专题02 知识点12：函数的单调性及其应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 该专项以函数单调性定义为核心，构建“定义-性质-应用-题型”四维体系，提炼定义法、导数法等解题策略，逻辑严密，覆盖高考全考向，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心知识与应用|定义2类、应用5类|定义法五步法、导数法符号判断、复合函数“同增异减”|从单调性定义出发，通过运算性质、复合函数、导数拓展应用，形成“概念-性质-应用”递进链条| |题型与实战|6类题型、19题|比较大小转化区间、解不等式脱“f”保定义域、求参数构建不等式组|题型与方法一一对应，结合高考考情，覆盖判断、比较、解不等式等高频考点，培养模型观念|

知识点12：函数的单调性及其应用 一、核心知识框架 函数的单调性是函数最重要的性质之一，它描述了函数值随自变量变化的趋势。在高考中，函数的单调性常与函数的值域、最值、不等式、参数范围等问题相结合，是考查的重点和热点。 二、函数单调性的定义 1. 单调递增/递减的定义 设函数 的定义域为 ，区间 。 · 如果对于任意 ，当 时，都有 ，则称 在区间 上单调递增。 · 如果对于任意 ，当 时，都有 ，则称 在区间 上单调递减。 2. 等价定义 三、函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 常见 类型 解题策略 注意事项 作图 能作出图象的函数，可用图象法判断单调性。图象法适用于常见函数，或通过平移、翻折等变换得到的函数图象，尤其注意分段函数。 需熟悉基本初等函数的图象及变换规律。 比较函数值的大小 将自变量转化到同一个单调区间内，利用函数的单调性比较大小。 注意自变量的取值范围，确保比较的公平性。 求解与抽象函数有关的不等式 利用函数的单调性将“f”脱掉，转化为具体的不等式求解。 特别注意函数的定义域，脱去“f”前后要保持等价性。 求最值 先求出函数的单调性，再根据单调性求出最值。 注意定义域端点与极值点的关系。 求参数 根据函数的单调性构建含参数的方程（组）或不等式（组）求解，或结合图象求解。 分段函数单调时，既要保证各段单调性一致，还要保证整体单调性，注意衔接点处的函数值大小。 四、与函数单调性有关的常用结论 1. 运算性质 运算 结果 增函数 + 增函数 增函数 减函数 + 减函数 减函数 增函数 - 减函数 增函数 减函数 - 增函数 减函数 2. 复合函数单调性 复合函数 的单调性判断法则为 “同增异减”： 内层函数 的单调性 外层函数 的单调性 复合函数 的单调性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 3. 导数与单调性 · 若 在区间 上恒成立，则 在 上单调递增。 · 若 在区间 上恒成立，则 在 上单调递减。 · 若 在区间 上恒成立，则 在 上为常数函数。 五、常见题型与解题方法 题型一：判断或证明函数的单调性 方法： 1. 定义法：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 结论。 1. 导数法：求导 → 判断导函数符号 → 得出结论。 1. 图象法：作出函数图象，观察图象的升降趋势。 1. 性质法：利用已知函数的单调性及运算性质进行判断。 题型二：比较函数值的大小 解题思路： 1. 确定函数的单调区间； 1. 将自变量转化到同一个单调区间内； 1. 利用单调性比较函数值的大小。 题型三：解函数不等式 解题思路： 1. 确定函数的单调性； 1. 利用单调性将不等式中的“f”脱去，转化为具体的不等式； 1. 求解不等式，注意定义域的限制。 题型四：求函数的最值 解题思路： 1. 确定函数的单调性； 1. 根据单调性求出函数在定义域上的最值（最大值或最小值）。 题型五：已知单调性求参数范围 解题思路： 1. 根据函数单调性的定义或导数条件，建立关于参数的不等式（组）； 1. 求解不等式（组），得到参数的范围。 1. 注意：对于分段函数，不仅要保证各段单调性一致，还要保证衔接点处的大小关系与整体单调性相符。 题型六：抽象函数的单调性 解题思路： 1. 利用赋值法探究函数的单调性； 1. 结合单调性解决比较大小、解不等式等问题。 六、高考考情分析 考向预测：函数的单调性是历年高考的必考内容，通常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中。题目难度中等，常与函数的奇偶性、周期性、对称性、导数等知识综合考查。 常见考点： 1. 判断或证明函数的单调性 1. 利用单调性比较函数值的大小 1. 利用单调性解不等式 1. 利用单调性求函数的最值 1. 已知单调性求参数范围 1. 复合函数的单调性判断 1. 抽象函数的单调性问题 七、核心方法与易错提醒 核心方法 1. 定义法：严格按照“取值→作差→变形→定号→结论”的步骤进行，变形是关键，常用因式分解、通分、配方、有理化等方法。 1. 导数法：适用于含导数的函数，求导后判断导函数符号。 1. 图象法：直观形象，适用于能作出图象的函数。 1. 转化法：将抽象函数的不等式转化为具体不等式，将比较大小转化为同一单调区间内的比较。 易错提醒 1. 函数的单调性是一个局部性质，必须在定义域内的某个区间上讨论，不能脱离定义域。 1. 单调区间之间不能用“”连接，而应用“，”或“和”连接。 1. 分段函数单调时，不仅要保证各段单调性一致，还要特别注意衔接点处函数值的大小关系，确保整体单调性成立。 1. 利用单调性脱去“f”时，要注意定义域的限制，不能忽略自变量的取值范围。 1. 复合函数单调性判断遵循“同增异减”原则，要分清内外层函数。 1. 对于含参函数，单调性条件往往转化为不等式恒成立问题，注意参数范围的端点能否取到。 实战演练 一、单选题 1.已知函数 在区间 上单调递增，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2.函数 的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 3.已知函数 ，，则满足 的实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.下列图象表示的函数为减函数的是（ ） A. B. C. D. 5.已知 是定义在 上的函数，满足 ，且在 上单调递减，若 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 6.已知函数 若 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7.已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 8.下列函数是减函数的为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9.已知定义在 上的函数 满足下列条件：① ；② 当 时，。则（ ） A. B. C. 当 时， D. 在 上单调递减 10.下列结论不正确的是（ ） A. 若定义在 上的函数 ，有 ，则函数 在 上为增函数 B. 函数 在 上是增函数，则函数的单调递增区间是 C. 函数 的单调递减区间是 D. 闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到 11.已知函数 () 在区间 上单调递增，则 的可能取值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 三、填空题 12.已知函数 () 的图象如图。根据图象写出 的单调区间，单调递增区间为______，单调递减区间为______。 13.函数 的单调递增区间是______。 14.已知函数 满足对于任意的 ，当 时， 恒成立，则不等式 的解集为______。 四、解答题 15.已知函数 。 (1) 判断 在 上的单调性，并用定义证明； (2) 若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 16.求下列函数的单调区间。 (1) 。 (2) 。 17.已知函数 。 (1) 用定义法证明函数 在区间 上是增函数； (2) 试比较 与 的大小关系； (3) 若 ，求实数 的取值范围。 18.已知函数 的定义域为 。对于 ，若函数 在 上的值域为 ，且存在 使得 ，则称 是 上的 阶“界近函数”。 (1) 试判断函数 是否是 R 上的 阶“界近函数”； (2) 若 ，函数 是其定义域上的 阶“界近函数”，求 的最小值； (3) 已知函数 () 是 上的 2 阶“界近函数”，求实数 的取值范围。 19.设函数. (1)若，写出函数的单调区间； (2)当时，，求实数的取值范围. 参考答案 一、单选题 1. 答案：D 解析 在 单调递增，，则 ，。 。 A：，错；B、C 无依据，D 正确。 2. 答案：A 解析 时，一次项系数 ，单调递减，递减区间 。 3. 答案：D 解析 ，求导：， 时 ，， 在 单调递减。 不等式 ，自变量都小于0： 得 。 4. 答案：A 解析 对于A，该函数随着 的增大， 的取值在减小，符合减函数定义，A正确； 对于B，该函数随着 的增大， 的取值在增大，不符合减函数定义，B错误； 对于C，该函数在 轴右侧，随着 的增大， 的取值在增大，不符合减函数定义，C错误； 对于D，该函数在 轴左侧，随着 的增大， 的取值在增大，不符合减函数定义，D错误。 5. 答案：B 解析 ，函数关于 轴对称，偶函数； 递减，。 ，分两类： ① ：， 在 递减 ； ② ：； 解集 。 6. 答案：A 解析 ，，。 ① ：，即 ； ② ：，即 ； 合并 。 7. 答案：D 解析 构造辅助函数 ，求导： 在 单调递减，。 8. 答案：A 解析 A. 一次函数，斜率 ， 上减函数； B. 底数 > 1，增函数； C. 在 先增后减； D. 增函数。 二、多选题 9. 答案：ACD 解析 A. 令 ，，正确； B. 令 ，，错； C. ，，正确； D. 设 ，令 ，，单调递减，正确。 10. 答案：ABC 解析 A：仅两点满足不能判定全体单调，错误； B： 递增不代表无左侧递增区间，单调区间不能只写这一段，错误； C. 递减区间分开写，不能用并集，，错误； D：闭区间单调函数最值一定在端点，正确。 11. 答案：ABD 解析 二次函数 ，开口向上，对称轴 。 在 单调递增，则对称轴 。 选项 均满足。 三、填空题 12. 答案： 和 ， 解析 由图象知 在 上，单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 。 故答案为： 和 ，。 13. 答案： 解析 令 ，，二次函数对称轴 ， 递增。 ，解得 。 14. 答案： 解析 ， 在 单调递增。 不等式 ，等价： 单调递增，，解为 ； 四、解答题 15.解： (1) 定义域 或 ，取区间 。 设 ， 作差分子分母：， ，，， 故 在 单调递减。 (2) 对 ， 恒成立 。 递减， 递减， 在 递减。 ，， 。 16.解： (1) ：对称轴 ，递增 ，递减 ； ：对称轴 ，递增 ，递减 ； 递增区间：；递减区间：。 (2) ，定义域 。 内层 ，对称轴 ，开口向下； 外层 递增。 同增区间 ，同减区间 。 17. 证明： (1) 任取 ， ，，， ， 在 增。 (2) 解：， 递增 。 (3) 解：定义域 ，，且 交集： 或 。 18.解： (1) 因为 ，所以 ， 因为 为偶函数，且在 上单调递减， 所以 ， 所以 值域为 ， 根据题意，， 因为 ，所以 ， 则 ， 又 ， 所以 ， 即存在 使得 ，则称 是 上的 阶“界近函数”。 (2) 由题意知，， ，解得 ， 即 ， 令 ，，， 所以函数化为 ， 即 ，两边平方得：， 整理得：， 所以 ，可得 ，， 即函数最大值 ， 又 ， 当 时，，当 时，， 所以函数值域为 ， 则 ，需满足 ， 令 ，， 其中分母 关于 是递增函数， 所以 在 上单调递减， 所以 ， 所以 的最小值为 。 所以 ，解得 ， 所以 ； 当 时，函数 ， 两边平方得：， 即 ， 该方程有实数解，则 ， 可得 ，， 即当 时，函数最小值 ， 若 ，即 时， 函数 在 上单调递减，，， 所以 ； 若 ，即 时， 函数在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ， 且 ， 因为 ，所以 ， 所以 或 ，而 ， 所以 恒成立， 所以 ； 当 时，， 其中分母 是关于 的递增函数， 所以函数 在 上单调递减， 所以 ，， 所以 成立，所以 时成立。 综上， 的取值范围为 。 19.解： (1) ， ：对称轴 ，递增 ，递减 ； ：开口向下，对称轴 ， 递增； 递增：；递减：。 (2) ，， ， 在 递减，， 。 学科网（北京）股份有限公司 $