2026-2027学年北师大版八年级数学上册期中培优测试（第1—4章）

八年级数学（北师大版）上学期期中培优测试 考查范围：第1—4章 （考试时间 120 分钟　　满分 120 分） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分。） 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在实数 ，，， 中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（　　） A．第二象限 B．第一象限 C．第三象限 D．第四象限 4．下列函数中，是关于 的一次函数的是（　　） A． B． C． D． 5．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．若一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则 ， 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．估计 的值在（　　） A． 到 之间 B． 到 之间 C． 到 之间 D． 到 之间 8．在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 9．已知一次函数 的图象经过点 ，且 随 的增大而减小，则关于 的不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点 、．点 在 轴上，且 为等腰三角形，则满足条件的点 的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 （第10题） 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分。） 11． 的平方根是 ＿＿＿＿． 12．以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积分别为 ，，（ 是斜边上正方形的面积）．若 ，，则 ＿＿＿＿． 13．若实数 ， 满足 ，则 的值是 ＿＿＿＿． 14．点 在第二象限，且点 到 轴的距离是到 轴距离的 倍，则 的值为 ＿＿＿＿． 15．函数 中，自变量 的取值范围是 ＿＿＿＿． 16．将点 先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到点 ，则点 的坐标为 ＿＿＿＿． 三、解答题（共 72 分。） 解答应写出必要的文字说明、公式和演算步骤。 17．（6分）计算：． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 ， 的三个顶点坐标分别为 ，，． （1）在网格中画出 ； （2）求 的面积． 19．（8分）已知一次函数 的图象经过点 ，且与正比例函数 的图象相交于点 ． （1）求 的值及一次函数的表达式； （2）若点 在该一次函数的图象上，求 的值及 的面积． 20．（8分）如图，在长方形 中，，．将长方形沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，折痕分别与 、 交于点 、．若点 为 的中点，求线段 的长． 21．（8分）某市为鼓励市民节约用水，实行阶梯水价制度：每月每户用水量不超过 时，按基础单价收费；超过 时，超出部分按较高单价收费．某户居民每月水费 （元）与用水量 （）之间的函数图象如图所示． （1）求 与 的函数表达式（写出 的取值范围）； （2）若该用户某月用水量为 ，求该月应缴纳的水费； （3）若该用户某月缴纳水费 元，求该月该用户的用水量． 22．（8分）如图，在数轴上，点 为原点，以数轴上表示 的点 为直角顶点，在数轴上方画直角 ，使 ，且 ．以原点 为圆心， 长为半径画弧，与数轴正半轴交于点 ． （1）求线段 的长； （2）写出点 所表示的实数； （3）若点 在数轴上表示的数为 ，求线段 的长． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点 ， 与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ． （1）求交点 的坐标； （2）求 的面积； （3）在直线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（10分）【问题情境】在平面直角坐标系中，对于任意两条直线 和 ，若 ，则称直线 与直线 互相垂直． 例如：直线 与直线 中，，故两直线互相垂直． 【尝试应用】 （1）若直线 与直线 互相垂直，则 ＿＿＿＿； （2）已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．求过点 且与直线 垂直的直线的函数表达式； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，设所求垂直直线为 ，若点 是直线 上一动点，点 是直线 上一动点，且 轴，当线段 的长为 时，求点 的坐标． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ． （1）求点 、 的坐标及线段 的长； （2）点 是线段 上一点，若 的面积为 ，求点 的坐标； （3）在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、选择题 1．D 2．C 3．A 4．D 5．B 6．A 7．B 8．D 9．C 10．A 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15． 且 16． 三、解答题 17．解：原式 （3分） （2分） （1分）． 18．解：（1）画出 如图所示（2分）． （2）用割补法求面积： 以边长为 的正方形包围 ， （2分） （1分） （1分）． 答： 的面积为 ． 19．解：（1）把 代入 ，得 （1分）， 所以点 的坐标为 （1分）． 把 和 代入 ，得 （1分） 解得 （1分）． 所以一次函数的表达式为 （1分）． （2）把 代入 ，得 ，解得 （1分）． 直线 与 轴交点为 ，则 （1分）． （1分）． 答： 的值为 ， 的面积为 ． 20．解：因为四边形 是长方形，所以 ，，． 因为点 是 的中点，所以 （1分）． 由折叠的性质可知 （1分）． 设 ，则 ，（1分）． 过点 作 于 （1分）， 则四边形 为长方形，所以 ，（1分）． 所以 （1分）． 在 Rt 中，由勾股定理得 ， 即 （1分）， 解得 （1分）． 答：线段 的长为（或 ）． 21．解：（1）当 时，设 ， 把 代入，得 ，解得 （1分）， 所以 （）（1分）． 当 时，设 ， 把 和 代入，得 （1分） 解得 （1分）． 所以 （）（1分）． 综上， （2）当 时，代入 得 （元）（1分）． 答：该月应缴纳水费 元． （3）因为 ，所以用水量超过 （1分）． 把 代入 ，得 （1分）， 解得 ． 答：该月该用户的用水量为 ． 22．解：（1）在 Rt 中，，，（1分）． 由勾股定理得 （2分）． 答：线段 的长为 ． （2）因为 ，且点 在数轴正半轴上（1分）， 所以点 所表示的实数为 （2分）． （3）因为点 表示的数是 ，点 表示的数是 （1分）， 所以 （1分）． 答：线段 的长为 ． 23．解：（1）联立方程组 （1分）， 解得 （1分）． 所以交点 的坐标为 （1分）． （2）对于直线 ，令 ，得 ，所以 ； 对于直线 ，令 ，得 ，所以 （1分）． 所以 ， （1分）． （3）存在（1分）． 设点 的坐标为 ． 因为 ， 由题意得 （1分）， 解得 ，所以 或 ． 当 时，，得 ；当 时，，得 （1分）． 答：存在点 ，其坐标为 或 ． 24．解：（1）（2分）． （2）对于直线 ，令 ，得 ，所以 （1分）． 设与直线 垂直的直线为 ． 因为 ，所以 ，解得 （1分）． 把 代入 ，得 ，解得 ． 所以所求直线的函数表达式为 （1分）． （3）设点 的横坐标为 ，则 （1分）． 因为 轴，所以 （1分）． 所以 （1分）． 由 得 ，即 （1分）， 解得 或 ，所以 ，（1分）． 答：点 的坐标为 或 ． 25．解：（1）令 ，得 ，所以 （1分）； 令 ，得 ，解得 ，所以 （1分）． 在 Rt 中，，， 由勾股定理得 （1分）． （2）设点 的横坐标为 ，则 （1分）． 以 为底，，点 到 轴的距离为 ， 所以 （1分）． 由 得 ，此时 ， 所以 （1分）． （3）存在（1分）． 设点 的坐标为 ，则 ． ① 若 ，则 ，解得 或 ． 当 时点 与点 重合，不能构成三角形，舍去，所以 （1分）． ② 若 ，则 ，解得 或 ， 所以 ，（1分）． ③ 若 ，则 ， 两边平方得 ，解得 ， 所以 （1分）． 答：存在，点 的坐标为 、、 或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $