专题28.2 中心对称（6大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题28.2 中心对称 知识点1：中心对称的定义 　　1.一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心，这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点。 　　2.中心对称是旋转角为180°的特殊的旋转。 　　3.对称中心可以在两个图形的外部、内部或边上。 知识点2：中心对称的性质 　　1.中心对称除了具有旋转的性质（旋转前后的图形全等），还具有特殊性质：成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分。 　　2.成中心对称的两个图形全等，对应角相等，对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等。 　　1.由"对称点所连线段经过对称中心并被平分"，可得OA=OA'、OB=OB'、OC=OC'。 　　2.对应线段平行且相等，可用于判断线段的位置与长度关系。 知识点3：中心对称作图 　　1.作已知图形关于某一点中心对称的图形的步骤：（1）确定关键点；（2）确定对称点（将关键点和对称中心连接并延长，在延长线上取对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等）；（3）连线（按照原图形将各对称点顺次连接）。 　　2.确定对称中心的方法：方法一，连接任意一对对称点，取这条线段的中点即为对称中心；方法二，连接任意两对对称点，这两条线段的交点即为对称中心。 　　1.找对称点是解决问题的关键，每一对对称点与对称中心都在同一条直线上。 　　2.作图时注意：关键点的对称点在延长线上，且到对称中心的距离与原关键点相等。 知识点4：中心对称图形的概念与性质 概念 中心对称 中心对称图形 对象 两个图形之间的关系 一个图形自身的性质 定义 一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合 一个图形绕某点旋转180°后与它自身重合 对称中心 两图形的公共对称点 图形自身的对称中心 　　1.中心对称图形的性质：（1）对称点的连线被对称中心平分；（2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分。 　　2.常见的中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、边数是偶数的正多边形、圆等。 　　3.常见的既是中心对称图形又是轴对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、圆、边数是偶数的正多边形等。 知识点5：关于原点对称的点的坐标 　　1.两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y)。 　　2.简记口诀："关于谁，谁不变，关于原点都改变。" 　　1.关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数。 　　2.已知关于原点对称求参数时，令横坐标、纵坐标分别互为相反数列方程求解。 知识点6：图案设计 　　1.一个基本图案可以通过平移、旋转、轴对称以及中心对称等方法变换出复合图案。 　　2.利用平移设计：确定基本图案，按一定方向平移一定距离连续作图；利用轴对称设计：利用轴对称性质变换对称轴；利用旋转设计：利用旋转三要素（中心、方向、角）变换。 　　1.设计图案时，可综合运用平移、轴对称、旋转（含中心对称）多种变换。 　　2.平移变换下对应线段平行且相等；轴对称变换下对应线段相等；旋转变换下对应线段相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。 【基础必考题型】 【题型1】中心对称图形的识别 1.核心知识点 　　中心对称图形的定义；常见中心对称图形。 2.解题方法技巧 　　（1）判断依据：图形绕某一点旋转180°后能否与它自身重合； 　　（2）记住常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、边数为偶数的正多边形等； （3）区分中心对称图形与轴对称图形（沿直线折叠重合）。 【例题1】.（26-27九年级上·云南德宏·阶段检测）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026九年级·广东·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026九年级·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A． B． C． D． 【题型2】判断成中心对称图形的对应关系 1.核心知识点 　　对称点、对应线段、对应角的配对。 2.解题方法技巧 　　（1）由中心对称的性质确定对应点、对应线段、对应角的配对关系； 　　（2）对称点所连线段经过对称中心且被平分，据此确定对称中心与对称点的位置； （3）注意对应线段平行且相等、对应角相等的性质。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形绕点O旋转与四边形重合，则四边形与四边形关于点O_______，点O叫作_______，点A和点_______是对称点． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论：①；②点A的对称点是点；③；④，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列图形中，线段与线段成中心对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点O成中心对称． (1)点A、点O和点_______在同一直线上； (2)_________， _________， _________； (3)_____________， __________． 【题型3】确定对称中心 1.核心知识点 　　对称中心的确定方法；对称点与对称中心共线。 2.解题方法技巧 　　（1）方法一：连接任意一对对称点，取线段的中点； 　　（2）方法二：连接任意两对对称点，两条线段的交点即为对称中心； （3）在平面直角坐标系中，可利用坐标关系求对称中心的坐标（两组对称点连线的中点或交点）。 【例题3】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【变式题3-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式题3-2】.（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是______． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列图形是中心对称图形吗？如果是，指出其对称中心． ①； ②； ③ 【培优高频题型】 【题型4】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1.核心知识点 　　中心对称前后图形全等；对称点被对称中心平分；对应线段平行且相等。 2.解题方法技巧 　　（1）由中心对称前后图形全等，得面积相等、周长相等、对应角相等； 　　（2）由对称点被对称中心平分，求线段长度（中点、等分）； （3）结合三角形、四边形性质求角度，注意对应线段平行且相等的关系。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是一个中心对称图形，点为对称中心，若，，，则的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式题4-1】.（25-26八年级下·湖南湘西·期中）在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，直线经过矩形的对角线的交点O，已知矩形的面积为20，，则的长为_______，四边形的面积为______________． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·山西晋城·期末）如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 【题型5】画已知图形关于某点的中心对称图形 1.核心知识点 　　中心对称作图的三步骤（找关键点、作对称点、连线）。 2.解题方法技巧 　　（1）确定原图形的关键点（顶点）； 　　（2）连接关键点与对称中心并延长，在延长线上截取相等距离得对称点； （3）按原图顺序连接各对称点，得到中心对称图形。 【例题5】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知和点O，作，使与关于点O成中心对称． 【变式题5-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知四边形和点P，画四边形，使四边形与四边形关于点P成中心对称． 【变式题5-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心，且补全． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，选择点O为对称中心，作出与关于点O对称的． 【题型6】在方格中补画图形使之成为中心对称图形 1.核心知识点 　　中心对称图形的性质；利用对称性补全图形。 2.解题方法技巧 　　（1）确定对称中心的位置，利用"对称点关于对称中心对称"补全对应部分； 　　（2）逐个检验补画后图形能否绕某点旋转180°与自身重合； （3）结合网格，找对称点的格点位置，不遗漏满足条件的方案。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）将图的小正方形放在图中①②③④的某一位置，使它与原来个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式题6-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）观察图（1）中各图的阴影部分构成的图案，这些图案具有怎样的对称性？它们的面积有什么共同特征？在图（2）中设计图案，使它也具备上述特征． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均为12个边长为1的小正方形组成的长方形，每个小正方形的边称为网格线．仅用无刻度的直尺，按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割的两部分关于这条实线成轴对称． (2)在图②中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割的两部分只是关于某一点成中心对称． (3)在图③中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割成面积相等的两部分，且这两部分不全等． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有__________种． 【题型7】关于原点对称的点的坐标 1.核心知识点 　　关于原点对称的点坐标规律：横纵坐标都互为相反数。 2.解题方法技巧 　　（1）点P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y)，横纵坐标都变号； 　　（2）注意区分关于x轴、y轴、原点对称的坐标变化规律； （3）结合距离、象限判断坐标符号。 【例题7】.（26-27九年级上·云南昆明·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出关于原点的中心对称图形，并直接写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后得到的，并直接写出的坐标． 【变式题7-1】.（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，的三个顶点分别为，，，（每个方格的边长均为个单位长度） (1)平移得到，其中内任意一点平移后的对应点 ，的坐标为 ； (2)若和关于原点成中心对称，画出，则 的坐标为 ． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·海南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于原点成中心对称的，并直接写出各顶点的坐标； (2)求的面积． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 【压轴素养题型】 【题型8】已知关于原点对称求参数 1.核心知识点 　　利用关于原点对称的坐标关系列方程求参数。 2.解题方法技巧 　　（1）由两点关于原点对称，令横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数； 　　（2）分别列方程，求出参数的值； （3）注意参数的正负及象限限制条件。 【例题8】.（26-27九年级上·天津·阶段检测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值是___________． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）已知点和点关于原点对称，则的值为_________． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，菱形的对角线的交点位于平面直角坐标系的坐标原点O，且点，点，则的值为_______． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点B的坐标为，求点关于y轴对称的点D的坐标． 【题型9】中心对称综合探究（跨学科与素养题） 1.核心知识点 　　中心对称与几何图形的综合；坐标与图形变换的综合；跨学科情境。 2.解题方法技巧 　　（1）借助中心对称把分散的条件集中，构造全等图形或平行四边形（对称点连线互相平分）； 　　（2）在平面直角坐标系中，结合关于原点对称的坐标规律与图形面积、周长求解； （3）跨学科（如新能源汽车车标、非遗纹样、钟面、计算机绘图）情境题，先抽象出中心对称模型再求解。 【例题9】.（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）综合探究 (1)如图1，在中，、交于点O，过点O的线段交于E，交于F， ①判断和的数量关系：____________________，并证明． ②______（填“＞”或“＝”或“＜”）． (2)如图2是一块“L”形的材料，请你作一条直线m，使得直线m两边的材料的面积相等（保留作图痕迹，不用证明）． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·江苏苏州·期末）主题学习：探究图形变换之间的联系． (1)如图，在方格纸中，大正方形的两条对角线与相交于点．请在图中画出三角形①关于直线对称的三角形②，再画出三角形②关于直线对称的三角形③； (2)三角形③能否由三角形①通过一次图形变换得到？若能，请写出变换的方式；若不能，请说明理由． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，将三角形纸片的一角沿折痕翻折，使得点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)用直尺和圆规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，探究与的数量关系，并说明理由： (3)设与关于点对称． ①在原图中用直尺和圆规作出（不写作法，保留作图痕迹）； ②若将连续经过两次图形变换能与重合，则以下变换一定可以实现的是（    ） A．第一次平移，第二次轴对称 B．第一次轴对称，第二次旋转 C．第一次旋转，第二次平移 【变式题9-3】.（25-26七年级下·江苏淮安·期末）【实践操作】小明是一名图案设计师，他常常利用图形的轴对称、平移和旋转来设计美丽的图案．小明以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线a和b，作线段关于直线a对称的线段，再作关于直线b对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点P、Q． 【问题探究】如图①，当直线a与直线b平行时 (1)可看作是沿着 方向平移而成的图形，平移的距离等于线段 的长度； (2)若，则 ； 【类比探究】如图②，当直线a与直线b相交于点O时 (3)可看作是绕着点 旋转而成的，与的数量关系为 ； (4)当直线a与直线b垂直时，与关于 成 对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明） 易错点 1、混淆中心对称与中心对称图形：前者是两个图形的关系，后者是一个图形的性质。 2、判断关于原点对称的点时，只变一个坐标符号，或与关于x轴、y轴对称混淆。 3、确定对称中心时，误把某个对称点当作对称中心，或用错对称点的配对。 4、作图时，在延长线上截取对称点时长度取错，未保证对称点到对称中心的距离相等。 5、混淆中心对称图形与轴对称图形，判断图形对称性时出错。 重点 1、掌握中心对称与中心对称图形的概念，会判断两个图形是否成中心对称、一个图形是否为中心对称图形。 2、掌握中心对称的性质（对称点所连线段经过对称中心并被平分），会作中心对称图形、确定对称中心。 3、掌握关于原点对称的点的坐标规律，会求对称点坐标及求参数。 难点 1、利用中心对称的性质求面积、长度、角度，并结合几何图形证明。 2、中心对称图形的规律探究（多次对称、周期性）。 3、中心对称与图案设计、跨学科情境的综合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 3．若点关于原点的对称点是，则的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 二、填空题 4．如图，在平面直角坐标系中，是经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标是________． 5．已知正方形与正方形，关于某点中心对称，若点A与对应点的坐标分别是，，则对称中心的坐标为_______． 6．下列图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______．（填序号）． 三、解答题 7．下列图形中，哪个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形？ 8．如图，点O是正方形的中心． (1)分别指出图中成中心对称的三角形； (2)图中哪些三角形可以由其他三角形旋转得到？指出其旋转角． 9．如图所示，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)写出点关于原点对称的点的坐标__________； (2)画出绕原点逆时针旋转90°得到的； (3)在（2）条件下求的面积． 10．如图，在中，O是边上一点，且，与关于点O中心对称，连接，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.2 中心对称 知识点1：中心对称的定义 　　1.一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心，这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点。 　　2.中心对称是旋转角为180°的特殊的旋转。 　　3.对称中心可以在两个图形的外部、内部或边上。 知识点2：中心对称的性质 　　1.中心对称除了具有旋转的性质（旋转前后的图形全等），还具有特殊性质：成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分。 　　2.成中心对称的两个图形全等，对应角相等，对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等。 　　1.由"对称点所连线段经过对称中心并被平分"，可得OA=OA'、OB=OB'、OC=OC'。 　　2.对应线段平行且相等，可用于判断线段的位置与长度关系。 知识点3：中心对称作图 　　1.作已知图形关于某一点中心对称的图形的步骤：（1）确定关键点；（2）确定对称点（将关键点和对称中心连接并延长，在延长线上取对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等）；（3）连线（按照原图形将各对称点顺次连接）。 　　2.确定对称中心的方法：方法一，连接任意一对对称点，取这条线段的中点即为对称中心；方法二，连接任意两对对称点，这两条线段的交点即为对称中心。 　　1.找对称点是解决问题的关键，每一对对称点与对称中心都在同一条直线上。 　　2.作图时注意：关键点的对称点在延长线上，且到对称中心的距离与原关键点相等。 知识点4：中心对称图形的概念与性质 概念 中心对称 中心对称图形 对象 两个图形之间的关系 一个图形自身的性质 定义 一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合 一个图形绕某点旋转180°后与它自身重合 对称中心 两图形的公共对称点 图形自身的对称中心 　　1.中心对称图形的性质：（1）对称点的连线被对称中心平分；（2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分。 　　2.常见的中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、边数是偶数的正多边形、圆等。 　　3.常见的既是中心对称图形又是轴对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、圆、边数是偶数的正多边形等。 知识点5：关于原点对称的点的坐标 　　1.两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y)。 　　2.简记口诀："关于谁，谁不变，关于原点都改变。" 　　1.关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数。 　　2.已知关于原点对称求参数时，令横坐标、纵坐标分别互为相反数列方程求解。 知识点6：图案设计 　　1.一个基本图案可以通过平移、旋转、轴对称以及中心对称等方法变换出复合图案。 　　2.利用平移设计：确定基本图案，按一定方向平移一定距离连续作图；利用轴对称设计：利用轴对称性质变换对称轴；利用旋转设计：利用旋转三要素（中心、方向、角）变换。 　　1.设计图案时，可综合运用平移、轴对称、旋转（含中心对称）多种变换。 　　2.平移变换下对应线段平行且相等；轴对称变换下对应线段相等；旋转变换下对应线段相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。 【基础必考题型】 【题型1】中心对称图形的识别 1.核心知识点 　　中心对称图形的定义；常见中心对称图形。 2.解题方法技巧 　　（1）判断依据：图形绕某一点旋转180°后能否与它自身重合； 　　（2）记住常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、边数为偶数的正多边形等； （3）区分中心对称图形与轴对称图形（沿直线折叠重合）。 【例题1】.（26-27九年级上·云南德宏·阶段检测）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转能够和原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、B、C中的图形绕中心旋转后均不能与原图形重合，不是中心对称图形；D中的图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形． 【变式题1-1】.（2026九年级·广东·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 【变式题1-2】.（2026九年级·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 【变式题1-3】.（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 【题型2】判断成中心对称图形的对应关系 1.核心知识点 　　对称点、对应线段、对应角的配对。 2.解题方法技巧 　　（1）由中心对称的性质确定对应点、对应线段、对应角的配对关系； 　　（2）对称点所连线段经过对称中心且被平分，据此确定对称中心与对称点的位置； （3）注意对应线段平行且相等、对应角相等的性质。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知四边形绕点O旋转与四边形重合，则四边形与四边形关于点O_______，点O叫作_______，点A和点_______是对称点． 【答案】 对称 对称中心 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 【详解】解：由中心对称的概念可知图形关于点对称； 点叫作对称中心； 点和点是对称点． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论：①；②点A的对称点是点；③；④，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】中心对称的两个图形全等，对应边、对应角都分别相等，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，，， ①②③④正确， 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列图形中，线段与线段成中心对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：由中心对称的定义得，线段与线段成中心对称的是选项A． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点O成中心对称． (1)点A、点O和点_______在同一直线上； (2)_________， _________， _________； (3)_____________， __________． 【答案】(1) (2)       (3)    【分析】（1）成中心对称的两个图形的对应点的连线都经过对称中心，据此可得答案； （2）（3）成中心对称的两个图形是全等图形，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A、点O和点在同一直线上； （2）解：∵与关于点O成中心对称， ∴； （3）解：∵与关于点O成中心对称， ∴． 【题型3】确定对称中心 1.核心知识点 　　对称中心的确定方法；对称点与对称中心共线。 2.解题方法技巧 　　（1）方法一：连接任意一对对称点，取线段的中点； 　　（2）方法二：连接任意两对对称点，两条线段的交点即为对称中心； （3）在平面直角坐标系中，可利用坐标关系求对称中心的坐标（两组对称点连线的中点或交点）。 【例题3】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． 【变式题3-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．连接，，根据交点的位置可得答案． 【详解】解：如图，连接，， 根据交点的位置可得：对称中心为， 故选：C． 【变式题3-2】.（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是______． 【答案】线段的中点 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段中点即为对称中心， 故答案为：线段中点． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列图形是中心对称图形吗？如果是，指出其对称中心． ①； ②； ③ 【答案】①禁止标志是中心对称图形，对称中心是该图形的圆心； ②三叶风扇不是中心对称图形； ③蜂巢图案是中心对称图形，对称中心是图形最中间正六边形的中心． 【分析】根据中心对称图形的定义即可求解，再找到其对称中心即可． 【详解】解：①禁止标志是中心对称图形，对称中心是该图形的圆心； ②三叶风扇不是中心对称图形； ③蜂巢图案是中心对称图形，对称中心是图形最中间正六边形的中心． 【培优高频题型】 【题型4】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1.核心知识点 　　中心对称前后图形全等；对称点被对称中心平分；对应线段平行且相等。 2.解题方法技巧 　　（1）由中心对称前后图形全等，得面积相等、周长相等、对应角相等； 　　（2）由对称点被对称中心平分，求线段长度（中点、等分）； （3）结合三角形、四边形性质求角度，注意对应线段平行且相等的关系。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是一个中心对称图形，点为对称中心，若，，，则的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由直角三角形的性质可得，再由中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵该图形是一个中心对称图形，点为对称中心， ∴是的中点， ∴． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·湖南湘西·期中）在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的中心对称性得到经过对角线交点的直线平分平行四边形面积，进而求出阴影部分的面积. 【详解】解：， 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心， 根据中心对称的性质：经过对称中心的直线，会把平行四边形分成完全全等（面积相等）的两部分，且关于对称中心对称的两个图形，面积一定相等， 本题中、、都经过对角线的交点（对称中心），因此每一块阴影区域，都存在一块和它关于对称中心中心对称的空白区域，二者面积相等； 由此可推：所有阴影部分的面积之和平行四边形面积的一半， . 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，直线经过矩形的对角线的交点O，已知矩形的面积为20，，则的长为_______，四边形的面积为______________． 【答案】 2 10 【分析】连接，由矩形的性质可得，，，证明得出，由题意可得，再结合梯形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵直线经过矩形的对角线的交点O， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形的面积为20， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·山西晋城·期末）如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 【答案】21 【分析】根据中心对称的性质可得，，，即可求出的周长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，，，， ∴，，， ∴． 【题型5】画已知图形关于某点的中心对称图形 1.核心知识点 　　中心对称作图的三步骤（找关键点、作对称点、连线）。 2.解题方法技巧 　　（1）确定原图形的关键点（顶点）； 　　（2）连接关键点与对称中心并延长，在延长线上截取相等距离得对称点； （3）按原图顺序连接各对称点，得到中心对称图形。 【例题5】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知和点O，作，使与关于点O成中心对称． 【答案】如图即为所求作的三角形： 【详解】根据中心对称的性质，分别作出点A，B，C关于点O成中心对称的对称点，顺次连接即可． 【解答】解：（1）连结并延长到，使，则点即点A关于点O成中心对称的对称点． （2）同理，作出点B，C的对称点，． （3）连结，，． 即为所求作的三角形． 【变式题5-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知四边形和点P，画四边形，使四边形与四边形关于点P成中心对称． 【答案】 【分析】延长到使，同样作出点，以及，从而得到四边形． 【详解】略 【变式题5-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心，且补全． 【答案】 【分析】连接、相交于点，连接并延长到点使，连接点、、得到即为所求． 【详解】略 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，选择点O为对称中心，作出与关于点O对称的． 【答案】如图，即为所求． 【分析】连接，延长至点，使，得到点关于点的对称点，连接，延长至点，使，得到点关于点的对称点，连接，延长至点，使，得到点关于点的对称点，依次连接，，，得到的就是关于点对称的三角形． 【详解】略 【题型6】在方格中补画图形使之成为中心对称图形 1.核心知识点 　　中心对称图形的性质；利用对称性补全图形。 2.解题方法技巧 　　（1）确定对称中心的位置，利用"对称点关于对称中心对称"补全对应部分； 　　（2）逐个检验补画后图形能否绕某点旋转180°与自身重合； （3）结合网格，找对称点的格点位置，不遗漏满足条件的方案。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）将图的小正方形放在图中①②③④的某一位置，使它与原来个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此即可得出答案． 【详解】解：根据图形可知，将图的小正方形放在图中③的位置，组成的图形是中心对称图形． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）观察图（1）中各图的阴影部分构成的图案，这些图案具有怎样的对称性？它们的面积有什么共同特征？在图（2）中设计图案，使它也具备上述特征． 【答案】（1）中的图案都是中心对称图形；每个图形中阴影部分的面积占大正方形面积的； 在图（2）中设计图案，如下图所示： 【分析】因为（1）中的图案绕红点旋转后都可以与原来的图形重合，所以（1）中的图案都是中心对称图形；根据大正方形的面积和阴影的面积可知每个图形中阴影部分的面积占大正方形面积的；在大正方形中涂出的阴影是中心对称图形且面积是大正方形的即可． 【详解】解：如下图所示：（1）中的图案绕红点旋转后都可以与原来的图形重合， （1）中的图案都是中心对称图形； 设网格中每个小正方形的边长为， （1）中大正方形的面积为，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积占大正方形面积的； （1）中第个图形中正方形的边长为， 图案的面积为，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积占大正方形面积的； （1）中第个图形阴影部分的面积为， 阴影部分的面积占大正方形面积的； 综上所述，每个图形中阴影部分的面积占大正方形面积的； 【变式题6-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均为12个边长为1的小正方形组成的长方形，每个小正方形的边称为网格线．仅用无刻度的直尺，按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割的两部分关于这条实线成轴对称． (2)在图②中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割的两部分只是关于某一点成中心对称． (3)在图③中沿网格线画一条实线，使该长方形被分割成面积相等的两部分，且这两部分不全等． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质找到对称轴，即可求解； （2）根据中心对称的性质作图，即可求解； （3）根据题意画出实线，分割成两部分，每部分的面积为，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式题6-3】.（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有__________种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 【题型7】关于原点对称的点的坐标 1.核心知识点 　　关于原点对称的点坐标规律：横纵坐标都互为相反数。 2.解题方法技巧 　　（1）点P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y)，横纵坐标都变号； 　　（2）注意区分关于x轴、y轴、原点对称的坐标变化规律； （3）结合距离、象限判断坐标符号。 【例题7】.（26-27九年级上·云南昆明·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出关于原点的中心对称图形，并直接写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后得到的，并直接写出的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)如上图，即为所求； 【分析】（1）作出点关于原点对称的点，再顺次连接即可，即可得到； （2）作出点绕原点O逆时针旋转后得到的，再顺次连接即可，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题7-1】.（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，的三个顶点分别为，，，（每个方格的边长均为个单位长度） (1)平移得到，其中内任意一点平移后的对应点 ，的坐标为 ； (2)若和关于原点成中心对称，画出，则 的坐标为 ． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)如图，即为所求， 【分析】（1）先确定平移方式，再利用平移变换的性质分别作出、、的对应点，再顺次连接即可得到，从而得出点的坐标； （2）利用中心对称变换的性质即可得出的坐标． 【详解】（1）解：点平移后的对应点 ， 平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度；图略； 向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到； （2）解：图略； 和关于原点成中心对称，， ． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·海南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于原点成中心对称的，并直接写出各顶点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求： ， ， ， (2) 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出坐标并画出图形； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】(1)解： 如图所示； (2) 如图所示，点坐标为． 【分析】（1）关于原点对称的两点横纵坐标分别互为相反数，分别求出点，，的坐标依次描点连线即可； （2）根据网格结构找出点、、分别绕点旋转后的对应点，，的位置，顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出的坐标． 【详解】（1）坐标关于原点对称 ，，，在坐标系中依次找到，连接，，； （2）略． 【压轴素养题型】 【题型8】已知关于原点对称求参数 1.核心知识点 　　利用关于原点对称的坐标关系列方程求参数。 2.解题方法技巧 　　（1）由两点关于原点对称，令横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数； 　　（2）分别列方程，求出参数的值； （3）注意参数的正负及象限限制条件。 【例题8】.（26-27九年级上·天津·阶段检测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值是___________． 【答案】4 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴， ． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）已知点和点关于原点对称，则的值为_________． 【答案】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此建立方程求解即可． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，解得． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，菱形的对角线的交点位于平面直角坐标系的坐标原点O，且点，点，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可知点D和点B关于点O中心对称，从而得点的坐标互为相反数，进而即可求解 【详解】解：∵在菱形中，点D和点B关于点O中心对称， ∴， ∴ 【变式题8-3】.（26-27九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点B的坐标为，求点关于y轴对称的点D的坐标． 【答案】点C关于y轴对称的点D的坐标为 【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案． 【详解】解：∵点关于原点对称的点B的坐标为， 解得 ∴点C的坐标为， ∴点C关于y轴对称的点D的坐标为． 【题型9】中心对称综合探究（跨学科与素养题） 1.核心知识点 　　中心对称与几何图形的综合；坐标与图形变换的综合；跨学科情境。 2.解题方法技巧 　　（1）借助中心对称把分散的条件集中，构造全等图形或平行四边形（对称点连线互相平分）； 　　（2）在平面直角坐标系中，结合关于原点对称的坐标规律与图形面积、周长求解； （3）跨学科（如新能源汽车车标、非遗纹样、钟面、计算机绘图）情境题，先抽象出中心对称模型再求解。 【例题9】.（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）综合探究 (1)如图1，在中，、交于点O，过点O的线段交于E，交于F， ①判断和的数量关系：____________________，并证明． ②______（填“＞”或“＝”或“＜”）． (2)如图2是一块“L”形的材料，请你作一条直线m，使得直线m两边的材料的面积相等（保留作图痕迹，不用证明）． 【答案】(1)①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ② (2)如图所示： 先找到两个矩形的中心，然后连接中心直线m即为所求 【分析】（1）①通过证明即可判断，的数量关系； ②利用平行四边形和全等三角形的性质得到，，然后利用等式的性质求解； （2）直接利用矩形的性质结合中心对称图形的性质得出答案． 【详解】（1）解：① ②∵在中， 又由①可知 ∴ ∴ 即； （2）略 【变式题9-1】.（25-26七年级下·江苏苏州·期末）主题学习：探究图形变换之间的联系． (1)如图，在方格纸中，大正方形的两条对角线与相交于点．请在图中画出三角形①关于直线对称的三角形②，再画出三角形②关于直线对称的三角形③； (2)三角形③能否由三角形①通过一次图形变换得到？若能，请写出变换的方式；若不能，请说明理由． 【答案】(1)解：如图所示，三角形②，③即为所求； (2)解：三角形③能由三角形①通过一次旋转变换所得到，且以点O为中心，逆时针旋转． 【分析】（1）根据轴对称作图的基本原理垂直等距作图，解答即可； （2）根据旋转的定义判断解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题9-2】.（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，将三角形纸片的一角沿折痕翻折，使得点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)用直尺和圆规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，探究与的数量关系，并说明理由： (3)设与关于点对称． ①在原图中用直尺和圆规作出（不写作法，保留作图痕迹）； ②若将连续经过两次图形变换能与重合，则以下变换一定可以实现的是（    ） A．第一次平移，第二次轴对称 B．第一次轴对称，第二次旋转 C．第一次旋转，第二次平移 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3) 作图见解析； C 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，交于点，即为所求； （2）由平行线的性质，结合翻折的性质，即可得与的数量关系； （3）以点为圆心，为半径作弧，交延长线于点，以点为圆心，为半径作弧，交延长线于点，连接，即为所求；以点为中心，将逆时针旋转，再沿着进行平移，即可得． 【详解】（1）解：分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点、，直线交于点，交于点，即为所求． （2）解：， 理由：∵， ∴， 由翻折可知， ∴． （3）解：以点为圆心，为半径作弧，交延长线于点，以点为圆心，为半径作弧，交延长线于点，连接，即为所求． 以点为中心，将逆时针旋转至，再沿着进行平移，即可得． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·江苏淮安·期末）【实践操作】小明是一名图案设计师，他常常利用图形的轴对称、平移和旋转来设计美丽的图案．小明以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线a和b，作线段关于直线a对称的线段，再作关于直线b对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点P、Q． 【问题探究】如图①，当直线a与直线b平行时 (1)可看作是沿着 方向平移而成的图形，平移的距离等于线段 的长度； (2)若，则 ； 【类比探究】如图②，当直线a与直线b相交于点O时 (3)可看作是绕着点 旋转而成的，与的数量关系为 ； (4)当直线a与直线b垂直时，与关于 成 对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1)射线； (2)8 (3)， (4)点；中心 (5)如图：以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线 【分析】（1）根据平移和轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质即可得证； （3）根据旋转和轴对称的性质求解即可； （4）画出符合题意的图形，然后根据中心对称的定义判断即可； （5）以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线,据此即可作出． 【详解】（1）解：当直线与直线平行时：可看作是沿着射线方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度； （2）解：根据题意得，，， ∴； （3）解：当直线与直线相交于点时：可看作是绕着点旋转而成的， 由对称可得，，， ∴， ∴与的数量关系为； （4）解：当直线与直线垂直时， 与的对称关系是关于点O成中心对称； （5）略 易错点 1、混淆中心对称与中心对称图形：前者是两个图形的关系，后者是一个图形的性质。 2、判断关于原点对称的点时，只变一个坐标符号，或与关于x轴、y轴对称混淆。 3、确定对称中心时，误把某个对称点当作对称中心，或用错对称点的配对。 4、作图时，在延长线上截取对称点时长度取错，未保证对称点到对称中心的距离相等。 5、混淆中心对称图形与轴对称图形，判断图形对称性时出错。 重点 1、掌握中心对称与中心对称图形的概念，会判断两个图形是否成中心对称、一个图形是否为中心对称图形。 2、掌握中心对称的性质（对称点所连线段经过对称中心并被平分），会作中心对称图形、确定对称中心。 3、掌握关于原点对称的点的坐标规律，会求对称点坐标及求参数。 难点 1、利用中心对称的性质求面积、长度、角度，并结合几何图形证明。 2、中心对称图形的规律探究（多次对称、周期性）。 3、中心对称与图案设计、跨学科情境的综合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内，将一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，这个图形叫做中心对称图形；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，该选项不符合题意； B、是中心对称图形，该选项符合题意； C、不是中心对称图形，该选项不符合题意； D、不是中心对称图形，该选项不符合题意． 2．如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立． 3．若点关于原点的对称点是，则的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数求得m、n，再代入加法运算即可解答． 【详解】解：点关于原点的对称点是， ∴,， ∴． 二、填空题 4．如图，在平面直角坐标系中，是经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标是________． 【答案】 【分析】先观察图形可知，是绕点O旋转后得到的图形，即它们关于原点成中心对称；再利用关于原点对称的点的坐标特征“N点坐标与M点坐标互为相反数”即可作答． 【详解】解：观察图形可知、、、、、， ∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称， ∴和关于原点对称． ∵和关于原点对称，与N是对称点， ∴N点坐标为：． 5．已知正方形与正方形，关于某点中心对称，若点A与对应点的坐标分别是，，则对称中心的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，对称中心是对应点连线的中点，代入对应点坐标计算中点即可得到结果． 【详解】解：∵两个正方形关于该点中心对称，与是一组对应点， ∴对称中心是线段的中点， ∴对称中心的横坐标为，对称中心的纵坐标为， ∴对称中心的坐标为． 6．下列图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______．（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】逐个判断四个图形的对称性，筛选出同时满足既是轴对称图形又是中心对称图形的序号即可． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，不符合要求； 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 因此符合要求的序号为②③④． 三、解答题 7．下列图形中，哪个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形？ 【答案】从左往右数的第一个图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形 【详解】解：第一个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 第二个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形． 综上所述，从左往右数的第一个图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 8．如图，点O是正方形的中心． (1)分别指出图中成中心对称的三角形； (2)图中哪些三角形可以由其他三角形旋转得到？指出其旋转角． 【答案】(1)图中成中心对称的三角形为与，与，与，与． (2)可以由旋转得到，旋转角是或，为； 可以由旋转得到，旋转角是或，为； 可以由旋转得到，旋转角是或，为． 可以由旋转得到，旋转角是或，为； 可以由旋转得到，旋转角是或，为； 可以由旋转得到，旋转角是或，为． 可以由旋转得到，旋转角是或，为； 可以由旋转得到，旋转角是或，为； 可以由旋转得到，旋转角是或，为． 可以由旋转得到，旋转角是或，为； 可以由旋转得到，旋转角是或，为； 可以由旋转得到，旋转角是或，为． 可以由旋转得到，旋转角是或，为； 可以由旋转得到，旋转角是，为； 可以由旋转得到，旋转角是或，为． 可以由旋转得到，旋转角是或，为； 可以由旋转得到，旋转角是或，为； 可以由旋转得到，旋转角是，为． 可以由旋转得到，旋转角是或，为； 可以由旋转得到，旋转角是，为； 可以由旋转得到，旋转角是或，为． 可以由旋转得到，旋转角是或，为； 可以由旋转得到，旋转角是，为； 可以由旋转得到，旋转角是或，为． 【分析】（1）根据中心对称图形的定义结合正方形的性质判断即可； （2），，，中的任意一个三角形都可以由另一个三角形旋转得到；，，，中的任意一个三角形都可以由另一个三角形旋转得到． 【详解】（1）解：∵点O是正方形的中心， ∴，，，，，， ∴，， ∴图中成中心对称的三角形为与，与，与，与． （2）略 9．如图所示，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)写出点关于原点对称的点的坐标__________； (2)画出绕原点逆时针旋转90°得到的； (3)在（2）条件下求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点的坐标的对称性（关于原点对称，横纵坐标改变，且为原来坐标的相反数）即可求出答案． （2）分别确定绕原点逆时针旋转的，和三点位置，顺次连接即可得到． （3）根据旋转的性质和已知条件确定等腰直角三角形，推出，利用勾股定理求出的长度，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， 点关于原点对称的点的坐标是． （2）解：①连接，将绕原点逆时针旋转即可得到，确定点位置， ②两点都在轴上，绕原点逆时针旋转，确定和的位置都在轴的负半轴上，且距离分别为6和1． ③将，和三点连线即可得到． （3）解：连接，如图所示， 由直角坐标系可知，， 逆时针旋转得到， 为等腰直角三角形， ． 10．如图，在中，O是边上一点，且，与关于点O中心对称，连接，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：与关于点O中心对称， ，，， ， 即， ，， ， 在和中， ， ． (2) 【分析】（1）根据与关于点O中心对称得到：，，，等角的补角相等，用证明，进而得到； （2）利用已知条件和第一问得到的结论，推导出，进而得到，设的边上的高为h，得到，列出四边形的面积表达式，代入求值即可． 【详解】（1）略 （2）解：是边上一点，且，与关于点O中心对称，由（1）得， ，， ， ． 设的边上的高为h， ， ， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $