07双曲线及其几何性质——2027届高三数学一轮复习解析几何回归教材版讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线及其几何性质，系统整合定义、标准方程、几何性质及常用结论，按知识梳理、回归教材、考点分析（定义应用、方程求解、离心率、渐近线）分层递进，通过典例精讲、方法小结、真题训练构建复习闭环，助力学生突破解析几何难点。 资料以回归教材为根基，融合高考真题与分层练习，创新采用“定义-性质-应用”逻辑链教学。如在离心率求解中，引导学生通过齐次方程转化培养数学思维，在焦点三角形问题中运用定义和余弦定理发展数学眼光。设置基础巩固与综合提升练习，配合即时方法总结，确保学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——07 双曲线及其几何性质 知识梳理： 1．双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)当a<c时，点M的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，点M的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，点M不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴； 对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双 曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长， b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3.等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 4.常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2. （4）若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a. （5）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 回归教材： 【人教A版选择性必修一第3.2.1节例1】已知双曲线两个焦点分别为，，双曲线上一点P与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 【人教A版选择性必修一第3.2.1节练习第3题】已知方程表示双曲线，求m的取值范围． 【人教A版选择性必修一第3.2.1节练习第4题】双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值． 【人教A版选择性必修一第3.2.2节例3】求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 【人教A版选择性必修一第3.2.2节P124页练习第4题】双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，求双曲线的标准方程． 【人教A版选择性必修一第3.2.2节例4】双曲线型冷却塔外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图3.2-10（1））．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）． 图3.2-10 【人教A版选择性必修一第3.2.2节例5】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【人教A版选择性必修一习题3.2第2题】求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦点在轴上，，经过点； （2）经过、两点． 【人教A版选择性必修一习题3.2第6题】求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程． 【人教A版选择性必修一习题3.2第7题】求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程. 【人教A版选择性必修一习题3.2第12题】设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 【人教A版选择性必修一习题3.2第10题】设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 考点梳理： 双曲线的定义及其应用 例、已知P是双曲线－＝1(a＞0)上的点，F1，F2是其左、右焦点，且·＝0，若△PF1F2的面积为9，则a等于(　　) A．2　　　　　　　　　 B．1 C．3 D．4 例、已知点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 例、【人教A版选择性必修一习题3.2第1题】双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为_________. 例、【人教A版选择性必修一习题3.2第5题】如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 例、已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________________． 小结：双曲线定义应用的三种类型及解题策略 求方程 通过对题设条件分析、转化，明确动点满足双曲线的定义，便可直接求解其轨迹方程。 焦点三角形问题 利用定义求焦点三角形的周长和面积.解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义、正弦定理或余弦定理，结合||MF1|－|MF2||＝2a，运用平方建立与的关系。 求最值 利用||MF1|－|MF2||＝2a转化或变形，借助三角形的性质或构造出“两点之间线段最短”求最值。 提醒： (1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支． (2)利用双曲线的定义求方程时要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置． 例、【人教A版选择性必修一第3.2.2节P124页练习第3题】对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求双曲线的标准方程和渐近线方程． 例、【人教A版选择性必修一习题3.2第4题】求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，实轴长10，虚轴长8. （2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长8. （3）离心率，经过点. 例．（2026·云南曲靖·一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 例．（2026·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 例、已知双曲线C1过点A(－，1)，且与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，则双曲线C1的标准方程为________________． 小结：求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线，由双曲线的定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值． 注意：①双曲线与椭圆的标准方程均可设为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m>0且n>0，且m≠n时表示椭圆；mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论． ②常见双曲线的设法 a．已知a＝b的双曲线，可设为x2－y2＝λ(λ≠0)； b．已知过两点的双曲线，可设为Ax2－By2＝1(AB>0)； c．已知渐近线方程为±＝0的双曲线，可设为－＝λ(λ≠0)． ③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断． ④判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支． 双曲线的离心率 例．（2026·湖北荆州·一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 例．（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________． 例．（2026·河北石家庄·一模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，满足，且的面积为，则双曲线的离心率为______. 例．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，P为双曲线C右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________． 小结：求双曲线的离心率或其范围的方法 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e>1. (3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法，例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算． (4)通过特殊位置求出离心率． （5）双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系： 当k＞0时，k＝＝＝＝；当k＜0时，k＝－＝－. 双曲线的渐近线 例、已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，焦距为6，则该双曲线的实轴长为(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 例、设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　) A.－＝1　　　　　 B．x2－＝1 C.－y2＝1 D．x2－y2＝1 例．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)是C上的点，且x＋y20＝b2，若＋＝0，且||＝3||，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 例、设O为原点，F1，F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，点P在C上且满足|OP|＝a，cos∠F1PF2＝，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.x±y＝0 B．x±y＝0 C.x±y＝0 D．x±y＝0 小结： (1)求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法：令－＝0，即得两渐近线方程为±＝0. (2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2. 跟踪练习： 1、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 2、已知双曲线的焦距为，实轴长为4，则的渐近线方程为( ). A. B. C. D. 3、过双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　) A.－＝1　　　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 4、过双曲线的左焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，与的另一条渐近线交于点，且，则的渐近线方程为( B ). A. B. C. D. 5、已知是双曲线的右焦点,是左支上一点.,当的值最小时,在轴上找一点,使的值最小,最小值为( ) A. B. 10 C. D. 6、已知点F为双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是(　　) A．(1,3)　　　　　　 B．(1,3] C．(1，] D．[，3] 7．（2026·湖南怀化·一模）设为坐标原点，是的左、右焦点，若在双曲线上存在点，满足三角形的面积为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·新疆·二模）圆锥曲线具有丰富的光学性质，如双曲线的一个光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可知，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，是双曲线C：的左、右焦点，过双曲线C右支上一点（）作直线l交x轴于点，过点作，垂足为H，则（    ） A．1 B． C． D．2 9．（多选）已知双曲线C：mx2＋ny2＝1，其焦点(0，10)到渐近线的距离为6，则下列说法正确的是(　　) A．＋＝100 B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2 10．（多选）已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则(　　) A．b＝2＋2 B．双曲线的离心率为＋1 C．双曲线的焦距为2 D．△ABF1的面积为12＋8 11．（多选）（2026·河南开封·二模）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（   ） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．若，则 12．(多选）（2026·广西桂林·一模）已知是双曲线上一点，且，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，下列说法正确的有（    ） A．的离心率为 B．若，则的面积为1 C．若，则的取值范围是 D．过的直线与交于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，则的斜率为 13、已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________． 14．（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______. 15．（2026·河北保定·一模）已知双曲线 左、右焦点分别为 ，点是上一点且位于第二象限， 的面积为，过原点O 且平行于的直线与和的平分线分别交于点，且 则双曲线的渐近线方程为________. 16．（2026·湖北十堰·二模）已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 17．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上． (1)求双曲线的方程；(2)求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积． 18．已知点F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°. (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习解析几何回归教材版讲义 ——07 双曲线及其几何性质 知识梳理： 1．双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)当a<c时，点M的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，点M的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，点M不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴； 对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双 曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长， b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3.等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 4.常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2. （4）若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a. （5）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 回归教材： 【人教A版选择性必修一第3.2.1节例1】已知双曲线两个焦点分别为，，双曲线上一点P与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为．由，，得，又，因此．所以，双曲线的标准方程为 【人教A版选择性必修一第3.2.1节练习第3题】已知方程表示双曲线，求m的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程表示双曲线即可得到，解得即可； 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或，即。 【人教A版选择性必修一第3.2.1节练习第4题】双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值． 【答案】9 【解析】 【分析】根据焦距，可得c值，根据a，b，c的关系，可得a值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】由题意得，焦距，可得，在双曲线中，所以，解得，根据双曲线定义可得，所以，解得或，当时，不满足题意，故舍去，当时，，满足题意，所以。 【人教A版选择性必修一第3.2.2节例3】求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 【解析】把双曲线的方程化为标准方程．由此可知，实半轴长，虚半轴长；由，焦点坐标是，；离心率；渐近线方程为． 【人教A版选择性必修一第3.2.2节P124页练习第4题】双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，求双曲线的标准方程． 【答案】或 【分析】若双曲线焦点在x轴，设方程为，根据题意可得，即可求得a，b的值，即可得答案；若双曲线焦点在y轴，设方程，根据题意，可得，即可求得a，b的值，即可得答案. 【详解】若双曲线焦点在x轴，设方程为，则渐近线方程为，所以，解得，所以双曲线标准方程为：； 若双曲线焦点在y轴，设方程，则渐近线方程为， 所以，解得，所以双曲线标准方程为：； 所以双曲线标准方程为或 【人教A版选择性必修一第3.2.2节例4】双曲线型冷却塔外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图3.2-10（1））．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）． 图3.2-10 解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10（2）所示的直角坐标系， 使小圆的直径在x轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径，都平行于x轴，且，．设双曲线的方程为，点C的坐标为， 则点B的坐标为．因为直径是实轴，所以．又B，C两点都在双曲线上， 所以，由方程②，得（负值舍去）．代入方程①，得． 化简得 ③．解方程③，得（负值舍去）．因此所求双曲线的方程为． 【人教A版选择性必修一第3.2.2节例5】动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合， 由此得．将上式两边平方，并化简，得，即． 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线（图3.2-11）． 图3.2-11 【人教A版选择性必修一习题3.2第2题】求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦点在轴上，，经过点； （2）经过、两点． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）可设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求得的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）设双曲线的方程为，将点、的坐标代入双曲线方程，求出、的值，即可求得双曲线的标准方程. 【详解】（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，因此，双曲线的标准方程为； （2） 设双曲线的方程为，将点、的坐标代入双曲线方程可得， 解得，因此，双曲线的标准方程为. 【人教A版选择性必修一习题3.2第6题】求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程． 【答案】. 【解析】 【分析】根据等轴双曲线可设为，点代入直接求解即可. 【详解】设所求的等轴双曲线的方程为：，将代入得：，即，所以等轴双曲线的标准方程：。 【人教A版选择性必修一习题3.2第7题】求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意双曲线方程可设为，可得关于a，b的方程组，进而求出a，b的数值即可求出双曲线的方程. 【详解】依题意，双曲线的焦点坐标是，，故双曲线方程可设为，又双曲线的离心率，∴，解之得，，故双曲线的方程为. 【人教A版选择性必修一习题3.2第12题】设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 【答案】， 【分析】根据题意，可得范围，进而可得的范围，根据椭圆、双曲线离心率的公式，化简整理，即可得答案. 【详解】设椭圆和双曲线的焦半径分别为，由题意得双曲线的渐近线方程为， 所以，则，所以， 。 【人教A版选择性必修一习题3.2第10题】设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】动点M的轨迹方程为，为焦点在x轴，长轴为2a，短轴为2b的椭圆. 【分析】设动点，设d为点M到直线l的距离，根据题意可得，化简整理，令，即可得动点M的轨迹方程，即可得答案. 【详解】设动点，设d为点M到直线l的距离，由题意得，即， 左右同时平方，化简可得， 所以，令，所以，即， 所以动点M的轨迹方程为，为焦点在x轴，长轴为2a，短轴为2b的椭圆. 考点梳理： 双曲线的定义及其应用 例、已知P是双曲线－＝1(a＞0)上的点，F1，F2是其左、右焦点，且·＝0，若△PF1F2的面积为9，则a等于(　　) A．2　　　　　　　　　 B．1 C．3 D．4 【答案】B [解析]　由·＝0得⊥，由勾股定理得||2＋||2＝||2＝2＝100a2，由双曲线的定义得|||－|||＝8a，∴64a2＝||2＋||2－2||·||＝100a2－2||·||， ∴||·||＝18a2，则△PF1F2的面积为||·||＝9a2＝9，又∵a＞0，解得a＝1. 例、已知点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】由题意可知C3，C2的圆心分别是双曲线C1：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线的左支上，则|PC2|－|PC3|＝8.又|PQ|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1，所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.故选C. 例、【人教A版选择性必修一习题3.2第1题】双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为_________. 【答案】17. 【解析】 【详解】首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为17. 例、【人教A版选择性必修一习题3.2第5题】如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 【答案】点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线，证明见解析. 【解析】 【分析】连接QA，由题意可得，所以，根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接QA，如图所示： 因为l为PA的垂直平分线，所以，所以为定值，又因为点A在圆外，所以，根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线. 例、已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________________． 答案：x2－＝1(x≤－1) 解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B. 根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． 小结：双曲线定义应用的三种类型及解题策略 求方程 通过对题设条件分析、转化，明确动点满足双曲线的定义，便可直接求解其轨迹方程。 焦点三角形问题 利用定义求焦点三角形的周长和面积.解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义、正弦定理或余弦定理，结合||MF1|－|MF2||＝2a，运用平方建立与的关系。 求最值 利用||MF1|－|MF2||＝2a转化或变形，借助三角形的性质或构造出“两点之间线段最短”求最值。 提醒： (1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支． (2)利用双曲线的定义求方程时要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置． 例、【人教A版选择性必修一第3.2.2节P124页练习第3题】对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求双曲线的标准方程和渐近线方程． 【答案】； 【分析】根据焦点坐标及题意，设方程为，根据焦点坐标，可求得，即可得答案. 【详解】因为一个焦点是，所以，且焦点在x轴，所以设等轴双曲线方程为，所以，解得，所以双曲线标准方程为，渐近线方程为. 例、【人教A版选择性必修一习题3.2第4题】求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，实轴长10，虚轴长8. （2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长8. （3）离心率，经过点. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据题意，得到的值，结合双曲线焦点所在轴，求得双曲线的标准方程； （2）根据题意，得到的值，利用双曲线中的关系，求得的值，根据双曲线焦点所在轴，求得双曲线的标准方程； （3）根据题意，得到双曲线为等轴双曲线，设出方程，利用点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程，求得结果. 【详解】（1）根据题意，所求双曲线的实轴长10，虚轴长8，可得，则有， 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为：； （2） 根据题意，双曲线的焦距是10，虚轴长为8，可得，则， 所以，又因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为：； （3）根据题意，双曲线的离心率，即，则有，所以，所以该双曲线为等轴双曲线，设其方程为，又因为双曲线经过点，则有，则，所以双曲线的标准方程为：. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的标准方程的求法，属于基础题目. 例．（2026·云南曲靖·一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线即，焦点坐标为，则双曲线的上焦点为，可设双曲线方程为，又双曲线的一条渐近线方程为，所以，，解得，所以双曲线的标准方程是. 例．（2026·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线渐近线为，不妨设在渐近线上，即，如下图所示， 由，有，所以，，所以，，中，，中，， 则有，得，又，有，解得， 所以双曲线的方程为. 例、已知双曲线C1过点A(－，1)，且与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，则双曲线C1的标准方程为________________． 答案：－＝1 解析：由双曲线C1与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线C1的方程为x2－3y2＝λ(λ≠1)，又因为C1过点A(－，1)，所以15－3＝λ，解得λ＝12，所以双曲线C1的标准方程是－＝1. 小结：求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线，由双曲线的定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值． 注意：①双曲线与椭圆的标准方程均可设为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m>0且n>0，且m≠n时表示椭圆；mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论． ②常见双曲线的设法 a．已知a＝b的双曲线，可设为x2－y2＝λ(λ≠0)； b．已知过两点的双曲线，可设为Ax2－By2＝1(AB>0)； c．已知渐近线方程为±＝0的双曲线，可设为－＝λ(λ≠0)． ③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断． ④判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支． 双曲线的离心率 例．（2026·湖北荆州·一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知M为的中点，而O是的中点，所以，由于⊥，所以是线段的中垂线，故，由双曲线的对称性知，所以，故. 例．（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义与垂直平分线性质，确定核心线段关系，联立方程求点横坐标，利用直线与双曲线右支交于两点，建立离心率不等式，确定最终范围. 【详解】设，不妨设，, 设，则，得，解得,的垂直平分线与右支交于点且直线过点，等价于直线与双曲线右支交于另一点，则，即，进一步推导：，得，代入，解得，又，所以. 例．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案：y＝±x 解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝＝＝2，所以＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. 例．（2026·河北石家庄·一模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，满足，且的面积为，则双曲线的离心率为______. 【答案】/ 【分析】设，由题意可得、，，由此求解即可. 【详解】设， 因为，所以①，又因为为中点，的面积为，所以的面积为，则有，所以②，由双曲线的定义可知③，由①②③，可得，所以， 即，又因为，所以. 例．已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，P为双曲线C右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________． 答案：　 解析：由F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，可得2c＝＝，化简得e2－e－1＝0.∵e>1，∴e＝.设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S△IPF1＝|PF1|·r，S△IPF2＝|PF2|·r，S△IF1F2＝·2c·r＝cr，由S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2， 得|PF1|·r＝|PF2|·r＋λcr，故λ＝＝＝＝. 小结：求双曲线的离心率或其范围的方法 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e>1. (3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法，例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算． (4)通过特殊位置求出离心率． （5）双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系： 当k＞0时，k＝＝＝＝；当k＜0时，k＝－＝－. 双曲线的渐近线 例、已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，焦距为6，则该双曲线的实轴长为(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 答案：B 解析：因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以－2＝－1.又因为焦距为6，故2c＝6，结合a2＋b2＝c2，解得a＝3，b＝3，c＝3，故实轴长2a＝6. 例、设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　) A.－＝1　　　　　 B．x2－＝1 C.－y2＝1 D．x2－y2＝1 答案：D [解析]由题知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x＋＝1，而－＝1的渐近线方程为＋＝0和－＝0，由l与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1，选D. 例．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)是C上的点，且x＋y20＝b2，若＋＝0，且||＝3||，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 答案：C 解析：依题意，四边形MF1NF2为平行四边形，因为||＝3||，且|MF1|－|MF2|＝2a, 故|MF2|＝a，而x＋y＝b2，故|OM|＝b，而|OF2|＝c，故∠OMF2＝90°.在△NMF2中，|MN|＝2b，|NF2|＝3a，|MF2|＝a，则(2b)2＋a2＝(3a)2，则b2＝2a2，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 例、设O为原点，F1，F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，点P在C上且满足|OP|＝a，cos∠F1PF2＝，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.x±y＝0 B．x±y＝0 C.x±y＝0 D．x±y＝0 答案：B 解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义知|m－n|＝2a　①，在△F1PF2中，由余弦定理，得4c2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，所以4c2＝m2＋n2－mn　②，再由|OP|＝a，O为F1，F2的中点，延长PO至Q，使|OQ|＝|OP|，所以四边形PF1QF2为平行四边形，且|PQ|＝2×a＝3a，在△PF1Q中，由余弦定理知9a2＝m2＋n2－2mncos∠PF1Q　③，因为∠F1PF2＋∠PF1Q＝π，所以cos∠F1PF2＋cos∠PF1Q＝0，则③可以化为9a2＝m2＋n2＋mn，该式与②式相加得2(m2＋n2)＝(3a)2＋(2c)2，所以m2＋n2＝　④，由①④得mn＝a2＋c2　⑤，把④⑤代入②，得4c2＝－，化简，得2c2＝3a2，所以2a2＋2b2＝3a2，所以a＝b，所以该双曲线的渐近线方程为x±y＝0.故选B. 小结： (1)求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法：令－＝0，即得两渐近线方程为±＝0. (2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2. 跟踪练习： 1、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【答案】B 解析：根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝①.　又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和 (－3,0)，所以a2＋b2＝9②. 根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以C的方程为－＝1. 2、已知双曲线的焦距为，实轴长为4，则的渐近线方程为( ). A. B. C. D. 【答案】C [解析]由已知得，双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦距,解得,双曲线的实轴长,解得,则,即双曲线的渐近线方程为.故选. 3、过双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　) A.－＝1　　　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【答案】A 解析：因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1. 4、过双曲线的左焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，与的另一条渐近线交于点，且，则的渐近线方程为( B ). A. B. C. D. 【答案】B [解析]如图所示，设直线，为双曲线的渐近线，为右焦点， 由题意可知，因为，所以为的中点，故为等腰三角形，即，故 ，所以直线，直线.故选. 5、已知是双曲线的右焦点,是左支上一点.,当的值最小时,在轴上找一点,使的值最小,最小值为( ) A. B. 10 C. D. 【答案】A [解析]设双曲线左焦点的坐标为，根据双曲线的定义可知，所以当的值最小时，的值最小，此时,,三点共线.直线的方程为，与双曲线方程联立消去并化简得，解得或（舍去），所以，故，则关于轴对称的点为，连接，交轴于，此时取得最小值，且最小值为.故选. 6、已知点F为双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是(　　) A．(1,3)　　　　　　 B．(1,3] C．(1，] D．[，3] 答案：B 解析：设PF中点为M，双曲线E的左焦点为H，由题意知|OM|＝|PF|，当点P异于双曲线E的右顶点时，连接PH，由三角形中位线性质，可得|PH|＝|PF|，且|PH|－|PF|＝2a，则|PF|＝2a，又因为|HF|＝2c，由三角形任意两边之和大于第三边可得，解得1＜＜3. 当点P是双曲线E 的右顶点时，|OM|＝a＋，|PF|＝c－a， 由题意得a＋＝c－a，解得＝3.综上，得1<≤3，即1＜e≤3. 7．（2026·湖南怀化·一模）设为坐标原点，是的左、右焦点，若在双曲线上存在点，满足三角形的面积为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知，双曲线定义和的面积，最后利用双曲线离心率公式计算得到离心率. 【详解】设，双曲线焦点，，由，得，又因为的面积，所以，平方得：，因为在双曲线上，满足，所以，所以 化简得，代入，得：， ，约去得，即,代入得， 因此离心率： . 8．（2026·新疆·二模）圆锥曲线具有丰富的光学性质，如双曲线的一个光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可知，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，是双曲线C：的左、右焦点，过双曲线C右支上一点（）作直线l交x轴于点，过点作，垂足为H，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，并与双曲线方程联立可得直线与双曲线相切，再结合双曲线定义求解. 【详解】由双曲线C：，得，延长交于点，依题意，，即，直线的斜率，方程为，由消去并整理得，则，直线与双曲线相切，由双曲线的光学性质可知，平分，即，所以. 9．（多选）已知双曲线C：mx2＋ny2＝1，其焦点(0，10)到渐近线的距离为6，则下列说法正确的是(　　) A．＋＝100 B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2 答案：BCD 解析：由双曲线C的焦点(0，10)到渐近线的距离为6，可得双曲线C的焦点在y轴上，设双曲线C的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则双曲线C的半焦距c＝10，b＝6，所以a2＝c2－b2＝100－36＝64，得双曲线C的标准方程为－＝1.对于A，m＝－，n＝，所以＋＝－36＋64＝28，A错误；对于B，双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，B正确；对于C，双曲线C的离心率e＝＝＝，C正确；对于D，双曲线C上的所有点中，上、下顶点到相应焦点的距离最小，所以最小值为c－a＝10－8＝2，D正确．故选BCD. 10．（多选）已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则(　　) A．b＝2＋2 B．双曲线的离心率为＋1 C．双曲线的焦距为2 D．△ABF1的面积为12＋8 答案：BD 解析：如图所示，若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可知，AF1⊥BF1，且|AF1|＝|BF1|.设|AF2|＝m，则由双曲线的定义得|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.所以在Rt△ABF1中，由勾股定理，得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2，解得m＝2＋2，所以|AF1|＝|BF1|＝4＋2，所以△ABF1的面积为|AF1|·|BF1|＝×(4＋2)2＝12＋8，故D正确；|AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，所以|F1F2|＝2＋2，故C不正确；由x2－＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋，所以b2＝(1＋)2－1＝2＋2，故A不正确；e＝＝1＋，故B正确. 11．（多选）（2026·河南开封·二模）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（   ） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据圆与双曲线渐近线相切得到，结合离心率公式及可判断选项A、B；根据，求出，进而求出，判断选项C；根据，得到，，，进而得到点，坐标，求出直线方程，结合垂径定理及点到直线的距离可判断选项D. 【详解】双曲线：的渐近线方程为，即.圆：的圆心为，半径为.由题意得，圆心到渐近线的距离，即，所以. 对于A：，故A正确.对于B：，所以渐近线方程为，故B正确.对于C：，，因为，所以点的横坐标为，代入双曲线方程，解得.取，则，，所以，故C错误. 对于D：若，则，，，，. 直线方程为，即.圆心到直线的距离，由垂径定理可得，，故D正确. 12．(多选）（2026·广西桂林·一模）已知是双曲线上一点，且，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，下列说法正确的有（    ） A．的离心率为 B．若，则的面积为1 C．若，则的取值范围是 D．过的直线与交于A，B两点，若为等腰直角三角形，且，则的斜率为 【答案】BC 【分析】根据双曲线的方程可求出，即可求其离心率，判断A；由可得，结合可求出，利用三角形面积公式可求的面积，判断B；利用向量数量积的坐标运算结合解不等式可判断C；根据双曲线的对称性可判断D. 【详解】对于A，双曲线中，，则， A错误；对于B，，则，是双曲线上一点，则，联立得，解得， 则的面积为，B正确； 对于C，， 故，又，则，故，即，C正确；对于D，过的直线与交于A，B两点，若为等腰直角三角形，且， 则，根据双曲线的对称性可知关于x轴对称，则的斜率不存在，D错误. 13、已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________． 答案：2 解析：设B(c，yB)，因为B为双曲线C：－＝1上的点，所以－＝1，所以y＝.因为AB的斜率为3，所以yB＝，＝3，所以b2＝3ac－3a2，所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝2a或c＝a(舍去)，所以C的离心率e＝＝2. 14．（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______. 【答案】 【分析】利用直径所对圆周角为直角得到垂直关系，结合渐近线斜率得到焦半径比例，再通过双曲线定义和勾股定理联立求解得到关系，算出离心率. 【详解】因为以为直径的圆与在第一象限的交点为，所以.由直线与的一条渐近线平行可得，所以，又由双曲线定义可得，所以，得，所以.由得，即，整理得，所以，，离心率. 15．（2026·河北保定·一模）已知双曲线 左、右焦点分别为 ，点是上一点且位于第二象限， 的面积为，过原点O 且平行于的直线与和的平分线分别交于点，且 则双曲线的渐近线方程为________. 【答案】 【分析】设，根据中位线定理及角平分线的定义可得，根据双曲线的定义及三角形的面积公式、余弦定理可求出，由勾股定理可求出c，利用求出，进而得到双曲线 C 的渐近线方程. 【详解】设，如图， 因为，为的中点，所以为的中点，且,又为的角平分线，所以，所以，所以为等腰三角形，所以，即，所以.由双曲线的定义可知，所以，所以的面积为，所以.在中，由余弦定理得，将代入上式整理得，解得.所以，解得，所以， 且，所以，所以，解得，所以，即，则双曲线 C 的渐近线方程为 16．（2026·湖北十堰·二模）已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 【答案】 【分析】法1：设点在渐近线上，由向量垂直得数量积为零，整理出关于的一元二次方程，利用方程有解判别式非负，结合双曲线关系化简，最终求得离心率范围. 法2：由向量垂直知在以为直径的圆上，利用渐近线与圆有公共点，得圆心到渐近线距离不大于半径，代入双曲线关系化简，求出离心率取值范围. 【详解】法1：双曲线的右顶点， 不妨取渐近线方程为.设，则，. 由，得，整理得.由题意知该关于的方程有解，所以.化简可得，即，所以，又.所以，即的离心率的取值范围是． 法2：由知，点在以为直径的圆上. 由题意知的渐近线与圆有公共点，所以到的渐近线的距离满足，即，所以，所以.所以，又，所以，即的离心率的取值范围为． 17．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)求证：·＝0； (3)求△F1MF2的面积． 解：(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ. 因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x2－y2＝6. (2)证明：设＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)． 所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，因为M点在双曲线上， 所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以·＝0. (3)因为△F1MF2的底边长F1F2＝4.由(2)知m＝±. 所以△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝×4×＝6. 18．已知点F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°. (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值． 解：(1)在Rt△MF1F2中，因为∠MF1F2＝30°，所以tan∠MF1F2＝，cos∠MF1F2＝， 则|MF2|＝c，|MF1|＝c，由双曲线的定义可知，|MF1|－|MF2|＝2a＝2，即c－c＝2， 解得c＝，则b2＝c2－a2＝2，所以双曲线C的方程是x2－＝1. (2)设P(x0，y0)是双曲线C上任意一点，则2x－y＝2.两条渐近线方程为l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0， 设l1：x－y＝0的倾斜角为α，故tanα＝，设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ， 所以cosθ＝cos2α＝＝－，于是cos〈，〉＝－cosθ＝. 因为P到双曲线两条渐近线的距离为|PP1|＝，|PP2|＝， 所以·＝··cos〈，〉＝·＝. 学科网（北京）股份有限公司 $