精品解析：江苏无锡市江阴市文林中学2026-2027学年八年级上学期9月限时作业数学试卷

初二数学限时作业1 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，点B，F，C，E在同一直线上，，，如果根据“”判断，那么需要补充的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定方法，“”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案． 【详解】解：需要补充的条件是， 在和中， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 两个面积相等的图形，一定是全等图形 B. 两个等边三角形是全等图形 C. 两个全等图形的面积一定相等 D. 若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等图形的判定和性质，对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误； B、两个等边三角形不一定是全等图形，故B错误； C、两个全等图形的面积一定相等，正确； D、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等形，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等图形的判定和性质，解题的关键是熟记全等图形的判定和性质进行判断． 3. 如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，不妨设，，如图所示： 那么，即． 由题意可知，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径． 故选：A． 4. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形对应角相等得到，再根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（ ） A. 点在的平分线上 B. 点在的平分线上 C. 点在的平分线上 D. 点是，，平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，根据角平分线判定推出即可． 【详解】解：∵于点，于点，， ∴点在的平分线上． 但从现有条件无法推导出点在的平分线上，点在的平分线上． 6. 如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题考查了三角形内角和定理，等边对等角．根据等腰三角形的性质，分情况讨论为顶角或底角，结合三角形内角和定理，排除不可能的情况． 【详解】解：当为顶角时： 和相等，由内角和定理得：； 当为底角时：另一底角也为， 当为顶角：； 当也为底角：； 综上，的度数不可能是， 故选：C． 7. 如图，在中，平分，则的面积为（ ） A. 7 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键．由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，点P为三边垂直平分线的交点，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答． 【详解】∵点P为三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 9. 已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F， ∵∠EDF+∠FDC=90°， ∠GDC+∠FDC=90°， ∴∠EDF=∠GDC， 于是在Rt△EDF和Rt△CDG中， ， ∴△DEF≌△DCG， ∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1， 所以，S△ADE=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1． 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题． 10. 如图，在直角中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定和性质、角平分线定理以及三角形内角和定理逐条分析判断． 【详解】解：在中，、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①错误． ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，，故②正确． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴．故③正确． ∵平分， ∴点到、的距离相等， ∴与以、为底的高相等， ∴．故④正确． 综上所述，正确的结论是：②③④． 二．填空题（每小题3分，共24分） 11. 木工师傅在做好门框后，为了防止变形，常常按如图所示的方法钉上两根斜拉的木板条，其数学依据是三角形具有________. 【答案】稳定性 【解析】 【分析】三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形具有稳定性． 【详解】结合图形，为了防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做是根据了三角形具有稳定性的数学道理． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在生活中的实际应用的问题，同时我们还要记得四边形具有不稳定性． 12. 如图，为了测量池塘两端、的距离，小红在地面上选择了点、、，使，，且点、、和点、、分别都在一条直线上，只要量出的长，就可以知道、之间的距离．那么判定的理由是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的应用；根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法．已知两边及其夹角相等，利用可证两个三角形全等． 【详解】解：， 所以理由是． 故答案为：． 13. 若等腰三角形的一个角为，则顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分顶角为和底角为两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①顶角为； ②当底角为时，顶角的度数为； 故答案为：或． 14. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作，交于E，交于F，若，，则线段的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】由角平分线的性质可得，，再由平行线的性质可得，，进而得出，，从而得出，，最后根据即可求出结果． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 15. 如图，垂直平分，垂直平分，若，则__度． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角， 根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，进而求出，最后根据得出答案． 【详解】解：， . 垂直平分， ， ， 同理可得：， ， . 故答案为：40． 16. 如图，是的角平分线，，垂足为．若的面积为，，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用的面积列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线，， ， ， ， 解得． 17. 如图，在以为斜边的两个直角和中，，，，则________． 【答案】120°##120度 【解析】 【分析】取AB的中点F，连接CF，DF，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得出∠CFD＝60°，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，即可得到∠AEB的度数． 【详解】解：取AB的中点F，连接CF，DF，如图所示： ∵∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴CF＝DF=， 又∵CD＝m，AB＝2m， ∴CD＝AB， ∴CF＝DF＝CD， ∴△CDF是等边三角形， ∴∠CFD＝60°， ∴∠AFC＋∠BFD＝120°， ∵CF＝BF，AF＝DF， ∴∠AFC＝2∠ABE，∠BFD＝2∠BAE， 即∠ABE＝∠AFC，∠BAE＝∠BFD， ∴∠ABE＋∠BAE＝∠BFD＋∠AFC ＝（∠BFD＋∠AFC） ＝×120° ＝60°， ∴△ABE中，∠AEB＝180°−60°＝120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是利用三角形外角性质得到∠ABE＝∠AFC，∠BAE＝∠BFD． 18. 如图，为等边的高，M、N分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时， ___________． 【答案】 【解析】 【分析】作，使，连接 交于点F，连接，则，可证，从而得证，于是，，当点N与点F重合时，取最小值； 【详解】解：作，使，连接 交于点F，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 当点N与点F重合时，，取最小值，则取最小值， 此时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形外角性质、两点之间线段最短，添加合适的辅助线是解题的关键． 三．解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据乘方，零指数幂，负整数指数幂解答即可； （2）根据积的乘方，同底数幂的乘法，整式的加减，解答即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 20. （1）解方程组 （2）解不等式组 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，掌握方程组和不等式组的解法是解题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）分别求解不等式，进而求得不等式组的解集． 【详解】（1）解： 解：由①②得， ． 将代入②得． ； （2）解： 解：由①得， 由②得， 不等式组的解集为． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【详解】解： ； 当时， 原式 ． 22. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF． 【答案】 证明：∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠F， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； ∴BC=EF， ∴BC﹣CE=EF﹣CE， 即BE=CF． 【解析】 【分析】欲证BE=CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，都减去一段EC即可得证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质． 23. （1）小明在生活中遇到了这样一个问题：如图1，、、表示三个村庄，现在要建一个货物中转站，要求它到三个村庄的距离相等，请确定其位置． 在学习了《图形的轴对称》这一章后，你能帮助小明解决这个问题吗？（不要求作图，只简要说明你的思路及依据） （2）通过上述题目的解决，我们在平时的学习中可以解决很多类似的问题，那么请你利用手中的直尺（不能使用圆规），在下列正方形网格中找到一点，使的它到、、三点的距离相等．（注意保留作图痕迹） 【答案】 （1）构造线段、，分别作两条线段的垂直平分线，交于点，此时为所作的货物中转站，原理是线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． （2）如图， 【解析】 【分析】（1）构造线段、，分别作两条线段的垂直平分线即可解决问题； （2）根据（1）作出两条线段垂直平分线，其交点即为所求． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 24. 如图，在中，平分，交于点E，，交于点G （1）求证：； （2）延长交于点H，若点G是的中点，求证：平分． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵点G是的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）由角平分线和平行线得到，再根据等角对等边得到； （2）结合和中点得到，根据等边对等角得到，结合平行得到，即可得到平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 已知，如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于， （1）求证∶． （2）若 ，求的度数． 【答案】（1） 证明：是边上的高线， ，又， ， ， ，又， ； （2）的度数为 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，证明，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等边对等角得出，再结合三角形的外角性质得出，根据斜边上的中线等于斜边上的一半得出，则，代入数值进行计算，即可作答． 本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∵是边上的高线，是边上的中线 ∴是的中点 ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴的度数为 26. 综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： （1）如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． ∵点B与点关于直线l对称， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ， ， ∴ ， ∵在中，， ，即最小． （2）“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是 ． 请你完成上面填空． （3）【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，则周长的最小值为 ． （4）【模型拓展】如图⑤，在锐角中，，，，点P是边上的一动点，点P关于直线，的对称点分别是M，N，连接，则的最小值为 ． 【答案】（1），，， （2）两点之间线段最短 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）结合图形得到，，则，据此填空即可． （2）直线l“异侧”两点距离之和最小，用到的数学依据是：两点之间线段最短． （3）连接，由垂直平分线得到则，最后根据周长求周长的最小值． （4）连接，过作于，由对称得到，，，再结合得到，则是等边三角形，得到，最后根据面积结合垂线段最短可得的最小值为，即可得到的最小值为． 【小问1详解】 解：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． ∵点B与点关于直线l对称， ∴直线l是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵在中，， ，即最小． 【小问2详解】 解：“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”两点距离之和最小，用到的数学依据是：两点之间线段最短． 【小问3详解】 解：连接， ∵直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点， ∴， ∴， ∵， ∴当时取得最小值，此时在线段上， ∵周长，， ∴周长的最小值为． 【小问4详解】 解：连接，过作于， ∵点P关于直线，的对称点分别是M，N， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵点P是边上的一动点， ∴根据垂线段最短可得的最小值为， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学限时作业1 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，点B，F，C，E在同一直线上，，，如果根据“”判断，那么需要补充的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 两个面积相等的图形，一定是全等图形 B. 两个等边三角形是全等图形 C. 两个全等图形的面积一定相等 D. 若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 3. 如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（ ） A. 点在的平分线上 B. 点在的平分线上 C. 点在的平分线上 D. 点是，，平分线的交点 6. 如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，平分，则的面积为（ ） A. 7 B. 10 C. 12 D. 14 8. 如图，点P为三边垂直平分线的交点，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定 10. 如图，在直角中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的序号是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二．填空题（每小题3分，共24分） 11. 木工师傅在做好门框后，为了防止变形，常常按如图所示的方法钉上两根斜拉的木板条，其数学依据是三角形具有________. 12. 如图，为了测量池塘两端、的距离，小红在地面上选择了点、、，使，，且点、、和点、、分别都在一条直线上，只要量出的长，就可以知道、之间的距离．那么判定的理由是__________． 13. 若等腰三角形的一个角为，则顶角为______． 14. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作，交于E，交于F，若，，则线段的长为_____． 15. 如图，垂直平分，垂直平分，若，则__度． 16. 如图，是的角平分线，，垂足为．若的面积为，，，则的长为_______． 17. 如图，在以为斜边的两个直角和中，，，，则________． 18. 如图，为等边的高，M、N分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时， ___________． 三．解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程组 （2）解不等式组 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF． 23. （1）小明在生活中遇到了这样一个问题：如图1，、、表示三个村庄，现在要建一个货物中转站，要求它到三个村庄的距离相等，请确定其位置． 在学习了《图形的轴对称》这一章后，你能帮助小明解决这个问题吗？（不要求作图，只简要说明你的思路及依据） （2）通过上述题目的解决，我们在平时的学习中可以解决很多类似的问题，那么请你利用手中的直尺（不能使用圆规），在下列正方形网格中找到一点，使的它到、、三点的距离相等．（注意保留作图痕迹） 24. 如图，在中，平分，交于点E，，交于点G （1）求证：； （2）延长交于点H，若点G是的中点，求证：平分． 25. 已知，如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于， （1）求证∶． （2）若 ，求的度数． 26. 综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： （1）如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． ∵点B与点关于直线l对称， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ， ， ∴ ， ∵在中，， ，即最小． （2）“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是 ． 请你完成上面填空． （3）【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，则周长的最小值为 ． （4）【模型拓展】如图⑤，在锐角中，，，，点P是边上的一动点，点P关于直线，的对称点分别是M，N，连接，则的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $