7.4 双曲线 讲义-2027届高三数学一轮复习

第三编 · U7 解析几何 7.4双曲线 高中数学一轮复习讲义 一、考情与考点定位 本节先回答三个问题：高考怎么考、必须记准什么、这一讲要练哪几类模型。 （一）高考怎么考 双曲线在卷面上的位置与椭圆对称：小题考三量关系与渐近线，一道五分的选择或填空；大题很少单独命题，多在圆锥曲线综合题中作为后两问的背景。独立小题反复落在三个位置：给实轴与虚轴的倍数关系反求离心率（三量关系）；给渐近线方程、渐近线被圆截得的弦长，或判断直线与曲线有无公共点（渐近线）；给点到两焦点的距离，用定义直接出 、（定义）。 与椭圆相比，双曲线多出一件工具——渐近线。它把“直线与曲线有无交点”变成一次斜率比较，是命题人偏爱的新增抓手。 表 1: 高考双曲线考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2025 全国一卷 3 虚轴长与实轴长的倍数关系，求离心率 2025 全国二卷 11（多选） 以焦距为直径的圆与渐近线的交点，判角、离心率与面积 2024 新课标Ⅰ卷 12 过焦点作平行于虚轴的弦，用定义求离心率 2024 全国甲卷（理） 5 焦点在 轴上，给点到两焦点的距离，用定义求离心率 2023 全国甲卷（理） 8 由离心率定渐近线，再求渐近线被圆截得的弦长 表 1 有两条信息值得注意。一是离心率仍是第一考点：2025 年全国一卷第 3 题只给一个倍数关系，2024 年全国甲卷（理）第 5 题只给两个距离，2024 年新课标Ⅰ卷第 12 题给一条特殊弦，三处都不需要联立方程。二是渐近线正在成为新的增长点：2025 年全国二卷第 11 题把渐近线与圆放在一起考四个选项，2023 年全国甲卷（理）第 8 题先由离心率定渐近线再算弦长。两条线指向同一个动作：先把题面翻成 、、 的等式，再看要不要动用渐近线。 （二）必备知识清单 表 2: 本讲必备知识清单 知识块 必须记准的内容 掌握要求 定义 ； 时是两条射线， 时不存在 会由文字翻成等式并判断轨迹 标准方程 焦点在 轴：；焦点在 轴：，均要求 、 会由正项判焦点位置 三量关系 ， 最大； 不与椭圆的 混用 渐近线 焦点在 轴：；焦点在 轴：；令右边为 0 即得 会写、会画，会用斜率判交点 几何性质 实轴 、虚轴 ；顶点 ；范围 ；通径长 会写会算，能画草图 焦半径与焦点三角形 右支点 ：，； 会用定义现推 二、知识梳理：把定义变成可操作的动作 双曲线的全部公式都从一句话长出来：到两个定点的距离之差的绝对值等于常数。这一节把这句话拆成六个动作，每个动作对应一类题面的第一反应。 （一）定义：先把“距离之差”写成 题面出现“到两定点距离之差”，第一个动作就是把两个根号摆出来，令其差的绝对值等于常数： 第二个动作是比大小。常数与 的大小关系决定轨迹是什么： · ：轨迹是以 、 为焦点的双曲线； · ：轨迹是以 、 为端点、向外延伸的两条射线； · ：轨迹不存在（三角形两边之差小于第三边）。 第三个动作最容易被跳过——看有没有绝对值。题面写 （不带绝对值）时， 离 更近，轨迹只有靠近 的那一支；写成差的绝对值，才是两支都要。 （二）标准方程：先看正项，再定 与 双曲线只有两种标准形式，区别在减号后面是谁： 判断焦点的动作是看正项： 项是正的，焦点在 轴； 项是正的，焦点在 轴。记成一句话——焦点跟着正项走。这与椭圆“跟着大分母走”恰好相反，是选择题最常设的陷阱。 当题面没有说明焦点在哪条轴上时，设 （）可以一次覆盖两种情形，最后按 、 的正负回填，必要时把两个答案都写出来。 （三）三量关系与离心率： 最大， 双曲线里 、、 的关系是 是三者中最大的，没有“ 最大”这一说（那是椭圆）。离心率 于是有两个常用变形： 凡是题面给“实轴长与虚轴长之比”“渐近线的斜率”“离心率”中的任意一个，都能立刻换成另外两个，这是本讲运算量最小的一条路。 （四）渐近线：令右边为零 求渐近线最快的方法不是背公式，而是把标准方程右边的 1 改成 0： 焦点在 轴上时同理得到 。两条渐近线的斜率绝对值，一个是 ，另一个是它的倒数，写反了整道题就错了。 渐近线还有两个必记的推论： 渐近线的两个推论 共渐近线系：与 共渐近线的双曲线可统一写成 ，其中 焦点在 轴上， 焦点在 轴上；题面只给渐近线再加一个点时，设它并代入定点求 。 渐近线上的定点：渐近线 上到原点距离为 的点恰是 ，因为 。它正是以 为直径的圆与渐近线的交点，见到这个圆就不必再解方程。 特别地，当 时双曲线称为等轴双曲线，渐近线为 ，离心率 。 （五）几何性质：六个量一次记全 双曲线的六个量 范围：焦点在 轴时 ， 可取任意实数。 对称性：关于 轴、 轴、原点都对称。 顶点与轴长：实顶点 ；虚轴端点 不在曲线上，只用来画渐近线矩形；实轴长 ，虚轴长 ，焦距 。 离心率与通径：，越接近 1 开口越窄；通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长 ，把 代入即得 。 （六）焦半径与焦点三角形 设 在右支上（），、 为左、右焦点，则 推导与椭圆完全平行：把 展开，用 与 化简即可。因为 ，所以右支上的点到右焦点的距离满足 最小值在右顶点处取到。这一条是“存在性”问题的判据：凡是反求参数范围的题，最后都要回到这个不等式。 再看焦点三角形。设 ，记 、，则 。由余弦定理 代入 与 ，得 注意这里是 ，与椭圆的 正好相反，一起记时最容易串。 这一讲的三句话 定义了距离之差，就一定先写 并比一比 ；给了渐近线或开口，就一定先把 定下来；问离心率，就把条件化成 再代入 。三句话覆盖本讲八成的题。 三、题型模型分类：先认情境，再选工具 双曲线的题面也很短，但“该动哪一步”由图形决定：动点是不是被两个定点夹住、条件给的是距离还是比值、题面有没有提到渐近线或开口。按这三点分成六个模型。 表 3: 双曲线的六个模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 定义与轨迹 给两定点一个动点，说“距离之差为定值” 令差等于 ，比 与 ，看有无绝对值 例 1 二 · 定义求离心率 直接给出点到两焦点的距离 差的绝对值定 ，焦点坐标定 例 2 三 · 求标准方程 只给渐近线，再加一个点 设共渐近线系求 例 3 四 · 三量与离心率 给两轴的倍数关系或数值 换成 后代公式 例 4 五 · 渐近线 题面出现“渐近线”“有无交点” 令右边为 0，比斜率或算距离 例 5 六 · 通径与焦点弦 过焦点作垂直于实轴的直线 代 得 例 6 （一）模型一：定义与轨迹 识别标志是“动点到两定点距离之差为常数”。标准动作三步：把定值认成 ，与 比大小，再看题面有没有绝对值。易错处在最后一步——不带绝对值就只写一支。 （二）模型二：定义求离心率 识别标志是题面直接给出点到两焦点的距离。标准动作两步：由 定 ，由焦点坐标定 ，再算 。易错处是焦点在 轴上时把 看成了横坐标。 （三）模型三：求标准方程 识别标志是问“求双曲线的标准方程”，条件里带着渐近线或离心率。标准动作两条路：给渐近线就设共渐近线系 代入定点求 ；给离心率就先由 定 再代入定点。易错处是焦点位置未定时只写一种情形。 （四）模型四：三量与离心率 识别标志是题面给实轴长、虚轴长、焦距中两个量的倍数关系，最后问离心率。标准动作是把倍数换成 代入 。易错处是倍数代反，或最后不验 。 （五）模型五：渐近线 识别标志是题面出现“渐近线”“开口大小”，或问“直线与双曲线有无公共点”。标准动作是先写渐近线再比斜率：直线 与 有公共点的条件是 ，无公共点是 。渐近线与圆相交时，退化为“弦心距加勾股”求弦长。 （六）模型六：通径与焦点弦 识别标志是“过焦点作垂直于实轴（平行于虚轴）的直线”。标准动作是把 代入，得交点纵坐标 ，故弦长 、焦点到交点距离 ，再与定义式联立出 、。易错处是把通径长记成 （漏掉因子 2）。 四、例题精讲 六道例题一一对应上面六个模型，其中四道来自高考真题。每题统一按四步展开：认模型 → 摆已知 → 推关系 → 校验。最后一步专管四件事： 与 的大小、支的取舍、、点是否真的落在曲线上。 （一）模型一：定义与轨迹 例题 1（模型一·距离之差定轨迹） 已知两个定点 、，动点 满足 ，求点 的轨迹方程。 第 1 步 · 认模型：题面给两个定点、一个动点，说的是“距离之差为定值”——模型一。注意这里没写绝对值，这一条要留到最后处理。 第 2 步 · 摆已知：，即 ，；定值 6 就是 ，故 。因为 ，轨迹确实是双曲线而不是射线。 第 3 步 · 推关系：由 得 又焦点在 轴上，标准形式为 ，即 第 4 步 · 校验：题面是 ，说明 ， 离 更近，只能取靠近 的那一支，即右支，必须补上 。若题面改成 ，才是两支都取。 故点 的轨迹方程为 图 1: 动点 P 到两定点 F1、F2 的距离之差恒为定值的情形 “差的绝对值”与“差”不是一回事 给出两支， 只给出靠近 的一支：题面没写绝对值，答案后面必须跟 或 。若轨迹来自三角形的顶点，还要删去共线的点。 （二）模型二：定义求离心率 例题 2（模型二·焦点在纵轴上的定义题） 已知双曲线的两个焦点分别为 、，点 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（） 第 1 步 · 认模型：题面给两个焦点、给双曲线上一点到这两个焦点的距离——模型二。焦点都在 轴上，说明正项是 ，这一点先记下来。 第 2 步 · 摆已知：两个焦点的纵坐标是 ，故 再算 到两个焦点的距离： 第 3 步 · 推关系：由定义，双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值等于 ： 于是 第 4 步 · 校验：，，符合双曲线要求；，曲线存在；把 代入 得 ，点确实在曲线上。 故选 C。 图 2: 焦点在纵轴上的双曲线与其上一点 P 到两焦点的连线 焦点不在横轴上时的三个提醒 一、焦点坐标里相同的那个分量才是 ， 与 要分清。二、正项跟着焦点走：焦点在 轴上就写 。三、两焦半径谁大谁小不影响结果，因为定义取的是差的绝对值。 （三）模型三：求标准方程 例题 3（模型三·共渐近线系） 已知双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且 经过点 ，求 的标准方程。 第 1 步 · 认模型：只给渐近线、再给一个点，最后问方程——模型三，标准动作是设共渐近线系，而不是另起 、。 第 2 步 · 摆已知：已知双曲线的渐近线由 给出，即 。与它共渐近线的双曲线可统一设为 第 3 步 · 推关系：把点 代入： 故 。于是 第 4 步 · 校验： 说明正项是 ，焦点在 轴上，故 、，，；把点代回：，点在曲线上；渐近线为 ，与已知一致。 故 的标准方程为 图 3: 两条共用同一对渐近线的双曲线与其中一条上的已知点 看到“共渐近线”就设参数 凡是题面说“与某双曲线有共同的渐近线”，都不要重新设 、，直接写 ，代入定点一次求出 。 的正负还顺带解决了焦点位置：正则在 轴，负则在 轴。这一招比“分两种情况各设一次”快一倍，也不会漏解。 （四）模型四：三量与离心率 例题 4（模型四·虚轴与实轴的倍数） 若双曲线 的虚轴长是实轴长的 倍，则 的离心率为（） 第 1 步 · 认模型：题面只给两个轴的倍数关系，只问离心率——模型四，动作是把倍数换成 。 第 2 步 · 摆已知：实轴长为 ，虚轴长为 ，题设“虚轴长是实轴长的 倍”即 第 3 步 · 推关系：两边平方得 ，代入 ： 也可直接用 ，两步到位。 第 4 步 · 校验：，符合双曲线要求；此时 ，三量大小顺序 正确（双曲线里 最大，不必有 ）。 故选 D。 “倍数”说的是轴长，不是半轴 “虚轴长是实轴长的 倍”写成 ，约去 2 后仍是 ，所以半轴之比等于轴长之比。但“焦距是实轴长的 倍”同样是 ——三种轴长同时放大同一倍数，比值不变。真正容易错的是把 当成 ：只要记住 是渐近线的斜率， 就不会代反。 （五）模型五：渐近线 例题 5（模型五·渐近线被圆截得的弦长） 已知双曲线 ： 的离心率为 ， 的一条渐近线与圆 交于 、 两点，则 第 1 步 · 认模型：题面给离心率、给一个圆，问渐近线被圆截得的弦长——模型五。离心率只是用来定渐近线的，之后就是一道直线与圆的题。 第 2 步 · 摆已知：由 得 故渐近线为 。圆的圆心为 (2,3)，半径为 1。 第 3 步 · 推关系：先判哪条渐近线与圆相交。圆心 (2,3) 到 的距离为 ，与圆无交点；到 （即 ）的距离为 由勾股定理，半弦长为 ，故 第 4 步 · 校验：，直线与圆确实相交于两点；另一条渐近线距离 ，不可能另有交点，故 、 唯一。 故选 D。 图 4: 圆心、渐近线与圆的两个交点构成的弦 渐近线被圆截弦的两步 一、先判是哪一条：两条渐近线关于原点对称，圆心到它们的距离一般不相等，只有距离小于半径的那条才与圆相交。二、再用“半径、弦心距、半弦长”的直角三角形：，其中 用点到直线的距离公式算。这两步与双曲线本身无关，是纯直线与圆的计算。 （六）模型六：通径与焦点弦 例题 6（模型六·过焦点的竖直弦） 设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、，过 作平行于 轴的直线交 于 、 两点。若 ，，求 的离心率。 第 1 步 · 认模型：直线过焦点且平行于虚轴（即垂直于实轴），给出的全是弦上各段的长度——模型六。核心动作是把 代进去，把纵向长度换成 。 第 2 步 · 摆已知：由对称性，、 关于 轴对称，故 。把 代入方程，并用 ： 所以 ，即 。 第 3 步 · 推关系：对点 用定义（ 在右支上，）： 代入 得 ，于是 第 4 步 · 校验：，； 代入方程得 ，点在曲线上；，与题设一致。 故 的离心率为 。 图 5: 过右焦点且垂直于实轴的弦与左焦点到交点的连线 通径长别漏乘因子 2 把 代入得交点纵坐标 ：整条弦长是 ，焦点到单个交点的距离才是 。本题 是整条弦，先除以 2 再用。这条弦也是过焦点的弦中最短的一条。 五、易错点辨析 下表六条覆盖本讲最常见的失分点，共同特征是：公式都写对了，出错在“前提”与“取舍”上。 表 4: 本讲六个高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 见“距离之差为定值”就写两支 没看有没有绝对值 有绝对值写两支，否则补 或 判焦点位置时看分母大小 把椭圆规则搬到双曲线 看正项：哪个平方项为正就在哪条轴 双曲线里用 与椭圆的三量关系混淆 恒为 ， 最大 渐近线写成 没区分焦点在哪条轴 焦点在 轴是 ，在 轴是 面积套用 与椭圆的面积公式串了 双曲线是 解出 后不检验 齐次化后常有两个根 两根都验，只留大于 1 的；端点单独讨论 六、当堂检测 A 组对应六个模型的基本动作，限时 15 分钟；B 组是几何性质的组合与反求，限时 20 分钟；C 组是压轴小问。 （一）A 组：基础过关 A1 若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，求实数 的取值范围。 A2 求双曲线 的实轴长、虚轴长、焦距、离心率与渐近线方程。 A3 求与双曲线 有共同渐近线，且经过点 的双曲线的标准方程。 A4 已知双曲线 的左、右焦点为 、，点 在右支上且 ，求 。 （二）B 组：能力提升 B5 已知双曲线 的焦点为 、，点 在双曲线上且 ，求 的面积。 B6 记双曲线 ： 的离心率为 。若直线 与 没有公共点，求 的取值范围。 B7 已知双曲线的离心率为 ，且经过点 ，求该双曲线的标准方程。 B8 已知双曲线 的左、右焦点为 、，点 在右支上，点 ，求 的最小值。 （三）C 组：压轴突破 C9 已知双曲线 ： 的左、右焦点为 、。若 的右支上存在点 ，使得 ，求 的离心率的取值范围。 C10 已知双曲线 ： 的左、右焦点为 、，过 的直线交 的右支于 、 两点。 （1）若 ，试用 、 表示 的周长； （2）若过 且垂直于实轴的弦长为 6，且 的离心率为 2，求 的方程。 七、参考答案与提示 （一）A 组 A1答案：。 提示：先化成“减号”的标准形 。焦点在 轴上要求两个分母都为正，即 且 ，联立得 。等号不能取。 A2答案：实轴长 6，虚轴长 8，焦距 10，，渐近线 。 提示：，，。这里 在双曲线里完全允许；渐近线斜率是 ，不是 。 A3答案：。 提示：设 ，代入 得 ，故 ，即 。 说明焦点在 轴上，别写反。 A4答案：4。 提示：右支上的点满足 ，故 。检验：右支上 的最小值为 ，4>2，这样的点确实存在。 （二）B 组 B5答案：。 提示：记 、，则 。由余弦定理 即 ，得 ，于是 也可直接用 。检验：两根为 ，较小的 ，点存在。 B6答案：。 提示：把 代入双曲线方程： 无公共点即左边系数为非正：，即 ，也就是 ——这正是“直线不比渐近线平缓”的代数说法。于是 又双曲线要求 ，故 。端点 时直线恰与渐近线平行，仍无公共点，端点要取。 B7答案： 或 。 提示：由 得 ，即 。焦点位置未定，要分两种。焦点在 轴时设 ，代入 ： 焦点在 轴时设 ，代入得 两解都要写，漏掉第二解是本题唯一失分点。 B8答案：10。 提示：右支上 ，故 取等条件是 落在线段 上；右支与 轴交于右顶点 (3,0)，恰在线段 上，故 10 可以取到。关键是把“到较远焦点的距离”用定义换成“到较近焦点的距离加常数”。 （三）C 组 C9答案：。 提示：设 ，则 。由定义（ 在右支上，） 即 、。于是问题变成：右支上是否存在到 的距离等于 的点。右支上的点到 的距离从右顶点处的最小值 起，沿支向远处连续增大到无穷，故存在当且仅当 又双曲线要求 ，故 。端点 时，，取到的点恰是右顶点，端点可取。 C10答案：（1）；（2）。 提示：（1） 在右支围成的区域内，、 分居 两侧，所以 对 、 分别用定义：，。故周长为 （2）过 且垂直于实轴的弦即通径，把 代入得 ，故弦长为 ，即 。又 得 ，于是 。联立 故 的方程为 。检验： 与题设一致， 与题设一致。 学科网（北京）股份有限公司 $