4.4数学归纳法教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第二册　第4章 4.4　数学归纳法 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　数学归纳法的两步一结论与假设必用 （1）教材出处 选择性必修第二册 第四章 4.4 数学归纳法 正文（数学归纳法的定义与框图表示）；正文例1（用数学归纳法证明等差数列的通项公式）、例2（平方和公式）。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 一般地，证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行： · 归纳奠基：证明当 取第一个值 （）时命题成立； · 归纳递推：假设当 （，）时命题成立，证明当 时命题也成立。 完成这两步，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。记命题为 ，其逻辑结构可写成 两步的地位不同：第一步是递推的起点，第二步是递推的链条；缺一不可。第二步中必须把“ 成立”作为条件使用，否则不是数学归纳法。 图 1　数学归纳法的递推链： 成立，且 ，则 对一切 成立 （3）推导证明 为什么两步就能保证无限多个命题都成立？由第一步知 真。在第二步中取 ，由 真推出 真；再取 ，推出 真；如此继续， 之后的每一个正整数都在有限步递推中被覆盖。 可以用多米诺骨牌理解：第一块骨牌倒下（奠基），并且任意一块倒下都会撞倒下一块（递推），那么整列骨牌都会倒下。这里的“任意一块”必须是对所有 成立，不能只对某几个 验证。 （4）适用条件与易错提醒 · 命题必须与正整数 有关，并且对从 起的每个 都有意义；对实数 的命题不能直接套用。 · 第一步不能省略；只验证前几项、不完成递推，不能断言对一切正整数成立。 · 第二步必须使用归纳假设 ；把 的式子独立验证一遍，即使算对了，也不是数学归纳法。 · 第二步中的 必须满足 ；若推导中还用到 之类的条件，要确认它已被 覆盖。 · 两步顺序不能颠倒；“先假设 成立”不是“假设结论对一切 成立”，不能把要证的结论直接当条件。 · 结论只能断言 的部分； 的情形需要单独验证，不能由归纳结论顺带得到。 （5）考点定位与命题角度 本节为选学内容，高考不作硬性要求，但在数列与不等式综合题中作为证明工具出现。常见设问：用数学归纳法证明与正整数有关的等式、不等式、整除性或几何计数；判断给出的“证明”是否正确，尤其考“是否使用了归纳假设”；在解答题第二步中补全由 到 的推导。难度基础到中档，作为压轴题工具时可达中档以上。对应 2019 全国II卷·理 19（证明 为等比数列，可用归纳法完成）、2020 全国III卷·理 17（归纳—猜想—证明）、2022 新高考Ⅰ卷·17（部分和）等。 （6）方法归纳 · 第一步　写命题：把要证的结论写成含 的等式或不等式，明确起点 。 · 第二步　验奠基：把 代入左右两边，分别计算，写明“左边等于右边”或“不等式成立”。 · 第三步　作假设：写出 （）的具体表达式，再写出目标 ，比较两者增加了哪些项、减少了哪些项。 · 第四步　搭桥：把 的左边拆成“ 的左边＋新增部分”，代入假设，恒等变形或放缩到目标形式，最后声明由两步知结论对一切 成立。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 用数学归纳法证明：如果 是公差为 的等差数列，那么 解析 （1）当 时，左边 ，右边 ，等式成立。 （2）假设当 （）时等式成立，即 当 时，由等差数列的定义 ，得 所以当 时等式也成立。 由（1）（2）知，对任何 ，等式 都成立。 例题 2（教材原题改编） 用数学归纳法证明： 解析 （1）当 时，左边 ，右边 ，等式成立。 （2）假设当 （）时等式成立，即 当 时，在上式两边同时加上 ： 提取公因式 ： 所以当 时等式也成立。由（1）（2）知，等式对一切 成立。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） （改编自 2019 全国II卷·理 19）已知数列 满足 ，，且 用数学归纳法证明：（）。 变式 1-2（优质模拟改编） 用数学归纳法证明： 条目二　归纳奠基的起点选择 （1）教材出处 选择性必修第二册 第四章 4.4 数学归纳法 正文关于“第一个值 ”的说明；课后习题中“凸 边形对角线”的计数题与“比较 与 ”一类的不等式题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式（归纳奠基的起点规则）。 数学归纳法的第一步不是固定验证 ，而是验证使命题有意义的最小正整数 ： · 命题对一切 成立时，； · 命题只对 成立时（如分母含 、图形至少需要 3 个顶点）， 或相应的最小值； · 命题只对 成立时（如 ），。 起点 由“命题中 的取值范围”与“使式子有意义的最小 ”共同决定；第二步的假设也必须从 开始。 （3）推导证明 归纳法只覆盖从 开始的正整数。若命题在某个 处不成立，结论“对一切 成立”仍然可以是真的，但不能加强为“对一切 成立”。反过来，若把起点取得比真实起点大，就会漏掉一些未被验证的情形；取得比真实起点小，第一步可能为假或式子无意义。 以 为例， 时分别有 ，，，，，前四者不全为真，直到 才稳定成立，因此命题的自然起点是 。若把第一步写成 ，只能证明 的情形，无法把递推链延伸到 ；若从 起步，第一步本身就不成立。 （4）适用条件与易错提醒 · 不要机械写“当 时”；先看命题中的 从几开始、式子在该处是否有意义。 · 命题对 成立时，第一步必须验证 ；验证 既不能替代 的奠基，也不能把递推链接到 。 · 起点取得比真实起点大，会漏掉未被验证的情形；取得比真实起点小，可能第一步就为假。 · 第二步假设中的 必须满足 ；若推导中还需要 ，则 至少取 。 · 对于分段命题，先分别验证各段的起点，再对公共的递推段使用归纳法。 · 几何计数题的起点由图形的最小边数或最小点数决定，不能照搬 。 （5）考点定位与命题角度 选填常考“第一步应验证 等于几”“ 应取何值”；解答题中常与不等式、几何计数结合，考查起点与递推范围是否匹配。难度基础到中档。对应 2019 浙江卷·20(2)（）、2020 全国III卷·理 17（）、2023 天津卷·19（对 的范围讨论）等。 （6）方法归纳 · 第一步　读范围：从命题文字中找出 的允许取值（、、、 为边数等）。 · 第二步　定起点：取允许范围中的最小正整数 ；若式子含分母、根号或图形边数，先确认该处有意义。 · 第三步　验起点：把 代入，左右两边分别计算，写明“成立”。 · 第四步　带着 递推：假设 （），推导中保留这个下界，最后结论写“对一切 成立”。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 用数学归纳法证明：凸 边形（）的对角线条数为 解析 （1）当 时，，四边形恰有 2 条对角线，命题成立。 （2）假设当 （）时命题成立，即 。当 时，在凸 边形 的边 上增加一个顶点 ，得到凸 边形。新增的对角线有两类： · 新顶点 与原来不相邻的 个顶点相连，得 条； · 原边 在新图形中变成对角线，增加 条。 所以 而 ，所以当 时命题也成立。 由（1）（2）知，对一切 的整数， 成立。 说明：若把命题写成“”，因 且三角形没有对角线，第一步应验证 。本题按 叙述，故第一步验 ；起点随命题范围而变，不能机械照搬。 例题 2（教材原题改编） 用数学归纳法证明：当 时， 解析 （1）当 时，，命题成立。 （2）假设当 （）时命题成立，即 。当 时， 又 因为 ，所以 ，即 。于是 所以当 时命题也成立。由（1）（2）知，对一切 的正整数， 成立。 说明： 的情形需单独判断：，，，。本题结论从 开始，不能覆盖这些情形；若把结论改为 ，则 也可作为起点。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） （改编自 2019 浙江卷·20(2)）已知 用数学归纳法证明：。并说明：为什么第一步必须验证 ？能否把第一步改成 而省略 ？ 变式 2-2（优质模拟改编） 用数学归纳法证明： 条目三　用数学归纳法证明数列不等式 （1）教材出处 选择性必修第二册 第四章 4.4 数学归纳法 正文例3（用数学归纳法证明 ，）；课后习题中的数列不等式证明题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：例题结论（由正文例3 抽象出的差值比较方法）。 用数学归纳法证明数列不等式 的一般结构： · 奠基：验证 ； · 递推：假设 ，证明 。 关键是先把右端的差 算出来，再把新增项 与这个差比较： 只要 ，递推就完成了。若不等号方向相反，说明这个上界不够用，需要改用更强的归纳假设或调整放缩。 （3）推导证明 以教材例3为例。设 奠基：。 递推：假设 （）。当 时， 因为 所以 因此当 时不等式也成立。由奠基与递推知，对一切 的正整数， 成立。 （4）适用条件与易错提醒 · 递推时必须把 整体替换为归纳假设给出的上界，不能只对新增项放缩而保留 原样。 · 新增项与右端差值的比较方向不能反：要证 ，需 ；若写成 ，递推链就断了。 · 若直接对原不等式归纳卡住（例如右端是常数），可先加强命题，把右端改成与 有关的式子，使差值比较可行；加强后的命题必须能推出原命题。 · 放缩要“够用即可”，放得过大可能使 超过目标；每一步放缩都要写清依据。 · 起点 由不等式成立的最小 决定；教材例3从 开始，不能写成 。 · 遇到 这类差，常先分子有理化，再与新增项比较。 （5）考点定位与命题角度 高考中常作为数列解答题的第二问，设问“证明：”；也可在选填中考查“由 到 左边增加了哪些项”。命题角度包括裂项放缩、分子有理化、加强命题、用基本不等式放缩。对应 2019 浙江卷·20(2)、2022 新高考Ⅰ卷·17(2)、2021 天津卷·19(2)(ii) 等。难度中档到压轴。 （6）方法归纳 · 第一步　写清 与右端 ，确定起点 并验证。 · 第二步　作差 ，把目标拆成“ 加上新增项 ”。 · 第三步　比较 与 ：用裂项、分子有理化或基本不等式证明 。 · 第四步　合并：，并声明结论。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 用数学归纳法证明： 解析 （1）当 时，左边 ，右边 ，，不等式成立。 （2）假设当 （）时不等式成立，即 当 时， 因为 ，所以 于是 所以当 时不等式也成立。由（1）（2）知，对一切 的正整数，不等式成立。 例题 2（教材原题改编） 用数学归纳法证明： 解析 （1）当 时，左边 ，右边 ，，不等式成立。 （2）假设当 （）时不等式成立，即 当 时，在上式两边同时加上 ： 由 ，得 所以当 时不等式也成立。由（1）（2）知，不等式对一切 的正整数成立。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） （改编自 2022 新高考Ⅰ卷·17(2)）已知数列 满足 （）。记 （1）用数学归纳法证明：； （2）由此证明：。 变式 3-2（优质模拟改编） 用数学归纳法证明： 条目四　归纳、猜想、证明的完整链条 （1）教材出处 选择性必修第二册 第四章 4.4 数学归纳法 正文“归纳—猜想—证明”的方法链；课后习题中由递推式 求通项的题目。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式（归纳—猜想—证明的方法链）。 “归纳—猜想—证明”分三步： 1. 算：从 起逐项代入递推式，算出前 3—4 项，保留分数形式，暂不化成小数； 1. 猜：观察分子、分母、符号、幂次与 的对应关系，写出 的猜想，并用第 4 项或第 5 项回代检验； 1. 证：用数学归纳法证明猜想对一切 （或 ）成立。 常见的猜想来源： · 型，猜等差数列； · 型，猜等比数列； · 型，取倒数得 ，猜 ； · 型，构造等比数列后再猜。 （3）推导证明 为什么“猜”之后还必须“证”？前几项符合只是必要条件，不能保证后面一直符合；数学归纳法把“有限次观察”提升为“对一切正整数成立”的证明。 以教材习题中的递推式为例：，。依次计算得 猜想 。证明： 时 ，猜想成立。假设 时 ，则 所以当 时猜想也成立。由数学归纳法， 对一切 成立。 （4）适用条件与易错提醒 · 只算 2 项就猜通常不可靠；至少算 3—4 项，并注意约分后的分子、分母规律。 · 前几项符合不能当作证明；猜想必须用数学归纳法（或其他方法）证明。 · 递推式中的 范围要看清楚（ 还是 ）；若递推从 开始，奠基要与已知的 或 对应。 · 先尝试取倒数、作差、作商、构造等比等化简，再猜；猜出的形式要回代递推式检验。 · 归纳假设必须参与推导：在 的表达式中把 换成假设的 ，不能抛开假设重新从递推式算一遍。 · 猜想的表达式要与首项匹配：若 ，猜 ，不要错写成 。 （5）考点定位与命题角度 高考中常以“计算—猜想—证明”三连问出现，如 2020 全国III卷·理 17(1)：，，计算 ，猜想并证明通项。设问角度：求前几项、猜通项、用归纳法证明、再求和或证明不等式。难度中档。新定义数列题也常以归纳、递推为基本思路。 （6）方法归纳 · 第一步　算前三到四项：从 起逐项代入递推式，保留分数，不急着化成小数。 · 第二步　找规律：把每项写成“分子/分母”或“整数＋分数”，观察分子、分母与 的关系；必要时作差、作商、取倒数。 · 第三步　写猜想并回代检验：用 或 验证，确认不是巧合。 · 第四步　用数学归纳法证明：奠基，假设 ，在递推式中替换 ，化简到 。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知数列 满足 ，（）。计算 ，猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明。 解析 依次代入递推式，得 猜想 。 证明：（1）当 时，，猜想成立。 （2）假设当 （）时猜想成立，即 。当 时， 所以当 时猜想也成立。由（1）（2）知， 对一切 成立。 例题 2（教材原题改编） 已知数列 满足 ，（）。计算 ，猜想通项公式，并用数学归纳法证明。 解析 依次代入递推式，得 把四项写成 猜想 。 证明：（1）当 时，，猜想成立。 （2）假设当 （）时猜想成立，即 。当 时， 所以当 时猜想也成立。由（1）（2）知， 对一切 成立。 （8）变式训练 变式 4-1（高考真题改编） （改编自 2020 全国III卷·理 17(1)）已知数列 满足 ，（）。 （1）计算 ； （2）猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明。 变式 4-2（优质模拟改编） 已知数列 满足 ，（）。计算 ，猜想通项公式，并用数学归纳法证明。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：证明见解析。 解析：（1）当 时，，结论成立。 （2）假设当 （）时结论成立，即 。把两个递推式相加： 两边除以 ： 所以当 时结论也成立。由（1）（2）知， 对一切 成立。 变式 1-2 答案与解析 答案：证明见解析。 解析：（1）当 时，左边 ，右边 ，等式成立。 （2）假设当 （）时等式成立，即 当 时，在上式两边同时加上 ： 所以当 时等式也成立。由（1）（2）知，等式对一切 成立。 变式 2-1 答案与解析 答案：证明见解析；第一步必须验证 ，不能改成 后省略 。 解析：（1）当 时，，结论成立。 （2）假设当 （）时结论成立，即 当 时， 因为 ，所以 于是 又 最后一步等价于 ，即 ，显然成立。因此 从而 。所以当 时结论也成立。由（1）（2）知，对一切 ， 成立。 关于起点：命题对一切 叙述， 也有定义，递推链必须从 接起。若把第一步改成 ，只能保证 的情形， 未被验证，证明对原命题不完整；而且 本来可以直接验证，没有必要跳过。 变式 2-2 答案与解析 答案：证明见解析。 解析：（1）当 时，左边 ，右边 。因为 所以 时不等式成立。 （2）假设当 （）时不等式成立，即 当 时，在上式两边同时加上 ： 又 所以 于是当 时不等式也成立。由（1）（2）知，对一切 的正整数，不等式成立。 变式 3-1 答案与解析 答案：（1）证明见解析；（2）。 解析：（1）由 得 当 时，，等式成立。 假设当 （）时等式成立，即 。当 时， 因为 所以 所以当 时等式也成立。由数学归纳法， 对一切 成立。 （2）因为 ，所以 。 说明：若直接把归纳假设写成 ，则 ，右端大于 ，无法推出 。因此先证明更强的等式 ，再由等式推出不等式。 变式 3-2 答案与解析 答案：证明见解析。 解析：（1）当 时，左边 ，右边 ，，不等式成立。 （2）假设当 （）时不等式成立，即 当 时，在上式两边同时加上 ： 因为 所以 所以当 时不等式也成立。由（1）（2）知，不等式对一切 的正整数成立。 变式 4-1 答案与解析 答案：，；猜想 ，证明见解析。 解析：（1）由递推式， （2）由 猜想 。 证明：（i）当 时，，猜想成立。 （ii）假设当 （）时猜想成立，即 。当 时， 所以当 时猜想也成立。由（i）（ii）知， 对一切 成立。 变式 4-2 答案与解析 答案：，，；猜想 ，证明见解析。 解析：依次代入递推式，得 猜想 。 证明：（1）当 时，，猜想成立。 （2）假设当 （）时猜想成立，即 。当 时， 所以当 时猜想也成立。由（1）（2）知， 对一切 成立。 人教A版·选择性必修第二册　第4章 4.4 数学归纳法　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $