专题02 三角形的内角与外角 期中复习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题02三角形的内角与外角期中复习讲义 1.掌握三角形内角和定理，能运用定理求三角形内角度数，理解内角和定理的证明思路。 2.掌握直角三角形两锐角互余的性质，以及它的逆判定，能快速判断直角三角形。 3.理解三角形外角的定义，熟记外角性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角大于任意一个不相邻内角。 4.会综合内角、外角性质，在复杂图形中求角度，能识别 “飞镖”“8 字形” 基础角度模型。 5.规范几何推理书写，能写出简单角度计算的推理过程。 6.分清易错点：注意外角对应的不相邻内角，避免直接套用相邻角；多个角求解时，优先标注图形，防止漏解。 7.能够结合三角形分类、三角形线段等旧知识进行角度综合计算。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形内角和定理的证明 ★★ 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 ★★ 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 ★★★ 题型四 三角形折叠中的角度问题 ★★★ 题型五 三角形内角和定理的应用 ★★ 题型六 直角三角形的两个锐角互余 ★ 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 ★ 题型八 三角形的外角的定义及性质 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3.三角形内角取值规律 (1)任意三角形最多 1 个直角、最多 1 个钝角； (2)最少有两个锐角； (3)三个角都小于 90为锐角三角形；一个角等于 90 为直角三角形；一个角大于 90为钝角三角形。 知识点02:直角三角形的性质（必背） 1. 角的性质：两锐角互余 在 Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ ∠A + ∠B = 90°。 2. 边的性质：勾股定理（核心） 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号：Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ a² + b² = c²。 变形： 求斜边：c=​ 求直角边：​；b=​； 3. 特殊线段性质 斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。. 符号：CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线 ⇒ CD = AB。 30° 角性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 符号：Rt△ABC 中，∠C=30° ⇒ AB= BC。 知识点03:直角三角形的判定（必考） 1. 按角判定 有一个角是 90° 的三角形是直角三角形。 有两个角互余的三角形是直角三角形（∠A+∠B=90° ⇒ ∠C=90°）。 2. 按边判定（勾股定理逆定理） 内容：若三角形三边长 a、b、c 满足a² + b² = c²，则这个三角形是直角三角形，且 c 为斜边。 注意：先找最长边，再验证平方和。 3. 中线判定 若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形（中线= 边长 ⇒ 直角三角形）。 在△ABC 中，若 D 为 AB 的中点，且 CD=AB，则∠ACB = 90°，△ABC 为直角三角形。 知识点04:三角形的外角 1.外角定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 (1)每个顶点对应 2 个相等外角，一个三角形共 6 个外角； (2)一个外角与相邻内角互为邻补角，和为 180。 2.数量：每个顶点可作 2 个外角，整图共 6 个外角，同顶点的两个外角相等；日常解题一般取每个顶点 1 个外角，共 3 个。 关系：外角和它相邻的内角互为邻补角，二者相加等于180。 3.外角解题优势 遇到求 “飞镖模型、八字模型、折叠角度” 时，用外角性质可省去多次内角和计算，简化推理步骤。 知识点05:常见几何角度模型（拓展必考） 1.八字模型：对顶三角形，两组不相邻内角之和相等； 2.飞镖（凹四边形）模型：凹处外角 = 三个分散内角相加； 3.折叠模型：折叠前后对应角相等，结合内角和、外角建立等量关系； 4.平行线 + 三角形：结合同位角、内错角、同旁内角进行角度转化。 知识点06:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 外角概念 把三角形内部角当成外角 外角必须是一边 + 另一边延长线构成，在三角形外部 区分相邻内角、不相邻内角 外角性质误用 外角等于所有内角和 外角只等于不相邻两个内角之和 做题圈出 “不相邻” 内角 直角三角形判定 只看见直角才判定直角三角形 两角互余也可直接判定直角三角形 两种判定方法灵活选用 角度计算 忽略方程思想，口算出错 比例、倍分类角度设未知数，用内角和列方程 含比例题型优先设 x 求解 模型混淆 飞镖、八字模型乱用结论 先推导再使用，不直接套用模型跳过推理 大题需写出推导依据 题型一：三角形内角和定理的证明 1．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    2．在中，，按图中虚线将剪去后，等于（    ）． A． B． C． D． 3．定理：三角形的内角和等于． 已知：的三个内角为，，． 求证：． 证法1 证法2 如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 如图2，过点作，∵， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理 B．证法1用合理的推理证明了该定理 C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整 D．证法2用严谨的推理证明了该定理 题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 4．如图所示为一辆婴儿车的平面示意图，其中，，，则______． 5．已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．小华将一副三角板（和）按如图所示的方式摆放，其中，，，，则的度数为_____． 题型三：与角平分线有关的三角形内角和问题 7．如图，在中，，，是角平分线，则___________度 8．如图，与分别是的高和角平分线．若，，则________． 9．如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（    ） A． B． C． D． 题型四：三角形折叠中的角度问题 10．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则______． 11．如图，把纸片沿折叠，点A落在四边形内部，当时，则_________ 12．题目：“如图，在中，，将沿折叠得到，若与的边平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（　　）    A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 题型五：三角形内角和定理的应用 13．如图，在中，，，则的度数为______． 14．如图，一艘渔船在处测得灯塔在北偏东的方向，另一艘货轮在处测得灯塔在北偏东的方向，那么在灯塔处观看和处时的视角______． 15．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． 题型六：直角三角形的两个锐角互余 16．在中，，则___________，___________，是___________三角形． 17．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 18．如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是___________． 题型七：锐角互余的三角形是直角三角形 19．在中，不能确定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 20．在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 21．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 题型八：三角形的外角的定义及性质 22．如图，________． 23．如图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 24．如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 25．如图中，，延长到，与的平分线相交于点与的平分线相交于点2，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A．19.2° B．8° C．6° D．3° 解答题 26．如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 27．已知，如图1，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，，．    (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，点在线段上，点在线段上，连接，若，，，，，求三角形的面积． 28．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 29．如果两个角的差等于，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，，且和互补，求的度数； (2)在中，，是角平分线． ①如图，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数． ②如图，过点作的平行线，射线平分，且与射线交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数． 30．解答以下问题 (1)如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则___________； (2)如图2，在中，，剪去后成为四边形，则___________； (3)若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 31．【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． (1)如图①，在中，平分，平分，若，则________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________ ； 【继续探索】 (2)如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02三角形的内角与外角期中复习讲义 1.掌握三角形内角和定理，能运用定理求三角形内角度数，理解内角和定理的证明思路。 2.掌握直角三角形两锐角互余的性质，以及它的逆判定，能快速判断直角三角形。 3.理解三角形外角的定义，熟记外角性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角大于任意一个不相邻内角。 4.会综合内角、外角性质，在复杂图形中求角度，能识别 “飞镖”“8 字形” 基础角度模型。 5.规范几何推理书写，能写出简单角度计算的推理过程。 6.分清易错点：注意外角对应的不相邻内角，避免直接套用相邻角；多个角求解时，优先标注图形，防止漏解。 7.能够结合三角形分类、三角形线段等旧知识进行角度综合计算。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形内角和定理的证明 ★★ 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 ★★ 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 ★★★ 题型四 三角形折叠中的角度问题 ★★★ 题型五 三角形内角和定理的应用 ★★ 题型六 直角三角形的两个锐角互余 ★ 题型七 锐角互余的三角形是直角三角形 ★ 题型八 三角形的外角的定义及性质 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 3.三角形内角取值规律 (1)任意三角形最多 1 个直角、最多 1 个钝角； (2)最少有两个锐角； (3)三个角都小于 90为锐角三角形；一个角等于 90 为直角三角形；一个角大于 90为钝角三角形。 知识点02:直角三角形的性质（必背） 1. 角的性质：两锐角互余 在 Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ ∠A + ∠B = 90°。 2. 边的性质：勾股定理（核心） 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号：Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ a² + b² = c²。 变形： 求斜边：c=​ 求直角边：​；b=​； 3. 特殊线段性质 斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。. 符号：CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线 ⇒ CD = AB。 30° 角性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 符号：Rt△ABC 中，∠C=30° ⇒ AB= BC。 知识点03:直角三角形的判定（必考） 1. 按角判定 有一个角是 90° 的三角形是直角三角形。 有两个角互余的三角形是直角三角形（∠A+∠B=90° ⇒ ∠C=90°）。 2. 按边判定（勾股定理逆定理） 内容：若三角形三边长 a、b、c 满足a² + b² = c²，则这个三角形是直角三角形，且 c 为斜边。 注意：先找最长边，再验证平方和。 3. 中线判定 若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形（中线= 边长 ⇒ 直角三角形）。 在△ABC 中，若 D 为 AB 的中点，且 CD=AB，则∠ACB = 90°，△ABC 为直角三角形。 知识点04:三角形的外角 1.外角定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 (1)每个顶点对应 2 个相等外角，一个三角形共 6 个外角； (2)一个外角与相邻内角互为邻补角，和为 180。 2.数量：每个顶点可作 2 个外角，整图共 6 个外角，同顶点的两个外角相等；日常解题一般取每个顶点 1 个外角，共 3 个。 关系：外角和它相邻的内角互为邻补角，二者相加等于180。 3.外角解题优势 遇到求 “飞镖模型、八字模型、折叠角度” 时，用外角性质可省去多次内角和计算，简化推理步骤。 知识点05:常见几何角度模型（拓展必考） 1.八字模型：对顶三角形，两组不相邻内角之和相等； 2.飞镖（凹四边形）模型：凹处外角 = 三个分散内角相加； 3.折叠模型：折叠前后对应角相等，结合内角和、外角建立等量关系； 4.平行线 + 三角形：结合同位角、内错角、同旁内角进行角度转化。 知识点06:高频易错点 易错分类 错误表现 正确结论 避坑提示 外角概念 把三角形内部角当成外角 外角必须是一边 + 另一边延长线构成，在三角形外部 区分相邻内角、不相邻内角 外角性质误用 外角等于所有内角和 外角只等于不相邻两个内角之和 做题圈出 “不相邻” 内角 直角三角形判定 只看见直角才判定直角三角形 两角互余也可直接判定直角三角形 两种判定方法灵活选用 角度计算 忽略方程思想，口算出错 比例、倍分类角度设未知数，用内角和列方程 含比例题型优先设 x 求解 模型混淆 飞镖、八字模型乱用结论 先推导再使用，不直接套用模型跳过推理 大题需写出推导依据 题型一：三角形内角和定理的证明 1．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 2．在中，，按图中虚线将剪去后，等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补角的定义可知：，，由三角形内角和定理可知： ，代入即可求出． 【详解】解：假设虚线为DE， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 【点睛】本题考查补角的定义，三角形内角和定理，理解补角的定义，找出是解题的关键． 3．定理：三角形的内角和等于． 已知：的三个内角为，，． 求证：． 证法1 证法2 如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 如图2，过点作，∵， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理 B．证法1用合理的推理证明了该定理 C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整 D．证法2用严谨的推理证明了该定理 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可． 【详解】三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明， 故A、B都不符合题意； 证法2用严谨的推理证明了该定理，故不需要分三角形的形状， 故C不符合题意；D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键． 题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 4．如图所示为一辆婴儿车的平面示意图，其中，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和等于是解题关键．由可得，再由三角形的内角和定理计算即可求解． 【详解】解：， ， 且， ． 故答案为：． 5．已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 6．小华将一副三角板（和）按如图所示的方式摆放，其中，，，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】设与交于点，根据平行线的性质可得，则． 【详解】解：如图，设与交于点， 由题意得，，， ， ， ． 题型三：与角平分线有关的三角形内角和问题 7．如图，在中，，，是角平分线，则___________度 【答案】100 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由三角形内角和定理求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， 故答案为：100． 8．如图，与分别是的高和角平分线．若，，则________． 【答案】 【分析】先由三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的性质可得的度数，最后根据垂线的性质结合直角三角形的两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的平分线，高线，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了角的平分线，高线，三角形内角和定理，熟练掌握定理，角的平分线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 题型四：三角形折叠中的角度问题 10．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则______． 【答案】/205度 【分析】首先由折叠的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图， 由折叠得，， ∴， ∴． 11．如图，把纸片沿折叠，点A落在四边形内部，当时，则_________ 【答案】 【分析】根据折叠可知,,进而可知，再根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：根据折叠可知,, ∵,, ∴,, ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． 12．题目：“如图，在中，，将沿折叠得到，若与的边平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（　　）    A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】与的边平行，画图有两种情况，和， 当时，， 当时，，结果有两个答案． 【详解】解：①如图，与的边平行   沿折叠得到， 又 ②如图，与的边平行，   沿折叠得到， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的折叠与平行的结合，几何图形折叠后对应角相等和两直线平行同位角内错角相等是解题的关键． 题型五：三角形内角和定理的应用 13．如图，在中，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】先算的度数，再用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：， ， ， ． 14．如图，一艘渔船在处测得灯塔在北偏东的方向，另一艘货轮在处测得灯塔在北偏东的方向，那么在灯塔处观看和处时的视角______． 【答案】/20度 【分析】根据方位角的描述求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴． 15．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质可知折叠前后的对应角相等，结合平角定义可得，，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质可知，折叠前后的对应角相等， ，， ，， 在中，， ， ， ． 题型六：直角三角形的两个锐角互余 16．在中，，则___________，___________，是___________三角形． 【答案】 直角三角形 【分析】题考查了三角形内角和定理及直角三角形的判定．利用三角形内角和定理，设为未知数，根据已知条件表示和，列方程求解 【详解】解：在中，． 已知，， 代入得：， 即， 解得． 则． 由于，因此是直角三角形． 故答案为：，，直角三角形． 17．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 根据三角板的度数可知：，， ． 18．如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是___________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，根据角之间的关系即可求出的度数. 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， . 题型七：锐角互余的三角形是直角三角形 19．在中，不能确定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和，结合各选项的角度关系推导内角度数，判断是否存在直角． 【详解】解：已知三角形内角和为， A.∵，∴，即，解得，∴能判定是直角三角形； B. 设，，，则，即，解得，∴，∴能判定是直角三角形； C. ∵，∴，∴，∴能判定是直角三角形； D. ∵，∴，即，解得，∴，，∴不能判定是直角三角形． 20．在下列条件中：①；②；③，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和为，求出三角形中最大角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故小题正确； ②∵， ∴最大角， 故小题正确； ③∵， ∴， ∴， 故小题正确； 综上所述，是直角三角形的是①②③共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的判定，根据三角形内角和定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键． 21．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 题型八：三角形的外角的定义及性质 22．如图，________． 【答案】75 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和列式计算即可． 【详解】解：由三角形外角的性质可得：． 23．如图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 【答案】/25度 【分析】首先根据三角形外角的性质求出，再利用三角形外角的性质可得． 【详解】解：，， ， 又，， ． 24．如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义求得的度数，利用邻补角的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 25．如图中，，延长到，与的平分线相交于点与的平分线相交于点2，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A．19.2° B．8° C．6° D．3° 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角与外角的性质等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键．利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 同理，可得， 解答题 26．如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，根据角之间的关系可以求出，即可求出，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数； （2）根据三角形的面积公式可得，即可求出的长． 【详解】（1）解：是的高，， ， ， ， ， 是的高， ； （2）解：，是的两条高， ， 即， ． 27．已知，如图1，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，，．    (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，点在线段上，点在线段上，连接，若，，，，，求三角形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据平行线的判定得到，再等量代换即可解答； （2）根据平行线的判定及三角形的内角和即可解答； （3）根据平行线的性质得到，再根据角的和差关系即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴； 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 28．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；； (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，据此计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即； （3）解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 作，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 29．如果两个角的差等于，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，，且和互补，求的度数； (2)在中，，是角平分线． ①如图，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数． ②如图，过点作的平行线，射线平分，且与射线交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】（1）根据“伙伴角”定义列出两角差的等式，再结合互补的条件联立二元一次方程组，求解的度数； （2）①利用三角形内角和定理，结合角平分线表示相关角；再根据伙伴角定义分两种情况列方程求出，回代计算； ②设，利用平行线性质、角平分线表示与，由伙伴角定义得到的两种情况；结合三角形内角和定理分别列方程求解，得到度数． 【详解】（1）解：和互为“伙伴角”，， ， 和互补， ， 联立得：， 解得：； （2）解：①， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， 与互为“伙伴角”， 或， 或， 或， 或； ②设， ，， ， 平分， ， ，， ， 平分， ， 与互为“伙伴角”， 或， 当时， ， ， 解得：； 当时， ， ， 解得：， 综上所述，或． 30．解答以下问题 (1)如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则___________； (2)如图2，在中，，剪去后成为四边形，则___________； (3)若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：，理由如下： 由图知，， 由折叠可知，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据邻角互补得到，再结合三角形内角和求解，即可解题； （2）根据邻角互补得到，再结合三角形内角和求解，即可解题； （3）根据邻角互补得到，再结合折叠性质与三角形内角和求解，即可解题； 【详解】（1）解：如图，， 为直角三角形，， ， ， ； （2）解：如图，， ，， ， ， ； （3）解：，理由见答案． 31．【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． (1)如图①，在中，平分，平分，若，则________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________ ； 【继续探索】 (2)如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】(1)130； (2) (3)或或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可得，即可求解； 如图②，根据角平分线的定义可得 ，即可求解； （2）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理可得，即可求解； （3）分：①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，由题意可得：， ∵， ∴， 整理得：； 故答案为：130；； （2）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分：①，②，③，④，四种情况： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $