专题06知识点 39 平面向量的数量积及其应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

知识点39平面向量的数量积及其应用 平面向量的数量积a·b=lallb1cos0,其结果是数量，不是向量两个平面向量的夹角的范围：[0，： 设a,b是两个非零向量，它们的夹角是0，e是与b方向相同的单位向量，AB=a,C元=b,过AB的起 投影向量的定义 (了解) 点A和终点B,分别作C⑦所在直线的垂线，垂足分别为A,B,得到41B,我们称上述变换为向量a 向向量b投影，A,B叫做向量a在向量b上的投影向量.A,B,=lal·cos0e, 平面向量的数量 已知向量a,b,c和实数A,则a·b=b·a;(Aa)·b=A(a·b)=a·(Ab);(a+b)·c=a· 积满足的运算律 c+b·c. 平面向量的数量积 及有关性质的坐标 (1)设向量a=(x1少)，b=(x2y),则a:b=x+.(2)若a=(x,y),则la2=2+y 表示（能用坐标表 或1al=√+y(3)若两个非零向量a=(x1,y),b=(x2,y2),则a1b→a·b=0x￥2+ 示平面向量的数量 =0.(4)若两个非零向量a=(x1,y),b=(x2,2),它们的夹角为0，则c0s0三 积及平面向量共线 a·b x13+y1Y2 与垂直，会表示两个 lallbl= +√居+ 平面向量的夹角) 向量数量积的常用结论(1)(a±b)2=la±b12=la2±2a·b+lb2=a2±2a·b+b2:(2)a2-b2=(a+b)·(a-b)= 1al2-lb12;(3)(a+b)2+(a-b)2=2(1a12+lb1);(4)a2+b2=0a=b=0:(5)la+b1=la-b1-a·b=0. 实战演练 一、单选题 1.[2024新课标IⅡ卷]已知向量a,b满足|a=1,|a+2b=2,且(b-2a)1b ,则1b=() 2 A.7 B. 3 C.2 D.1 2.[2025浙江名校协作体考试]己知平面向量m,n满足：m=|n=2,且m 在n上的投影向量为 n,则向量m与向量n-m的夹角为() 、 A.30° B.60° C.120° D.150° 3.2025山东滨州二模在平行四边形ABCD中，AD=2,AB=3,∠BAD号 ,点M在边AB上，且AM=号AB,则心·心=() A.2B.3C.-2D.4 4.[2026安徽部分名校联考)]已知平面向量a,b满足a=(1,3),Ja-b=4, 则b的取值范围是() A.[2,6] B.[2,23] C.[23,6] D.[1,23] 5.[2025北京海淀区模拟]已知△ABC为等腰直角三角形，C为直角，直角 边长为2，点P在△ABC所在平面上，向量AP为单位向量，点D满足 CD=DP,则BC·BD的最大值为() A.4 B.3V2 C.5 D.6 6.[2026贵州遵义模拟]航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制 中心需要将坐标是(0,0)的卫星进行三次平移（单位：千米）：第一次沿向量 V,=(a,1)补偿平移：第二次沿向量v,=(-1,a)修正平移：第三次沿向量 V,=2,1)校准平移。若卫星最终精准到达坐标是(3,4的同步轨道点，则实数 a=() A.4 B.3 C.2 D.1 二、多选题 7.[2026广东六校联考]已知向量a=(a,1),b=(b,-1),a>0,b>0, c=(1,-2)》则下列说法正确的是() A.存在a>0,b>0使得ab B.不存在a>0,b>0使得ab C.若a⊥b,则|a+bmin=2 D.若a1(c-by则a+=2 bmin 8.[2025河北石家庄质检（二】点M在△ABC所在平面内，下列说法正确的 是() A.若AB·AC<0,则△ABC为钝角三角形 B.若MA+MB+MC=0,则M为△ABC的重心 C.若AM=AB+3AC,则S△A=1 SAABC 3 D.若△ABC是边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC 上运动，则厨成的取值颗锅为器3 9.[2025宁夏石嘴山市第三中学考试]如图，正方形ABCD的边长为2，E是 BC的中点，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，且A萨=入A花+AD, 则下列结论正确的有() D A.入的最大值为1 B.μ的最大值为1 C.AP·AD的最大值是2 D.A应·A应的最大值是5+2 10.[2026湖南长沙部分学校联考]在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,P为 △ABC内的一点，A炉=xA范+yAC:则下列说法正确的是（) A若P为△ABC的重心，则X+y=号 B.若P为△ABC的外心，则PB·BC=-18 C若P为△AC的心，则x+y名 D.若P为△ABC的内心，则X+y 三、填空题 11.[2025河南郑州质检（二】已知向量a=(2,2),向量b在向量a上的投影 向量的模长为 1a,写出一个清足条件的向量h= 12.[2026湖北武汉调研]平面向量a,b满足a=1,b=2,12a-b=2,则 |a+b= 13.2025天津卷1△ABC中，D为AB中点，庇=号办，店=a,AC=b, 则AE=_(用Q,b表示)；若AE1=5,AECB,则AE·CD= 14.[2026浙江宁波检测]已知a和b是互相垂直的两个单位向量，且 (a-c小(b-c)=0则1c的最大值为 。 15.太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而也被 称为“阴阳鱼太极图”。如图所示的图形中的曲线由半径为2的大圆O和两 个对称的半圆组成，线段MN过点O且两端点M,N分别在两个半圆上， 点P是大圆上一动点，令PM=a,PN=b,若P0=入1a+入2b,则入1= :a·b的最小值为 M 四、解答题 16.[2026河南洛阳阶段检测]如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴 Ox,Oy构成的坐标系称为“完美坐标系”。设c1,C,分别为Ox,0y正方向上 的单位向量，若向量OP=xe+ye2,则把实数对[x,y]叫做向量OP的“完 美坐标”。 (1)若向量0P的“完美坐标”为[3,4]，求1O: (2)已知[x1y],[x2,y2]分别为向量a,b的“完美坐标”，证明： a-h=k+号*yh (3)若向量a,b的“完美坐标”分别为[sinx,1],[cosx,1],设函数 f(x)=ab'x∈R'求f(x)的值域。 e X 参考答案与解析 一、单选题 1.答案：B 由(b-2a1b得b2-2ab=0,即2ab=b2。 1a+2b2=|a2+4ab+41b2=1+2b+4|bP=4' 解将6r子放1o琴 2.答案：C m'n. 、投影向量为mn=n,得mn=2,故cos(m,n)=2。=1。 2×229 n-mP=4+4-4=4'1n-m=2 (mn-m)=0m-2号-分夹角为120。 2×24 3.答案：B 设AB=u,AD=v,|u=3,v=2,uv=3x2×号=3。 c-号u+,而=v3 迹=号+v+-2*1+4=3. 4.答案：A 1a=V1+3=2'|a-b1=4表示b的终点在以a的终点为圆心、半径4的圆 上。由三角形不等式：14-2|≤1b≤4+2，即1b|∈[2,6]。 5.答案：C 设C(0,0),A(2,0),B(0,2)。D为CP中点。 =0,-2m-告号-2 BC·Bd=4-yp° P在以A为圆心、半径1的圆上：P=(2+ost,sint)yp≥-1' 故最大值=4-(-1)=5。 6.答案：C 总位移V1+v2+v3=(a,1)+(-1,a)+(2,1)=(a+1,a+2)。 到达(3,4)：a+1=3且a+2=4,均得a=2。 二、多选题 7.答案：BC A/B:ab需-a-b=0,但a,b>0时不成立，故不存在，A错、B对； c:a1b得ab=1,a+b=(a+b,0),|a+b=a+b≥2Vab=2,C对： 1 D:aL(c-b)得a1-b)-1=0,a=1-b(0<b<1)。 0+1、 2+6b1-b≥4，最小值为4，D错。 1 8.答案：ABD 对于A,因为恋·AC<0,所以A∈（号，π， 所以△ABC为钝角三角形，故A正确： 对于B,因为MA+MB+MC=0。 取AB的中点D,连接MD, 则有MA+M亦=2MD, 所以2MD+MC=0,所以MC=-2MD。 所以M为△ABC的重心，故B正确： 对于c因为丽=号丽+子花，子+星山 所以点M在线段BC上，如图所示： 取AB的四等分点，靠近A的点为N,取AC的四等分点，靠近C的点 为E, 连接EM,NM 则有EMAB且EM=子AB, 所以△ABM的高是△ABC的高的 41 所以S△ABy=3,故C错误； SAABC 4 对于D,以M为原点，AB边所在的直线为x轴，CM边所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示： M B 易知直线BC的方程为y=-3(x-1), 设E(m,-3(m-1)(0≤m≤1)， 因为A(-1,0),M(0,0, 所以EA=(-m-1,3(m-1),EM=(-m,3(m-1), 所以EA·EM=m(m+1)+3(m-1, =4m2-5m+3 =4m器 又因为0≤m≤1， 防以当m音时，4m吾+斧取最小值，为君 8 当m=0时，4m君+器取最大值，为3 所以4(m- 即离e亮3放0E确. 故选：ABD。 9.答案：ACD 以AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，则A(-1,0),D(-1,2, E(1,1)° 设∠BOP=a,则P(cosa,sina,a∈[0，n]。 所以AP=(cosa+1,sina),AD=(0,2),A正=(2,1). 由AP=λAE+μAD,得2λ=cosa+1,且λ+2μ=sina,a∈[0，π]。 对于A,当a=0时，入max=1,故A正确： 图于B,2na-omsa1E2na-016故B错 4 4 对于C,AP.AD=2sina≤2，故C正确； 对于D,AP.A正=sina+2cosa+2=5sin(a+p)+2≤V5+2,故D正确。 故选：ACD。 D C E 衣 10.答案：BCD 在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,P为△ABC内的一点，建立如图所示 的平面直角坐标系。 0 C 则A0,4),B(-3,0),C(3,0)。 对于选项A:若P为△ABC的重心，则Xp0-3+3=0,y,4+0+=号 3 3 3 ,则p0, 所以D-0,}店=(-3,4花=3,4 若AP=xAB+yAC,由平面向量基本定理可得： -3x+3y=0 4X-4y=- 3 2, 解得x=y青所以x+y 故选项A不正确。 对于选项B:若P为△ABC的外心，其必在直线AO上。 所以PB·BC=(P0+OB)BC=P0·BC+OB·BC=3×6×(-1)=-18, 故选项B 正确。 对于选项C:若P为△ABC的垂心，其必在AO上，设P(0,m)。 则乎应-3，m-3,-4)=9-4m=0,解得m=是 此时=0，}店=(-3，-4)A花=(3,4 若AP=xAB+yAC,由平面向量基本定理可得： -3x+3y=0 7 4x-4y=- 4 1 解得x=y32所以x+y=6 故选项C正确。 对于选项D:若P为△ABC的内心，设内切圆半径为r。 则6x42×rx15+56符r子则P0引 此时办-0，引=(-3,4=3,4 若AP=xAB+yAC,由平面向量基本定理可得： -3x+3y=0 4x-4y= 2 解得X=y= 所以x+y活+后吾 即选项D正确。 故选：BCD。 三、填空题 11.答案：(2,0)（答案不唯一） 投影向量的模长=b:a-引a=22,故1ba=4,即2x+2y川=4，x+y川=2 al 如取b=(2,0),满足条件（凡满足x+y=±2的向量均可）。 12.答案：V7 12a-b2=4a2-4a-b+b2=4+4-4a-b=4得ab=1° 1a+b=1+4+2=7?故1a+b1=/7 18答案：0+0：一 1 2 ò=a-b,C立=ò， i-c+正=h+0b-和+培b 6 由1AE1=5:|a+5b=900:由AE1CB:(a+5b)(a-b)=0。 两式联立消去1b2得a2+5a·b=150. AE--(+5b)(a-2b)-d+3a-8-106 12 其中62.150-0-5ab(由第二式d+4a-b-5b2=0得562=a2+4a-b), 25 代入化简：分子=a2+3C-2(a2+4C)=-a2-5C=-150, 故AE·CD=-150=-25 122 14.答案：V2 设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y)。由(a-c小(b-c)=0: y-yw即号 c的终点轨迹为过原点、圆心11半径2的圆， 2’2 =2+2-2。 22 15.答案：A=克：a-b的最小值为0 两个小半圆关于O对称且都过O,过0的直线与两半圆的交点满足 OM=ON,即O为MN中点。 由P0P成+P成)得A= a.b=(OM-OP)(ON-OP)=OM.ON-OP-(OM+ON)+OPP2-0M2+4 OM最大为2（MN为大圆直径时)，故最小值为4-4=0° 四、解答题 16.解： 由定义，e1e2=cos60°= 。 (1)OP=3e1+4e2' 1OPP=9+16+2×3×4×1=37,故1O21=/37。 (2)a=xe +ye:'b=x2ei+yze2' 0h=x名+y+x+Xy×xx+y⅓x+xy得证。 2 (3)f(x)=a.b=sinxcosx+1+-(sinx+cosx). t=sinx+cosxE[-,],sinxcosx=-1 2， f1++层 t+ 2 22 (=一)时取最小值；=2时取最大值32 2 故fx)的值域为33+V2。 8’2