4.1 函数 题型专练 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版（2024）八年级上册 4.1 函数 题型专练 【题型1】变量与自变量 【典例】张三上学时以每小时5km的速度行走，他所走的路程s（km）与时间t（h）之间可用公式s＝5t来表示，则下列说法正确的是（　　） A．s、t和5都是变量 B．s是常量，数5和t是变量 C．5是常量，s和t是变量 D．t是常量，5和s是变量 【举一反三1】李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的自变量是（　　） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价 【举一反三2】小明的钱包原有80元，他在新年一周里抢红包，钱包里的钱随着时间的变化而变化，在上述过程中，因变量是（　　） A．时间 B．小明 C．80元 D．钱包里的钱 【举一反三3】已知关于x，y的关系式：①y-x=0；②x=2y；③y2=2x；④y-x2=x.其中y是x的函数的是__________ （填序号）. 【举一反三4】研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如表所示的关系. 氮肥施用量/(千克/公顷) 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量/(吨/公顷) 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 (1)表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是关于自变量的函数？ (2)当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？ (3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由； (4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响. 【题型2】根据关系式识别函数 【典例】下列式子中的y不是x的函数的是（　　） A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝ C．y＝± D．y＝x+1 【举一反三1】下列式子中，y是x的函数关系的有__________ 个. ①y=x；②y=；③=x；④y=x2. 【举一反三2】下列：①y＝x2；②y＝2x+1；③y2＝2x（x≥0）；④y＝±（x≥0），具有函数关系（自变量为x）的是__________． 【举一反三3】已知W＝x＋1，y＝，那么y是不是x的函数？若不是，请说明理由；若是，请写出y与x之间的函数关系式. 【题型3】根据图象识别函数 【典例】下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是 A． B． C． D． 【举一反三1】下列四个图象分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数 的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】(苏科课本P142练习T2)小明和爸爸出门散步，用 走了 后，小明随即按原速度返回.而爸爸遇到一位朋友，停下与朋友交谈 后，用 回到家里.在下列四个图象中，哪一个表示小明离家的路程 与时间 之间的函数关系? 哪一个表示爸爸离家的路程 与时间 之间的函数关系? 【举一反三3】(苏科课本P140练习T2)如图是某人在医院体检时心电图的一部分，图上横轴表示时间，纵轴表示心脏的心肌在活动中产生的动作电位，动作电位是时间的函数吗? 为什么? 【题型4】根据列表识别函数 【典例】老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用 表格、图象、函数表达式列举了如下4个x，其中y一定是x的函数有（　　） ① ②； ③y＝2x﹣b；④y＝|x|． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表. 数量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价（元） 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 … 表格反映了__________ 个变量之间的关系，其中，自变量是__________ ，因变量是__________ . 【举一反三2】观察表格并填空： n 1 2 3 4 … y 2×1 4×3 6×5 8×7 … y与n之间的关系式为__________ ，这里的变量是__________ . 【举一反三3】某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如表： 加热时间t/s 0 10 20 30 液体温度y/℃ 8 18 28 38 (1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的值也随之变化，直接写出y与t之间的函数表达式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当加热3 min时该液体沸腾，求该液体的沸点. 【举一反三4】某电动车厂2022年各月份生产电动车的数量情况如下表： （1）在上述过程中，指出自变量和关于自变量的函数； （2）哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ 【题型5】根据实际问题数量关系识别函数 【典例】已知等腰三角形的周长为10 cm，将底边长表示为y cm，腰长表示为x cm，x，y的函数表达式是y=10-2x，则其自变量x的取值范围是 A．0<x<5 B．2.5<x<5 C．一切实数 D．x>0 【举一反三1】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（ cm）与所挂的物体的重量x（kg）间有下面的关系： 下列说法不正确的是（　　） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为0 cm C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5 cm D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5 cm 【举一反三2】如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量.下列说法正确的是 A．S是V的函数 B．V是S的函数 C．h是S的函数 D．S不是h的函数 【举一反三3】学校举行校园歌手大奖赛，参加决赛的6名选手最后取得的成绩如下表所示： 下列的两个说法： （1）成绩是序号的函数． （2）序号是成绩的函数． 说法正确的是（填序号即可）　　． 【举一反三4】小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示.他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费. (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 【举一反三5】小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米.小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁.图中折线和线段分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________ 分钟，小聪返回学校的速度为__________ 千米/分钟； (2)请你求出小明离开学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系式； (3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 【题型6】函数自变量的取值范围 【典例】函数y＝中自变量x的取值范围是（　　） A．x≥ B．x≥2 C．x≤ D．x≠ 【举一反三1】汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A．S＝120﹣30t（0≤t≤4） B．S＝30t（0≤t≤4） C．S＝120﹣30t（t＞0） D．S＝30t（t＝4） 【举一反三2】函数y=中的自变量x的取值范围是 A．x>-3 B．x<-3 C．x≥-3且x≠-2 D．x≥-3 【举一反三3】函数y＝中自变量x的取值范围是__________ ． 【举一反三4】汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶50千米耗油10升，油箱剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的关系y＝﹣x+100；自变量x的取值范围是　　． 【举一反三5】老师在黑板上写了如下的函数关系式： ①y＝；②y＝；③y＝；④y＝2x2. (1)在①～④的函数中，自变量x的取值范围是任意实数的是　　　　（填序号）； (2)去掉(1)中所填的函数后，请写出其他函数自变量x的取值范围. 【举一反三6】A，B两地相距400 km，甲车从A地出发，以60 km/h的速度匀速行驶到B地，设甲车与B的路程为y（km），行驶的时间为x（h），求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【题型7】函数值 【典例】对于函数y=2x3，要使函数值最大，自变量x应取--1，0，1中的 A．- B．-1 C．0 D．1 【举一反三1】我们可以根据如图的程序计算 的值.若输入的自变量 的值是 2 和 -3 时，输出的 的值相等，则 的值为_____. 【举一反三2】当x=2时，求下列函数的函数值. (1)y=2x-5；(2)y=-3x2；(3)y=；(4)y=. 【举一反三3】对于有理数a.b，定义了一种新运算“※”为：A※b＝如：5※3＝3×5﹣2×3＝9，1※3＝2×1﹣×3＝0． （1）计算：①2※（﹣1）＝　　；②（﹣4）※（﹣3）＝　　． （2）若f（x）＝（x﹣3）※2+5，且x＜3，求f（x）的表达式． （3）若A＝﹣x3﹣2x2+7，B＝﹣x3﹣3x2+1，且A※B＝11，求2x3+2x的值． 【题型8】求自变量的值 【典例】如图所示是y关于x的函数图象，则当y=0时，x的值为 A．-1 B．1 C．3 D．-1或1或3 【举一反三1】已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在正数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“正和谐函数”．下列函数y1和y2是“正和谐函数”的是（　　） A．y1＝2x+1和y2＝3x+2 B．y1＝﹣x+3和y2＝2x﹣1 C．y1＝﹣x﹣1和y2＝3x﹣2 D．y1＝﹣x+1和y2＝2x+3 【举一反三2】铁的密度为7.9 g/cm3，铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位：cm3)之间的函数关系式为m=7.9 V，当V=10 cm3时，m=__________ g. 【举一反三3】设M是“3，-4，-x”的和. (1)若x=-9，求M的值； (2)若M大于-2，求x的最大整数解. 【题型9】列表法 【典例】水池中有若干吨水，开一个出水口将全部池水放光，所用时间t(单位：h)与出水速度v(单位：t/h)之间的关系如表. 用式子表示t与v的关系为(　　) A．t=12v B．v=12t C．v-t=11 D．t= 【举一反三1】小明在网上获得了关于声音在空气中传播的速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表： 针对这个问题，下列说法错误的是（　　） A．在这个变化过程中，温度是自变量，声速是因变量 B．在空气中，声速随温度的升高而变快 C．在﹣10℃时，声速是324m/s D．它们之间的关系式为y＝330+6x 【举一反三2】某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如表： 由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶__________ 小时，油箱的余油量为0. 【举一反三3】近年来，我国西南部分省市遭遇了严重干旱.某水库的蓄水量随着时间的增加而减小，干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万立方米)的变化情况如图所示，根据图象回答问题. (1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系？ (2)根据图象填表； (3)当t取0至60天之间的任一值时，对应几个V值？ (4)V可以看成t的函数吗？如果可以，试写出用自变量表示函数的式子. 【题型10】关系式法 【典例】一列火车从A站行驶3公里到B处以后，以每小时90公里的速度前进．则离开B处t小时后，火车离A站的路程s与时间t的关系是（　　） A．s＝3+90t B．s＝90t C．s＝3t D．s＝90+3t 【举一反三1】激光测距仪L发出的激光束以3×105km/s的速度射向目标M，t s后测距仪L收到M反射回的激光束.则L到M的距离d km与时间t s的关系式为 A．d=t B．d=3×105t C．d=2×3×105t D．d=3×106t 【举一反三2】如图为一个管道的截面图，其内径OA（即内圆半径）为10分米，管壁厚AB为x分米，若设该管道的截面（阴影部分）面积为y平方分米，那么y关于x的关系式是y＝　　． 【举一反三3】由S市寄往G市的包裹，邮寄标准是3元/千克，另外，每件收取打包费2元. (1)写出邮寄总费用y（元）与包裹质量x（千克）之间的函数解析式； (2)如果邮寄包裹的质量为7.8千克，试求邮寄的总费用； (3)如果邮寄包裹的总费用为30.8元，试求邮寄包裹的质量. 【题型11】分析函数图象中的信息 【典例】如图为甲、乙两人在跑步训练中的路程s(m)关于时间t(s)的函数图象，给出下列信息：①甲跑800 m用了150 s；②乙跑400 m用了90 s；③甲的平均速度是乙的倍；④乙的平均速度是甲的倍．其中正确的是 （      ）  A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【举一反三1】(2025・湖南中考)甲、乙两人在一次赛跑比赛中，路程与时间的函数关系如图所示，__________ (填“甲”或“乙”)先到终点. 【举一反三2】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要__________ 小时. 【举一反三3】如图1是一个摩天轮，图2是摩天轮上一点离地面的高度(单位：m)与旋转时间(单位：min)之间的关系的图象，结合图象回答下列问题： (1)上述两个变量之间，　　　　是自变量，　　　　是因变量； (2)如图2，A，B两点分别表示什么？ (3)观察图2，请你大致描述出在0 min到6 min摩天轮上一点离地面的高度的变化情况. 【举一反三4】如图1，呈现的是开平方运算关系. (1)的值为__________ ，的平方根为__________ ； (2)解关于的方程：； (3)通过探究发现，与其算术平方根具有函数关系，记.利用几何软件画出以及的图象，如图2，请结合图象回答下列问题： 【题型12】实际问题情境中的函数图象 【典例】2025年3月8日，某市总工会组织市直单位女职工举行徒步登山比赛活动，路线规划是从山脚出发，步行登临峰顶，在峰顶停留一段时间，举行颁奖仪式，然后返回．已知返回的速度低于上山的速度．设一参赛选手出发后所用时间为t（h），行走的路程为s（km），则s与t的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三2】小华乘公交车去离家5公里的学校去上学，公交车行驶了一段时间后发生故障，小华立即下车步行去上学，小华距学校的距离（公里）与小华上学的时间（分钟）之间的图象如图所示，则小华上学的步行速度是每小时__________ 公里. 【举一反三3】已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地.小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示. （1）小聪骑自行车的第一段路程速度是 __________ 千米/小时. （2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是 __________ . 【举一反三4】某市现行的生活用水费用包括自来水水费和污水处理费，该市自来水水费及污水处理费收费标准如下： （一）对居民生活用水实行阶梯式计量水价制度.已安装一户一表的居民生活用水实行三级阶梯式计量水价，即每户（表）每月用水量在25吨以内的(含25吨)，按基础水价1.50元/吨执行；用水量在25～35吨之内的(含35吨)，按基础水价2.30元/吨执行；超过35吨部分水价按3.10元/吨执行.未安装一户一表的居民生活用水，暂按基础水价1.50元/吨执行，但每年6月至10月的水价实行季节性加价，季节性加价水价按1.80元/吨执行； （二）污水处理费收费标准：按居民生活用水收取污水处理费0.90元/吨. (1)有一户居民某月水表显示用水量为x吨(x在25～35之内)，求出该户居民本月生活用水费用y元与用水量x吨之间的关系式； (2)李军家水表显示2025年8月份用水40吨，请帮李军算一算这个月他家需交生活用水费用多少元？ 【题型13】动点问题中函数图象 【典例】某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路返回，若用横轴表示时间t，纵轴表示与山脚的距离h，那么下列四个图中能反映全程h与t的关系的是 （      ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，四边形ABCD是边长为2 cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE，OF，点P从点E出发沿E﹣O﹣F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1 cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP，PQ，△BPQ的面积为S cm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，一次函数y=-x+8的图象与x轴、y轴交于A，B两点，P是x轴正半轴上的一个动点，连接BP，将△OBP沿BP翻折，点O恰好落在AB上，则点P的坐标为__________. 【举一反三3】如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，动点P从点B出发，沿BC，CD的路径运动至点D停止.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是__________ . 【举一反三4】(课本习题3.1 P91 8T)如图(1)，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止.设点的运动路程为，的面积为与的函数图象如图(2)所示，求的长. 北师大版（2024）八年级上册 4.1 函数 题型专练（参考答案） 【题型1】变量与自变量 【典例】张三上学时以每小时5km的速度行走，他所走的路程s（km）与时间t（h）之间可用公式s＝5t来表示，则下列说法正确的是（　　） A．s、t和5都是变量 B．s是常量，数5和t是变量 C．5是常量，s和t是变量 D．t是常量，5和s是变量 【答案】C 【解析】根据题意可知，5是常量，s和t是变量， 故选：C． 【举一反三1】李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的自变量是（　　） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价 【答案】B 【解析】常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：B． 【举一反三2】小明的钱包原有80元，他在新年一周里抢红包，钱包里的钱随着时间的变化而变化，在上述过程中，因变量是（　　） A．时间 B．小明 C．80元 D．钱包里的钱 【答案】D 【解析】∵钱包里的钱随着时间的变化而变化， ∴因变量是钱包里的钱， 故选：D． 【举一反三3】已知关于x，y的关系式：①y-x=0；②x=2y；③y2=2x；④y-x2=x.其中y是x的函数的是__________ （填序号）. 【答案】\mathrm{ 【解析】<p>根据函数的定义，以上关系式中，只要满足每一个<em>x</em>的值，<em>y</em>都有唯一的值与之对应，即符合条件.</p><p>①<em>y</em>-<em>x</em>=0，对每一个<em>x</em>，<em>y</em>=<em>x</em>，<em>y</em>是唯一确定的，因此<em>y</em>是<em>x</em>的函数；</p><p>②<em>x</em>=2<em>y</em>，对每一个<em>x</em>，<em>y</em>=\(\dfrac{x}{2} ，y是唯一确定的，因此y是x的函数； ③y2=2x，对每一个正数x，y=±，y不是唯一确定的，因此y不是x的函数； ④y-x2=x，对每一个x，y=x2+x，y是唯一确定的，因此y是x的函数. 故其中y是x的函数的有①②④. 【举一反三4】研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如表所示的关系. 氮肥施用量/(千克/公顷) 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量/(吨/公顷) 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 (1)表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是关于自变量的函数？ (2)当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？ (3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由； (4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响. 【答案】解　(1)表格反映了土豆的产量与氮肥的施用量的关系，氮肥施用量是自变量，土豆产量是关于自变量的函数. (2)由表可知，当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨/公顷. 如果不施氮肥，土豆的产量是15.18吨/公顷. (3)当氮肥的施用量是336千克/公顷时，氮肥的施用量是比较适宜的，因为此时土豆产量最高，施肥太多或太少都会使土豆产量减产. (4)当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而增产，当氮肥的施用量高于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而减产. 【题型2】根据关系式识别函数 【典例】下列式子中的y不是x的函数的是（　　） A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝ C．y＝± D．y＝x+1 【答案】C 【解析】A选项y是x的一次函数， B选项y是x的反比例函数， C选项当x有一个值时，y不是有唯一值对应，不符合函数定义，不是函数， D选项y是x的一次函数． 故选：C． 【举一反三1】下列式子中，y是x的函数关系的有__________ 个. ①y=x；②y=；③=x；④y=x2. 【答案】3 【解析】①y=x，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数关系； ②y=，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数关系； ③=x，对于x>0的每一个取值，y都有两个确定的值与之对应，故y不是x的函数关系； ④y=x2，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故y是x的函数关系. 故y是x的函数关系的有3个. 【举一反三2】下列：①y＝x2；②y＝2x+1；③y2＝2x（x≥0）；④y＝±（x≥0），具有函数关系（自变量为x）的是__________． 【答案】①② 【解析】∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值， ∴①y＝x2；②y＝2x+1当x取值时，y有唯一的值对应； 故具有函数关系（自变量为x）的是①②． 故答案为：①②． 【举一反三3】已知W＝x＋1，y＝，那么y是不是x的函数？若不是，请说明理由；若是，请写出y与x之间的函数关系式. 【答案】解　∵W＝x＋1，y＝， ∴y＝. ∴y是x的函数. 【题型3】根据图象识别函数 【典例】下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是 A． B． C． D． 【答案】C 【举一反三1】下列四个图象分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在图象A，B，C中，每给x一个值，y都有2个值与它对应，所以A，B，C中y不是x的函数，在D中，给x一个正值，y有一个值与之对应，所以y是x的函数． 【举一反三2】(苏科课本P142练习T2)小明和爸爸出门散步，用 走了 后，小明随即按原速度返回.而爸爸遇到一位朋友，停下与朋友交谈 后，用 回到家里.在下列四个图象中，哪一个表示小明离家的路程 与时间 之间的函数关系? 哪一个表示爸爸离家的路程 与时间 之间的函数关系? 【答案】解　图(2)表示小明离家的路程 与时间 之间的函数关系；图(4)表示爸爸离家的路程 与时间 之间的函数关系. 【举一反三3】(苏科课本P140练习T2)如图是某人在医院体检时心电图的一部分，图上横轴表示时间，纵轴表示心脏的心肌在活动中产生的动作电位，动作电位是时间的函数吗? 为什么? 【答案】解　动作电位是时间的函数.因为每一个确定的时间都有唯一一个动作电位与之对应. 练习 【题型4】根据列表识别函数 【典例】老师让同学们举一个y是x的函数的例子，同学们分别用 表格、图象、函数表达式列举了如下4个x，其中y一定是x的函数有（　　） ① ②； ③y＝2x﹣b；④y＝|x|． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】解：①②③给定一个x的值，会有2个y的值与x对应，所以y不是x的函数；④给定一个x的值， y有唯一值与x对应，所以y是x的函数． 【举一反三1】某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表. 数量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价（元） 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 … 表格反映了__________ 个变量之间的关系，其中，自变量是__________ ，因变量是__________ . 【答案】2 ； 数量 ； 售价 【举一反三2】观察表格并填空： n 1 2 3 4 … y 2×1 4×3 6×5 8×7 … y与n之间的关系式为__________ ，这里的变量是__________ . 【答案】 ； n，y 【举一反三3】某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如表： 加热时间t/s 0 10 20 30 液体温度y/℃ 8 18 28 38 (1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的值也随之变化，直接写出y与t之间的函数表达式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当加热3 min时该液体沸腾，求该液体的沸点. 【答案】解　(1)由表格可知，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量； 加热时间每增加10 s，液体温度升高10℃， 则每秒液体升高的温度为10÷10=1，得y=t+8， 所以y与t之间的函数表达式为y=t+8，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量. (2)3 min=180 s， 当t=180时，y=180+8=188， 所以该液体的沸点是188 ℃. 【举一反三4】某电动车厂2022年各月份生产电动车的数量情况如下表： （1）在上述过程中，指出自变量和关于自变量的函数； （2）哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ 【答案】（1）自变量是时间x，自变量的函数是月产量y． （2）由表格得，6月份电动车的产量最高，1月份电动车的产量最低． 【题型5】根据实际问题数量关系识别函数 【典例】已知等腰三角形的周长为10 cm，将底边长表示为y cm，腰长表示为x cm，x，y的函数表达式是y=10-2x，则其自变量x的取值范围是 A．0<x<5 B．2.5<x<5 C．一切实数 D．x>0 【答案】B 【解析】根据三角形的三边关系得 解得2.5<x<5. 【举一反三1】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（ cm）与所挂的物体的重量x（kg）间有下面的关系： 下列说法不正确的是（　　） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为0 cm C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5 cm D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5 cm 【答案】B 【解析】A.y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故A选项正确； B.弹簧不挂重物时的长度为10 cm，故B选项错误； C.物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5 cm，故C选项正确； D.由C知，y＝10+0.5x，则当x＝7时，y＝13.5，即所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5 cm，故D选项正确； 故选：B． 【举一反三2】如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量.下列说法正确的是 A．S是V的函数 B．V是S的函数 C．h是S的函数 D．S不是h的函数 【答案】A 【解析】由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自变量，S是关于自变量的函数，所以S是V的函数，A符合题意； 由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，B不符合题意； 由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，C不符合题意； 由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是关于自变量的函数，所以S是h的函数，D不符合题意. 【举一反三3】学校举行校园歌手大奖赛，参加决赛的6名选手最后取得的成绩如下表所示： 下列的两个说法： （1）成绩是序号的函数． （2）序号是成绩的函数． 说法正确的是（填序号即可）　　． 【答案】（1） 【解析】决赛后以成绩为主，6名选手最后取得的成绩排列后，随着成绩的变化选手的序号也在变化， 所以，成绩是序号的函数． 故答案为：（1）． 【举一反三4】小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示.他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费. (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 【答案】(1)由题可得，当里程x超过3公里时，其中3公里以内（含3公里）的起步价为元； 超过3公里的部分里程为公里，费用为元， 则实际打车费用， 即， 对于每一个超过3公里的x值，都有唯一的y值与之对应， y是x的函数，； (2)当时，， 则打车费用是元. 【举一反三5】小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米.小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁.图中折线和线段分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)小聪在天一阁查阅资料的时间为__________ 分钟，小聪返回学校的速度为__________ 千米/分钟； (2)请你求出小明离开学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系式； (3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 【答案】(1)根据图象可以得到：表示小聪的路程与时间的关系. 表示从学校到宁波天一阁，段表示查阅资料的时间，从第分钟，到分钟，则共用了分钟， 段表示从宁波天一阁到学校，时间是从第分钟到第分钟，共用了分钟，路程是千米，则速度是千米分钟， (2)表示小明的路程与时间的关系，分钟走了千米，速度是千米分钟，则路程与时间的关系式是： (3)设的函数关系式是，代入点 解得： 联立 解得： 当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是千米. 【题型6】函数自变量的取值范围 【典例】函数y＝中自变量x的取值范围是（　　） A．x≥ B．x≥2 C．x≤ D．x≠ 【答案】A 【解析】由题意得：3x﹣1≥0， 解得：x≥， 故选：A． 【举一反三1】汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A．S＝120﹣30t（0≤t≤4） B．S＝30t（0≤t≤4） C．S＝120﹣30t（t＞0） D．S＝30t（t＝4） 【答案】A 【解析】汽车行驶路程为：30t， ∴车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是：S＝120﹣30t（0≤t≤4）． 故选：A． 【举一反三2】函数y=中的自变量x的取值范围是 A．x>-3 B．x<-3 C．x≥-3且x≠-2 D．x≥-3 【答案】D 【解析】根据题意得x+3≥0且|x|+2≠0，解得x≥-3. 【举一反三3】函数y＝中自变量x的取值范围是__________ ． 【答案】x≥ 【解析】根据题意得：3x﹣2≥0，解得：x． 故答案为x． 【举一反三4】汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶50千米耗油10升，油箱剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的关系y＝﹣x+100；自变量x的取值范围是　　． 【答案】0≤x≤500 【解析】依题意有y＝﹣x+100， ∵x≥0，剩余油量不能小于0， ∴﹣x+100≥0， ∴0≤x≤500． 故答案为：0≤x≤500． 【举一反三5】老师在黑板上写了如下的函数关系式： ①y＝；②y＝；③y＝；④y＝2x2. (1)在①～④的函数中，自变量x的取值范围是任意实数的是　　　　（填序号）； (2)去掉(1)中所填的函数后，请写出其他函数自变量x的取值范围. 【答案】解　(1)②y＝；④y＝2x2的函数关系式为整式，自变量可取全体实数. (2)①y＝有意义，则x＋5≠0， ∴x≠－5. ③y＝有意义，则2x－5≥0， ∴x≥. 【举一反三6】A，B两地相距400 km，甲车从A地出发，以60 km/h的速度匀速行驶到B地，设甲车与B的路程为y（km），行驶的时间为x（h），求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】解由题意得：60x+y＝400， y＝400﹣60x， 400﹣60x≥0， 解得：x≤， ∵x≥0， ∴0≤x≤． 【题型7】函数值 【典例】对于函数y=2x3，要使函数值最大，自变量x应取--1，0，1中的 A．- B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【解析】依题意，把x=-代入y=2x3， 得y=2×(-)3=-4； 把x=-1代入y=2x3， 得y=-2； 把x=0代入y=2x3， 得y=0； 把x=1代入y=2x3， 得y=2. 因为2>0>-2>-4 所以在四个选项中，当x=1时，函数值最大. 【举一反三1】我们可以根据如图的程序计算 的值.若输入的自变量 的值是 2 和 -3 时，输出的 的值相等，则 的值为_____. 【答案】5 【解析】 当 时，， 当 时，. 又 当 时，， 当 时，. 输入的自变量 的值是 2 和 -3 时，输出的 的值相等，，解得 . 【举一反三2】当x=2时，求下列函数的函数值. (1)y=2x-5；(2)y=-3x2；(3)y=；(4)y=. 【答案】解　(1)当x=2时，y=2×2-5=-1. (2)当x=2时，y=-3×22=-12. (3)当x=2时，y==2. (4)当x=2时，y==0. 【举一反三3】对于有理数a.b，定义了一种新运算“※”为：A※b＝如：5※3＝3×5﹣2×3＝9，1※3＝2×1﹣×3＝0． （1）计算：①2※（﹣1）＝　　；②（﹣4）※（﹣3）＝　　． （2）若f（x）＝（x﹣3）※2+5，且x＜3，求f（x）的表达式． （3）若A＝﹣x3﹣2x2+7，B＝﹣x3﹣3x2+1，且A※B＝11，求2x3+2x的值． 【答案】解（1）①2※（﹣1）＝3×2﹣2×（﹣1）＝8； ②（﹣4）※（﹣3）＝2×（﹣4）﹣×（﹣3）＝﹣6； 故答案为：8，﹣6； （2）∵x＜3， ∴x﹣3＜2， ∴（x﹣3）※2＝2（x﹣3）﹣×2＝2x﹣， ∴f（x）＝（x﹣3）※2+5，且x＜3，f（x）的表达式为y＝2x﹣+5＝2x﹣； （3）无论x取何值，恒有﹣x3﹣2x2+7＞﹣x3﹣3x2+1，即A＞B， ∵A※B＝11， ∴3（﹣x3﹣2x2+7）﹣2（﹣x3﹣3x2+1）＝11， 解得x＝2， ∴2x3+2x＝2×8+2×2＝20． 【题型8】求自变量的值 【典例】如图所示是y关于x的函数图象，则当y=0时，x的值为 A．-1 B．1 C．3 D．-1或1或3 【答案】D 【解析】y=0时，即与x轴的交点，自变量x的值是-1，1或3. 【举一反三1】已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在正数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“正和谐函数”．下列函数y1和y2是“正和谐函数”的是（　　） A．y1＝2x+1和y2＝3x+2 B．y1＝﹣x+3和y2＝2x﹣1 C．y1＝﹣x﹣1和y2＝3x﹣2 D．y1＝﹣x+1和y2＝2x+3 【答案】C 【解析】A.2x+1+3x+2＝1，解得x=-，不合题意； B.﹣x+3+2x﹣1＝1，解得x＝﹣1，不合题意； C.﹣x﹣1+3x﹣2＝1，解得x＝2，符合题意； D.﹣x+1+2x+3＝1，解得x＝﹣3，不合题意； 故选：C． 【举一反三2】铁的密度为7.9 g/cm3，铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位：cm3)之间的函数关系式为m=7.9 V，当V=10 cm3时，m=__________ g. 【答案】79 【解析】当V=10 cm3时，m=7.9×10=79(g). 【举一反三3】设M是“3，-4，-x”的和. (1)若x=-9，求M的值； (2)若M大于-2，求x的最大整数解. 【答案】解　(1)当x=-9时，-x=-×(-9)=3， ∴M=3-4+3=2. (2)根据题意，得M=-x-1且M大于-2，故-x-1>-2， 解得x<3，故x的最大整数解为2. 【题型9】列表法 【典例】水池中有若干吨水，开一个出水口将全部池水放光，所用时间t(单位：h)与出水速度v(单位：t/h)之间的关系如表. 用式子表示t与v的关系为(　　) A．t=12v B．v=12t C．v-t=11 D．t= 【答案】D 【解析】由表格可知tv=12，整理得t=. 【举一反三1】小明在网上获得了关于声音在空气中传播的速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表： 针对这个问题，下列说法错误的是（　　） A．在这个变化过程中，温度是自变量，声速是因变量 B．在空气中，声速随温度的升高而变快 C．在﹣10℃时，声速是324m/s D．它们之间的关系式为y＝330+6x 【答案】D 【解析】在这个变化过程中，温度是自变量，声速是因变量， 故A不符合题意； 由表格可知，声速随着温度的升高而变快， 故B不符合题意； 在﹣10℃时，声速是324m/s， 故C不符合题意； y与x的函数关系式为y＝330+0.6x， 故D符合题意， 故选：D． 【举一反三2】某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如表： 由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶__________ 小时，油箱的余油量为0. 【答案】15 【解析】由表格可知，每行驶1小时，耗油8升， ∵t=0时，y=120， ∴油箱中有油120升， ∴120÷8=15（小时）， ∴当行驶15小时，油箱的余油量为0. 【举一反三3】近年来，我国西南部分省市遭遇了严重干旱.某水库的蓄水量随着时间的增加而减小，干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万立方米)的变化情况如图所示，根据图象回答问题. (1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系？ (2)根据图象填表； (3)当t取0至60天之间的任一值时，对应几个V值？ (4)V可以看成t的函数吗？如果可以，试写出用自变量表示函数的式子. 【答案】解　(1)图象反映了干旱持续时间t(天)与水库蓄水量V(万立方米)之间的关系. (2)完成表格如下. (3)当t取0至60天之间的任一值时，对应一个V值. (4)V可以看成t的函数. 根据图象可知，该水库初始蓄水量为1 200万立方米，干旱每持续10天，蓄水量减少200万立方米，由此写出的式子为V=1 200-t=-20t+1 200. 【题型10】关系式法 【典例】一列火车从A站行驶3公里到B处以后，以每小时90公里的速度前进．则离开B处t小时后，火车离A站的路程s与时间t的关系是（　　） A．s＝3+90t B．s＝90t C．s＝3t D．s＝90+3t 【答案】A 【解析】火车离A站的距离等于先行的3公理，加上后来t小时行驶的距离可得， s＝3+90t， 故选：A． 【举一反三1】激光测距仪L发出的激光束以3×105km/s的速度射向目标M，t s后测距仪L收到M反射回的激光束.则L到M的距离d km与时间t s的关系式为 A．d=t B．d=3×105t C．d=2×3×105t D．d=3×106t 【答案】A 【解析】激光由L到M的时间为，光速为3×105 km/s，则L到M的距离d=×3×105=t. 【举一反三2】如图为一个管道的截面图，其内径OA（即内圆半径）为10分米，管壁厚AB为x分米，若设该管道的截面（阴影部分）面积为y平方分米，那么y关于x的关系式是y＝　　． 【答案】πx2+20πx 【解析】∵该圆环面积为：π（10+x）2﹣π×102 ＝π（x2+20x+100﹣100） ＝πx2+20πx， ∴y关于x的关系式是y＝πx2+20πx， 故答案为：πx2+20πx． 【举一反三3】由S市寄往G市的包裹，邮寄标准是3元/千克，另外，每件收取打包费2元. (1)写出邮寄总费用y（元）与包裹质量x（千克）之间的函数解析式； (2)如果邮寄包裹的质量为7.8千克，试求邮寄的总费用； (3)如果邮寄包裹的总费用为30.8元，试求邮寄包裹的质量. 【答案】解　(1)根据题意得y=3x+2. (2)当x=7.8时，y=3×7.8+2=25.4， ∴总费用为25.4元. (3)当y=30.8时，30.8=3x+2，解得x=9.6， ∴邮寄包裹的质量为9.6千克. 【题型11】分析函数图象中的信息 【典例】如图为甲、乙两人在跑步训练中的路程s(m)关于时间t(s)的函数图象，给出下列信息：①甲跑800 m用了150 s；②乙跑400 m用了90 s；③甲的平均速度是乙的倍；④乙的平均速度是甲的倍．其中正确的是 （      ）  A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【解析】由图象可得， 甲跑800 m用了150 s，①正确． 乙跑400 m用了150－90＝60(s)，②错误． 甲的平均速度是800÷150＝(m/s)，乙的平均速度是400÷60＝(m/s)，÷＝， 则甲的平均速度是乙的倍，③错误． 乙的平均速度是甲的倍，④正确． 故选C. 【举一反三1】(2025・湖南中考)甲、乙两人在一次赛跑比赛中，路程与时间的函数关系如图所示，__________ (填“甲”或“乙”)先到终点. 【答案】甲 【解析】由题图可知，甲用了，乙用了，所以甲先到终点.故答案为甲. 【举一反三2】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要__________ 小时. 【答案】5 【解析】设乙离开A城的距离y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 把和代入解析式，得 解得 所以乙离开A城的距离y与x之间的函数解析式为y＝100x－100， 设甲离开A城的距离y1与x之间的函数解析式为y1＝k1x， 把代入解析式，得300＝5k1， 解得k1＝60， 所以甲离开A城的距离y1与x之间的函数解析式为y1＝60x， 当乙追上甲车时，则60x＝100x－100， 解得x＝2.5， 2.5－1＝1.5(小时)， 即乙出发后1.5小时追上甲车. 【举一反三3】如图1是一个摩天轮，图2是摩天轮上一点离地面的高度(单位：m)与旋转时间(单位：min)之间的关系的图象，结合图象回答下列问题： (1)上述两个变量之间，　　　　是自变量，　　　　是因变量； (2)如图2，A，B两点分别表示什么？ (3)观察图2，请你大致描述出在0 min到6 min摩天轮上一点离地面的高度的变化情况. 【答案】解　(1)上述两个变量之间，旋转时间是自变量，离地面的高度是因变量. (2)A点表示旋转时间为3 min时，摩天轮上一点离地面的高度为70 m； B点表示旋转时间为6 min时，摩天轮上一点离地面的高度为5 m. (3)根据图象可得在0 min到3 min时，随着旋转时间的增加，摩天轮上一点离地面的高度的变化趋势是变大，在3 min到6 min时，随着旋转时间的增加，摩天轮上一点离地面的高度的变化趋势是变小. 【举一反三4】如图1，呈现的是开平方运算关系. (1)的值为__________ ，的平方根为__________ ； (2)解关于的方程：； (3)通过探究发现，与其算术平方根具有函数关系，记.利用几何软件画出以及的图象，如图2，请结合图象回答下列问题： 【答案】(1)4 ； 0 (2)答案见解析 【解析】(1)， ∵是n的两个平方根， ∴， ∴的平方根为； 故答案为：，； (2)∵是n的两个平方根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； 【题型12】实际问题情境中的函数图象 【典例】2025年3月8日，某市总工会组织市直单位女职工举行徒步登山比赛活动，路线规划是从山脚出发，步行登临峰顶，在峰顶停留一段时间，举行颁奖仪式，然后返回．已知返回的速度低于上山的速度．设一参赛选手出发后所用时间为t（h），行走的路程为s（km），则s与t的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：从山脚出发，步行登临峰顶，行走的路程为s随时间为t的增大而增大； 在峰顶停留一段时间，行走的路程为s随时间为t的增大而不变； 返回途中，行走的路程为s随时间为t的增大而增大，增速不原来小，线段比原来缓． 故选：C． 【举一反三1】A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】根据可得，时间过了甲的路程为0，即乙比甲提前出发， 故①正确； 甲个小时行驶了， 故甲的速度为， 故②正确； 设甲的解析式为， 根据题意，得， 解得， 所以， 设乙的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故乙的解析式为， 当时，，， 故， 时，甲、乙两人相距， 故③错误； 当甲运动前，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得； 当甲运动后，乙比甲多行驶时，根据题意，得， 解得； 故或时，乙比甲多行驶． 故④正确， 故选：C． 【举一反三2】小华乘公交车去离家5公里的学校去上学，公交车行驶了一段时间后发生故障，小华立即下车步行去上学，小华距学校的距离（公里）与小华上学的时间（分钟）之间的图象如图所示，则小华上学的步行速度是每小时__________ 公里. 【答案】4 【解析】由图可知，公交车的速度：公里分钟， 公交车发生故障时，已行驶的时间：分钟， 小华步行的速度为：公里分钟， 公里分钟公里小时. 故答案为：4. 【举一反三3】已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地.小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示. （1）小聪骑自行车的第一段路程速度是 __________ 千米/小时. （2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是 __________ . 【答案】 ； ，， 【解析】（1）设小聪骑自行车的第一段路程速度是千米/小时，则第二段路程的速度为千米/小时, 根据题意得， , 解得，经检验，是原方程的解， 故答案为：24， 第一段路程的速度为24千米/小时. （2）结合函数图象可知，从时，两人的距离S随t的增大而增大， 小明的速度为千米/小时， 当第一次相遇时，， 解得， 当第一次相遇到小聪停下，此时， 当第二次相遇时，， 解得， 小聪开始骑行第二段路程时的时间为， 当两人再次相遇到小聪开始骑行第二段路程时，S随t的增大而增大，此时. 当时，因为小聪的速度大于小明的速度，则两人的距离随t的增大而减小， 综上所述，，，时，S随t的增大而增大， 故答案为：，，. 【举一反三4】某市现行的生活用水费用包括自来水水费和污水处理费，该市自来水水费及污水处理费收费标准如下： （一）对居民生活用水实行阶梯式计量水价制度.已安装一户一表的居民生活用水实行三级阶梯式计量水价，即每户（表）每月用水量在25吨以内的(含25吨)，按基础水价1.50元/吨执行；用水量在25～35吨之内的(含35吨)，按基础水价2.30元/吨执行；超过35吨部分水价按3.10元/吨执行.未安装一户一表的居民生活用水，暂按基础水价1.50元/吨执行，但每年6月至10月的水价实行季节性加价，季节性加价水价按1.80元/吨执行； （二）污水处理费收费标准：按居民生活用水收取污水处理费0.90元/吨. (1)有一户居民某月水表显示用水量为x吨(x在25～35之内)，求出该户居民本月生活用水费用y元与用水量x吨之间的关系式； (2)李军家水表显示2025年8月份用水40吨，请帮李军算一算这个月他家需交生活用水费用多少元？ 【答案】解　(1)∵x在25～35之内，按基础水价2.30元/吨执行， ∴y＝1.5×25＋(x－25)×2.3＋0.9x＝3.2x－20， 即y＝3.2x－20. (2)李军家水表显示2025年8月份用水40吨， 则自来水水费为1.5×25＋2.3×10＋5×3.1＝76（元）， 污水处理费为0.9×40＝36（元）， 则需交生活用水费用76＋36＝112（元）， 即需交生活用水费用112元. 【题型13】动点问题中函数图象 【典例】某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路返回，若用横轴表示时间t，纵轴表示与山脚的距离h，那么下列四个图中能反映全程h与t的关系的是 （      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，上山时h随t的增加而增加，休息时h不变，下山时h随着t的增加而减小，故A，B，C不符合题意，D符合题意. 【举一反三1】如图，四边形ABCD是边长为2 cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE，OF，点P从点E出发沿E﹣O﹣F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1 cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP，PQ，△BPQ的面积为S cm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，当0＜t≤1时， 由题得，PE＝BQ＝t cm， ∵正方向ABCD是边长为2 cm， ∴P到BC的距离为（2﹣t） cm， ∴S＝t•（2﹣t）＝﹣t2+t， 如图，当1＜t≤2时， 由题得，PF＝CQ＝（2﹣t） cm， ∴四边形CFPQ为矩形， ∴PQ＝CF＝1 cm， ∴S＝t•1＝t， 故选：D． 【举一反三2】如图，一次函数y=-x+8的图象与x轴、y轴交于A，B两点，P是x轴正半轴上的一个动点，连接BP，将△OBP沿BP翻折，点O恰好落在AB上，则点P的坐标为__________. 【答案】 【解析】设点O关于直线PB的对称点是点C. 因为一次函数y=-x+8的图象与x轴、y轴交于A，B两点， 所以AO=6，BO=8，AB=10. 由题意得点P在线段OA上， 由折叠的性质，可得OP=CP，BC=OB=8，∠BCP=∠BOP=90°. 设OP=CP=x，则AP=6-x，AC=10-8=2， 在Rt△ACP中，由勾股定理可得x2+22=(6-x)2， 解得x= 所以P. 【举一反三3】如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，动点P从点B出发，沿BC，CD的路径运动至点D停止.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是__________ . 【答案】3 【解析】∵动点P从直角梯形ABCD的点B出发，沿BC，CD的路径运动， ∴△ABP面积y在BC段随x的增大而增大；在CD段，△ABP的底边不变，高不变，因而面积y不变化， 由题图可以得到BC＝2，CD＝3， ∴△BCD的面积是×2×3＝3. 【举一反三4】(课本习题3.1 P91 8T)如图(1)，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止.设点的运动路程为，的面积为与的函数图象如图(2)所示，求的长. 【答案】解：如图所示，连接，在菱形中，， 所以为等边三角形. 设，由题图(2)可知，的面积为， 所以的面积， 所以，所以（负值已舍去）， 即的长为. 学科网（北京）股份有限公司 $