝10x＋200 当y1＝y2时 即15x＝10x＋200，解得x＝40 题型一 题型探究 小亮 方法技巧 紧扣题目中的等量关系，先列出两个变量之间的关系，然后再写成一次函数的形式. 一次函数在计费问题中的应用 例1 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价／（元／m3） 第一档 3.45 第二档 4.83 第三档 5.83 （1）当220<x≤300时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； 解：当220<x≤300时，用水量属于第二档。于是y=3.45×220+4.83×(x-220),即 y=4.83x-303.6。 根据单价和用水量的关系建立水费y与x的关系式 题型一 题型探究 小亮 方法技巧 紧扣题目中的等量关系，先列出两个变量之间的关系，然后再写成一次函数的形式，将值代入表达式进行求解. 一次函数在计费问题中的应用 例1 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价／（元／m3） 第一档 3.45 第二档 4.83 第三档 5.83 （2）某户一年用水量是250m3，求该户这一年的水费； 当x=250时，y=4.83×250-303.6=903.9(元) 题型一 题型探究 小亮 方法技巧 先进行估算，费用属于第几档，紧扣题目中的等量关系，先列出两个变量之间的关系，进行求值 一次函数在计费问题中的应用 例1 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价／（元／m3） 第一档 3.45 第二档 4.83 第三档 5.83 （3）某户去年一年的水费是1000.5元，求该户去年一年的用水量。 因为3.45×220=759,4.83×300-303.6=1145.4,759<1000.5<1145.4,所以该户年用水量属于第二档。设该户年用水量为xm3，则1000.5=4.83x-303.6。解这个方程，得 x=270。 因此，该户去年一年的用水量为 新知探究 尝试思考 计费档 户年用水量 x/m3 单价/（元/m³） 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 (1)在例3 中，当 x＞300 时，你能写出水费 y（单位：元）与用水量 x 之间的关系式吗? y = 3.45×220 + 80×4.83+5.83(x－300) = 5.83x－603.6 （2）像例3 这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？生活中还有哪些情况用到类似的计费方法？ ①意义：体现公平、促进资源合理利用、反应成本差异等； ②注意：数据的准确性、灵活性与适应性等； 题型二 题型探究 小亮 方法技巧 紧扣一次函数的定义与结构特征进行识别，再将值代入求解. 利用一次函数的关系式求值 例2 已知金属棒的长度l(cm)是温度 t(℃)的一次函数.现有一根金属棒,在 0℃时的长度是200cm，温度每升高1℃,它就伸长0.002 cm. (1) 求l 与t 之间的关系式; (2) 当温度为100 ℃时,求这根金属棒的长度; (3) 当这根金属棒加热后长度伸长到201.6 cm 时,求金属棒的温度. 题型二 题型探究 小亮 利用一次函数的关系式求值 (1) 设l 与 t之间的关系为l=kt+b(k≠0). 将 t=0，l=200 代入，得b=200. 因为温度每升高1℃，它就伸长0.002cm，所以 k=0.002. 所以l与t之间得关系式为l=0.002t+200. (2) 将t=100代入l=0.002t+200，得l=0.002×100+200=200.2 所以这根金属棒的长度为200.2 cm . (3) 将 l=201.6 代入l=0.002t+200，得 0.002t+200=201.6 ， 解得t=800. 所以金属棒的温度为800℃. 课堂小结 一次函数在计费问题中的应用 方案优选问题 分段收费问题 形式：________________ 特别地，当 b=0 时，__________ 是正比例函数 y = kx+b(k≠0) y =kx(k≠0) 变式训练 1.我市为鼓励居民节约用水，对家庭用水户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过 10 m3，则按每立方米 1.5 元收费；若每月用水量超过 10 m3，则超过部分按每立方米 3 元收费. 如果某居民在某月缴纳了 45 元水费，那么这户居民在这个月的用水量为（   ） A. 10 m3 B. 15 m3 C. 20 m3 D. 25 m3 C 变式训练 2.某水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以20m3/h的速度向水池注水，直到注满为止，则蓄水量V(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式为 ，该水池注满水需 h。 V＝10＋20t　 4　 变式训练 基础巩固题 3.某市出租车收费标准如下：3 千米以内（含）收费 10 元，超过 3 千米的部分每千米加收 2 元. （1）写出收费 y（单位：元）与行驶路程 x（单位：千米）（x≥3）之间的函数关系式； 解：当 x=3 时，y=10， 当 x＞3 时， y=10＋2(x－3)=2x＋4， 综上 y=2x＋4 （x≥3） . （2）若某人乘坐出租车付费 22 元，求其行驶的路程. ∵22＞10， ∴2x＋4=22，解得 x=9， 所以行驶的路程为 9 km. 【新教材】北师版·八年级上册 感谢聆听! $