期中培优测试（第1—3章）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

八年级数学（苏科版）上学期期中培优测试 考查范围：第1—3章 （考试时间 120 分钟　　满分 120 分） 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分。） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列关于“三角形全等”的说法中，正确的是（　　） A．面积相等的两个三角形一定全等 B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 C．三个角分别相等的两个三角形全等 D．两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等 3．已知直角三角形的两边长分别为 和 ，则第三边的长为（　　） A． B． C． 或 D．以上都不对 4．设实数 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则该等腰三角形的顶角为（　　） A． B． C． 或 D． 或 6．如图，圆柱形玻璃容器的高为 ，底面周长为 ．在容器内壁底部的点 处有一只蚂蚁，在内壁距容器口 的点 处有一滴蜜糖，且点 和点 恰好在圆柱相对的两条母线上．则蚂蚁沿容器内壁爬行到点 处的最短路程为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在等边 中，， 是 边上的高，点 是 边的中点，点 是高 上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在等腰直角 中，，．点 是 内部的一点，连接 、、．若 ，，，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分。） 9． 的算术平方根是 ． 10．近似数 精确到 位，有效数字有 个． 11．已知一个等腰三角形的周长为 ，其中一边长为 ，则该等腰三角形的底边长为 ． 12．如图，在 中，， 平分 交 于点 ．若 ，，则 的面积为 ． （12题图） （13题图） 13．如图，已知 ，要使 ，只需添加一个条件，这个条件可以是 （写出一个符合题意的条件即可）． 14．我国古代数学家赵爽利用“弦图”巧妙地证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若大正方形的面积是 ，小正方形的面积是 ，则每个直角三角形的周长是 ． 15．若实数 满足 ，则以 的值作为两直角边长构成的直角三角形，其斜边上的高为 ． 16．如图，在 中，，．点 是 边上的动点，连接 ．若 为等腰三角形，则满足条件的点 共有 个． 三、解答题　本大题共 10 小题，共 72 分。 17．（6分）计算： （1）； （2）． 18．（6分）如图，在 中： （1）用尺规作图法作边 的垂直平分线，交 于点 （保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）连接 ，若 的周长为 ，，求边 的长． 19．（6分）如图，点 在同一直线上，，，． （1）求证：； （2）求证：． 20．（6分）实数 在数轴上的对应点的位置如图所示． （1）判断符号： ， ， ， （填“”或“”）； （2）化简：． 21．（7分）如图，某港口 位于东西走向的海岸线上．轮船甲从港口 出发，以 的速度沿北偏东 方向航行；轮船乙同时从港口 出发，以 的速度沿另一方向航行．航行 后，轮船甲到达点 处，轮船乙到达点 处，此时测得两船之间的距离 ． （1）求线段 和 的长； （2）求轮船乙的航行方向． 22．（7分）如图，在 Rt 中，，，．将 沿直线 折叠，使直角边 落在斜边 上，点 落在点 处，折痕与 边交于点 ． （1）求斜边 的长； （2）求线段 的长； （3）求折叠后重叠部分 的面积． 23．（8分）如图，在四边形 中，，，．点 在 边上，点 在 边上，连接 ，且满足 ． （1）求证：； （2）若 ，，求线段 的长． 24．（8分）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 ，每个小正方形的顶点称为格点．已知点 均在格点上． （1）在网格中找一个格点 ，使得 是以 为底边的等腰三角形，且面积为 ，请画出所有满足条件的点 并写出其数量； （2）若以 为直角边作格点直角 （），且直角边 ，求线段 的长． 25．（9分）如图，在 中，，．高 ．点 从点 出发，沿线段 向点 以每秒 个单位长度的速度运动；同时点 从点 出发，沿线段 向点 以每秒 个单位长度的速度运动．当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动．设运动时间为 秒（）． （1）当 为何值时， 为等腰三角形？ （2）在运动过程中，是否存在某个时刻 ，使得点 在线段 的垂直平分线上？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 26. （9分）在 和 中，，，，． 【问题初探】如图1，若 （即 和 均为等腰直角三角形），连接 、． ① 求证：； ② 延长 交 于点 ，求 的度数； 【类比探究】如图2，若 （即 和 均为等边三角形），连接 、 相交于点 ． ①上述两个结论是否依然成立？若成立，请写出结论并求出相应的 的度数；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】如图3，在上述条件下，若 ，，当点 在同一条直线上时，连接 ，直接写出线段 的长． 参考答案 一、选择题 1．A 2．D 3．C 4．B 5．C 6．D 7．A 8．B 二、填空题 9． 10．百，3 11． 或 12． 13．（或 ） 14． 15． 16． 三、解答题 17．解：（1）原式 （2分） （1分）． （2）原式 （2分） （1分）． 18．解：（1）如图所示，直线 即为边 的垂直平分线（2分）． （2）因为直线 是边 的垂直平分线，点 在直线 上， 所以 （1分）． 因为 的周长 （1分）， 所以 ，即 （1分）． 因为 ，所以 （1分）． 答：边 的长为 ． 19．证明：（1）因为 ， 所以 ，即 （1分）． 在 和 中， （2分） 所以 （SSS）（1分）． （2）由（1）知 ， 所以 （1分）． 所以 （内错角相等，两直线平行）（1分）． 20．解：（1），，， （2分）． （2）由数轴可知，，，， 所以 ，（1分）． 所以 ，，，（1分）． 原式 （1分） （1分）． 21．解：（1）由题意可知，（1分）， （1分）． （2）在 中，，，， 因为 （1分）， （1分）， 所以 ， 所以 是直角三角形，且 （1分）． 如图，过点 作正北方向的射线 ， 因为轮船甲沿北偏东 方向航行，所以 （1分）． 因为 ， 所以 （在北偏西方向）． 答：轮船乙的航行方向为北偏西 （1分）． 22．解：（1）在 Rt 中，，，． 由勾股定理得 （1分）． （2）由折叠的性质可知，，，（1分）． 所以 （1分），． 设 ，则 ，（1分）． 在 Rt 中，由勾股定理得 ， 即 （1分）， 化简得 ，解得 （1分）． 所以线段 的长为 ． （3）（或由面积割补法）： 因为 ，（点 到 边的高为 ）， 所以 （1分）． 答： 的面积为 ． 23．解：（1）证明：如图，延长 至点 ，使 ，连接 （1分）． 因为 ，所以 （1分）． 在 和 中， 所以 （SAS）（1分）． 所以 ，． 因为 ， 所以 ． 所以 （1分）． 在 和 中， 所以 （SAS）（1分）． 所以 ． 因为 ，所以 （1分）． （2）连接 ．因为 ，，， 易证 ，所以 ，四边形中易得 （或题目已设 ）． 因为 且 （四边形 是正方形的一半，即 ）， 设 ，则 （1分）． 因为 ，所以 ． 由（1）知 ． 在 Rt 中，由勾股定理得 ， 即 ， 化简得 ， ，解得 ． 答：线段 的长为 （1分）． 24．解：（1）由网格可知，点 的位置确定，线段 （1分）． 线段 的中点为 ， 的垂直平分线斜率为 （沿网格对角线方向）． 因为 ，即 ， 解得高 （1分）． 在线段 的垂直平分线上，到 的距离为 的格点共有 个， 分别记为 和 （如图所示）（2分）． 答：满足条件的点 共有 个． （2）在 Rt 中，， ，，所以 （2分）． 由勾股定理得 （1分）． 所以 （1分）． 答：线段 的长为 ． 25．解：（1）过点 作 于点 （1分）． 因为 ，，，所以 （等腰三角形三线合一）． 在 Rt 中，，，． 由题意得，，，． 在 Rt 中，易知 ，即 ，解得 （1分）． 由勾股定理得 ． 若 为等腰三角形，需分类讨论： ① 若 ，因为 ，所以点 为 的中点， 但点 在 的左侧，． 点 为 中点要求 ，即 ， 解得 ，即 （舍去）（1分）． ② 若 ，由对称性点 为 中点类似讨论，在 Rt 与 Rt 中列方程无合适正解； ③ 若 ，过点 作 于点 ，易得 ，． 在 Rt 中，． 由 得 ， 化简得 ， 即 ，解得 （1分）． 当 时，点 运动到点 ，，此时 为等腰三角形（1分）． 综上所述，当 秒时， 为等腰三角形． （2）存在（1分）． 若点 在线段 的垂直平分线上，则 （1分）． 由勾股定理在 Rt 中：，， 所以 （1分）． 在 Rt 中：，． 所以 ． 由 得 ， 两边乘 得 ， 整理得 ，两边除以 得 ， 解得 ，（1分）． 因为 ，所以 或 均符合题意． 答：存在时刻 ，当 秒或 秒时，点 在线段 的垂直平分线上． 26．解：（1）① 证明：因为 ， 所以 ，即 （1分）． 在 和 中， 所以 （SAS）（1分）． 所以 （1分）． ② 设 与 交于点 ． 由（1）知 ，所以 （1分）． 因为 （对顶角相等）， 所以 （1分）． 所以 ． （2）① 依然成立（1分）； （1分）． （证明思路同（1），由 SAS 证得 ，同理可得 ）． （3）线段 的长为 或 （2分）． 点 在线段 上或在 延长线上： ① 若点 在线段 上，则 ，．在等边 中，过 作 于 ，则 ，．．由勾股定理得 ； ② 若点 在 的延长线上，则 ，．． 学科网（北京）股份有限公司 $