3.2双曲线教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第一册　第3章 3.2　双曲线 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　双曲线的定义与标准方程 （1）教材出处 选择性必修第一册 第三章 3.2.1 双曲线及其标准方程 正文；含建系过程的“探究”栏目，以及课后习题中由焦点、双曲线上一点求标准方程的基本题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 平面内与两个定点 的距离之差的绝对值等于非零常数 （）的点的轨迹叫做双曲线。两定点叫焦点， 叫焦距。标准方程： · 焦点在 轴：（），； · 焦点在 轴：（），； · 三量关系：，（ 与 无大小关系）。 图 1　双曲线 的图形、焦点、顶点、渐近线与焦半径 （3）推导证明 以焦点在 轴为例。设 ， 满足 。去绝对值后设 ，即 移项并平方： 化简得 。再平方并展开： 令 ，两边同除 ，即得 。焦点在 轴的情形由对称性交换 得到。 （4）适用条件与易错提醒 · 定义中必须是“距离之差的绝对值”为常数 ；若去掉绝对值，轨迹只是双曲线的一支。 · 常数 必须严格小于 ： 时轨迹为两条以 为端点的射线， 时轨迹不存在。 · 判断焦点位置只看“正项在谁的分母下”： 的系数为正则焦点在 轴， 的系数为正则焦点在 轴；不能像椭圆那样看分母大小。 · 双曲线中 ，但 与 无大小关系； 时为等轴双曲线。 · 方程 表示双曲线 ；进一步 时为等轴双曲线。 · 求标准方程时先定位焦点，再设方程；若焦点位置未定，要分两种情况讨论，不能只写一种。 （5）考点定位与命题角度 选填为主，考“由定义或焦点条件求标准方程”“判断二次方程所表曲线类型”；解答题中常作圆锥曲线大题的第一问铺垫。难度基础到中档。近年真题：2025 新课标Ⅰ·3（虚轴与实轴关系求离心率）、2023 北京·12（由焦点和离心率求方程）、2024 全国甲卷·5（由焦点和双曲线上一点求离心率）。 （6）方法归纳 · 第一步　定位焦点：由已知焦点坐标、焦距或图形条件判断焦点在哪条坐标轴上。 · 第二步　设方程：按焦点位置设 或 ；若已知渐近线则改设 （）。 · 第三步　列方程：把定义中的 、 或已知点坐标代入方程。 · 第四步　联立 解出 ，写标准方程并回验。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知双曲线的焦点为 ，且双曲线上一点 到两焦点的距离之差的绝对值为 ，求该双曲线的标准方程。 解析 焦点在 轴上，。由定义 ，，。。故所求方程为 例题 2（教材原题改编） 已知双曲线 的焦点在 轴上，焦距为 ，且 过点 ，求 的标准方程。 解析 焦点在 轴，设 。焦距 ，，，即 。代入 ： 通分得 ，整理得 ，即 。因 ，取 ，。故 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） （改编自 2025 新课标Ⅰ卷·3）已知双曲线 （）的虚轴长是实轴长的 倍，求 的离心率。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知双曲线 与椭圆 有公共焦点，且 过点 ，求 的标准方程。 条目二　渐近线与共渐近线的双曲线系 （1）教材出处 选择性必修第一册 第三章 3.2.2 双曲线的简单几何性质 正文对渐近线的推导；课后习题中“求渐近线方程”“由渐近线与一个条件求双曲线”两类题；共渐近线双曲线系由正文方程直接推广得到。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 焦点在 轴： 的渐近线为 ，即 。 · 焦点在 轴： 的渐近线为 。 · 共渐近线的双曲线系：与 共渐近线的双曲线可统一设为 （）； 时焦点在 轴， 时焦点在 轴。 · 等轴双曲线： 时渐近线为 ，两条渐近线互相垂直，离心率 。 图 2　共渐近线的双曲线系： 与 时开口方向互换 （3）推导证明 由 解得 。当 时， 故 ，曲线无限接近直线 但永不相交。焦点在 轴的情形由对称性交换 得到。 共渐近线系：若 （），把 化为 ，得 （）或 （）。两种情形的实轴平方分母与虚轴平方分母之比恒为 ，故渐近线均为 。 （4）适用条件与易错提醒 · 焦点位置不同，渐近线表达式不同：焦点在 轴时 ；焦点在 轴时 。统一记法：把双曲线方程右边的 换成 ，解出 即得渐近线。 · 共渐近线的双曲线系必须写 ； 时退化为渐近线本身（一对相交直线）。 · 已知渐近线方程 时，不能直接断定焦点在 轴；需由已知点或其他条件确定 的正负。 · 共渐近线不等于共焦点；共焦点的双曲线系应设 （ 固定， 变）。 · 等轴双曲线 的判别特征：渐近线互相垂直 方程可写成 （）。 · 只知道渐近线斜率时，双曲线不唯一，必须再有一个独立条件（过一个点、焦距、离心率等）。 （5）考点定位与命题角度 选填高频，命题角度包括： · 已知渐近线与一个附加条件（过一个点、焦点坐标、离心率）求双曲线方程； · 由双曲线方程反求渐近线，并与圆、抛物线、直线等组合求弦长、切线、面积； · 判断某方程所表曲线的渐近线是否与已知双曲线相同。 对应 2023 全国甲卷·文 9（渐近线与圆的弦长）、2023 天津·9（渐近线与焦点条件）、2025 全国二卷·11（渐近线与以焦距为直径的圆）、2022 北京·12（由渐近线求参数）。难度基础到压轴。 （6）方法归纳 · 第一步　设方程：若知渐近线 （斜率比 ），设 （）；或直接设 （）。 · 第二步　代入附加条件（点坐标、焦点、离心率）建立关于参数的方程。 · 第三步　解方程，由 的正负判定焦点位置。 · 第四步　化为标准方程 或 ，回代验证。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 求双曲线 的渐近线方程。 解析 化为标准式：，，，焦点在 轴。把右边 换成 ：，解得 。故渐近线为 例题 2（教材原题改编） 求与双曲线 共渐近线，且过点 的双曲线方程。 解析 设所求为 （）。代入 ： 即 。因 ，焦点在 轴。方程化为 ，两边乘 ： 即 。故所求方程为 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） （改编自 2023 全国甲卷·文 9）已知双曲线 （）的离心率为 ， 的一条渐近线与圆 交于 两点，求 。 变式 2-2（优质模拟改编） 已知双曲线 的渐近线方程为 ，且 过点 ，求 的标准方程。 条目三　双曲线的几何性质与离心率 （1）教材出处 选择性必修第一册 第三章 3.2.2 双曲线的简单几何性质 正文，包括范围、对称性、顶点、实轴虚轴、离心率的定义与几何意义，以及课后关于通径与离心率的习题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 以 （）为例： · 范围： 或 ，。 · 对称性：关于 轴、 轴、原点对称；原点为对称中心。 · 顶点：；实轴长 ，虚轴长 （虚轴端点 不在双曲线上）。 · 离心率：； 越大 越大 渐近线越陡 开口越开阔。 · 通径：过焦点垂直于实轴的弦，长 。 · 等轴双曲线：，渐近线为 ，离心率 。 （3）推导证明 · 范围：由 得 。 · 离心率：，，故 。渐近线斜率 ，随 单调增。 · 通径：过 作 交 于 。代 得 ，故弦长 。 · 等轴： 时 ，渐近线 ，两条渐近线互相垂直。 （4）适用条件与易错提醒 · 双曲线离心率 是定义性特征；（等轴双曲线）； 时双曲线趋近于两条射线， 时开口趋近于两条渐近线。 · 通径 与实轴 的大小：。 · 离心率范围问题：常构造 齐次不等式，两边同除 转成 的不等式；同时别忘了 的下界。 · “虚轴端点 ”不在双曲线上，只是辅助点，不要当成顶点。 · 焦点位置看正项，不能像椭圆那样看分母大小；求 时用 ，不要误用椭圆的 。 · 由离心率求方程时，先由 得 ，再代入点坐标；最后要回验 。 （5）考点定位与命题角度 高考选填高频，“求离心率或离心率取值范围”是双曲线考查的第一热点，命题角度： · 定义法：焦点三角形（角度、边长比）→ 用 与余弦定理列式。 · 齐次式：由 齐次方程或不等式两边同除 得 的方程。 · 几何法：焦点到渐近线距离、通径、以焦距为直径的圆等几何性质。 · 交点法：由过焦点的直线与双曲线交点满足的向量关系反推 。 对应 2024 新课标Ⅰ·12、2023 新课标Ⅰ·16、2023 天津·9、2024 全国甲卷·5、2025 全国二卷·11 等。难度中档到压轴。 （6）方法归纳 · 第一步　标条件：把已知的角度、边长、切线、圆等信息标在图上，识别焦点三角形或几何关系。 · 第二步　用定义：设 ，由 （右支 ）；结合余弦定理或已知条件列第二个方程。 · 第三步　消参：整理成 齐次式（利用 消去 ）。 · 第四步　求 ：两边同除 得 的方程或不等式；解方程或结合 定范围。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 求双曲线 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程。 解析 ，，故 。 · 实轴长 ；虚轴长 。 · 焦点 ；顶点 。 · 离心率 。 · 渐近线：，即 。 例题 2（教材原题改编） 已知双曲线 （）的离心率 ，且 过点 ，求 的标准方程。 解析 由 得 ，故 。设 。代入 ： 故 ，。所求方程为 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） （改编自 2024 新课标Ⅰ卷·12）已知双曲线 （）的左、右焦点为 ，过 作平行于 轴的直线交 于 两点，若 ，，求 的离心率。 变式 3-2（优质模拟改编） 已知双曲线 （）的左、右焦点为 ， 为 右支上一点，，且 ，求 的离心率。 条目四　焦点到渐近线距离等常用结论 （1）教材出处 选择性必修第一册 第三章 3.2.2 双曲线的简单几何性质 正文与课后习题（涉及焦点到渐近线的距离、通径）；本组结论均由正文的 关系、渐近线、离心率与双曲线定义直接推出。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：高考常用推导结论。以下五式均由 3.2 节教材正文（标准方程、、渐近线、离心率、定义）直接推出： · 焦点到渐近线距离：（虚半轴）。 · 顶点到渐近线距离：。 · 焦半径：焦点在 轴时，右支上点 满足 ，；左支上 ，。统一记为 。 · 渐近线夹角：焦点在 轴时，两渐近线所成锐角（或直角） 满足 ；等轴双曲线 。 · 焦点三角形面积：设 为双曲线上一点，，则 。 图 3　焦点 到渐近线的距离恰为 （虚半轴），， （3）推导证明 · 焦点到渐近线距离：焦点 ，渐近线 （即 的整式）。距离 同理焦点 到另一条渐近线 的距离也是 。 · 顶点到渐近线距离：顶点 到 的距离 · 焦半径：右支 。设 ，由定义 。又 故 。联立解得 ，。左支由对称性取相反号。 · 渐近线夹角：两条渐近线 关于 轴对称，斜率 。设 为一条渐近线与 轴正方向所成角，。若 （），两渐近线夹角 ，；若 （），夹角（锐角），。合并为 。等轴 时 。 · 焦点三角形面积：设 ，由定义 。在 中，由余弦定理 故 。于是 （4）适用条件与易错提醒 · 焦点到渐近线的距离恒为 ，与选哪条渐近线无关（对称性）。 · 顶点到渐近线距离 与焦点到渐近线距离 之比 ；由此可快速由 反求比值。 · 虚轴端点 到渐近线距离同样等于 （由对称性）。 · 焦半径公式区分左右支：右支 ，左支 ；统一记法 ，用绝对值可避免符号错。 · 焦点三角形面积公式中 必须是 ，且 在任一支都成立；不要与椭圆的 混用。 · 渐近线夹角默认指锐角或直角；若题目明示求钝角，答案取补角。 （5）考点定位与命题角度 选填高频，以焦点、渐近线、通径、圆等几何元素为载体，求离心率、方程或弦长。命题角度： · 焦点到渐近线距离等于某已知线段（如 、、通径长）→ 建立 关系。 · 以焦点或实轴为直径的圆与渐近线交于两点 → 用垂径定理求弦长。 · 通径与实轴、虚轴长度比较 → 求离心率范围。 · 焦点三角形给出角度与一边比 → 用面积公式或余弦定理求 。 对应 2023 天津·9、2023 全国甲卷·文 9、2025 全国二卷·11、2023 新课标Ⅰ·16。难度中档到压轴。 （6）方法归纳 · 第一步　画图：标出焦点、顶点、渐近线、通径端点、圆等所有已知几何元素。 · 第二步　识别公式：把已知长度与 、、、 等标准量对应；勿混淆椭圆与双曲线公式。 · 第三步　列关系：由已知条件得到 的方程或不等式。 · 第四步　消元求 ：利用 消去 ，两边同除 转为 的方程；结合 定解。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 求双曲线 的焦点到渐近线的距离。 解析 ，。渐近线 ，即 。焦点 到渐近线 的距离 例题 2（教材原题改编） 已知双曲线 ， 为右支上一点，且 ，求 的面积。 解析 ，故 。由焦点三角形面积公式 （8）变式训练 变式 4-1（高考真题改编） （改编自 2023 天津·9）已知双曲线 （）的右焦点 到一条渐近线的距离为 ，且 ，求 的离心率与标准方程。 变式 4-2（优质模拟改编） 已知双曲线 （）的右顶点 到一条渐近线的距离等于 （ 为半焦距），求 的离心率。 条目五　直线与双曲线交点个数与渐近线平行情形 （1）教材出处 选择性必修第一册 第三章 3.2.2 双曲线的简单几何性质 课后习题“直线与双曲线的位置关系”；章末复习参考题中的直线与双曲线综合题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式（联立方程的判别式讨论）。 设直线 与双曲线 联立，消去 得 交点个数分类： · （，直线与渐近线平行）： 退化为一次方程（前提 ）， 与双曲线恰有一个公共点（落在双曲线的一支上，非切点）；若 ， 与渐近线重合，无公共点。 · ： 为二次方程，判别式 。 · （）：两个交点；由韦达 判断分布—— 时 （两支各一点）， 时 （同支两点）。 · ：一个交点（切点）。 · ：无交点。 · 直线过双曲线中心（）： 时 与双曲线交于两支上的两点； 时无交点； 时 与渐近线重合，无公共点。 图 4　直线与双曲线交点个数的四种典型情形：（1）与渐近线平行，一个公共点；（2）与两支各交一点；（3）无公共点；（4）过顶点的竖直切线，一个公共点 · 竖直线 ： 时与双曲线交于同支两点； 时相切于顶点； 时无交点。 （3）推导证明 把 代入 ，两边乘 ： 展开： 即 。 情形一：，即 。若 ， 化为 ， 唯一；对应直线与双曲线一支相交一次（不切）。若 ，则 与渐近线重合，无公共点。 情形二：。计算判别式： 故 ，其符号由 决定。 同支/两支：韦达 。分子 。当 时 ，两根异号，两支各一点；当 时 ，两根同号，同支两点（此时须 ，即 ，故 ）。 （4）适用条件与易错提醒 · 平行于渐近线的直线（，）与双曲线只有一个公共点，但不是切线（因为二次项系数为零，联立方程退化）。“一个公共点”与“相切”不能等价。 · 判别式 的使用前提是二次项系数 ；必须先讨论 的情形。 · 直线过双曲线中心时（）， 有两交点（分布在两支）， 无交点——这一结论极易与椭圆（过中心必有两交点，且无斜率门槛）混淆。 · “同支两点”要求 且 ；仅由 无法保证有实根，需再验 。 · 直线 （）垂直于实轴，与双曲线交于同支两点； 时相切于顶点； 时无交点。此类斜率不存在的情形需单独讨论。 · 中点弦问题使用“点差法”后，必须回代验证 ，否则可能得到与双曲线不相交的“伪中点弦”。 （5）考点定位与命题角度 选填考“直线与双曲线交点个数”“渐近线平行时的特例”；解答题中作为圆锥曲线综合题的核心步骤，命题角度包括： · 已知交点个数反求参数（、）范围； · 弦长、中点、面积、向量数量积等； · 与渐近线、圆、椭圆组合的综合题。 对应 2024 北京·13（含参直线与双曲线恰有一个公共点）、2023 全国乙·11（中点弦）、2022 新高考Ⅰ·21（直线与双曲线综合）。难度中档到压轴。 （6）方法归纳 · 第一步　分类：先看直线斜率是否存在；存在时看 是否等于 （与渐近线平行）。 · 第二步　联立： 代入双曲线方程，整理为关于 的一元方程（一次或二次）。 · 第三步　判别：二次方程用 定交点个数；结合韦达 判“同支/两支”。 · 第四步　用弦长公式 求长度；或用中点、面积、向量条件反解参数。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 判断直线 与双曲线 的交点个数，并求交点坐标。 解析 联立：。两边乘 ： 展开得 ，即 ， 或 。对应 或 。故直线与双曲线有两个交点 与 。 判别式验证：，。；，确有两交点。，两交点分别在左右两支。 例题 2（教材原题改编） 已知双曲线 ，判断直线 与 的交点个数（对不同的 讨论）。 解析 ，渐近线 。所给直线 的斜率 ，与渐近线平行。 联立：。乘 ： 即 。 · 若 ：得 ，无解；此时直线与渐近线重合，与双曲线无公共点。 · 若 ： 唯一解；直线与双曲线恰有一个公共点（落在 的一支上）。 综上： 时无交点； 时恰有一个交点，且该交点非切点。 （8）变式训练 变式 5-1（高考真题改编） （改编自 2024 北京卷·13）若直线 与双曲线 只有一个公共点，写出 的一个取值。 变式 5-2（优质模拟改编） 已知双曲线 ，直线 。问： 为何值时， 与 1. 恰有一个公共点； 1. 有两个公共点，且两公共点在 的同一支上； 1. 有两个公共点，且两公共点在 的不同支上。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析：虚轴长 ，实轴长 。由题 ，即 ，。 故 （取正值，）。 变式 1-2 答案与解析 答案：。 解析：椭圆 的焦点在 轴，，。双曲线 与椭圆共焦点，故 焦点在 轴，，。设 。代入 ： 通分得 ，整理得 ，即 。因 ，取 ，。故 变式 2-1 答案与解析 答案：。 解析：由 得 ，，即 （等轴双曲线）。渐近线 ，即 。圆 的圆心为 ，半径 。圆心到渐近线 的距离 由垂径定理： 由对称性，另一条渐近线 所得弦长同为 。 变式 2-2 答案与解析 答案：。 解析：渐近线 对应 或 。设 （，两种情形统一处理）。代入 ： 即 。故 ，化标准式 ，焦点在 轴，。 变式 3-1 答案与解析 答案：。 解析：过 作 ，交 于 （不妨 ），。故 即 。 在右支，由定义 ，即 ，。由 得 。于是 。故 变式 3-2 答案与解析 答案：。 解析：设 ，则 。 在右支，由定义 ，，。故 ，，。在 中用余弦定理： 故 ，，（）。 变式 4-1 答案与解析 答案：，。 解析：由结论“焦点到渐近线的距离为 ”，条件给出 ，。，，。故 。于是 即 。 变式 4-2 答案与解析 答案：（等轴双曲线）。 解析：由结论“顶点到渐近线的距离为 ”，条件化为 即 。两边平方：。用 代入： 展开 。两边同除 ： 即 ，，。由 得 。此时 ，双曲线为等轴双曲线。 变式 5-1 答案与解析 答案：（也可取 、、，写出一个即可）。 解析：联立 与 ： 即 · 若 ，即 ：方程退化为一次方程，直线与渐近线平行，恰有一个公共点。 · 若 ：判别式 令 ，得 ，即 ，此时直线与双曲线相切，恰有一个公共点。 综上， 的取值为 或 ，写出其中一个即可。 变式 5-2 答案与解析 答案：（1） 或 ；（2）；（3）。 解析：。联立 与 ： 即 （1）恰有一个公共点： · 二次项系数 ，即 （与渐近线 平行）：方程退化为 ，，一解。 · 或 ：，，。 综上， 或 。 （2）两公共点在同支：需 且 且 。 。 合并得 ，即 。 （3）两公共点在不同支： 且 。 ，且 合并得 ，即 。 人教A版·选择性必修第一册　第3章 3.2 双曲线　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $