2026--2027学年人教版八年级数学上册期中复习讲义

人教版（2024）八年级数学上册 · 期中复习（第十三章—第十五章） · 2026年秋季适用 人教版（2024）八年级上册数学期中复习讲义 人教版（2024）八年级数学上册 · 期中复习（第十三章—第十五章） 对标《义务教育数学课程标准（2022年版2025年修订）》 · 基础巩固—能力提升—综合应用三层进阶 含：综合与实践项目 · 月考加油站 · 上好复习课 · AI辅助学习 · 完整答案解析 项目 内容 复习范围 第十三章 三角形；第十四章 全等三角形；第十五章 轴对称 核心素养 几何直观、空间观念、推理能力、应用意识、模型观念 本阶段不涉及 整式的乘法（第十六章）、因式分解（第十七章）、分式（第十八章）及多边形内角和（八年级下册）相关内容；复习范围严格限定在前三章 课标对接 图形与几何领域“图形的性质”“图形的变化”板块；“综合与实践”领域按项目式学习设计（见第四部分） 建议用时 60分钟 难度配比 基础∶提升∶综合＝5∶3∶2（按分值） 期中知识导航 本学期期中前的知识主线，是平面几何学习的“承上启下”。第十三章从三角形的定义和基本要素出发，研究三角形的三边关系、内角与外角，认识三角形的高、中线与角平分线；第十四章在三角形基础上研究全等三角形及其性质，掌握SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法，学会用演绎推理证明线段相等、角相等；第十五章研究轴对称与等腰三角形，把“图形变换”与“性质推理”融为一体。其中，“推理证明”是贯穿三章的核心能力，“分类讨论”（等腰三角形按边、按角）与“数形结合”（坐标与对称）是重要的思想方法。 图1　八上期中（第十三章—第十五章）知识网络 知识清单速记 概念 要点 易错提醒 三角形 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形；有三条边、三个内角、三个顶点 三角形具有稳定性；四边形不具有稳定性 三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 判断能否组成三角形：只需看“最小两边之和＞最大边” 中线·角平分线·高 中线：顶点与对边中点的连线；角平分线：顶点到对边的角的平分线段；高：顶点到对边所在直线的垂线段 三条中线交于一点（重心）；钝角三角形有两条高在三角形外部 内角与外角 三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 直角三角形两锐角互余；外角大于任何一个与它不相邻的内角 全等三角形 能够完全重合的两个三角形是全等三角形；全等三角形对应边相等、对应角相等 表示全等时，把对应顶点写在对应位置上 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形可用HL SSA与AAA不能判定全等；SAS中的角必须是夹角 角平分线 角平分线上的点到角两边的距离相等；判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上 这里的“距离”是指垂线段的长度 轴对称 轴对称图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合；两个图形成轴对称可看作一个图形经过变换得到 对应点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴是直线 垂直平分线 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线；性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合 等腰三角形 性质：等边对等角；底边上的高、中线、顶角平分线三线合一。判定：等角对等边 三线合一仅指等腰三角形底边上的三条线段重合 等边三角形 三条边都相等，三个内角都等于60°；三个角都相等的三角形是等边三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质；等边三角形有三条对称轴；每条边上的中线、高与对角的平分线都互相重合（三线合一）；含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 等边三角形是等腰三角形的特例，解题时不要忘记它具有等腰三角形的一切性质 一、基础巩固（过关必会，每题5分，共50分） A1（选择·★）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　） A．1，2，3　B．2，3，4　C．3，4，8　D．5，6，12 A2（填空·★）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C＝（　）°。 A3（选择·★）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为（　） A．50°　B．80°　C．100°　D．130° A4（填空·★）已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠B＝60°，则∠F＝（　）°。 图2　全等三角形的对应顶点 A5（选择·★）下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（　） A．SSS　B．SAS　C．ASA　D．SSA A6（填空·★）在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长多3，且AB＝7，则AC＝（　）。 图3　三角形的中线 A7（选择·★）下列说法正确的是（　） A．面积相等的两个三角形全等 B．全等三角形的周长相等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应角不一定相等 A8（填空·★）点A(2，3)关于x轴对称的点的坐标是（　），关于y轴对称的点的坐标是（　）。 A9（选择·★）在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D。下列说法不正确的是（　） 图4　等腰三角形的三线合一 A．BD＝CD　B．∠BAD＝∠CAD　C．AD平分∠BAC　D．AD＝BC A10（填空·★）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，则AB＝（　）。 图5　含30°角的直角三角形 二、能力提升（方法进阶，每题5分，共30分） B1（解答·★★）已知三角形两边的长分别为2和5，第三边长为x，求x的取值范围。 B2（解答·★★）如图6，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度数。 图6　三角形的高与角平分线 B3（填空·★★）等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为（　）。 B4（解答·★★）已知：AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE。求证：BC＝DE。 图7　全等三角形的证明 B5（填空·★★）在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E，DE交AB于点D，AE＝4，△ABD的周长为12，则△ABC的周长为（　）。 图8　线段的垂直平分线 B6（解答·★★★）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E。若AB＝10，求△BDE的周长。 图9　角平分线的性质 三、综合应用（素养落地，每题5分，共20分） C1（应用·工程测距·跨学科工程·★★）要测量池塘两端A、B间的距离，在平地上取一点C，连接AC并延长至D，使CD＝CA；连接BC并延长至E，使CE＝CB，连接DE（如图10）。若测得DE＝28米，求A、B间的距离。 图10　利用全等三角形测距 C2（应用·建筑人字架·跨学科建筑·★★）某房屋屋顶人字架是一个等腰三角形ABC，立柱AD垂直于房梁BC（即AD⊥BC），垂足为D。已知AB＝AC＝6米，∠B＝30°，求立柱AD的长和∠BAC的度数。 图11　屋顶人字架示意图 C3（应用·最短路径·综合实践衔接·★★★）如图12，在一条笔直的公路l同侧有A、B两个村庄，现要在公路l上建一个供水站P，使PA＋PB最小，请在图中作出点P的位置，并说明理由。 图12　最短路径问题（将军饮马） C4（应用·等边三角形探究·★★★）在等边三角形ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且AE＝EB。求∠EBC的度数。 图13　等边三角形中的等腰三角形 四、综合与实践 · 项目式学习 项目内容 【项目名称】寻找“重心”——薄板重心探究 任务1　实验准备：用厚纸板剪出三角形、四边形与任意五边形各一块，标记各边中点与顶点。 任务2　理论探索：用尺规在三角形纸板上作出三条中线，验证三条中线交于一点（交点就是重心），并思考其依据。 任务3　动手实验：用“悬挂法”找重心——任取纸板边缘一点悬挂，过该点作竖直线；换一点再挂，两条竖直线的交点即为重心。用三角形纸板验证悬挂法与中线交点是否一致。 任务4　数据整理：列表比较两种方法的定位结果，估算误差，分析误差的主要来源（作图误差、悬挂点选择等）。 任务5　成果分享：小组汇报重心找法与结论，说说重心在日常生活中的应用实例。 课标对接：“综合与实践”领域重在解决实际问题、以跨学科主题学习为主，第四学段可采用项目式学习。本项目融合物理（重心、平衡）、数学（中线、推理验证）、信息科技（数据记录与误差分析），体现真实情境中的数学应用。 评价维度 分值 评价标准 实验准备 25 纸板形状规范、中点标记清晰 理论探索 25 三条中线作图正确且交于一点 实验操作 20 悬挂法操作规范、结果可信 数据分析 20 数据记录完整、误差分析合理 合作与反思 10 小组协作良好、有反思改进 延伸思考：三角形的重心把每条中线分成的两段有怎样的数量关系？动手量一量、算一算，验证你的猜想，并说说这个结论在生活中有哪些应用。 五、月考加油站 （一）本阶段复习清单（必会5条） 序号 过关标准 1 会判断三条线段能否组成三角形，掌握三边关系 2 会利用三角形内角和、外角性质求角度 3 会用SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定三角形全等，并会书写简单证明 4 掌握等腰、等边三角形的性质与判定，会用“三线合一” 5 理解轴对称与垂直平分线的性质，会画轴对称图形并求对称点坐标 （二）月考仿真小测（限时20分钟，满分80分，每题10分） M1（选择·★）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　） A．2，3，6　B．3，4，5　C．3，5，9　D．5，6，11 M2（填空·★）在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝45°，则∠C＝（　）°。 M3（选择·★）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，要判定△ABC≌△DEF，还需补充的条件是（　） A．AB＝DE　B．AC＝DE　C．BC＝DF　D．∠C＝∠F M4（填空·★）等腰三角形的一个外角为110°，则它的顶角为（　）°。 M5（选择·★）下列说法正确的是（　） A．两个全等三角形一定关于某条直线对称 B．等腰三角形是轴对称图形 C．等边三角形只有一条对称轴 D．正方形只有两条对称轴 M6（填空·★）点A(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为（　）。 M7（解答·★★）如图14，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，∠B＝50°，求∠BAD的度数。 图14　等腰三角形（三线合一） M8（解答·★★★）在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠BAD＝25°，求∠C的度数。 六、上好复习课 · 方法指引 复习指引 【复习方法】 1．画“图形决策图”：拿到几何题先识别考查板块——三边关系、内角和与外角、全等判定、轴对称或等腰三角形，再选择对应定理。 2．规范推理三步：先写“由……得……”（依据），再写“∴……”（结论），每一步证明都要有定理依据，不跳步。 3．全等判定口诀：先找对应边、对应角，再选判定方法（SAS要看夹角，HL只用于直角三角形）。 4．分类讨论意识：等腰三角形涉及“顶角/底角”“腰/底边”时，先分类再检验是否满足三边关系。 5．限时训练：月考仿真小测按20分钟限时完成，对照答案自评，记录丢分类型，考前再针对性巩固。 七、AI辅助学习 · 错题门诊 用AI工具辅助复习时，建议按“四步门诊法”操作，把AI当作“学习助手”而不是“答案机器”： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题发给AI对话工具，请它分析本题考查的知识点与易错点 不发送真实姓名、学校等隐私信息 2 变式 请AI出3道同类变式题（难度递进），独立完成后核对 先自己思考，再对照答案 3 核查 把AI的解析当作“小老师”，用课本定理逐条检验（如全等判定、三线合一） 发现疑点及时请教老师 4 归档 把错题与变式整理进错题本，标注对应知识点 AI答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 八、易错辨析（丢分点清零） 易错点 错例与反例 正确理解 三边关系 判断时只检验“两边之和大于第三边”中的一组 任意两边之和大于第三边；只需“最小两边之和＞最大边”即可 全等判定 用“SSA”或“AAA”判定两个三角形全等 判定全等只用SSS、SAS、ASA、AAS（Rt△用HL）；SSA与AAA都不是判定定理 对应关系 写△ABC≌△DEF时随意对应顶点 对应顶点写在对应位置：∠A↔∠D、∠B↔∠E、∠C↔∠F，AB↔DE…… 等腰分类 已知等腰三角形一个角，不加分类讨论 分“顶角/底角”两类讨论，求出角度或边长后还用三边关系检验 轴对称概念 把“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”混为一谈 轴对称图形是一个图形自身的性质；成轴对称是两个图形之间的位置关系 三线合一 认为任意三角形的角平分线、中线、高都重合 只有等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线重合（三线合一） 九、参考答案与解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验；解析中给出关键步骤与错误原因，帮助自评自纠。 （一）基础巩固 A1　B。解析：2＋3＞4，能组成三角形；A中1＋2＝3，C中3＋4＜8，D中5＋6＜12，均不能组成三角形。 A2　60。解析：三角形内角和为180°，∠C＝180°－50°－70°＝60°。 A3　B。解析：两底角相等，顶角＝180°－50°×2＝80°。 A4　80。解析：按对应顶点的顺序书写，∠F的对应角是∠C；∠C＝180°－40°－60°＝80°。 A5　D。解析：SSA不能判定两个三角形全等（两边及其中一边的对角）。 A6　4。解析：AD是中线，则BD＝DC；△ABD与△ACD有公共边AD，所以周长差＝AB－AC＝3，AC＝7－3＝4。 A7　B。解析：全等三角形能够完全重合，周长、面积都相等；A、C不一定成立；全等三角形对应角相等，D错误。 A8　(2，－3)；(－2，3)。解析：关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变为相反数。 A9　D。解析：AB＝AC且AD⊥BC，由三线合一得BD＝CD、∠BAD＝∠CAD、AD平分∠BAC，A、B、C都正确；AD与BC一般不等，D错误。 A10　8。解析：含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，BC＝，所以AB＝2BC＝8。 （二）能力提升 B1　3＜x＜7。解析：由三边关系得5－2＜x＜5＋2，即3＜x＜7。 评分要点：正确列出两边之和大于第三边得2分，两边之差小于第三边得2分，写出取值范围得1分；共5分。 B2　15°。解析：∠BAC＝180°－40°－70°＝70°；AE平分∠BAC，∠BAE＝35°；AD是高，∠BAD＝90°－∠B＝50°；∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝50°－35°＝15°。 评分要点：求出∠BAC＝70°得1分，∠BAE＝35°得1分，∠BAD＝50°得2分，得出∠DAE＝15°得1分；共5分。 B3　15。解析：若腰为3，则3＋3＝6，不满足三边关系，舍去；若腰为6，则周长为6＋6＋3＝15。 B4　证明：在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，所以△ABC≌△ADE（SAS），所以BC＝DE（全等三角形对应边相等）。 评分要点：写出三组对应相等的条件得2分，指明判定方法（SAS）得1分，由全等得出对应边相等得2分；共5分。 B5　20。解析：DE垂直平分AC，则AD＝CD，AE＝EC＝4；△ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝12；△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝AB＋BD＋CD＋AE＋EC＝12＋4＋4＝20。 B6　10。解析：AD平分∠BAC，DE⊥AB、∠C＝90°，由角平分线性质得CD＝DE；又AC＝BC。可证△ACD≌△AED（AAS或HL），得AC＝AE；△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋CD＋BE＝BC＋BE＝AC＋(AB－AE)＝AC＋AB－AC＝AB＝10。 评分要点：由角平分线的性质得CD＝DE得2分，证明△ACD≌△AED得2分，周长转化求出结果得1分；共5分。 （三）综合应用 C1　AB＝28米。解析：CD＝CA，CE＝CB，∠ACB＝∠DCE（对顶角相等），所以△ABC≌△DEC（SAS），AB＝DE＝28（米）。 评分要点：正确写出全等判定条件3分，得出结论2分；共5分。 C2　AD＝3米，∠BAC＝120°。解析：AB＝AC，AD⊥BC，由三线合一得AD平分∠BAC且D为BC的中点；∠B＝∠C＝30°，所以∠BAC＝180°－30°×2＝120°；在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2AD，所以AD＝3（米）。 评分要点：求出∠BAC＝120°得2分，由含30°角的直角三角形的性质求出AD＝3米得3分；共5分。 C3　作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，AB′与l的交点即为点P（图12）。理由：设l上任意一点P′，由轴对称性质得P′B＝P′B′，所以P′A＋P′B＝P′A＋P′B′≥AB′（两点之间线段最短），当且仅当A、P′、B′共线时取等号，故取AB′与l的交点为P，PA＋PB最小。 评分要点：作出对称点与交点2分，说理3分；共5分。 C4　30°。解析：等边三角形ABC中，AD是BC边上的中线，由三线合一得AD平分∠BAC且AD⊥BC，所以∠BAD＝30°；AE＝EB，所以∠ABE＝∠BAE＝30°；∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－30°＝30°。 评分要点：正确求出∠BAE＝30°2分，求出∠EBC＝30°3分；共5分。 （四）月考仿真小测 M1　B。解析：3＋4＞5，能组成三角形；A中2＋3＜6，C中3＋5＜9，D中5＋6＝11，均不能组成。 M2　70。解析：∠C＝180°－65°－45°＝70°。 M3　A。解析：∠A＝∠D、∠B＝∠E、AB＝DE，两角及其夹边对应相等，由ASA判定全等；B、C的对应关系不对应，D中∠C＝∠F是必然成立的，补充后仍缺少边条件。 M4　40或70。解析：外角110°，对应的内角为70°。若70°是顶角，则顶角为70°；若70°是底角，则顶角＝180°－70°×2＝40°。 M5　B。解析：等腰三角形是轴对称图形，B正确；A中两个全等三角形不一定成轴对称；C中等边三角形有3条对称轴；D中正方形有4条对称轴。 M6　(－3，－2)。解析：关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变为相反数。 M7　40°。解析：AB＝AC，D是BC中点，由三线合一得AD⊥BC且AD平分∠BAC；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－∠B＝90°－50°＝40°。 评分要点：说明三线合一得AD⊥BC得5分，求出∠BAD＝40°得5分；共10分。 M8　65°。解析：AB＝AC，AD是BC边上的中线，由三线合一得AD⊥BC，∠ADB＝90°；∠B＝90°－∠BAD＝65°；AB＝AC，所以∠C＝∠B＝65°。 评分要点：由三线合一得AD⊥BC得4分，求出∠B＝65°得3分，得出∠C＝65°得3分；共10分。 说明：本讲义题目，配图为自绘示意图，情境数据（测距、房梁角度等）为示例性约值；对标《义务教育数学课程标准（2022年版2025年修订）》编写，可在教学与组卷中合理使用。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $