专题27.2 反比例函数的图象和性质（5大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题27.2 反比例函数的图象和性质 知识点1：反比例函数的图象（描点法） 　　1.画反比例函数图象的步骤：列表（选取自变量若干值求对应函数值）→ 描点（以各组对应值为坐标在坐标系中描点）→ 连线（用平滑曲线顺次连接）。 　　2.反比例函数的图象由两条曲线组成，称为双曲线；图象不经过原点，且与x轴、y轴都没有交点（因为）。 　　3.反比例函数的图象既是中心对称图形（对称中心是原点O），又是轴对称图形（对称轴是直线和）。 知识点2：反比例函数的性质 k的符号 k>0 k<0 图象位置 位于第一、三象限 位于第二、四象限 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 图像 图象形状 由两条曲线组成，是双曲线，不经过原点，与坐标轴无交点 对称性 中心对称图形，对称中心是原点O；轴对称图形，对称轴是直线、 　　1.描述反比例函数的增减性时，必须指明“在每一个象限内”，不能跨象限笼统地说增减。 　　2.k的符号、双曲线位置、函数增减性三者相互依存，可由其一推知另外两个。 　　3.越大，双曲线离坐标原点越远（同一象限内比较k值大小时需结合象限判断）。 知识点3：比例系数k的几何意义 　　1.过反比例函数（k≠0）图象上任意一点P向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于。 　　2.连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴、y轴作垂线，得到的两个直角三角形面积都等于。 　　3.已知两条垂线与坐标轴围成图形的面积，可求出的值，再结合图象所在象限确定k的正负，进而确定函数解析式。 知识点4：反比例函数与一次函数图象的交点问题 　　1.与正比例函数交点：当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，无交点。 　　2.与一次函数交点：联立两函数表达式，转化为一元二次方程；判别式大于0有2个交点，等于0有1个交点，小于0没有交点。 　　3.观察图象解不等式或：联立求交点横坐标后，观察图象在上的函数值大、在下的函数值小，对应x的范围即为解集。 知识点5：用待定系数法求反比例函数解析式 　　1.设：设（k≠0）； 　　2.代：把图象上一点的坐标代入； 　　3.解：求出k； 　　4.写：写出解析式。 　　5.反比例函数图象上的点，横纵坐标之积等于k，故点在双曲线上等价于。 【基础必考题型】 【题型1】判断反比例函数图象所在象限 1.核心知识点 　　反比例函数图象位置与k的符号的关系；双曲线所在象限。 2.解题方法技巧 　　（1）由k的正负判断：k>0图象在一、三象限，k<0图象在二、四象限； 　　（2）先确定解析式中的比例系数k，再判断图象位置； （3）结合数轴或其他条件确定k的符号后作答。 【例题1】.（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】根据反比例函数比例系数的符号即可判断图象所在象限． 【详解】解：中，， ∴ 反比例函数的图象位于第二、第四象限． 【变式题1-1】.（2026·云南曲靖·二模）反比例函数的图象位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【详解】图像位于第二、四象限． 【变式题1-2】.（2026·云南楚雄·三模）已知a，b互为相反数，且，则反比例函数y=的图象所在的象限为（     ） A．第二、四象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第一、二象限 【答案】A 【分析】根据题意，得到a，b异号，进而得到，根据反比例函数的性质，即可得出结果. 【详解】解：∵a，b互为相反数，且， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限. 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）指出下列反比例函数的图象所在的象限． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)第一、第三象限 (2)第二、第四象限 (3)第二、第四象限 【分析】（1）根据，当时，图象分布在第一，第三象限，解答即可； （2）根据，当时，图象分布在第二，第四象限，解答即可； （3）根据，当时，图象分布在第二，第四象限，解答即可． 【详解】（1）解：中，， 故函数图象分布在第一，第三象限； （2）解：中，， 故函数图象分布在第二，第四象限； （3）解：中，， 故函数图象分布在第二，第四象限． 【题型2】根据图象或象限确定k的取值范围 1.核心知识点 　　由图象所在象限反推k的符号；求参数取值范围。 2.解题方法技巧 　　（1）图象在一、三象限则k>0，在二、四象限则k<0； 　　（2）结合解析式形式（如）解关于参数的不等式； （3）注意还需满足k≠0的条件。 【例题2】.（2026·云南普洱·二模）如果反比例函数（为常数，且）的图象分布在第二、四象限，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，根据反比例函数中的符号与图象所在象限的对应关系即可得出结果. 【详解】解：∵ 反比例函数 的图象分布在第二、四象限 ， ∴ 根据反比例函数的图象性质可得 ． 【变式题2-1】.（2026·湖北·中考真题）反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】对于反比例函数，当比例系数时，图象位于第一、第三象限，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、第三象限， ， 解得， ∴只要取大于的任意实数都符合条件，例如（答案不唯一）． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·甘肃天水·期中）如果反比例函数 的图象位于第一、三象限内，那么 的取值范围为 ________． 【答案】 【分析】反比例函数中，当比例系数时，函数图象位于第一、三象限，据此列出关于的不等式求解即可 【详解】解：已知反比例函数的图象位于第一、三象限， 根据反比例函数的性质可得比例系数大于，即 移项得 【变式题2-3】.（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知反比例函数的图象如图所示，的值可以是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象经过的象限，即可得出结论. 【详解】解：∵反比例函数的图象过一，三象限， ∴， ∴的值可以是. 【题型3】识别反比例函数图象（图象共存） 1.核心知识点 　　一次函数与反比例函数图象共存；根据解析式判断大致图象。 2.解题方法技巧 　　（1）分别由一次函数的斜率、截距与反比例函数的k判断各自图象位置； 　　（2）两个函数的k若有关联，则位置必须相互匹配（同号/异号一致）； （3）逐项比对四个选项，排除矛盾的组合。 【例题3】.（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，判断反比例函数图象所在象限，一次函数与反比例函数图象综合判断等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据，分、两种情况讨论，分别得出两个函数图象的大致位置，再作出判断． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，一次函数过第一、二、三象限， 反比例函数在第一、三象限，故A符合； 当时，一次函数过第二、三、四象限， 反比例函数在第二、四象限，没有选项符合， 故选：A． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意可得，再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：A ． 【变式题3-2】.（2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质．根据反比例函数的图象得出，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴与矛盾，故本选项不符合题意； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴，，， ∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式题3-3】.（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象得到，再判断一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ； 一次函数经过第一、二、四象限， 反比例函数图象在第一、三象限； 只有C选项同时符合两个函数的位置特点． 【题型4】判断反比例函数的增减性 1.核心知识点 　　反比例函数增减性与k符号的关系；“在每一个象限内”的前提。 2.解题方法技巧 　　（1）k>0在每个象限内y随x增大而减小，k<0在每个象限内y随x增大而增大； 　　（2）判断增减必须限定“在每一个象限内”，跨象限不能直接比较； （3）多项判断型逐项验证。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·单元复习）关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】先确定反比例函数的比例系数k，再结合其定义、性质及图象上点的坐标特征逐一判断． 【详解】解：∵， ∴该函数是反比例函数，其中，故A正确，不符合题意； ∴函数图象位于第二、四象限，且当时，随的增大而增大，故B、D正确，不符合题意； 将代入，得，故C错误，符合题意． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列函数在其图象所在的各象限内，哪些是y的值随x的值的增大而增大的？ （1）；（2）；（3）． 【答案】（3）满足函数在其图象所在的各象限内，是y的值随x的值的增大而增大的． 【详解】解：（1）对于函数， ∵该函数是反比例函数，且比例系数， ∴在其图象所在的每一象限内，随的增大而减小，不符合要求． （2）对于函数， ∵该函数是正比例函数，且比例系数， ∴随的增大而减小，不符合要求． （3）对于函数， ∵该函数是反比例函数，且比例系数， ∴在其图象所在的每一象限内，随的增大而增大，符合要求． 综上，符合条件的函数是（3）． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【详解】解：A、把代入，得，故图象不经过点，A错误； B、反比例函数中，，故图象位于第二、四象限，B错误； C、反比例函数中，，故当时，随的增大而增大，C错误； D、当时，图象位于第二象限，； ∵，在第二象限内随的增大而增大， ∴当时，取最大值，， ∴，D正确． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象如图所示，则k_____0；在每个象限内，y随x的增大而_____． 【答案】 增大 【分析】根据反比例函数性质求解即可． 【详解】解：∵图象在第二、四象限， ∴，在每个象限内，y随x的增大而增大． 【培优高频题型】 【题型5】根据增减性比较函数值或自变量大小 1.核心知识点 　　反比例函数增减性；利用增减性比较函数值或自变量的大小。 2.解题方法技巧 　　（1）先确定k的符号，明确在每个象限内的增减性； 　　（2）同一象限内按自变量大小结合增减性比较函数值，也可由函数值大小逆推自变量大小：k>0时y大则x小，k<0时y大则x大； （3）比较时注意点的横坐标是否同号，不同象限先看符号正负，避免跨象限误判。 【例题5】.（江苏淮安市部分学校2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题）已知点，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】把点的坐标代入函数解析式，求出，的值，进行比较即可． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ， ． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数解析式及，的正负，确定，的符号，再分析各选项，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数中，，， ∴，， ∴，故B选项正确，C选项错误， ∵与的大小关系不确定， ∴的符号不确定，故A、D选项不符合题意． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）已知点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：在中，， ∴此函数在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设反比例函数， ∵当时，， ， ∴函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴双曲线位于一，三象限，在每一个象限内，随着的值的增大而减小， ∵点、、在反比例函数的图象上，且， ∴，即. 【题型6】根据增减性求参数 1.核心知识点 　　由增减性反推k的取值范围；求参数。 2.解题方法技巧 　　（1）增减性已知时确定k的符号，据此列不等式求参数范围； 　　（2）结合已知函数值大小关系建立不等式求解； （3）注意参数还要满足使函数为反比例函数的条件（如指数为-1、k≠0）。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）对于反比例函数，在每一个象限内，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】 【分析】反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小，则比例系数大于0，由此可解． 【详解】解：在每一个象限内，y随x的增大而减小， ， ． 【变式题6-1】.（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的增减性和一元一次不等式的解法．由点，点的横坐标特点及已知条件可以判断两点分别位于第二、四象限，从而根据反比例函数的增减性推出比例系数小于，求得的取值范围． 【详解】解：点的横坐标为，点的横坐标为， ，在y轴的两侧， 又 ，点，点在上， 点，点分别位于第二、四象限， 根据反比例函数的增减性，的比例系数小于，即， 解得． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而增大，说明反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：反比例函数 中，比例系数， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即，解得 ． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 【题型7】利用k的几何意义求图形面积 1.核心知识点 　　k的几何意义；矩形、三角形面积与|k|的关系。 2.解题方法技巧 　　（1）过图象上一点作坐标轴垂线围成的矩形面积为，三角形面积为； 　　（2）多个反比例函数图象同框时，面积常等于两函数k的差或组合； （3）把所求图形面积转化为若干与k相关的矩形、三角形面积的和差。 【例题7】.（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·广东中山·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设与y轴交于点，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 轴， ， ∵点在上，点在上， ，， ． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】根据反比例函数中的几何意义分别求出的面积和的面积，根据坐标特征求出四边形的面积，结合图形计算即可． 【详解】解：如图，设交轴于，交轴于， ∵、两点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，点D为x轴负半轴上的一点，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 【题型8】根据图形面积求k的值 1.核心知识点 　　由面积反推k；结合象限确定k正负。 2.解题方法技巧 　　（1）由已知图形面积得，再据图象所在象限确定k的正负； 　　（2）多个k或含参数的k，联立面积关系建立方程求解； （3）注意区分与，最终结果要写正确符号。 【例题8】.（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， ， ， 【变式题8-1】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在函数的图象上任取一点，过点作轴的垂线交函数的图象于点，连接，，若的面积为，则的值为______________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，利用列关于的方程求解． 【详解】解：如图，与轴交于点， 点在的图象上，轴， ， 点在的图象上， ， 的面积为， ，即， ， 的图象在第二象限， ． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 【答案】 【分析】先根据求出的值，即可确定点的坐标，进而求出的值，再由求出的长，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题8-3】.（2026·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数 的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数 于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 【答案】 【分析】利用中心对称性质得出为中点，从而将的面积转化为的面积；再根据轴，将分割为 和 ，结合反比例函数的几何意义建立方程求解． 【详解】解：连接， 设交轴于点， ∵点与点关于原点对称， ∴为的中点，即， ∴， ∵， ∴ ， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴． 【题型9】反比例函数与一次函数交点及解不等式 1.核心知识点 　　两函数交点；联立方程求解；由图象解不等式。 2.解题方法技巧 　　（1）联立两函数解析式求交点坐标； 　　（2）观察图象，图象在上方则函数值大，确定x的取值范围即为不等式解集； （3）解集常为两段（交点在0两侧时注意x≠0）。 【例题9】.（26-27九年级上·全国·单元测试）若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 【答案】10 【分析】点是两个函数交点，因此坐标满足两个函数解析式，可得和的值，利用完全平方公式变形即可求出的值． 【详解】解：∵点是两个函数图象的交点， ∴点坐标满足两个函数解析式， ∴，即，同时，即， ∵， ∴代入，，得：． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】将交点分别代入两个函数解析式，得到和的值，将所求代数式通分后代入计算即可． 【详解】解：点是与的交点， 将代入，得，变形得， 将代入，得，变形得， ． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】（1）解：将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数解析式为； 将代入反比例函数解析式得， ∴， 将，代入一次函数得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据图象，不等式的解集为或． 【压轴素养题型】 【题型10】k的几何意义与阴影面积规律探究 1.核心知识点 　　k的几何意义综合；阴影面积与k的关系；规律探究。 2.解题方法技巧 　　（1）识别图形中每个小矩形、三角形面积与k的关系； 　　（2）阴影部分面积常为若干面积之和差，用k表示； （3）按规律作图时，先找第1、2项，再归纳一般项。 【例题10】.（25-26八年级下·上海黄浦·期末）如图，点、、、、在反比例函数的图象上，点、、、、在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，先求出交点，进而得出，，则是等腰直角三角形，得出，根据平行设直线的解析式为，求出，从而得出，利用坐标两点距离公式，得出，结合等腰直角三角形的性质，，同理可得，，，，……，则，即可得解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 联立，解得：或（舍）， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 在直线的图象上， ， 直线的解析式为， 联立，解得：或（舍）， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 同理可得，，，，…… ， ． 【变式题10-1】.（2025·河南平顶山·二模）如图，等腰三角形的底边均在轴负半轴上，且每个等腰三角形的底边长相等，顶点均在反比例函数的图象上，已知第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，依此类推，则第个等腰三角形顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，等腰三角形的性质，数字规律，由第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，则第个等腰三角形顶点的横坐标为，然后代入反比例函数即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意知，每个等腰三角形的底边长均为，且顶点在反比例函数的图象上， ∵第个等腰三角形顶点的横坐标为， 第个等腰三角形顶点的横坐标为， 第个等腰三角形顶点的横坐标为， ， ∴第个等腰三角形顶点的横坐标为， ∴第个等腰三角形顶点的纵坐标为， ∴第个等腰三角形顶点的坐标为， 故选：． 【变式题10-2】.（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【答案】 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、、……，记三角形①的直角顶点为，记三角形②的直角顶点为，记三角形③的直角顶点为，记三角形④的直角顶点为，……， 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 【变式题10-3】.（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的系数k的几何意义解答． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，轴于 ∴， 连接，， ， 同理， ∵ ， ∴， ， … ∴， ∴当时，． 【题型11】结合几何图形求反比例函数解析式 1.核心知识点 　　待定系数法；几何图形中的点坐标；对称、旋转、平行四边形等。 2.解题方法技巧 　　（1）利用几何性质（全等、对称、旋转、平行）求图象上点的坐标； 　　（2）把点坐标代入求k； （3）结合图形综合题常需分类讨论，注意解的多可能性。 【例题11】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 【答案】/ 【分析】过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点，先证明是等腰直角三角形，设，证明，求得，作轴于点，作轴于点，则四边形是矩形，再证明，求得，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点， ∵， ∴， ∵在中，， ∴与平行，，， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 作轴于点，作于点，则四边形是矩形，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵、在函数图象上， ∴，， ∵在函数图象上， ∴， ∴． 【变式题11-1】.（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据待定系数法得到，过点作轴于点，通过证明，得到，过点作轴于点，同理可证，继而得到，从而根据待定系数法得到． 【详解】解：将点代入反比例函数表达式， ，故①正确； 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，解得，故②，③正确； ，，，， 如图，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， ， 将点代入反比例函数表达式， ，故④正确． 【变式题11-2】.（25-26八年级下·福建漳州·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)当是等腰三角形时，的值为或 【分析】（1）由矩形的性质可得点的坐标为，结合平移可得点的坐标为，进一步求解即可； （2）表示平移个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为．可得，再进一步求解即可； （3）利用矩形的性质求解．当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，此时点与点重合，③当时，设，再进一步结合反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： 四边形是矩形，，， ∴，， 点的坐标为． 由平移得：点的坐标为． 把代入，得， 该双曲线的解析式为：． （2）解：平移个单位长度后，点的坐标为， 边平移后所在的直线为，， 点的坐标为． 点、在图象上， ， 解得：， 点的坐标为． （3）解：如图3，四边形是矩形， ． 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， 由平移可得：，． ． 点、在图象上， ． 解得． ②当时，此时点与点重合， ，． 点、在图象上， ， 解得． ③当时，设． 由平移可得，， ， ， 解得， ． 点、在图象上， ． 解得． ， 这与题意不符，舍去． 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 【变式题11-3】.（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数图像上，将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形，连接、，点在轴正半轴上． (1)如果，且，求点的坐标； (2)求证：点在直线上； (3)如果，求证：． 【答案】(1) (2)根据题意设点坐标为，点坐标为， ∵矩形， ∴坐标为，点坐标为， 设直线的函数表达式为，点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，， ∴点在直线上 (3)连接交于点， ∵矩形 ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）延长交x轴于点G，根据题意得出轴，轴，确定轴，再由等腰直角三角形的判定和性质得出，设点坐标为，它在反比例函数图像上，代入函数解析式求解即可； （2）根据题意设点坐标为，点坐标为，得出坐标为，点坐标为，设直线的函数表达式为，确定直线的函数表达式为，将点B代入即可判断； （3）连接交于点，根据矩形的性质得出，确定，，再由等边对等角得出，，利用三角形外角的性质及等量代换得出，再由平行线的性质结合图形即可证明． 【详解】（1）解：延长交x轴于点G，如图所示： ∵将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形， ∴轴，轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， 设点坐标为，它在反比例函数图像上， ∴， 解得（负数舍去）， ∴点的坐标为； （2）略． （3）略． 【题型12】反比例函数综合探究（存在性·动点·素养） 1.核心知识点 　　反比例函数与一次函数、几何图形综合；存在性、面积最值、规律探究。 2.解题方法技巧 　　（1）先求解析式，再结合几何性质建立方程或函数关系； 　　（2）存在性问题设未知量，利用全等、相似或距离条件列方程，注意分类讨论； 　　（3）动点、最值问题用函数或几何方法，结合图象判断合理取值。 【例题12】.（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于, 两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在第一象限线段下方的反比例函数图象上取一点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)； 【分析】(1)把点的坐标代入，即可求得点的坐标，再把点的坐标代入，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点的坐标； （2）设点（），过作轴的垂线，交于点，求出，表示的面积，由均值不等式求出代入即得点的坐标； （3）根据题意确定垂直平分，设直线与轴交于点，过点作轴于，设与轴交于点，连接，交于点，证得可得，在分别求出直线、、的解析式，根据位置关系可求，两点的坐标． 【详解】（1）解：已知一次函数的图象过， 则， 解得， 则， 反比例函数 的图象过， 则， 反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数的解析式可得： 解得， 所以点的坐标为 （2）设点（）， 过作轴的垂线，交于点， 则， 的面积： 对求最值， 由均值不等式：， 当且仅当即（）时取等号，此时最大， 代入， 得 （3）当垂直平分时，不存在符合条件的点； 当垂直平分时， 设直线与轴交于点，过点作轴于， 设与轴交于点，连接，交于点， ∵直线与轴交于点， ∴点， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立直线与反比例函数的解析式得： 解得，， ∴点， ∴直线的解析式为， ∵垂直平分， ∴可得直线的解析式为， 令 解得， ∴点， ∵点是的中点，点， ∴点； 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，二元二次方程组，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键． 【变式题12-1】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围； (3)直线上有一点，其横坐标为，在轴上作一点Q（不用尺规作图），使的值最小，求出点的坐标及的最小值为 （填空）． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或 (3) ，的最小值为 【分析】（1）用待定系数法求函数表达式，先把已知点代入反比例函数求值，再求出点坐标，最后把点和点坐标代入，求一次函数表达式； （2）函数值比较大小，当一次函数和反比例函数的自变量相同时，要求函数值，利用图像法观察可进行判断； （3）最短路径问题，作关于轴的对称点，把转化为，当，，三点共线时，最小 . 【详解】（1）解：∵ 反比例函数的图象过点， ∴，解得    ， ∴反比例函数解析式为； 将代入，则， ∴； 把，代入， ∴，解得， ∴一次函数解析式为； （2）∵点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上， 又∵， ∴， 即一次函数图象应在反比例函数图象上方， 用图像法观察可得，当时，的取值范围为：或； （3）∵点在直线上, 且横坐标为， ∴，即， ∵直线与轴交于点， ∴； ∵要在轴上作一点，使的值最小, ∴作关于轴的对称点， ∵轴是的垂直平分线，所以对于轴上任意一点，都有：， ∴， ∴当，，三点共线时，最小， 设直线，把和代入得： ，解得， ∴直线表达式为：， 令则，即； ∴， ∴点Q的坐标为；的最小值为． 【变式题12-2】.（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象交于点C，轴于点E，． (1)求k的值； (2)点F为x轴上一点（在点E的右侧），过点F作x轴的垂线，与一次函数图象交于点M，与反比例函数图象交于点N，若四边形为平行四边形，求的长； (3)在x轴的正半轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等，分类求解是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质可求出，得点坐标，从而求出的值； （2）由得，求出，从而可求出； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由可得， ，， ∴， ， 点， ； （2）解：四边形为平行四边形 ， 解得，（不合题意舍去） ； （3）①当时， ∴, 又， ∴，， ∴， ∴， ∴， ，即 ， ； ②当时， 又 ， ； 综上所述，点P的坐标为或． 【变式题12-3】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，为原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，交于点，连接．点的坐标为，且． (1)求的值； (2)求线段所在直线对应的函数解析式； (3)设是线段上的动点（不与点，重合），过点且平行于轴的直线与反比例函数的图象交于点，求使面积最大的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据题意得出，再根据中点坐标公式得出，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即横纵坐标之积等于，得到方程，解方程即可解答； （2）先得出，，再利用待定系数法即可解答； （3）先设，，再得出，进一步得出，最后利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：，，且垂直于轴， ． 是的中点， ． 点，都在反比例函数的图象上， ，， 即， 解得， ． （2）解：由（1）可知，， ， ，． 设线段所在直线对应的函数解析式为， 故将，代入得，， 解得， 线段所在直线对应的函数解析式为． （3）解：如图， 由（1）知，，即反比例函数解析式为， 由（2）知，线段所在直线对应的函数解析式为， 故设，则根据题意可得，． 由（2）知，，， ． 点在点的上方， ， ． ，开口向下，且， 当时，面积最大， 此时，， ． 易错点 1、描述增减性时漏掉“在每一个象限内”，跨象限直接说y随x增大而减小或增大。 2、比较函数值大小时，未先判断点的横坐标是否同号，跨象限比较出错。 3、利用k的几何意义时，把面积等于误记为等于k，或求k时忽略象限导致符号错误。 4、判断图象位置或求k时，忽略k≠0这一基本前提。 5、由图象解不等式时，漏掉交点横坐标及x≠0，导致解集不完整或错误。 重点 1、会用描点法画反比例函数图象，掌握图象的位置、增减性、对称性等性质。 2、掌握比例系数k的几何意义，能利用面积求k或由k求面积、解析式。 3、掌握反比例函数与一次函数交点及解不等式的方法，综合运用数形结合思想。 难点 1、比较大小、求参数时正确区分同象限与跨象限情形，灵活运用增减性。 2、k的几何意义与阴影面积、图形面积的综合计算，正确确定k的符号。 3、反比例函数与一次函数、几何图形的综合探究（存在性、最值、规律）中的分类讨论与方程建模。 【对应练习题】 一、单选题 1．关于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质依次判断各选项即可． 【详解】解：A选项，将代入，得，函数图象不过点，A错误； B选项，， 函数图象位于第二、四象限，B错误； C选项，当时，随的增大而增大，C错误； D选项，当时，，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ，D正确 ． 2．如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题由反比例函数解析式设、的坐标，再由矩形面积公式列出关于的方程来求解得到结果． 【详解】解：在矩形中，有，，， 在双曲线上， 设，其中． 且点在反比例函数第二象限的图象上， ，其中，． ． 矩形面积为， ,即，化简得，解得． 3．和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像，掌握一次函数和反比例函数图像与相关参数的关系是解题的关键． 分别根据各选项的一次函数和反比例函数图像确定m的取值范围，如果不存在矛盾，即符合题意． 【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，存在矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，不存在矛盾，符合题意； C．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意； D．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意． 故选B． 二、填空题 4．已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，即可计算出的值． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，）的图象经过点， ∴， 解得． 5．反比例函数的图象在第二、四象限，则点在第________象限． 【答案】 三 【分析】根据反比例函数图象所在象限确定比例系数的符号，求出的取值范围，再根据点的横纵坐标符号判断点所在象限. 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限， ， 解得， 点的横坐标，纵坐标， 点位于第三象限. 6．如图，是函数的图象上一点，过点作轴，交函数的图象于点，点在轴上，若的面积是，则的值是______． 【答案】 【分析】连接、，轴，点在轴上，利用平行线间的距离相等可得，再根据反比例函数系数的几何意义，利用建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接、，设交轴于点， ∵轴，点在轴上， ∴， 点、点到直线的距离相等， ， ， ， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且图象在第三象限， ，， 由图可知， ， 解得． 三、解答题 7．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点． (1)求，的值； (2)若是双曲线上一点，且与直线平行，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】（1）将点的坐标代入一次函数解析式中即可求得的值，将 代入反比例解析式中即可求得的值； （2）先根据题意求得直线的解析式，再设点的坐标为，（），然后将点代入，进一步得到方程，再解方程即可解答． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 点的坐标是． 又点在双曲线上， 将点代入，得， 解得． （2）解：由（1）可知，， 反比例函数的解析式为． 与直线平行， 直线的函数解析式为， 故设点的坐标为，（）． 又是双曲线上的一点， 将点代入，得， 两边同时乘（），得， 解得或， 当时，； 当时，， 即点的坐标为或． 8．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为， (2) 【分析】（1）先求出，，则，然后求出一次函数与轴的交点，则，再由三角形面积建立方程求解，再根据待定系数法求解函数表达式即可； （2）过点作直线的对称点，连接，则，那么当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后证明为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 9．如图，一次函数（，为常数，且）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求点的坐标及一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点； (4)在（3）中，求的面积． 【答案】(1)； (2)或． (3) (4) 【分析】（1）将点的纵坐标代入反比例函数解析式求出的值；用待定系数法将点和点的坐标分别代入一次函数解析式，求出和的值，即求得一次函数解析式； （2）根据图像，当时，反比例函数在一次函数图像上方，分别在点的左侧和点的右侧，根据两点的横坐标写出取值范围即可； （3）作点关于轴的对称点后，求出直线的解析式，进而求出点的坐标； （4）根据求解即可． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，得， ． 将点和代入一次函数，得 解得 一次函数的解析式为． （2）由图象知或． （3）如图，作点关于轴的对称点，交轴于点，连接，交轴于点， 则， 故 故当点共线时，值最小， ． 设直线的函数解析式为， 把，两点坐标代入，得 解得 故直线的函数解析式为． 令，则 解得，故点的坐标为． （4） 如图，连接． ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.2 反比例函数的图象和性质 知识点1：反比例函数的图象（描点法） 　　1.画反比例函数图象的步骤：列表（选取自变量若干值求对应函数值）→ 描点（以各组对应值为坐标在坐标系中描点）→ 连线（用平滑曲线顺次连接）。 　　2.反比例函数的图象由两条曲线组成，称为双曲线；图象不经过原点，且与x轴、y轴都没有交点（因为）。 　　3.反比例函数的图象既是中心对称图形（对称中心是原点O），又是轴对称图形（对称轴是直线和）。 知识点2：反比例函数的性质 k的符号 k>0 k<0 图象位置 位于第一、三象限 位于第二、四象限 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 图像 图象形状 由两条曲线组成，是双曲线，不经过原点，与坐标轴无交点 对称性 中心对称图形，对称中心是原点O；轴对称图形，对称轴是直线、 　　1.描述反比例函数的增减性时，必须指明“在每一个象限内”，不能跨象限笼统地说增减。 　　2.k的符号、双曲线位置、函数增减性三者相互依存，可由其一推知另外两个。 　　3.越大，双曲线离坐标原点越远（同一象限内比较k值大小时需结合象限判断）。 知识点3：比例系数k的几何意义 　　1.过反比例函数（k≠0）图象上任意一点P向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于。 　　2.连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴、y轴作垂线，得到的两个直角三角形面积都等于。 　　3.已知两条垂线与坐标轴围成图形的面积，可求出的值，再结合图象所在象限确定k的正负，进而确定函数解析式。 知识点4：反比例函数与一次函数图象的交点问题 　　1.与正比例函数交点：当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，无交点。 　　2.与一次函数交点：联立两函数表达式，转化为一元二次方程；判别式大于0有2个交点，等于0有1个交点，小于0没有交点。 　　3.观察图象解不等式或：联立求交点横坐标后，观察图象在上的函数值大、在下的函数值小，对应x的范围即为解集。 知识点5：用待定系数法求反比例函数解析式 　　1.设：设（k≠0）； 　　2.代：把图象上一点的坐标代入； 　　3.解：求出k； 　　4.写：写出解析式。 　　5.反比例函数图象上的点，横纵坐标之积等于k，故点在双曲线上等价于。 【基础必考题型】 【题型1】判断反比例函数图象所在象限 1.核心知识点 　　反比例函数图象位置与k的符号的关系；双曲线所在象限。 2.解题方法技巧 　　（1）由k的正负判断：k>0图象在一、三象限，k<0图象在二、四象限； 　　（2）先确定解析式中的比例系数k，再判断图象位置； （3）结合数轴或其他条件确定k的符号后作答。 【例题1】.（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【变式题1-1】.（2026·云南曲靖·二模）反比例函数的图象位于（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【变式题1-2】.（2026·云南楚雄·三模）已知a，b互为相反数，且，则反比例函数y=的图象所在的象限为（     ） A．第二、四象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第一、二象限 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）指出下列反比例函数的图象所在的象限． (1)； (2)； (3)． 【题型2】根据图象或象限确定k的取值范围 1.核心知识点 　　由图象所在象限反推k的符号；求参数取值范围。 2.解题方法技巧 　　（1）图象在一、三象限则k>0，在二、四象限则k<0； 　　（2）结合解析式形式（如）解关于参数的不等式； （3）注意还需满足k≠0的条件。 【例题2】.（2026·云南普洱·二模）如果反比例函数（为常数，且）的图象分布在第二、四象限，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2026·湖北·中考真题）反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·甘肃天水·期中）如果反比例函数 的图象位于第一、三象限内，那么 的取值范围为 ________． 【变式题2-3】.（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知反比例函数的图象如图所示，的值可以是（     ） A． B． C．0 D．1 【题型3】识别反比例函数图象（图象共存） 1.核心知识点 　　一次函数与反比例函数图象共存；根据解析式判断大致图象。 2.解题方法技巧 　　（1）分别由一次函数的斜率、截距与反比例函数的k判断各自图象位置； 　　（2）两个函数的k若有关联，则位置必须相互匹配（同号/异号一致）； （3）逐项比对四个选项，排除矛盾的组合。 【例题3】.（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型4】判断反比例函数的增减性 1.核心知识点 　　反比例函数增减性与k符号的关系；“在每一个象限内”的前提。 2.解题方法技巧 　　（1）k>0在每个象限内y随x增大而减小，k<0在每个象限内y随x增大而增大； 　　（2）判断增减必须限定“在每一个象限内”，跨象限不能直接比较； （3）多项判断型逐项验证。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·单元复习）关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列函数在其图象所在的各象限内，哪些是y的值随x的值的增大而增大的？ （1）；（2）；（3）． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象经过点 B．其图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象如图所示，则k_____0；在每个象限内，y随x的增大而_____． 【培优高频题型】 【题型5】根据增减性比较函数值或自变量大小 1.核心知识点 　　反比例函数增减性；利用增减性比较函数值或自变量的大小。 2.解题方法技巧 　　（1）先确定k的符号，明确在每个象限内的增减性； 　　（2）同一象限内按自变量大小结合增减性比较函数值，也可由函数值大小逆推自变量大小：k>0时y大则x小，k<0时y大则x大； （3）比较时注意点的横坐标是否同号，不同象限先看符号正负，避免跨象限误判。 【例题5】.（江苏淮安市部分学校2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题）已知点，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式题5-1】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）已知点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式题5-3】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 【题型6】根据增减性求参数 1.核心知识点 　　由增减性反推k的取值范围；求参数。 2.解题方法技巧 　　（1）增减性已知时确定k的符号，据此列不等式求参数范围； 　　（2）结合已知函数值大小关系建立不等式求解； （3）注意参数还要满足使函数为反比例函数的条件（如指数为-1、k≠0）。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）对于反比例函数，在每一个象限内，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【变式题6-1】.（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【题型7】利用k的几何意义求图形面积 1.核心知识点 　　k的几何意义；矩形、三角形面积与|k|的关系。 2.解题方法技巧 　　（1）过图象上一点作坐标轴垂线围成的矩形面积为，三角形面积为； 　　（2）多个反比例函数图象同框时，面积常等于两函数k的差或组合； （3）把所求图形面积转化为若干与k相关的矩形、三角形面积的和差。 【例题7】.（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式题7-1】.（26-27九年级上·广东中山·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 【变式题7-2】.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，点D为x轴负半轴上的一点，连接，则的面积为______． 【题型8】根据图形面积求k的值 1.核心知识点 　　由面积反推k；结合象限确定k正负。 2.解题方法技巧 　　（1）由已知图形面积得，再据图象所在象限确定k的正负； 　　（2）多个k或含参数的k，联立面积关系建立方程求解； （3）注意区分与，最终结果要写正确符号。 【例题8】.（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在函数的图象上任取一点，过点作轴的垂线交函数的图象于点，连接，，若的面积为，则的值为______________． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 【变式题8-3】.（2026·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数 的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数 于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 【题型9】反比例函数与一次函数交点及解不等式 1.核心知识点 　　两函数交点；联立方程求解；由图象解不等式。 2.解题方法技巧 　　（1）联立两函数解析式求交点坐标； 　　（2）观察图象，图象在上方则函数值大，确定x的取值范围即为不等式解集； （3）解集常为两段（交点在0两侧时注意x≠0）。 【例题9】.（26-27九年级上·全国·单元测试）若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．则代数式的值为________． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【压轴素养题型】 【题型10】k的几何意义与阴影面积规律探究 1.核心知识点 　　k的几何意义综合；阴影面积与k的关系；规律探究。 2.解题方法技巧 　　（1）识别图形中每个小矩形、三角形面积与k的关系； 　　（2）阴影部分面积常为若干面积之和差，用k表示； （3）按规律作图时，先找第1、2项，再归纳一般项。 【例题10】.（25-26八年级下·上海黄浦·期末）如图，点、、、、在反比例函数的图象上，点、、、、在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式题10-1】.（2025·河南平顶山·二模）如图，等腰三角形的底边均在轴负半轴上，且每个等腰三角形的底边长相等，顶点均在反比例函数的图象上，已知第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，依此类推，则第个等腰三角形顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式题10-2】.（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 【变式题10-3】.（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 【题型11】结合几何图形求反比例函数解析式 1.核心知识点 　　待定系数法；几何图形中的点坐标；对称、旋转、平行四边形等。 2.解题方法技巧 　　（1）利用几何性质（全等、对称、旋转、平行）求图象上点的坐标； 　　（2）把点坐标代入求k； （3）结合图形综合题常需分类讨论，注意解的多可能性。 【例题11】.（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 【变式题11-1】.（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为、，顶点在反比例函数（）上，顶点在反比例函数（）上．当点坐标为时，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式题11-2】.（25-26八年级下·福建漳州·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 【变式题11-3】.（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数图像上，将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形，连接、，点在轴正半轴上． (1)如果，且，求点的坐标； (2)求证：点在直线上； (3)如果，求证：． 【题型12】反比例函数综合探究（存在性·动点·素养） 1.核心知识点 　　反比例函数与一次函数、几何图形综合；存在性、面积最值、规律探究。 2.解题方法技巧 　　（1）先求解析式，再结合几何性质建立方程或函数关系； 　　（2）存在性问题设未知量，利用全等、相似或距离条件列方程，注意分类讨论； 　　（3）动点、最值问题用函数或几何方法，结合图象判断合理取值。 【例题12】.（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于, 两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在第一象限线段下方的反比例函数图象上取一点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标． 【变式题12-1】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围； (3)直线上有一点，其横坐标为，在轴上作一点Q（不用尺规作图），使的值最小，求出点的坐标及的最小值为 （填空）． 【变式题12-2】.（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象交于点C，轴于点E，． (1)求k的值； (2)点F为x轴上一点（在点E的右侧），过点F作x轴的垂线，与一次函数图象交于点M，与反比例函数图象交于点N，若四边形为平行四边形，求的长； (3)在x轴的正半轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，则说明理由． 【变式题12-3】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，为原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，交于点，连接．点的坐标为，且． (1)求的值； (2)求线段所在直线对应的函数解析式； (3)设是线段上的动点（不与点，重合），过点且平行于轴的直线与反比例函数的图象交于点，求使面积最大的点的坐标． 易错点 1、描述增减性时漏掉“在每一个象限内”，跨象限直接说y随x增大而减小或增大。 2、比较函数值大小时，未先判断点的横坐标是否同号，跨象限比较出错。 3、利用k的几何意义时，把面积等于误记为等于k，或求k时忽略象限导致符号错误。 4、判断图象位置或求k时，忽略k≠0这一基本前提。 5、由图象解不等式时，漏掉交点横坐标及x≠0，导致解集不完整或错误。 重点 1、会用描点法画反比例函数图象，掌握图象的位置、增减性、对称性等性质。 2、掌握比例系数k的几何意义，能利用面积求k或由k求面积、解析式。 3、掌握反比例函数与一次函数交点及解不等式的方法，综合运用数形结合思想。 难点 1、比较大小、求参数时正确区分同象限与跨象限情形，灵活运用增减性。 2、k的几何意义与阴影面积、图形面积的综合计算，正确确定k的符号。 3、反比例函数与一次函数、几何图形的综合探究（存在性、最值、规律）中的分类讨论与方程建模。 【对应练习题】 一、单选题 1．关于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 2．如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．和在同一坐标系内的图像可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，则的值为______． 5．反比例函数的图象在第二、四象限，则点在第________象限． 6．如图，是函数的图象上一点，过点作轴，交函数的图象于点，点在轴上，若的面积是，则的值是______． 三、解答题 7．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点． (1)求，的值； (2)若是双曲线上一点，且与直线平行，求点的坐标． 8．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 9．如图，一次函数（，为常数，且）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求点的坐标及一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点； (4)在（3）中，求的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $