专题02 知识点13：函数的奇偶性及其应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以定义-性质-应用为逻辑主线，系统整合判断方法与解题技巧，通过分层题型实现知识迁移与能力提升，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识框架|1框架图|定义→性质→应用递进|从奇偶性概念生成到运算规律推导，构建完整知识链| |判断方法|3类方法|定义法三步骤（定义域→f(-x)→关系判断）、图象法对称特征|结合定义域对称性与函数值关系，形成双重判断体系| |应用|5类应用|求解析式“求谁设谁”转化法、参数求解利用f(0)=0（奇函数）|利用奇偶性实现未知向已知转化，体现数学模型思想| |题型|5类题型|单调性综合题“对称区间转化”技巧、周期性综合题“区间转化+奇偶性”|覆盖高考高频考法，典例含易错点（定义域优先、f(0)使用条件）|

知识点13：函数的奇偶性及其应用 一、核心知识框架 函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它描述了函数图象的对称性。在高考中，函数的奇偶性常与函数的单调性、周期性、对称性相结合，是考查的重点和热点。 二、函数奇偶性的定义 1. 奇函数与偶函数的定义 类型 定义 图象 特点 偶函数 一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数 就叫做偶函数 关于 轴对称 奇函数 一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数 就叫做奇函数 关于原点对称 2. 定义域要求 奇、偶函数的定义域必须关于原点对称。如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇函数（或偶函数）。 3. 既奇又偶函数 如果对于函数定义域内的任意一个 ， 与 同时成立，那么函数 既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。这类函数只有一种类型，即 ，，其中定义域 是关于原点对称的非空集合。 三、奇、偶函数的性质 1. 基本性质 · 奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于 轴对称 · 若奇函数在关于坐标原点对称的区间上分别有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐标原点对称的区间上分别有单调性，则其单调性相反 · 若奇函数 在 处有意义，则 ；若函数 为偶函数，则 · 若 （ 为实数）是奇函数，则 ；若 （ 为实数）是偶函数，则 2. 运算性质 在公共定义域上，函数奇偶性的运算满足以下规律： 运算 结果 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 奇 奇 奇 偶 奇 ÷ 偶 奇 偶 ÷ 偶 偶 3. 奇偶性的等价形式 若 ，则： · 为奇函数 · 为偶函数 四、函数奇偶性的判断方法 1. 定义法 严格按照以下步骤进行： 1. 确定定义域：检查定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数 1. 计算 ：将 代入函数解析式 1. 判断关系：比较 与 的关系 · 偶函数 · 奇函数 · 两者均不成立 非奇非偶函数 · 两者均成立 既奇又偶函数 2. 图象法 · 若函数的图象关于原点对称，则函数是奇函数 · 若函数的图象关于 轴对称，则函数是偶函数 3. 性质法 利用已知函数的奇偶性及运算性质进行判断，适用于复合函数或四则运算后的函数。 五、函数奇偶性的应用 1. 利用奇偶性求函数值 利用奇偶性 将未知点转化为已知点求解。 2. 利用奇偶性求解析式 已知函数在某一区间上的解析式及其奇偶性，求对称区间上的解析式，步骤为： 1. "求谁设谁"：在待求区间上设自变量 1. 转化：将 转化为 ，使其落入已知区间 1. 代入：利用已知区间上的解析式求 1. 利用奇偶性：由 解出 3. 利用奇偶性求参数 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足 或偶函数满足 列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值。特别地，若奇函数的定义域中包含 0，可以利用 求解。 4. 利用奇偶性与单调性比较大小 · 自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小 · 自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小 5. 利用奇偶性与单调性解不等式 对于形如 的不等式，若函数为奇函数，可转化为 ，借助单调性解不等式，注意函数定义域的限制。 六、常见题型与解题方法 题型一：判断函数的奇偶性 解题思路： 1. 检查定义域是否关于原点对称 1. 计算 并与 比较 1. 根据定义得出结论 题型二：利用奇偶性求函数值或解析式 解题思路： 1. 利用奇偶性将待求点转化到已知区间 1. 代入已知解析式计算 1. 利用奇偶性关系得出结果 题型三：已知奇偶性求参数 解题思路： 1. 利用奇偶性定义建立方程 1. 利用恒成立条件求解参数 1. 注意定义域的限制 题型四：奇偶性与单调性综合 解题思路： 1. 利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间 1. 利用单调性比较大小或解不等式 1. 注意定义域和对称区间单调性的关系 题型五：奇偶性与周期性综合 解题思路： 1. 利用周期性将自变量转化到已知区间 1. 利用奇偶性进一步确定函数值 1. 综合求解 七、高考考情分析 考向预测：函数的奇偶性是历年高考的必考内容，通常以选择题、填空题的形式出现，难度中档偏上。常与函数的单调性、周期性、对称性等相结合，以抽象函数为载体进行综合考查。 常见考点： 1. 判断函数的奇偶性 1. 利用奇偶性求函数值或解析式 1. 已知奇偶性求参数 1. 奇偶性与单调性的综合应用 1. 奇偶性与周期性的综合应用 1. 函数性质的综合应用 八、易错提醒 1. 定义域优先：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件 1. 的使用条件：只有奇函数在 处有意义时，才有 ，不能盲目使用 1. 偶函数的性质：若函数为偶函数，则 ，这一性质在解题中常用 1. 单调性规律：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反 1. 运算性质的应用：在公共定义域内，函数奇偶性的运算规律要熟记，但要注意定义域的限制 实战演练 一、单选题 1.下列函数中，在区间 上为严格增函数的奇函数的是（ ） A. B. C. D. 2.已知函数 ，则函数 （ ） A. 是奇函数但不是偶函数 B. 是偶函数但不是奇函数 C. 是奇函数也是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 3.已知 为奇函数，且当 时，，则 A. B. C. D. 4.已知奇函数 的定义域为 ，且当 时，，则 A. B. C. D. 5.已知定义域为 的函数 在 （）上是增函数，且函数 是偶函数，当 时，有（ ） A. B. C. D. 的大小关系不能确定 6.已知函数 的定义域为 ，且对于任意实数 ，都有 ，若函数 在定义域内的最大值为 ，最小值为 ，则 A. 2 B. 0 C. 1 D. 4 7.若函数 （ 为常数）在定义域上为奇函数，则 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1 或 8.已知 是定义在 上的奇函数， 是偶函数，且 ，则 A. B. 0 C. 3 D. 5 二、多选题 9.已知函数 ，，下列命题正确的有（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 对于任意实数 ，有 C. 任意的 ，有 成立 D. 存在实数 ，使得关于 的不等式 的解集为 10.已知 是定义在 上的偶函数，且当 时，，则下列结论正确的是（ ） A. 当 时， B. C. 不等式 的解集为 D. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为 11.已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 。若 ， 均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12.已知 是定义域为 的非常数函数，若对定义域内的任意实数 均有 ，则： ① ； ② 的值域为 ； ③ ； ④ 是奇函数。 则上述结论正确的序号是______。 13.若函数 是 上的偶函数，则 的值为______。 14.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是______。 四、解答题 15.已知 为奇函数， 为偶函数，且 (1) 求 的解析式； (2) 若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围。 16.已知奇函数 在区间 上是单调减函数， 且 ，，，试判断 与 的关系，并证明。 17.已知定义域为 的函数 是奇函数。 (1) 求实数 的值； (2) 若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围。 18.已知函数 是定义在 上的偶函数，且 ，。 (1) 求函数 的解析式； (2) 判断 在 上的单调性，并证明； (3) 若 ，求 的取值范围。 19.已知函数 的定义域都是 ，，且 。 (1) 判断函数 的奇偶性并证明； (2) 设 ，求不等式 的解集； (3) 若函数 在区间 上有两个零点，求实数 的取值范围。 参考答案 一、单选题 1. 答案：D 解析： A. ，定义域 ，不关于原点对称，非奇非偶； B. 是偶函数，在 递增； C. ，指数递减，非奇非偶； D. ，定义域 ， 奇函数；且 时 单调递增。 2. 答案：B 解析： ，满足 ，是偶函数；，不是奇函数。 3. 答案：A 解析： 时 ，； 为奇函数，。 4. 答案：A 解析： 是 上奇函数，则 ； 时 ，代入 ：； ：；； 。 5. 答案：A 解析： 是偶函数 关于直线 对称，即 ； 在 递增，则 递减； 说明 离对称轴更近，函数值更大： ，故 。 6. 答案：D 解析： 由 ，令 得 ；令 得 ， 奇函数。 设 ，，奇函数； 奇函数最大值 、最小值 ，，。 7. 答案：D 解析： 定义域 奇函数，，代入：； 验证 ：，，也满足；故 。 8. 答案：A 解析： 奇函数 ； 偶函数 ； 。 二、多选题 9. 答案：BD 解析： ，定义域 ，，偶函数，图像关于 轴，A错； B. ，，，正确； C. 时 单调递增，，C错； D. 令 ， 即 ， 取等，解集 ，正确。 10. 答案：AC 解析： ； 时 ，，A正确； ，最小值 ，B错； ：；，解集 ，C正确； 最小值2， 时有无穷多根，D错。 11. 答案：BC 解析： 为偶函数，对称轴 ；， 偶， 对称轴 。 A. ；B. ；C. ；D. ，选BC。 三、填空题 12. 答案：①③ 解析： 对于①，令 ，可得 ，因为 是非常数函数，所以 不恒为0，所以 ，故①正确。 对于③，令 ，则 ，可得 ，即 ，故③正确。 对于②，根据 ，可取 ，可知 是定义域为 的非常数函数，且 ，可知 符合题意，但 ，故②错误。 对于④，例如 ，可知 是定义域为 的非常数函数，且 ，注意到 同号，可得 ，可知 符合题意，但 ，即 为偶函数，故④错误。 故答案为：①③。 13. 答案： 解析： 偶函数定义域对称：； 偶，一次项系数 ，。 14. 答案： 解析： ，奇函数， 递增； ； ； ，又 ，得 。 四、解答题 15.解： (1) 已知 奇偶性： (1) - (2)： (1) + (2)： (2) ，最小值2； 恒成立 解得 。 16.证明： ， 奇函数减函数：； 同理 ； 三式相加：，故 。 17.解： (1) 是 奇函数，： ； ，验证 成立。 (2) ， 单调递减； ； 减函数：，令 ： 恒成立； 对称轴 ，分情况得 。 18.解： (1) 偶函数 ；；； 解析式：。 (2) ，令 ， ， ， 单调递减。 (3) 偶函数， ， 解集： 或 或 。 19.证明： (1) ， ； 相减得 ，，奇函数。 解：(2) 是偶函数， 时 递增， 递增； ，平方： ，解集 。 (3) ， ，令 ，； 在 有两零点，即 在 两解， 解得 。 学科网（北京）股份有限公司 $