专题02 函数与一次函数综合应用（高效培优期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

专题02 函数与一次函数综合应用 考点01 由函数图象获取信息 考点02 动点问题的函数图象 考点03 一次函数的图象与性质 考点04 一次函数规律探究题 考点05 待定系数法求一次函数解析式 考点06 一次函数与方程（组）、不等式 考点07 一次函数实际应用——分配方案问题 考点08 一次函数实际应用——最大利润问题 考点09 一次函数实际应用——行程问题 考点10 一次函数实际应用——梯度计价问题 考点11 一次函数与几何综合 考点01 由函数图象获取信息 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）、两地相距630千米，客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶，货车两小时到达途中站，客车9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、（千米），它们与行驶时间（小时）之间的函数关系如图．下列结论：①客、货两车的速度分别为60千米／小时，45千米／小时；②、两站间的距离是540千米；③点横坐标为12；④点E的坐标是．其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：设客车的速度为千米/小时，则货车的速度为千米/小时，由函数图象得：货车行驶2小时到达C站，客车行驶9小时到达C站，则， 解得：， 所以客车的速度为60千米/小时，货车的速度为45千米/小时，说法①正确； A,C两站间的距离是（千米），说法②正确； 货车到达A地所用时间为（小时）， 则点P的横坐标为14，说法③错误； 两车相遇的时间为（小时）， 则相遇位置离C站的距离为（千米）， 所以点E的坐标为，说法④错误； 综上，正确的说法个数有2个， 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）A，B两地相距，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，s与t的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；②乙出发后追上甲；③乙比甲早到；④甲车行驶时，甲乙两车相距，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①由图可得，甲车行驶的速度是， ∵甲先出发，乙出发后追上甲， ∴， ∴， 即乙车行驶的速度是，故①正确； ②∵当时，乙出发，当时，乙追上甲， ∴甲出发后被乙追上，故②不正确； ③由图可得，当乙到达B地时，甲乙相距， ∴甲比乙晚到，故③正确，不符合题意； ④设甲车行驶，甲，乙两车相距， 由图可得，当乙车在甲车前，且未到达B地时，则， 解得； 当乙车到达B地后时，， 解得， ∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④正确； 综上所述，正确的个数是3个． 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（单位：h）．两车之间的距离为y（单位：）．图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列结论： ①； ②当快车到达终点时，普通列车距离甲地； ③普通列车行驶时，到达终点甲地； ④经过或两车相距． 其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：由图像可得，两车的速度和为， ，故①正确； 由函数图像可得时，动车到达终点，甲乙两地的距离为， 动车的速度为， 则普通列车的速度为， ， 则当快车到达终点时，普通列车距离甲地，故②正确； 普通列车到达终点甲地的时间为，故③错误； 设经过，两车相距， 相遇前：，得； 相遇后：，得； 即经过或两车相距，故④正确； 综上，正确的结论有①②④． 故选：B． 4．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，汽车离开城的距离（）与行驶时间（）的函数图象如图所示，下列说法： ①甲车的速度为； ②乙车用了到达城； ③甲车出发时，乙车追上甲车； ④乙车出发后经过或两车相距． 其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②③④ 【详解】解：①甲车的速度为，故本选项正确，符合题意； ②乙车到达城用的时间为：，故本选项正确，符合题意； ③甲车出发，所走路程是：，甲车出发时，乙走的路程是：，则乙车追上甲车，故本选项正确，符合题意； ④当乙车出发时，两车相距：，当乙车出发时，两车相距：，故本选项正确，符合题意； 故答案为：①②③④． 5．（25-26八年级上·上海·期中）如图是某函数的图像，当时，若在该函数图像上可以找到n个不同的点 （其中为大于1的正整数），使得恒成立，则所有可能的值的和是___________． 【答案】14 【详解】解：设，则在该函数图象上n个不同的点，，也都在的图象上，画出函数图象观察交点即可求解． 如图 正比例函数与该函数图象有1个交点,不符合题意； 如图 正比例函数与该函数图象有2个交点； 如图 正比例函数与该函数图象有3个交点； 如图 正比例函数与该函数图象有5个交点； 如图 正比例函数与该函数图象有4个交点； 综上，所有可能的值的和是， 故答案为：14． 6．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为___； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水______． 【答案】 225 3600 【详解】解：（1）观察图1甲槽与图2两次转折点A、B，可知： 长方体铁块的底面边长为，高为， 体积为； （2）根据题意得：， 解得：． ∴注水速度为， ∵乙水槽倒完水的时间为40秒， ∴乙水槽存水量， 故注水前乙水槽内装有水． 7．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，则： （1）慢车的速度为______； （2）图中点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：（1）由图象可知，甲乙两地之间的距离为，慢车用了走完全程， ∴慢车的速度为：， 故答案为：； （2）由题意可知，当两车行驶时，两车相遇，两车距离为， ∴两车的速度和为， ∴快车的速度为， ∵点的含义表示快车到达乙地时两车间的距离， ∴， ∴慢车行驶走的路程为， ∴点， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． （1）B点表示两车___________．（填“快车到达”或“慢车到达”或“相遇”） （2）点C的坐标为___________． 【答案】 相遇 【详解】解：（1）由图象得，点表示经过4小时，两车之间的距离为0，即两车相遇； 故答案为：相遇； （2）由图象得：段，两辆车之间的距离逐渐变大，表示快车到达目的地，只剩下慢车行驶， ∴慢车行驶的时间为12小时，速度为：千米/小时， ∵段为两车相向行驶， ∴快车的速度为：千米/小时， ∴快车行驶的时间为：小时， ∴点C的横坐标为6， 此时两车之间的距离为：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）随着“双减”政策落地，周末家庭野外郊游将成为我们的生活常态．诚诚骑自行车从家里出发30分钟后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．诚诚离家1小时30分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，下图是他们离家的路程与诚诚离家时间的函数图象，已知妈妈驾车的速度是诚诚骑车速度的3倍，根据图中的信息：    (1)诚诚从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？ (2)若妈妈比诚诚还早10分钟到达乙地，从家到乙地的路程是多少？ 【答案】(1)2小时， (2) 【详解】（1）解：由图可知：诚诚骑自行车的速度为， ∴妈妈驾车的速度是， ， ∴诚诚出发后，妈妈才出发， 设妈妈用小时追上诚诚及此地离家的距离为， 则有， 解得， ∴，， ∴诚诚从家出发2小时后被妈妈追上，此时离家； （2）解：10分钟小时， 设母子俩相遇后与乙地距离为， 则有， 解得， ∴从家到乙地的路程是． 考点02 动点问题的函数图象 10．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）已知动点以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2所示．已知，则下列说法错误的是（    ） A．动点的速度是 B．的长为 C．的值为13 D．在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是或 【答案】D 【详解】解：当点H在上时，如图所示， ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，   ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示， ，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是，故A正确， 时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故B正确； ，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故C正确． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时， 故D错误． 故选：D． 11．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图1，在长方形中，动点E从点B出发，以的速度沿着运动，到点A时停止运动．设点E的运动时间为，的面积为，其中S与t的关系如图2所示． （1）当时，_______． （2）当时，_______． 【答案】 3 6或1 【详解】解：（1）由图2可知，时面积开始不变， 又动点的速度为， ， 从到，用时， ， 四边形是长方形， ， 当点在上运动时，的高为， ，且保持不变， 时，， 故答案为3． （2）①在上运动 此时， 的面积， 解得（符合）； ②在上运动 ，从到用时2秒，总运动用时到时停止， 总路程为， ， 的面积， 解得（符合）； 故答案为6或1． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图1，在长方形中，点E是上一点，点P从点A出发，沿着运动，到点E停止，运动速度为，三角形的面积为，点P的运动时间为，y与x之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）． （1）长方形的宽的长为 _____cm； （2）当点P运动到点E时，，则m的值为 _______． 【答案】 4 12 【详解】解：（1）由题意，当P从A到B三角形的面积逐渐增大，三角形的面积逐渐变小． 故， ∴． 故答案为：4． （2）由题意，当时，的面积， 又， ∴． ∴． 故答案为：12．　　　　　． 13．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图甲是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，试回答下列问题．    图甲图乙 (1)填空：图甲中的__________，__________； (2)求：图乙中的的值； (3)求：图乙中的的值． 【答案】(1)8；4； (2)24； (3)17． 【详解】（1）动点在上运动时，对应的时间为0到4秒， 易得：； ， 故答案为：； （2）由（1）可得，， 则：； 图乙中的的值是24． （3）根据题意，动点共运动了， 其速度是秒， 则(秒)， 图乙中的是17秒． 考点03 一次函数的图象与性质 14．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于函数，下列结论正确的是（   ） A．图像必经过点 B．图像经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图像与直线平行 【答案】B 【详解】解：A、当时，，即图像必经过点，原结论错误，不符合题意； B、，图像过二、四象限，，图像过第一象限，即图像经过第一、二、四象限，原结论正确，符合题意； C、，图象随的增大而减小，原结论错误，不符合题意； D、由，则直线的图像与直线的图像不平行，原结论错误，不符合题意， 故选：B． 15．（25-26八年级上·安徽池州·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】随的增大而减小， ，即． 图象与轴的交点在轴下方， 当时，，即． 的取值范围是且，即． 故选：． 16．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 是正比例函数，图象必过原点， ∴ 选项C中正比例函数不经过原点，此选项不符合题意； 剩余选项中，正比例函数均经过第二、四象限，故，即与异号（一正一负）． A、一次函数过第二、三、四象限，说明（函数递减）且（截距在轴负半轴），则与同号，与矛盾，此选项不符合题意； B、一次函数过第一、三、四象限，说明（函数递增）且（截距在轴负半轴），则与异号，与一致，此选项符合题意； D、一次函数过第一、二、三象限，说明（函数递增）且（截距在 轴正半轴），则与同号，与矛盾，此选项不符合题意； 故选：B． 17．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）过点的直线不经过第三象限，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 直线过点， ， ， 又 ， ． 直线不经过第三象限，且， ，． ， ． 当时，； 当时，． ． 故选D． 18．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知点都在一次函数的图象上，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：∵中，，且， ∴， 对于选项B： 若，则且， 又∵， ∴， ∴，， ∴，故选项B正确； 其他选项反例： 选项A：取，则，但，，不满足； 选项C：取，则，但，，不满足； 选项D：取，则，但 ，，不满足； 因此，只有选项B正确， 故选：B． 19．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． （1）___________； （2）若点在线段上，点在直线上，则的最小值为___________． 【答案】 1 【详解】解：（1）∵直线与直线交于点， 解得， 故答案为：1； （2）由（1）知直线的表达式为， ∵点在线段上，点在直线上， ，， ， ， 的最小值为． 20．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数（为常数，且）． （1）若该一次函数的图像必经过一点，则该点的坐标为______； （2）当时，函数有最大值12，则的值为______． 【答案】 或 【详解】（1） ∵该一次函数的图像必经过一点， ∴当时，即时， ∴该一次函数图像必经过点． 故答案为：； （2）当时，随增大而增大， ∴在时取得最大值，代入得， 令，解得； 当时，随增大而减小， ∴在时取得最大值．代入得， 令，解得． 综上，的值为或． 故答案为：或． 21．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数， （1）则该函数在轴上的截距是___________ （2）当时，的最大值与最小值的差为8，则的值为___________． 【答案】 2或 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，则， 故答案为：； （2）解：∵ 自变量取值范围为，区间长度为， 分两种情况讨论： ① 当时，随增大而增大， ∴ 最大值为，最小值为， 最大值与最小值的差为， 由题意得，解得； ② 当时，随增大而减小， ∴ 最大值为，最小值为， 最大值与最小值的差为， 由题意得，解得； 综上，的值为2或． 22．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数， （1）此函数恒过定点________； （2）当时，一次函数的值有正有负，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：（1）关于x的一次函数， 当时，即时，， ∴此函数恒过定点， 故答案为：； （2）∵一次函数的值有正有负， ∴， 当时，随的增大而增大， ∵当时，一次函数的值有正有负， ∴当时，， 解得， ∴当时，， 解得， ∴没有解集，不符合题意，舍去； 当时，随的增大而减少， ∵当时，一次函数的值有正有负， ∴当时，， 解得， ∴当时，， 解得， ∴， 综上，实数a的取值范围是． 故答案为：． 23．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数（a是常数且）． （1）若该一次函数的图象经过点，则______； （2）当时，该一次函数有最大值8，则a的值为______． 【答案】 7 0或 【详解】解：（1）把点代入一次函数，得， 解得． 故答案为：7； （2）当时，y随x的增大而增大， 当时，， 解得． 当时，y随x的增大而减小， 当时，， 解得． 综上，当或时，该一次函数有最大值8． 故答案为：0或． 24．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）直线恒过一定点． （1）则该定点的坐标是______． （2）平面直角坐标系中有两点，，若该直线与线段没有交点，则的取值范围是______． 【答案】 或 【详解】解：（1）∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 故答案为：； （2）∵直线与线段没有交点， ∴直线在点B上方或直线在点C下方， 当直线过B点时， 则，解得， 当直线过C点时， 则，解得， ∴或． 故答案为：或． 考点04 一次函数规律探究题 25.如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则A8B9的长为（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】D 【详解】解：对于直线，令，求出， ， 轴， 的纵坐标为2， 将代入中得：， ， ， 轴， 的横坐标为2， 将代入直线中得：， ， 与的纵坐标为4， 将代入中得：， ， ， 同理，…，， 则的长为． 故选：D． 26．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，有，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，解得， ∴， 同理可得出：，，， 对应的点，．，， ，， 点的坐标为． 故选：B． 27．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， ， 令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， 的纵坐标为：， ， 同理可得，，，， 故选：． 28．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于直线，当时，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 以此类推，可得点的坐标是； 点的坐标是； 故选：A. 29.如图，直线与y轴交于，按如图方式作正方形 点在直线上，点在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，则_____，_______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 【答案】 2 【详解】解：设直线与x轴交于H， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴直线与x轴的夹角为， ∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形， ∵，即第一个正方形的边长为2， ∴， ∴，即第二个正方形的边长4， 同理可得，即第三个正方形的边长为8， …， ∴可知第n个正方形的边长为， ∴， ， ， …， 故答案为：2；． 考点05 待定系数法求一次函数解析式 30．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 直线由直线向上平移得到， ∴ 设直线的解析式为． ∵ 直线与轴交于点，且， ∴ 点的坐标为． 将代入，得，解得． ∴ 直线的解析式为． 故选：C． 31．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知与成正比例，当时，则与之间的函数表达式为_____． 【答案】 【详解】设， 将，代入得：， 即， 解得． 所以， 即， 整理得． 故答案为． 32．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度 与所挂物体质量满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．则与的函数关系式为__________；当弹簧长度为cm时，所挂物体的质量为__________ ． 【答案】 【详解】解：由表格可知，当时，，代入得， 解得，故函数关系式为； 当时，代入关系式得， 解得， 故所挂物体的质量为； 故答案为：，． 33．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)平移该函数图象，使它经过点，求平移后的一次函数的解析式． 【答案】(1)与的函数关系式为； (2)平移后的一次函数的解析式为． 【详解】（1）解：根据题意，设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为． （2）解：设平移后的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴平移后的一次函数的解析式为． 34．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2) 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 解得． 35．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，就可以确定棋子的位置，已知“帅”所在点的坐标为，“马”所在点的坐标为．    (1)求“炮”所在点的坐标； (2)求经过棋子“帅”和“兵”所在点的直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图建立平面直角坐标系，由图可知“炮”所在点的坐标为；    （2）由图可知“兵”所在点的坐标为，“帅”所在点的坐标为， 设其表达式为，由题意得， 解得， 该函数的表达式为． 36．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1)函数关系式为 (2) 【详解】（1）解：设函数关系式为：， 当时，， ， ， 函数关系式为：． （2）解：将点代入得：， 解得：． 37．（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若在该函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）将，代入一次函数得， ， 解得 ∴； （2）∵在该函数图象上， ∴ ∴． 38．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点为一次函数图象上一点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的， ∴， 把代入一次函数， 得，解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵点在的图象上， ∴，解得， ∴m的值为1． 39．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数，其中． （1）若点都在该一次函数的图象上，则____． （2）当时，函数有最大值为2，则函数表达式为_____． 【答案】 或． 【详解】解：（1）∵点都在该一次函数的图象上， ∴， 解得：； 故答案为： （2）当时，随的增大而增大； ∴当时，函数有最大值为2， ∴， 解得：， ∴函数为：； 当时，随的增大而减小； ∴当时，函数有最大值为2， ∴， 解得：， ∴函数为：； 故答案为：或． 40．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合，点为直线上一点，过、两点的直线解析式为（为常数） （1）直线过定点，点的坐标为_____； （2）在点的移动过程中，的取值范围为_____． 【答案】 或或 【详解】（1）解：将直线变形为， 当，即时，的取值不影响的值，此时， 定点． （2）直线与轴交于点， 令，解得， ， ①当点与点重合时，将点代入直线得： ， 解得：， ②当点与点重合时，将点代入直线得： ， 解得：， ③当直线与直线平行时，此时，与直线无交点， 故， 结合图形分析， 当时，与线段（及右侧延伸）相交； 当时，与线段（及左侧延伸）相交； 当时，与线段相交． 的取值范围为或或． 考点06 一次函数与方程（组）、不等式 41．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵过点， ∴， 解得， ∴， 由图可得，当时，， 故选A． 42．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图象可知，的解集为， 在数轴上表示解集为： 故选B． 43．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是________． 【答案】 【详解】解：函数和的图像交于点， 在直线右侧，直线在直线的上方，即， 不等式的解集为． 故答案为：． 44．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线：经过，两点，直线． （1）若，则a的值为________； （2）当时，总有，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：（1）∵直线经过，两点 ∴ 解得： ∴： ∵ ∴， 故答案为：； （2）联立， 解得， ∴直线与直线的交点坐标为, ∵当时，总有， ∴ 解得：． 故答案为：． 45．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数和一次函数（为常数且）． （1）不论为任何不等于零的数时，一次函数（为常数且）的图象都经过一个定点，则这个定点坐标是________； （2）若一次函数和一次函数（为常数且）图象的交点在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 或 【详解】解：（1）由，变形为， 令， 解得， 把代入得， 故定点坐标为； （2）由题意得：， 联立方程：， 整理得：， 解得：， 代入得： ， ∵交点在第三象限， ∴且， 由于，不等式等价于： 且， 解不等式组，得或； 故答案为或． 46．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵点坐标为， ∴关于的一元一次方程的解是， 故答案为：； （2）解：由图可得，一次函数和一次函数图象的交点为， ∴关于，的方程组的解是， 故答案为：． 47．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 【答案】(1)，； (2)；． 【详解】（1）解：一次函数的“逆反函数”的解析式为； ∵点在“逆反函数”的函数图象上， ∴，解得：； 故答案为：，； （2）解：∵一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 联立解析式：， 解得：， 即点， 观察图象得：当时，直线在直线的上方，且在x轴的下方， ∴不等式组的解集为． 48．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， ，则， 的面积； 49．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线：与y轴交于点A，直线：与y轴交于点B，直线与直线相交于点C，连接． (1)求点C的坐标． (2)直接写出的面积：______． 【答案】(1)点C的坐标是 (2)8 【详解】（1）解：联立， 解得， ； （2）解：由直线知， ， 由，知点到轴的距离为 4 ， 故． 50．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， ， 将点代入，得， 解得， ； （2）在中，令，得， 解得， ， 在中，令，得， 解得， ； （3）由函数图象可知：当时，，当时，， 所以当时，． 51．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)画出函数的图象； (3)结合图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1) (2) 画函数图象如下： (3) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 当时，， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为， 过点和． （3）解：由函数图象可知，当时，， ∴不等式组的解集为． 52．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数和． (1)若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上； (2)若，当时，函数有最大值7，求的值； (3)当时，对于的每一个值，都成立，直接写出的取值范围． 【详解】(1)证明：时，和， ， 点一定不在直线上； （2）解：（）， ① 若，即， ∵ 随增大而增大，且， ∴ 当时，取最大值， ∴， 解得； ② 若，即， ∵ 随增大而减小，且， ∴ 当时，取最大值， ∴， 解得， 综上，的值为或． （3）解：∵当时，恒成立，即， ∴， 当时，恒成立，故满足题意． 当时，随的增大而减小，需满足时值大于，即，解得， 当时，解得，这与当时，恒成立矛盾，应舍去， ∴． 53．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图、直线（k是常数且）分别交y轴，x轴于A，B两点，直线（b是常数）分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点． (1)直接写出方程组的解为______； (2)求直线与x轴围成的三角形的面积； (3)过点P的直线把的面积两等分，求这条直线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：将点代入得，, 解得， ∴直线：， ∵直线：和直线：相交于点． ∴方程组的解是． （2）解：把代入，得：和， ∴， ∵， ∴直线，与轴围成的三角形面积为：． （3）解：把分别代入，得： 和， ∴， ∴的中点为， 设过点P且把的面积两等分的直线的表达式为． 把点，代入，得解得 ∴这条直线的表达式为． 54．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图；在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若点为x轴上一点（其中），过点M作垂直于x轴的直线，与直线、分别交于点P、Q，若，求t的值． 【答案】(1) (2)4 (3)3 【详解】（1）解：∵直线与相交于点， ∴， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∴， 当时，， ∴， ∴直线与x轴的交点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵点为x轴上一点（其中），过点M作垂直于x轴的直线，与直线、分别交于点P、Q， ∴，， ∵，， ∴， 解得． 55．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，函数与的图象交于． (1)求出的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)在函数的图象上找一点，使的面积等于面积一半，求出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)的坐标为或 【详解】（1）解：把代入得：， 解得； ∴， 把代得：， 解得； （2）解：不等式的解集为； （3）解：∵的面积等于面积一半， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∴的坐标为或． 56．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)点是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2) (3)或 【详解】（1）解：直线经过点，与轴相交于点， ∴， 解得，， ∴直线的函数关系式为； （2）解：∵直线交于点， ∴联立方程组得，， 解得，， ∴，且， ∴由图象可得，当时，， ∴解集为：； （3）解：直线与轴相交于点， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴或， 解得，或， ∴或． 57．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． (1)【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； ③多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是        B．时，值随值的增大而增大 C．当或时，    D．当时， (2)【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 【详解】(1)②如图所示（实线部分），即为所求； ③由函数图象可得：函数的最小值为；当时，值随值的增大而增大；当或时，；当时，；故A、B、C正确，D错误，不符合题； 故答案为∶ ABC． （2）解：图中虚线为直线． 直线经过点时，方程有一根等于1， 另一根大于1，此时； 向下平移直线，它与的图象两个交点的横坐标都开始大于1， 当直线经过点时，方程只有一个解，此时， ， 此时，且． 考点07 一次函数实际应用——分配方案问题 58．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某企业举行十周年庆典活动，准备给每位员工定制一套某品牌西装和领带，市场上，该品牌西装每套定价600元，领带每条定价80元，在比价过程中，甲乙两家企业分别提供了如下优惠方案．甲：买一套西装送一条领带，乙：西装和领带均打九折付款．现该企业需要定制西装20套，领带x条． (1)请分别写出甲，乙两家企业的方案各自所需费用y（元）关于x的函数关系式． (2)请通过计算说明，若只能选择一家企业方案，按照哪种方案购买更合算？ 【答案】(1)甲企业方案所需费用y关于x的函数关系式为：； 乙企业方案所需费用y关于x的函数关系式为：； (2)综上所述，当时，两种所需费用一样；当时，乙企业方案所需费用购买更合算；当时，甲企业方案所需费用购买更合算． 【详解】（1）解：甲企业方案所需费用y关于x的函数关系式为： ； 乙企业方案所需费用y关于x的函数关系式为： ； （2）解：当，即时，两家企业方案所需费用一样； 当，即时，乙企业方案所需费用购买更合算； 当，即时，甲企业方案所需费用购买更合算； 综上所述，当时，两种所需费用一样；当时，乙企业方案所需费用购买更合算；当时，甲企业方案所需费用购买更合算． 59．为了更好服务我县创建“文明城市”工作，市政部门决定购进A、两种新型垃圾处理设备共10台，两种新型设备进价分别为：A型每台10万元，型每台8万元，设购进A种型号垃圾处理设备为台为正整数），购进两种型号垃圾处理设备的总费用为万元． (1)求总费用与的函数表达式； (2)如果购进A种垃圾处理设备总费用不超过购进种垃圾处理设备的总费用，那么市政部门购买垃圾处理设备有几种方案？请列举出来． 【答案】(1) (2)一共有四种方案：①购买A种垃圾处理设备1台，购买种垃圾处理设备9台；②购买A种垃圾处理设备2台，购买种垃圾处理设备8台；③购买A种垃圾处理设备3台，购买种垃圾处理设备7台；④购买A种垃圾处理设备4台，购买种垃圾处理设备6台． 【详解】（1）根据题意得：， 总费用与的函数表达式为； （2）购进A种垃圾处理设备总费用不超过购进种垃圾处理设备的总费用， ， 解得， 为正整数，且， 可取1，2，3，4， 一共有四种方案： ①购买A种垃圾处理设备1台，购买种垃圾处理设备9台； ②购买A种垃圾处理设备2台，购买种垃圾处理设备8台； ③购买A种垃圾处理设备3台，购买种垃圾处理设备7台； ④购买A种垃圾处理设备4台，购买种垃圾处理设备6台． 60.某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【答案】(1)元，千克 (2) (3)从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋 【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋千克，则从乙养殖场调运鸡蛋千克， 则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：， 故答案为：元，千克； （2）解：根据题意得：， 与的函数关系式为：； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， ，， ， 当时，取得最小值， 此时， 答：当从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋时，每天的总运费最省． 61.（23-24八年级上·安徽淮北·期中）在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元． (1)设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式． (2)如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？ (3)在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？ 【答案】(1)； (2)种； (3)安排型车厢节，型车厢节运输运费最少，最少运费为元 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴或或或或或， ∴共有种安排车厢的方案； （3）解：∵，， ∴的值随的增大而减小， ∴当时的值最小，即安排型车厢节，型车厢节运输运费最少， 此时，最少运费元． 62．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）为了表彰在学年智慧阅读活动表现优异的同学，学校决定购买A，B两种奖品共42件，已知A，B两种奖品的单价分别是50元/件和40元/件，且购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件．设购买A种奖品x件，购买这两种奖品共花费y元． (1)求计划购买这两种奖品所需的费用y（元）关于x（件）的函数解析式． (2)共有多少种不同的购买方案？购买这些奖品最少需要多少元？ (3)采购人员在采购奖品时，恰逢商场正在促销：A种奖品每件降价a元，B种奖品每件降价b元．采购人员通过计算发现，购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关，请求出的值． 【答案】(1) (2)共有8种不同的购买方案，购买这些奖品最少需要1780元 (3) 【详解】（1）解：设购买A种奖品x件，则购买B种奖品件， 由题意得，， ∵购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件， ∴， 解得， ∴函数解析式为； （2）解：∵，且是整数， ∴可以取10，11，12，13，14，15，16，17， ∴共有8种不同的购买方案， ∵， ∴中随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴购买这些奖品最少需要1780元； （3）解：由题意得，， ∵购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关， ∴， 整理得：． 考点08 一次函数实际应用——最大利润问题 63．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）综合与实践 【项目主题】 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题． 【项目背景】 已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)甲超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润为3600元 (2)分别购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元 【详解】（1）解：由图象可知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系为一次函数，设其解析式为（），将点，代入， 得，解得， 卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系式为， 当时，则， 利润为， 答：甲超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润为3600元； （2）解：设乙超市购进A种砀山梨m千克，则购进B种砀山梨千克， 由题意得， 解得， 设售完后可获得利润为元，则 ， 随m的增大而减少， 当时，利润w取得最大值为（元）， 此时B种砀山梨数量为（千克）， 答：分别购进A种砀山梨250千克，B种砀山梨1750千克，售完后可获得最大利润，最大利润为5750元． 64．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价150元，售价200元；乙种服装每件进价130元，售价160元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围； (2)若购进100件服装的总费用不超过14400元，求最大利润为多少元？ 【答案】(1)， (2)最大利润为4400元 【详解】（1）解：由题意可知， ， 其中甲种服装不少于60件，两种服装共100件，那么； 答：，； （2）解：根据题意，可知 那么， ∵， ∴， ，， 随的增大而增大， 时，取得最大值，最大值为元， 答：最大利润为4400元． 65．（25-26八年级上·安徽六安·期中）《哪吒2·魔童闹海》票房大卖，电影中的角色玩偶热销．小洋在网上开设玩偶专卖店，他的进货单上的信息显示：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶的进货单价少5元，他花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． (1)问：A、B两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为13元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算购进A，B两款玩偶共100个，设A款玩偶购进数量为x个，获得的总利润为y元．则购进B款玩偶数量为________个，若A款的数量不小于B款的数量，则当A，B两款玩偶各购进多少时，小洋获得的总利润最大？ 【答案】(1)A款进货单价为10元，B款进货单价为15元 (2)；当A款购进50个、B款购进50个时，总利润最大 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的进货单价为a元，则A款的进货单价为元． 由题意可得， 解得， ∴A款进货单价为元， 答：A款进货单价为10元，B款进货单价为15元； （2）解：设购进A款玩偶x个，则购进B款玩偶个， 由题意可得A款单个利润：元；B款单个利润元， ∴总利润， 由条件得， ∴随x增大而减小， ∴当时，y最大， 此时，最大利润元． 答：当A款购进50个、B款购进50个时，总利润最大为400元． 故答案为：． 66．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）义乌某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元 (2)①；②商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大 (3)商店购进70台型电脑和30台型电脑的销售利润最大 【详解】（1）解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；根据题意得 ， 解得， 答：每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元． （2）①据题意得，，即， ②据题意得，，解得， ，， 随的增大而减小， 为正整数， 当时，取最大值，则， 即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大． （3）据题意得，，即， ， 当时，，随的增大而增大， 当时，取得最大值,， 即商店购进70台型电脑和30台型电脑的销售利润最大． 67．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表： 进价/（元/件） 售价/（元/件） 甲种服装 160 210 乙种服装 120 150 现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润． (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进价减少元，售价不变，且．若最大利润为4000元，求b的值． 【答案】(1) (2)最大利润为4500元 (3)b的值为4 【详解】（1）解：， 即y与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意，得 解得． ∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为（元）， ∴最大利润为4500元． （3）解： ． 又∵， ∴， ∴． ∵，此时y随x的增大而增大， ∴当时，． ∵最大利润为4000元， ∴， 解得，符合题意， ∴b的值为4． 68．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）某体育器材专卖店购进甲、乙两种品牌排球共80个，其进价与售价情况如表： 品牌 甲 乙 进价（元/个） 60 56 售价（元/个） 80 72 设购进甲品牌排球个，销售完这80个排球所获得的总利润是元． (1)求与的函数关系式；（不需要写出的取值范围） (2)该体育器材专卖店出售这批排球是否能获得利润1408元？如果不能，说明理由；如果能，求甲、乙两种品牌排球分别售出多少个； (3)若该体育器材专卖店购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)能获得利润1408元，甲品牌排球售出32个，乙品牌排球售出48个 (3)购进甲品牌排球26个，购进乙品牌排球54个时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元 【详解】（1）解：∵设购进甲品牌排球个，则购进乙品牌排球个， ∴， 与的函数关系式为； （2）解：当时，得， 解得， ∴（个） ∴该体育器材专卖店出售这批排球能获得利润1408元，甲品牌排球售出32个，乙品牌排球售出48个； （3）解：该体育器材专卖店购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半， ． ． 在中，， ∴随的增大而增大， 为整数， 当时，获得利润最大，最大利润为1384元． ∴（个） ∴购进甲品牌排球26个，购进乙品牌排球54个时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元． 69．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）某商场购进甲、乙两种商品进行销售，设用元购进甲种商品工件，与之间的函数关系如图所示，乙种商品按元件的价格购进． (1)求当时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品不少于件，甲、乙两种商品的总进货款不少于元，求的取值范围； (3)若甲、乙两种商品的销售价格分别为元件和元件，经销商将（）中购进的甲、乙两种商品全部销售完，获得的利润最多为元，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将，代入， 得， 解得， ∴当时，与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得， 解得， 又∵， ∴的取值范围为； （3）解：设获得的利润为元，则， 当的最大值为时，得， ∵， ∴，即， ∴随的减小而增大， 当时，值最大，， 解得， ∴的值为． 考点09 一次函数实际应用——行程问题 70．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）2024年宣州区第一届龙舟邀请赛在水阳江开桨。甲乙两支龙舟队在赛前进行了备战训练，甲乙两队均从起点驶向终点，在整个行程中，龙舟离开起点的距离（米）与时间（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)分别求出甲、乙两支龙舟队的与函数关系式； (2)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距180米？（直接写出答案） 【答案】(1)甲龙舟队的与函数关系式为；乙龙舟队的与函数关系式为 (2)甲龙舟队出发或或或，两支龙舟队相距180米 【详解】（1）解：设甲龙舟队的与函数关系式为， 把（25，3000）代入，可得，解得， ∴甲龙舟队的与函数关系式为， 设乙龙舟队的与函数关系式为， 把代入，可得：， 解得：， 乙龙舟队的与x函数关系式为； （2）解：由（1）中得到函数关系式可知， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得或； 当时，得， 解得． 综上所述，或或或． 答：甲龙舟队出发分或分或分或分时两支龙舟队相距180米． 71．（24-25八年级上·安徽池州·期中）某市出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象回答下列问题： (1)当时，求关于的函数解析式； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为元，求这位乘客乘车的里程． 【答案】(1)() (2) 【详解】（1）解：当时，设 把和分别代入，得解得 ∴； （2）解：令，即，解得 答：这位乘客乘车的里程为． 72．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）一辆汽车和一辆摩托车分别从、地同时前往同一个地方（三点在同一条直线上）城，它们距离地的路程随着时间的变化的图象如图所示．    (1)他们相遇时，汽车离地多远？ (2)S表示他们的距离，表示出发的时间，求： ①与的函数关系式，并画出函数图象； ②若方程有解，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)他们相遇时，汽车离地千米 (2)① 函数图象如图所示，    ②∵， 经过一、三象限， ② 【详解】（1）解：根据函数图象可得，汽车的速度为；摩托车的速度为， 设出发小时后，他们相遇，则， 解得： ∴千米， 答：他们相遇时，汽车离地千米； （2）①由（1）可得时相遇， 当时，摩托车在汽车前面，则， 当时，汽车在摩托车前面，则， 当时，汽车到达C地，则； 综上所述， ②∵， 经过一、三象限， ∵有解， 当经过点时，则，此时， 当经过点时，则，此时， 当经过时，，此时， ∴． 73．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)货车的速度是 千米/时；轿车的速度是 千米/时；值为 ． (2)求轿车返回段的函数表达式并写出自变量的取值范围． (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距70千米． 【答案】(1)；； (2) (3)货车出发小时后两车相距千米． 【详解】（1）解：由函数图象可知货车的速度是千米/小时； 轿车的速度是：（千米/小时）； ； 故答案为；；； （2）解：，则 由题意可知， 设直线的解析式为， 则，解得， ； （3）解：当时，，即， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，，即， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 解得，则， 综上，货车出发小时后两车相距70千米． 答：货车出发小时后两车相距千米． 74．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）国庆假期，某出租车司机将3名游客从高铁站送往景点甲地，到达后立刻返回．出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系如图所示． (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出租车出发4小时后距离景点甲地多远？ (3)在高铁站与景点甲地之间有一服务区乙地，出租车从去时途经乙地，到返回时再经过乙地，共用1小时50分钟，求高铁站与服务区乙地相距多远？ 【答案】(1) (2)出租车出发4小时后距离景点甲地60千米 (3)高铁站与服务区乙地相距100千米． 【详解】（1）解：当时，设出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系式为 将代入得， 解得 ∴； 当时，设出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系式为 将，代入得， 解得 ∴ 综上所述，； （2）解：将代入 ∴（千米） ∴出租车出发4小时后距离景点甲地60千米； （3）解：1小时50分钟（分钟）（小时） ∵去时的速度为，返回时的速度为， ∴设去时从乙地到景点的时间为x小时，则返回时从景点到乙地的时间为小时 根据题意得， 解得 ∴（千米） ∴高铁站与服务区乙地相距100千米． 考点10 一次函数实际应用——梯度计价问题 75．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）依法纳税是每个公民应尽的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民每月工资、薪金收入不超过元，不需交税；超过元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如下表： 级别 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过元的部分 3 2 超过元至元的部分 3 超过元至元的部分 … … … 设每月收入（单位：元），表示应交税款（单位：元）， (1)分别写出级别为1级和2级时，与之间的关系式； (2)某人年7月的总收入为元，求他应交税款多少元？ (3)某公司部门经理年9月应交税款元，请求出该月经理的收入是多少元？ 【详解】(1)级别1：； 级别2：； （2）该人年7月的总收入为元， 在范围内， 所以他应交税款为元； （3）设该公司部门经理年9月收入元， 该公司部门经理年9月应交税款元， 当时，， 所以该公司部门经理年9月收入， ， 解得：， 答：该月经理的收入是元． 76．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量． 【答案】(1) (2) 该户这一年的电费为元； (3) 该户去年一年的用电量为． 【难度】0.65 【详解】（1）解：， 化简得； （2）解：将代入， 得到， 该户这一年的电费为元； （3）解：元元， 该户用电量超过， 将代入， 解得， 该户用电量在区间， 将代入， 得到， 解得， 答：该户去年一年的用电量为． 77．为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： 居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元 【答案】(1) (2)这个家庭本月的实际用电量为210度 (3)小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元 【详解】（1）解：当时，则 ， 答：当时，与之间的函数关系式为； （2）解：∵度电费为：， 度电费为：， ， 该家庭本月用电量属于第二档，令，则， 解的， 答：这个家庭本月的实际用电量为210度． （3）解：当时，则； ， 把代入得元； 当时，则， 当时，则元． 答：小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元． 78．（24-25八年级上·安徽六安·阶段检测）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)应交水费14元 (3)该户居民用水12立方米 【详解】（1）解：由题意，当时，， 当时，， ∴； （2）当时，（元）； 答：应交水费14元； （3）∵， ∴， ∴当时，，解得：； 答：该户居民用水12立方米． 考点11 一次函数与几何综合 79．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为． (1)求的值； (2)过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标； ②当时，请通过计算比较与的大小． 【答案】(1) (2)①；②当时，；当时，；当时， 【详解】（1）解：由题可知，则直线， 直线过， 则直线． （2）解：直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点， ． ①， ， ． 点的坐标为． ②由题意得：， 当点在直线下方或在直线上时，由图可知； 当点在直线上方时，； 当时， 解得：； 当时， 解得：； 当时， 解得：； 综上，当时，；当时，；当时，． 80．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，且，过A作x轴平行线． (1)如图1，点D在直线、之间（不在直线、上），连接、，，求的度数； (2)如图2，连接，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴负半轴上，连接，交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积记为，若，求K点的坐标； (3)如图2，连接，若平分，求证：． 【详解】（1）解：如图，过D点作轴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴，， 又∵m，n满足， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令，则：， ∴， ∴． (3)证明：在中，， ∵平分， ∴， 在中，，即：， ∴． 81．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线：分别与x轴、y轴交于点A，C，直线经过点，与交于点D，且点D的横坐标为1． (1)求直线的函数表达式； (2)点P是线段上一点，过点P作垂直于y轴的射线，分别与y轴和直线交于点E，F．设点P的横坐标为m． （i）若，求点P的坐标； （ii）若，且点P位于y轴右侧，求线段的长． 【答案】(1) (2)（i）点P的坐标为或（ii）2 【详解】（1）解：把代入直线：， 得， ∴. 设直线的函数表达式为. 把，代入， 得 解得 ∴直线的函数表达式为． （2）解：（i）由题意知点P的横坐标为m， 则. ∵垂直于y轴， ∴轴， ∴点P，F的纵坐标相同. ∵点F在直线上， ∴， 解得， ∴. ∵， ∴， 解得或. 当时，； 当时，， ∴点P的坐标为或． （ii）由（i）可知. ∵点P位于y轴右侧，， ∴， 解得， ∴点P的坐标为. 由题意知轴， ∴点P，F的纵坐标相同. ∵点F在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴． 82．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． (1)①求直线的解析式； ②求的面积； (2)①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请写出所有符合条件的整点的坐标． 【答案】(1)①；② (2)①或；②或 【详解】（1）解：①把代入，得， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∴直线的解析式为； ②由，解得， ∴， ∴； （2）解：①设， ∵轴， ∴， ∵线段的长为， ∴， 即， 解得或， ∴或； ②由①可得，， 即或， 解得或， ∵和都是整数， ∴或， ∴或． 83．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，直线与轴，轴分别交于点，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． (1)①求直线的解析式； ②求的面积； (2)①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，则符合条件的整点的个数为______个． 【答案】(1)①；② (2)①点坐标为或；② 【详解】（1）解：①对于直线，当时，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 将代入直线中，可得， 解得：， 故直线的解析式为． ②联立直线和直线，即， 解得， ∴点为， 将分别代入和中，即，， 解得：，， ∴点为，点为， ∴， ∴． （2）解：①设点坐标为， ∵轴， ∴点坐标为， 当点在点上方时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 当点在点上方时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 综上可得：点坐标为或． ②由上可得， 当时，即时，， ∵ ∴ 解得： 当时，即时，， ∵， ∴， 解得：， ∴在和的范围内，可取的整数有， ∵点坐标为， ∴当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， ∴整点的坐标有，，，， ∴符合条件的整点的个数为个． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数与一次函数综合应用 考点01 由函数图象获取信息 考点02 动点问题的函数图象 考点03 一次函数的图象与性质 考点04 一次函数规律探究题 考点05 待定系数法求一次函数解析式 考点06 一次函数与方程（组）、不等式 考点07 一次函数实际应用——分配方案问题 考点08 一次函数实际应用——最大利润问题 考点09 一次函数实际应用——行程问题 考点10 一次函数实际应用——梯度计价问题 考点11 一次函数与几何综合 考点01 由函数图象获取信息 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）、两地相距630千米，客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶，货车两小时到达途中站，客车9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、（千米），它们与行驶时间（小时）之间的函数关系如图．下列结论：①客、货两车的速度分别为60千米／小时，45千米／小时；②、两站间的距离是540千米；③点横坐标为12；④点E的坐标是．其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）A，B两地相距，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，s与t的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；②乙出发后追上甲；③乙比甲早到；④甲车行驶时，甲乙两车相距，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（单位：h）．两车之间的距离为y（单位：）．图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列结论： ①； ②当快车到达终点时，普通列车距离甲地； ③普通列车行驶时，到达终点甲地； ④经过或两车相距． 其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，汽车离开城的距离（）与行驶时间（）的函数图象如图所示，下列说法： ①甲车的速度为； ②乙车用了到达城； ③甲车出发时，乙车追上甲车； ④乙车出发后经过或两车相距． 其中正确的是______（填序号）． 5．（25-26八年级上·上海·期中）如图是某函数的图像，当时，若在该函数图像上可以找到n个不同的点 （其中为大于1的正整数），使得恒成立，则所有可能的值的和是___________． 6．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为___； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水______． 7．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，则： （1）慢车的速度为______； （2）图中点的坐标为______． 8．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． （1）B点表示两车___________．（填“快车到达”或“慢车到达”或“相遇”） （2）点C的坐标为___________． 9．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）随着“双减”政策落地，周末家庭野外郊游将成为我们的生活常态．诚诚骑自行车从家里出发30分钟后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．诚诚离家1小时30分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，下图是他们离家的路程与诚诚离家时间的函数图象，已知妈妈驾车的速度是诚诚骑车速度的3倍，根据图中的信息：    (1)诚诚从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？ (2)若妈妈比诚诚还早10分钟到达乙地，从家到乙地的路程是多少？ 考点02 动点问题的函数图象 10．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）已知动点以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2所示．已知，则下列说法错误的是（    ） A．动点的速度是 B．的长为 C．的值为13 D．在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是或 11．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图1，在长方形中，动点E从点B出发，以的速度沿着运动，到点A时停止运动．设点E的运动时间为，的面积为，其中S与t的关系如图2所示． （1）当时，_______． （2）当时，_______． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图1，在长方形中，点E是上一点，点P从点A出发，沿着运动，到点E停止，运动速度为，三角形的面积为，点P的运动时间为，y与x之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）． （1）长方形的宽的长为 _____cm； （2）当点P运动到点E时，，则m的值为 _______． 13．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图甲是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，试回答下列问题．    图甲图乙 (1)填空：图甲中的__________，__________； (2)求：图乙中的的值； (3)求：图乙中的的值． 考点03 一次函数的图象与性质 14．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于函数，下列结论正确的是（   ） A．图像必经过点 B．图像经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图像与直线平行 15．（25-26八年级上·安徽池州·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）过点的直线不经过第三象限，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知点都在一次函数的图象上，且，则下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． （1）___________； （2）若点在线段上，点在直线上，则的最小值为___________． 20．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数（为常数，且）． （1）若该一次函数的图像必经过一点，则该点的坐标为______； （2）当时，函数有最大值12，则的值为______． 21．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数， （1）则该函数在轴上的截距是___________ （2）当时，的最大值与最小值的差为8，则的值为___________． 22．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数， （1）此函数恒过定点________； （2）当时，一次函数的值有正有负，则实数a的取值范围是________． 23．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数（a是常数且）． （1）若该一次函数的图象经过点，则______； （2）当时，该一次函数有最大值8，则a的值为______． 24．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）直线恒过一定点． （1）则该定点的坐标是______． （2）平面直角坐标系中有两点，，若该直线与线段没有交点，则的取值范围是______． 考点04 一次函数规律探究题 25.如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则A8B9的长为（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 26．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 29.如图，直线与y轴交于，按如图方式作正方形 点在直线上，点在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，则_____，_______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 考点05 待定系数法求一次函数解析式 30．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（   ） A． B． C． D． 31．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知与成正比例，当时，则与之间的函数表达式为_____． 32．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度 与所挂物体质量满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．则与的函数关系式为__________；当弹簧长度为cm时，所挂物体的质量为__________ ． 33．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)平移该函数图象，使它经过点，求平移后的一次函数的解析式． 34．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，求的值． 35．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，就可以确定棋子的位置，已知“帅”所在点的坐标为，“马”所在点的坐标为．    (1)求“炮”所在点的坐标； (2)求经过棋子“帅”和“兵”所在点的直线的函数表达式． 36．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． 37．（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若在该函数图象上，求的值． 38．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点为一次函数图象上一点，求m的值． 39．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数，其中． （1）若点都在该一次函数的图象上，则____． （2）当时，函数有最大值为2，则函数表达式为_____． 40．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合，点为直线上一点，过、两点的直线解析式为（为常数） （1）直线过定点，点的坐标为_____； （2）在点的移动过程中，的取值范围为_____． 考点06 一次函数与方程（组）、不等式 41．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 42．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 43．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是________． 44．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线：经过，两点，直线． （1）若，则a的值为________； （2）当时，总有，则a的取值范围是________． 45．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数和一次函数（为常数且）． （1）不论为任何不等于零的数时，一次函数（为常数且）的图象都经过一个定点，则这个定点坐标是________； （2）若一次函数和一次函数（为常数且）图象的交点在第三象限，则的取值范围是________． 46．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 47．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 48．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 49．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线：与y轴交于点A，直线：与y轴交于点B，直线与直线相交于点C，连接． (1)求点C的坐标． (2)直接写出的面积：______． 50．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 51．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)画出函数的图象； (3)结合图象，直接写出不等式组的解集． 52．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数和． (1)若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上； (2)若，当时，函数有最大值7，求的值； (3)当时，对于的每一个值，都成立，直接写出的取值范围． 53．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图、直线（k是常数且）分别交y轴，x轴于A，B两点，直线（b是常数）分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点． (1)直接写出方程组的解为______； (2)求直线与x轴围成的三角形的面积； (3)过点P的直线把的面积两等分，求这条直线的表达式． 54．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图；在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若点为x轴上一点（其中），过点M作垂直于x轴的直线，与直线、分别交于点P、Q，若，求t的值． 55．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，函数与的图象交于． (1)求出的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)在函数的图象上找一点，使的面积等于面积一半，求出点的坐标． 56．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴相交于点，与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)点是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点的坐标． 57．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． (1)【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； ③多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是        B．时，值随值的增大而增大 C．当或时，    D．当时， (2)【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 考点07 一次函数实际应用——分配方案问题 58．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某企业举行十周年庆典活动，准备给每位员工定制一套某品牌西装和领带，市场上，该品牌西装每套定价600元，领带每条定价80元，在比价过程中，甲乙两家企业分别提供了如下优惠方案．甲：买一套西装送一条领带，乙：西装和领带均打九折付款．现该企业需要定制西装20套，领带x条． (1)请分别写出甲，乙两家企业的方案各自所需费用y（元）关于x的函数关系式． (2)请通过计算说明，若只能选择一家企业方案，按照哪种方案购买更合算？ 59．为了更好服务我县创建“文明城市”工作，市政部门决定购进A、两种新型垃圾处理设备共10台，两种新型设备进价分别为：A型每台10万元，型每台8万元，设购进A种型号垃圾处理设备为台为正整数），购进两种型号垃圾处理设备的总费用为万元． (1)求总费用与的函数表达式； (2)如果购进A种垃圾处理设备总费用不超过购进种垃圾处理设备的总费用，那么市政部门购买垃圾处理设备有几种方案？请列举出来． 60.某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 61.（23-24八年级上·安徽淮北·期中）在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元． (1)设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式． (2)如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？ (3)在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？ 62．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）为了表彰在学年智慧阅读活动表现优异的同学，学校决定购买A，B两种奖品共42件，已知A，B两种奖品的单价分别是50元/件和40元/件，且购买的A种奖品的数量少于B种奖品数量的，但又不少于10件．设购买A种奖品x件，购买这两种奖品共花费y元． (1)求计划购买这两种奖品所需的费用y（元）关于x（件）的函数解析式． (2)共有多少种不同的购买方案？购买这些奖品最少需要多少元？ (3)采购人员在采购奖品时，恰逢商场正在促销：A种奖品每件降价a元，B种奖品每件降价b元．采购人员通过计算发现，购买两种奖品所需的总费用与购买的方案无关，请求出的值． 考点08 一次函数实际应用——最大利润问题 63．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）综合与实践 【项目主题】 砀山梨是皖北特产，八年级社会实践社团为水果超市解决A，B两种砀山梨销售问题． 【项目背景】 已知今年A，B两种砀山梨的购进成本价如下表： A B 购进成本价（元/千克） 10 6 【问题解决】 (1)已知甲超市卖出A种砀山梨的数量与售价之间的关系如图所示，求该超市以12元/千克零售A种砀山梨所获得的利润； (2)乙超市准备购进A，B两种砀山梨共2000千克，并分别以12元/千克和9元/千克的价格零售，购进总成本不超过14000元，且不少于13000元．问：分别购进A，B两种砀山梨各多少千克，售完后可获得最大利润？并求出最大利润． 64．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价150元，售价200元；乙种服装每件进价130元，售价160元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围； (2)若购进100件服装的总费用不超过14400元，求最大利润为多少元？ 65．（25-26八年级上·安徽六安·期中）《哪吒2·魔童闹海》票房大卖，电影中的角色玩偶热销．小洋在网上开设玩偶专卖店，他的进货单上的信息显示：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶的进货单价少5元，他花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． (1)问：A、B两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为13元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算购进A，B两款玩偶共100个，设A款玩偶购进数量为x个，获得的总利润为y元．则购进B款玩偶数量为________个，若A款的数量不小于B款的数量，则当A，B两款玩偶各购进多少时，小洋获得的总利润最大？ 66．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）义乌某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式； ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 67．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表： 进价/（元/件） 售价/（元/件） 甲种服装 160 210 乙种服装 120 150 现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润． (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进价减少元，售价不变，且．若最大利润为4000元，求b的值． 68．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）某体育器材专卖店购进甲、乙两种品牌排球共80个，其进价与售价情况如表： 品牌 甲 乙 进价（元/个） 60 56 售价（元/个） 80 72 设购进甲品牌排球个，销售完这80个排球所获得的总利润是元． (1)求与的函数关系式；（不需要写出的取值范围） (2)该体育器材专卖店出售这批排球是否能获得利润1408元？如果不能，说明理由；如果能，求甲、乙两种品牌排球分别售出多少个； (3)若该体育器材专卖店购进甲品牌排球的数量不超过乙品牌排球数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 69．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）某商场购进甲、乙两种商品进行销售，设用元购进甲种商品工件，与之间的函数关系如图所示，乙种商品按元件的价格购进． (1)求当时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品不少于件，甲、乙两种商品的总进货款不少于元，求的取值范围； (3)若甲、乙两种商品的销售价格分别为元件和元件，经销商将（）中购进的甲、乙两种商品全部销售完，获得的利润最多为元，求的值． 考点09 一次函数实际应用——行程问题 70．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）2024年宣州区第一届龙舟邀请赛在水阳江开桨。甲乙两支龙舟队在赛前进行了备战训练，甲乙两队均从起点驶向终点，在整个行程中，龙舟离开起点的距离（米）与时间（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)分别求出甲、乙两支龙舟队的与函数关系式； (2)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距180米？（直接写出答案） 71．（24-25八年级上·安徽池州·期中）某市出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象回答下列问题： (1)当时，求关于的函数解析式； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为元，求这位乘客乘车的里程． 72．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）一辆汽车和一辆摩托车分别从、地同时前往同一个地方（三点在同一条直线上）城，它们距离地的路程随着时间的变化的图象如图所示．    (1)他们相遇时，汽车离地多远？ (2)S表示他们的距离，表示出发的时间，求： ①与的函数关系式，并画出函数图象； ②若方程有解，请直接写出的取值范围． 73．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)货车的速度是 千米/时；轿车的速度是 千米/时；值为 ． (2)求轿车返回段的函数表达式并写出自变量的取值范围． (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距70千米． 74．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）国庆假期，某出租车司机将3名游客从高铁站送往景点甲地，到达后立刻返回．出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系如图所示． (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出租车出发4小时后距离景点甲地多远？ (3)在高铁站与景点甲地之间有一服务区乙地，出租车从去时途经乙地，到返回时再经过乙地，共用1小时50分钟，求高铁站与服务区乙地相距多远？ 考点10 一次函数实际应用——梯度计价问题 75．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）依法纳税是每个公民应尽的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民每月工资、薪金收入不超过元，不需交税；超过元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如下表： 级别 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过元的部分 3 2 超过元至元的部分 3 超过元至元的部分 … … … 设每月收入（单位：元），表示应交税款（单位：元）， (1)分别写出级别为1级和2级时，与之间的关系式； (2)某人年7月的总收入为元，求他应交税款多少元？ (3)某公司部门经理年9月应交税款元，请求出该月经理的收入是多少元？ 76．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量． 77．为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： 居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元 78．（24-25八年级上·安徽六安·阶段检测）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 考点11 一次函数与几何综合 79．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为． (1)求的值； (2)过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标； ②当时，请通过计算比较与的大小． 80．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，且，过A作x轴平行线． (1)如图1，点D在直线、之间（不在直线、上），连接、，，求的度数； (2)如图2，连接，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴负半轴上，连接，交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积记为，若，求K点的坐标； (3)如图2，连接，若平分，求证：． 81．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线：分别与x轴、y轴交于点A，C，直线经过点，与交于点D，且点D的横坐标为1． (1)求直线的函数表达式； (2)点P是线段上一点，过点P作垂直于y轴的射线，分别与y轴和直线交于点E，F．设点P的横坐标为m． （i）若，求点P的坐标； （ii）若，且点P位于y轴右侧，求线段的长． 82．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． (1)①求直线的解析式； ②求的面积； (2)①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请写出所有符合条件的整点的坐标． 83．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，直线与轴，轴分别交于点，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． (1)①求直线的解析式； ②求的面积； (2)①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，则符合条件的整点的个数为______个． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $