2026--2027学年苏教版八年级数学上册期中复习专项1——角平分线和中垂线

期中复习专项1——角平分线和中垂线练习 姓名：__________ 题型一、垂直平分线性质 1．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为7，则_______． 3．等腰三角形中，，，线段的垂直平分线交于，交于，连接，则的周长等于______． 4．如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是_______ ． 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 题型二、角平分线性质 5．如图，在中，，平分，，则点到的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 7．如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 第5题图 第6题图 第7题图 8．如图，中，平分，且平分，于E，于F．如果，则的长是________． 9．如图，在中，平分，．若，，则________． 10．如图，已知面积是，，分别平分和，于点，，则的周长是________． 11．如图，在中，，平分交于点D，则的长为__________． 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 题型三、垂直平分线、角平分线综合 12．如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． (1)求证：． (2)若，，则 ． 13．如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，则的长为________． 14．如图，的外角平分线交边的垂直平分线于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．如图，已知在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，，则的周长为__________． 16．如图，在中，点D是的中点，，交的平分线于点E，垂足为F，，交的延长线于点G，试判断线段、有何关系，并说明理由． 17．如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线；求证：平分． 18．如图，已知，点P在垂直平分线上，，，垂足分别为、，若，求证：点P在的平分线上． 题型四、尺规作图 19．已知：如图公路AE、AF、BC两两相交． 求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 20．如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C处，是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在的内部，且到A、C的距离必须相等，到两条道路的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置．（不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）． 题型五、添加辅助线证全等综合 21．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 22．综合与实践 如图1，在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)如图1写出一对全等三角形_________________，写出、、的数量关系__________并证明． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，、、；的数量关系发生改变了么？猜想并证明． (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系 23．已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 期中复习专项1——角平分线和中垂线练习 参考答案 题号 1 5 6 7 答案 A B D B 1．A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等． 先根据垂直平分线的性质得出，再根据的周长是，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴的周长=． 故选：A． 2． 【分析】根据垂直平分得，则计算即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， ． 3． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，利用垂直平分线性质进行线段代换是解题关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，代入数值计算即可． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， 又，， 的周长． 故答案为：． 4．18 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：，边的垂直平分线分别交于点，， ，， △的周长为18， ， ． 5．B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由线段的和差关系可得的长，由角平分线的性质可得的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵， ∴； ∵平分，，， ∴， ∴点到的距离为3， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查角平分线的性质，作，垂足为，根据角平分线的性质，得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：作，垂足为， ∵平分，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7．B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 8．2 【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想求解． 连接，由平分，于E，于F，根据角平分线的性质，即可得，又由且平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得，则可得，再证，即可得，然后设，由，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵平分，， ∴， ∵且平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 9． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理． 过D作于F，利用角平分线的性质定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解： 过D作于F， ∵平分，，， ∴， 又， ∴． 故答案为：． 10．10 【分析】此题考查三角形角平分线的性质定理．连接，过点O作于E，于F，根据角平分线的性质得到，利用的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，过点O作于E，于F， ∵，分别平分和，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴，即的周长是10， 故答案为：10． 11． 【分析】本题考查角平分线的性质定理、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理，利用等面积法求解是解答的关键． 过点D作于点H，根据角平分线的性质定理得，再根据三角形等面积法求得即可． 【详解】解：过点D作于点H， ∵平分，，， ∴，, 由得：， 解得:， 故答案为：． 12．(1) 证明：连接，，如图： 点D在的垂直平分线上， ， 点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，，根据垂直平分线的性质得到，再证得，从而得出结论； （2）易证得，根据全等三角形的性质得到，再利用（1）的结论，根据线段的和差关系进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：点D在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 、、、， ， ， ， ， 故答案为：． 13．(1) 证明：∵C是的角平分线上一点，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再结合运用可证明，根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证明结论； （2）证明得到，由可得， 再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：4． 14．(1) 证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 15．(1) 证明：连接、， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； (2)21 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由（1）知，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴的周长为： ． 16． ，理由如下： ∵平分，，， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质以及角平分线的性质，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．根据角平分线的性质可得出，根据垂直平分线的性质可得出，进而即可证出，再根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】略 17． 证明：连接，， ∵点在的垂直平分线上， ． ，， ． 在和中， ∴， ． 又，， 点在的平分线上，即平分． 【分析】本题主要考查角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，；由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证． 【详解】略 18． 证明：连接、， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴点在的平分线上． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定以及线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 连接、，证明，得，证出点P在的平分线上． 【详解】略 19． 【分析】根据角平分线的性质及作法，即可作得． 【详解】解：作法如下： 1．尺规作出∠A、∠EBC、∠BCF中任意两个角的角平分线，交点即为点； 2．尺规作出∠A、∠ABC、∠ACB中任意两个角的角平分线，交点即为点； 证明：点是∠A与∠BCF平分线的交点， 点到公路AE、AF、BC的距离相等； 点是∠A与∠ABC平分线的交点， 点到公路AE、AF、BC的距离相等； 点、点即为所求作的点 【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握和运用角平分线的作法及性质是解决本题的关键． 20． 如图，P点即为所作． 【分析】作线段的垂直平分线和的角平分线，则其交点即为点P． 【详解】略 【点睛】本题考查作图—线段的垂直平分线，作图—角平分线．掌握基本作图方法是解题关键． 21．（1）；（2）且 【分析】（1）用倍长中线模型，构造全等三角形，即可求出中线的取值范围； （2）用倍长中线模型，通过证明三角形的全等，可求出线段与的数量和位置关系． 【详解】解：（1）如下图，延长，使得，则， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，可得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴边上的中线的取值范围为：； （2）且，证明如下： 如下图，延长，使得，延长与交于点H， 由（1）可易证， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，且． 【点睛】本题考查三角形中线的定义、三角形全等的判定和性质，用倍长中线模型添加辅助线是解本题的关键，综合性较强，难度较大． 22．(1)， (2)发生了改变， (3) ． 证明如下：∵，于点于点， ∴， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等量代换，判断出是解本题的关键． （1）利用同角的余角相等判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； （3）同（1）的方法即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ∵于点于点， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：发生了改变，． 理由：∵，于点于点， ∴， ， 在和中， ， ， ， ． （3）略 23．(1)；；；； (2) 证明：如下图所示，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ，， 同理可证， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中， ． 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，第问关键是延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接． 先由证明，再利用证明即可； 延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质即可证明． 【详解】（1）解：在和中，， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， ，， 在和中，， ， 故答案为：；；；； （2）略 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $