专题9.4 数列之证明-归纳法与数列放缩讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦数列证明与不等式放缩核心考点，按数学归纳法、裂项拆项放缩、函数放缩法逻辑层次展开，通过考点梳理（归纳法步骤、放缩结论）、方法指导（典型例题解析）、真题训练（分层习题设计）环节，帮助学生构建解题框架，突破数列证明与放缩难点。 讲义突出数学思维与表达培养，如数学归纳法通过“验证-假设-证明”步骤训练发展推理能力，裂项放缩依托结论体系提升运算能力，函数放缩构建模型发展应用意识。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈，保障复习效率，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

9.4.1数列之证明-归纳法与数列放缩 9.4.1.1数列证明-数学归纳法 珍知识点梳理 1.数学归纳方法使用范围：关于正整数的命题（例如数列、不等式、整除问题等），可 以考虑使用数学归纳法进行证明. 2.第一数学归纳法：假设当2=k时命题成立，再结合其他条件证明当=k+1时命题也成立 即可.证明步骤： (1)归纳验证：验证当=（是满足条件的最小整数）时，命题成立； (2)归纳假设：假设当n=k或n≤k(k≥o,n∈N)时命题成立，证明当n=k+l时， 命题也成立； (3)归纳结论：得到结论当n≥o,n∈N时，命题均成立. 典型例题 项均为正教的数列X对一n∈N严均酒足XX之，证明：X 例2已知数列a,满足a1=0:a=1a,2=a1+a,n∈N证明：数列a,的第 4m+1顶（m∈N)能被3整除 例3.设数列{a,满足a,=3a,1=3a,-4n计算a时ay猜想a,的通项公式并加 以证明. 课后练习-巩固加强 1.求证：1+2+3++n=nn+1 2 ,n∈N. 2.证明：12+2+…+n2=nn+12n+1 2,n∈N'. 6 3i记a,=x2+2x3+…+an+,求i证：n1<a,<n+1, 2 2n∈W. 4证明：4"+15n-1能被9整除，n∈N. 已题前国0-分n。a+日，neN,:0a1 6明1村宁*2品+品 7.已知数列a,}a1=2'a-1=(2-1(a,+2) (1)求数列a,)的通项公式 2》数%bb,-2b20将明2<b,a 8.已知公比g大于1的等比数列a,满足a,+a4=10'a,=4 (1)求数列a 的通项公式. (2)若数列b,各项均大于1，证明：L+b,1tb。1+b≤0 b1b2…bn+1 4 9.4.1.2数列放缩-裂项和拆项 囹知识点梳理 1.对于通项公式己经给出（或容易直接求出）的数列不等式问题，我们通常需要对通项进 行适当放缩或变形，在进行求和与转化. 2.常用的结论： （1)平方型裂项： ① 4<1=11,<1=11,<1=21-1 京m-nn六n7m-i2n-n*1}n2- 2n-12n+1 4 ② 1=4<4=21-1或 7-4n4n2-12n-12n+1 1 =,1一<1×1=11-1： (2n+124n2+4n+14n2+n4nn+1 (2)立方放缩：1< 111 1(n22 nnn+1)(n-12nn-1)n(n+1 (3)指数分式放缩： 2n 2” =1—-1（n≥2)月 (2”-1(2”-1)2”-22-1-12”-1 5 (4)基础根式放缩： 2 2 nn+9mn+n12(n-9n-1, 1 12 Vn Vn+Vn ==V2(2n+1-2n-1) n+2+n-2 1 2V1 （5)调和 级数范围 ① *+点+1， n+1n+2n+3 2nn+1n+1 ®山++1+…+是+++1” n+1n+2n+32n22n2n2n2n2 1 1 (6)指数型：a-ba-(a-b) 1-(a2b21),a0-ba-11o-6 ,（a>b≥1). 7)根式中间不等式：n+1-n<1 .11 Qn+ 2n- 2 <n-n-1 2 4n 2 (8)nn高阶根式放缩： ① 2 2 11 nn7nxgn9n+而nnin+n-五2nan≥2) 1 2 2 11 nn nxn(n+n)n+i9n-1(Vn+i+Vn-1)Rn-1 Vn+i: 1 6 念典型例题 例1.证明：1+号+++1>n 23 2”-12 例2者2且eW,证明不等式：吃‘方+丽*十疗之 211 1 例3已知数列a,)是各项都为正数的数列，5，为其前项和，且Q,=1,S,0,+日. a (1)求数列{an}的通项公式an; 1+1++1。<21-1. (2)证明：25,352“n+1)S Sn+1 7 ② 课后练习-巩固加强 1设5，++字++是，求证：S,<2,neN .1 1 2记T。F元+2++求证：Tn<2n,n∈N, 4求证名<21-方1n22 k2kk 1+1++ 1<1 5求证2-4-t2n-交，ne 6已知布数ab≥1记c,-。方求：氵 am-bn .正项数列(a,的前n项和s满足s-(n2+n-1)S。(n2+n)0 (1)求数列{an}的通项公式an; (2)令b,=n1数列b,的前n项和T,:证明：对于任意的n∈N,都有 (n+2)2a 渴 9 8.等差数列{an}各项均为正数a1=3,前n项和为Sn.等比数列{bn}中，b1=1,且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求an与bn: .13 (2)证明51S2…5,4 9记sn为数列[a,的前n项和已知。，=1S是公差为1的等差数列 (1)求{an}的通项公式， ②证明上+上++1<2 a1 a2 an 10 9.4.1.3数列不等式-函数放缩法 囹知识点梳理 1.分式型函数的放缩： 分式型不等式（糖水不等式） b+m>b(a>b>0,m>0: a+m a 则函数f(x)=b+x(a>b>0,X>0)为增函数。 a+x 2.三角函数型的放缩：sinx<X<amx(Xe(0,受》 3.指数、对数型函数的放缩： Dx2x+1@e2x+1@1≤lx≤x-1:0xsx(x≥i)@ nxe版-家（21) ®典型例题 例1已知数列a满足：a,=a,1=n(1+0,儿n∈Ny设数列2的前，项和为T: an 证明： (1)d>O(nEN'); (2)an+1 3an(neN月 an+3 11 (3)n'5nsT sn'+5n(neN). 6 4 例2已知数例x,}x1=X,=x1+ln1+xn∈N:证明： (1)0<Xn+1<Xn (2)2xn+1-Xn≤ nXn以； 2 1 (3) 2n7，s1 2 12 例3.已知数列a,满足a1=1a-1-+1 心a(neNy证明：a,>号 0 课后练习-巩固加强 1已知a,nb,-2k证：vneN,h. 2设-大eN求三n 13 3求证：n1+1n2+ln3++lnn<nn-1,n≥2，neN. 2 4设x4=sin,求证：∑口X<1+nn,n≥2，neN 5已如数列a,满远a,a=sn受，neN (1)证明：2≤a,<a11. (2)设Sn是数列{a,}前n项和，证明：Sn>n-之 14 6已知数列a正a,-号0-20 an-2 (n∈N*) (1)证明： 10 是等差数列，并求出(a,}的通项公式： an-1 (2)证明：a1aag…an<n+ 已知正项数列a,a=1,a4=na,+1,n∈N.证明 (1)an+1<an; (2)an-2an-1<an'an+1; 2-1. 15 8已咖加晒数x21-1.f哈景x空光fx (1)求数列x的通项公式： （2)证明：XXx,> 2e 169.4数列之证明-归纳法与数列放缩 9.4.1数列证明-数学归纳法 知识点梳理 1.数学归纳方法使用范围：关于正整数的命题（例如数列、不等式、整除问题等），可 以考虑使用数学归纳法进行证明. 2.第一数学归纳法：假设当=k时命题成立，再结合其他条件证明当=k+1时命题也成立 即可.证明步骤： (1)归纳验证：验证当=（是满足条件的最小整数）时，命题成立； (2)归纳假设：假设当n=k或n≤k(k≥o,n∈N)时命题成立，证明当n=k+l时， 命题也成立； (3)归纳结论：得到结论当n≥o,n∈N时，命题均成立. 囹典型例题 例1若各项的为正数的数列对一切nEN”约满足x,+<之2，证明：X>1-清 Xn+1 证明：①当n=1时，xn>0显然成立： ②假设当n=k(k∈N·）时不等式成立即x>1- 回当n=k+1时，成12- -> k=1- 2 1-1KT上1，即n=k+1时不等式世 成立 综合①2g可知，对-切n∈N~均满足，X,>1-1 n 例2已知数列a,满足a=0:a2=1a=a,1+a,n∈N证明：数列a,的第 m∈N）能被3整除 4m+1项 证明：用数学归纳法证明， ①当m=1时a41a,=04+a,=a,+ag+(a,t+a,=a,+a,+a,+a,+a,=3能被3 整除 ②假设当 m=k(k∈N) 时，a4k*1 能被3整除。 当 时 m=k+1 a4(k+1)+1=Q4k+5=Q4k+4+a4k+3=a4k+3+Q4k+2+Q4k+2+a4k+1=a4k+2+Q4k+1+Q4k+2+a4k+2十Q4k+1=3a4k+2+2( 由于假设了a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除故3a4k+2+2a4k+1能被3整 除因此，当 m=k+1时0 也能被3整除. 综上可知，对一切m∈N',数列{an}中的第4m+1项能被3整除 例3设数列{o,满足a=3a1二3a,4n计算ayay猜想{a,的通项公式并加 以证明. 解：由a1=3,an+1=3a-4n,a2=3a1-4=5,a3=3a2-4×2=7,: 猜想{an}的通项公式为an=2n+1. 证明如下：数学归纳法)①当n=1,2,3时，显然成立 ②假设n=k时，即ak=2k+1成立，其中(k∈N), 由ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2(k+1)+1 故假设成立综上①②所以，=2n+1(n∈N")） 课后练习-巩固加强 1.求证：1+2+3++n=nn+1 2 ,n∈N. 解：①n=1,左边=1，右边=1X2=1,成立 2 ②假设：n=k时，1+2+…+k=kk+1 ③递推n=k+1:代入可得n=k+1等式成立. 故假设成立.综上：1+2+3+…+n= n(n+1) 2,n∈N'. 2.证明：12+22+…+n2=nn+1川2n+1) ,n∈N. 6 解：①n=1,左边=，右边=1x2x3=1,成立 6 ②假设：n=k时，12+22+…+k2=kk+12k+型 6 ③递推n=k+1:等式成立. 综上：12+2++r=nn+12n+,n∈N 6 3i记a,=1×2+2x3++nn+1,求证：nn1<0,<n+1, 2 2,n∈W. 解：①莫基n=1:左边不等式：11，Q=2> 右边不等式： 1+1=2,a,=2<2:不等式成立 2 ②归纳假设：n=k时 kk+<0:k+1Y 2 2 ③证n=k+1°a1=ax+k+1k+2可 证左边不等式：k+1)k+2>k+1=k+1' ak+1+k+1=k+1k+2 2 2 证右边不等式：商均值不等式3a6”,7k+1+2<2头*3 2 左右不等式全部满足， n(n+l<an<nEN'. 综上：2 4.证明：4+15n-1能被9整除，n∈N. 解：①n=1,4+15×1-1=18,18÷9=2,可被9整除，成立. ②假设：n=k时，4+15k-1=9m(m∈Z即4=-9m-15k+1 ③递推n=k+1:9(4m-5k+2)是9的整数倍，故n=k+1成立. 综上：4”+15n-1能被9整除，n∈N 1 已知数列0的首项q号。o,+,neN,证明：0<a< a 证明：①当n=1时，0<a1<1显然成立： ②假设当n=kk∈N)时不等式成立0<a,<I: 所以0<ak1<1'即n=k+1时不等式也成立 综合①②③可知，0<an<1对任意n∈N·成立 6.证明：12+34 111 +1 1+2-+2n=12nn+1n+2 +…+ 1 2n 证明：0言n时，左边1子片右达 方左边=右边 ②假设当n=k时命题成立即1-号+片+…+-++ 2342k-12kk+1k+22k ③那么当n=k+1时， 左边1-号+片+++- 234 2k-12k2k+12k+2 111 k+1k+22k2k+12k+2 =1+1+ +1+1_1-1 +t+ k+2k+32k+1k+12k+2k+2'k+32k+12k+2 11 右边k+2+k+3…+2k+12k+2 左边=右边，由此可得n=k+1时该式也成立 综上可得：1-+号1++ 1=1+1 2342n-12nn+1n+2 ++恒成立 2n 7.已知数列a,a,=2'a1=(2-1a,+2) (1)求数列a,的通项公式. 2》在数到6中，-2b4号E明2<b,≤a 2bn+3 解：(1)利用一阶递推待定系数并构造等比数列，可求得 an=V2(V2-1)”+1 四要证2<b.≤a4证：0<b-2≤a4ng-2 下面用数学归纳法证明。 ①当n=1时.因为2<2，b,=a,=2所以2<b,≤a,结i论成立 ②假设当n=kk∈N时，结论或立2<b,≤4即： 0<bk-2≤a4k-3-R2 回当n=k1时h1吃3北4-收=只22，-20 2bk+3 2bk+3 b-2≤2(2-1)3， 1 2b+3292+33-22 m以4-222Xb.-2<926-292(2-13 2b+3 ≤V2(V2-1)(2-1)4-3≤V2(V2-1)4+1=a4k1-/2 故当n=k+1时，结论也成立， 综上可知，对狂意的n∈N,都有2<b,≤an- 8已知公比g大于1的等比数列a,满足。 a2+a4=10'a3=4 (1)求数列a,的通项公式 2)若数列b各项均大于1，证明：1+b1+b1+b≤0 b1b2…bn+1 解：1)因为a,+a4=10,a=4,所以：4+4q=10, q 解得：q=2或=号（舍女a,=4,所以a,=21。 (2)要证明1+b,1+b,小-1+b）≤a b1b2…bn+1 只需证明：(1+b,1+b)-(1+b)2”-(b,b2…b+1) 下面用数学归纳法证明. ①当n=1时，左边=1+b1,右边=b1+1,左边=右边： 当n=2时.(1+b1)1+b2)2(b1b,+1)=-(b1-1)b2-1)0.所以n=1,2时，不等式成立 ②假设当n=kk2,keN)时1+b,X1+b,)-1+h,2(b,b…b+1成立 ③当n=k+1时(1+b1+b2)(1+bk)2-(bb,…b+11+b1)（*y 因 为 2k-(b1b2…bk+1)(1+bk+12*(b1b2…bkbk+1+1=-2k-(b,b2bk-1)(bk+1-1)0. 所以2-1(bb,…b+11+bs1大2(bbbb1t0. 综合（)式可得a+b,X1+b,-1+b1小2(b,b…bb1+ 成立，所以，当n=k+1时，不等式成立 综上可知I+b,I+b,)-1+b,sa对狂意的n∈N <an 恒成立 b1b2…bn+1 9.4.2数列放缩-裂项和拆项 金知识点梳理 1对于通项公式已经给出（或容易直接求出）的数列不等式问题，我们通常需要对通项进 行适当放缩或变形，在进行求和与转化. 2.常用的结论： (1)平方型裂项： ① 1<1=1-1,1<1=1,-1,1<1,-21,-，1 n2n2-nn-1n'n2m2-12n-1n+1'n7 n21 n 2n-12n+1月 4 ③ 144=2 11或 n24n24n2-12n-12n+1 1 ，1—<1×1=11-1: (2n+14n2+4n+14n2+n4nn+1 (2)立方放缩：1< 1=111 nn(n+1)(n-12 n(n-1)n(n+1) (n≥2） (3)指数分式放缩：2” 2” 1-1_(n≥2 (2”-1}(2”-1)2”-2)2-1-12-1 (4)基础根式放缩： 2 Vn Yn+VnVniin-1-2(Vn-Yn-1). 12 1 2 2 Vn Vn+n -=2(V2n+1-V2n-1)】 n+ +n- 29 2 (5)调和级数范围： ① 高品高六点清品 ②1+1+12+…+1之1+1+…+1=”= n+1n+2n+32n2n2n2n2n2 1 ga-6oh6。a-ba (6)指数型：a-ba(a-b) (7)根式中间不等式：。 ◇ 1 n+1-n1 + 2 Vn-Vn-1 2 2 2 (8)nn高阶根式放缩： ①1 2 2 11 =2 nn nxVn(n+n)nn-1(9n+n-1)n-i n (n≥2) 1 1 1 @nn nxVn(Vn+Vn)n+19n-1(Vn+1+n-1)Vn-1 Rn+1 1 2 3o而-明r号0b ®典型例题 2”-12 例2若m2且，明不等式：2品疗羽*+与丽2 211 1 证 明 方 面 亦aw+而aan司点 11 2 2 累加可得： 1 1 23 <2 另一方面， 1 1. 2 2 1 =2 n nVn (+n(n+1)(n+n+i) 架丽得收-品7*存…京 1 1 1 综上可得：吃-7行+72 2 1 例3.已知数列a,}是各项都为正数的数列，S,为其前n项和，且a=1,S,=之a,+ a, (1)求数列{an}的通项公式an: (2)证明： Lt+128 2S13S2 (n+1)5n1 1=1+1 解：1)由a12a,2 。 an+1 由44，得。-1=一 4' 是首项为-3，公比为1的等比数列， 是1县归 （2）证明： bo=ap-an 212132 2*1-321-3(21-3) 515=b1-323 (22-3沪0， 故s是关于n的递增数列S≥5，=b,=a-a=12. 32+1 -32 k2时b=a3y23M2292 <32 12313小15缘12s,15 课后练习-巩固加强 1=宁京六米，52neN 证明：当n=1时，S1=1<2,不等式成立； 1111 当n≥2时，由放缩公式可得：交kk-1k-1K 81含0+容11号为 =1+1-1=2-1<2. 综上，对任意n∈N·,Sn<2得证. 1 1+1+ 2记，7+2++疯求证：T,<2n,neN 证明： $$T _ { 1 } = 1 < 2 \sqrt [ 0 ] { 1 } = 2$$ 不等式成立： n≥2 时，由根式放缩公式 $$\frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { k } } < 2 \left( \sqrt [ 9 ] k - \sqrt [ 0 ] { k - 1 } \right) ，$$ 可得： $$T _ { n } = 1 + \sum _ { k - 2 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt [ n ] { k } } < 1 + 2 \sum _ { k = 2 } ^ { n } \square \left( \sqrt [ n ] { k } - \sqrt [ n ] { k - 1 } \right) = 1 + 2 \left( \sqrt [ 0 ] { n } - 1 \right) = 2 \sqrt [ n ] { n } - 1 < 2 \sqrt [ 0 ] {$$ 得证. 3. $$P _ { n } = \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } } + \cdots + \frac { 1 } { n ^ { 3 } } ，$$ 求证： $$P _ { n } < \frac { 1 } { 4 } ， n \ge 2 ， n \in { N ^ { * } } .$$ 证明：由立方放缩公式 $$\frac { 1 } { k ^ { 3 } } < \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { 1 } { k \left( k - 1 \right) } - \frac { 1 } { k \left( k + 1 \right) } \right] \left( k \ge 2 \right) ，$$ 可得： $$P _ { n } = \sum _ { n = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 ^ { n } 3 } < \frac { 1 } { 2 _ { n - 2 } } \sum _ { n - 2 } ^ { n } { \frac { 1 } { 2 n - 2 } } \left[ \frac { 1 } { k \left( k - 1 \right) } - \frac { 1 } { k \left( k + 1 \right) } = \frac { 1 } { 2 }$$ 不等式得证. 4.求证： $$\sum _ { k = 2 } ^ { n } \frac { 1 } { k \sqrt [ n ] { k } } < 2 \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt [ n ] { n } } \right) ， n \ge 2 ^ { n }$$ 证明 高阶根式放缩公式： $$\frac { 1 } { k \sqrt { 1 } } < 2 \left( \frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { k - 1 } } - \frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { k } } \right) \left( k \ge 2 \right) ，$$ 可得： $$\sum _ { k = 2 } ^ { n } \frac { 1 } { k \sqrt { 0 } \sqrt { k } } < 2 \sum _ { k = 2 } ^ { n } \left( \frac { 1 } { \sqrt [ 0 ] { k - 1 } } - \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] k } \right) = 2 \left[ \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt [ x ] { k } } \right) - \frac { 1 } { \sqrt [ x ] { k$$ $$= 2 \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { n } } \right.$$ )不等式得证 5.求证： $$\frac { 1 } { 2 ^ { 2 } - 1 } + \frac { 1 } { 4 ^ { 2 } - 1 } + \cdots + \frac { 1 } { \left( 2 n \right) ^ { 2 } - 1 } < \frac { 1 } { 2 } ， n \in { N ^ { * } } ，$$ 证明：由平方差裂项公式： $$\frac { 1 } { \left( 2 k \right) ^ { 2 } - 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 k - 1 } - \frac { 1 } { 2 k + 1 } \right) ，$$ 可得： 会4会21-哈+22 1-2n2 不等式得证. 6知者数ab≥1记c。己方求证立口6,6 am-ba 1 1 证明：由指数差放缩公式：ak-ba-(a-b) ≤ (a>b≥1). 可得： 龙111- 1.1 之。-6a-b2a六a-b1-上a-b1-日a-b a a 不等式得证 7.正项数列(a,的前n项和s满足s-(n2+n-1)S,(n2+n)0 (1)求数列{an}的通项公式a; (2)令b,+1'数列(b,}的前n项和T,证明：对于任意的n∈N,都有 (n+2)a 语 解：1)由s2-(n2+n-1)s,-(m2+n)=0得[S,(m2+n)S,+1)=0 由于a} 是正项数列所以S。>0,5。=n+n 于是a,=5,=2当n≥2时a,=5,-5.4=n2+n-(n-1-(n-1-2n 综上，数列{an}的通项公式为an=2n (2)证明： 由于an=2n,故： b,01 -n+1 -n+1 -11-1 (n+2)2a7(n+2)2(2n)24n2(n+2)216n2(n+2)2 工，字安岁yo片a0a +11_1「11 1 1+ D对任意的n∈N,都有，d 8.等差数列{an}各项均为正数a1=3,前n项和为Sn.等比数列{bn}中，b1=1,且 b,S,=64,b3S3=960. (1)求an与bn: (2)证明5，2。4 解：(1)设公差为d(d>0) 公比为g:则：b,S=q(6+d)64 b3S3=q(9+3d)=960 d= 6 解得： d=2 或 5 q=8 0 (舍 03 则 an=3+2(n-1)=2n+1'b,=8-1 2证明：由)得a,=2n+1,则：S=3n+)n-×2=n(n+2) 则：1=1 =11-1 S.n(n+2)2nn+2 即专发片号h S1 S2 <1x3=3 9记s为数列a,}的前，项和，已知g,=业S是公差为的等差数列 a 3 (1)求{an}的通项公式： 2证明是+上++1<2 al a2 an 解：1)a,=1S,=a4=1,5=1. 'a1 又… 是公差为1的等差数列， _(n+2)am an (n+1)an-4 :当n22时，Sn-1=3 .an=Sa-Sn-1-3 (n+2)a2_(n+1)am1. 3 整理得：(a-1)a(0+1)a,,即日 an-1n-11 a,=a,×2××.x-x=1x3×4×.xnxn+1-n+1 a1 a2 an-2 an-1 12 ·n-2n-12 -n(n+1) 显然对于n=1也成立，{a}的通项公式a2 (2)证明：12一=211 an n(n+1)nn+1 话片片n 9.4.3数列不等式-函数放缩法 窗知识点梳理 1.分式型函数的放缩： 分式型不等式（糖水不等式）：+m>2(Q>b>0,m>0). a+m a 则函数f(x)=btX(a>b>0,X>0)为增函数 a+x 2三角函数型的放缩：sinx<x<anx(x∈(0，受》 3.指数、对数型函数的放缩： (x≥1)@ h版e-衣（20 ®典型例题 例1已知数列a,满足：a,=1a1-n1+a,n∈Ny设数列日的前，项和为T: an 证明： (1)a>0(nEN); (2）an+1≤ 3ar(nEN); a+3 (3)n+5n≤Tn≤r+5n(neN 6 4 证明：(1)当n=1时，a1=1>0,所以n=1命题成立. 假设n=k时命题成立，即ak0.此时1+ak>1 当n=k+1时，有ak+1=ln(1+ak)>lnl=0,所以ak+1>0 故对于n∈N·都有an0 (2)令m(x)月ln(1+x)-x,(x≥0) 则m(x)上x0 所以m(x)在[0，+∞)上单调递减， 则m(x)m(0)→ln(1+x)-x≤0→ln(1+x)≤x 所以ln(1+an)≤a,即an+1≤an,所以数列{an}是递减数列. 故an≤a1=1,因此0<an≤1 要证明 3an,即证1n1+an) an+i 3an an+3 an +3 构造函数(x)月Hn(1+x)3x(0<x≤) x+3 -x(x-3) h(x+x (x+3)2 (1+x)x 所以在(0,1]单调递减 故(xh1+x23o-0 因此1n(1+a,)a 3 an+3 )由2②》可132→}之3=+1与11≥是成立， an+3 an+1 3an 3 an an-1 an 3 ,12-2+ 则有递推关系累加法可得：产3一3「3’ 故数列 m,,d片号+引…是号 2 ·n+ +2++n=n2+5n即2+5n≤T n3 6 6 构造函数g(x)Hn(1+x2X0sx≤1)， X+2 2x0=0, 所以g(x)在[0,1]单调递x数g(0)月(1+0)6+2 得n(1+an) 28所以有a1 2an, an +2 a+2 ,1-1<1 。点乞，则同前有累加法可得 L<n+2=1+ 2 故同前分组求和的方式得工≤+5n 因此得证： 5n≤T,≤+5m(neN‘) 6 4 例2.已知数列x,X=上X,=X,1+ln1+x广n∈N:证明： (1)0<xn+1<Xni (2)2xn+1-Xn Xn'Xn+1 2 1 1 (3)2≤x 202. 证明：(1)用数学归纳法证明：x>0 当n=1时，x1=1>0 假设n=k时，Xk>0. 那么n=k+1时，若xk+1≤0， 则0<Xk=xk+1+ln(1+Xk+1)0,矛盾，故Xk+10. 因此x>0(n∈N): 所以X=Xn1+ln(1+Xn+1)PXm+1 因此0<xn+1<xm(n∈N,) (2) 由 x=xn-1+In(1+xn+1) 得 XnX+1-4xn1+2xn=xi1-2xn+1t(xn+1+2)ln(1+X+1): 记函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0)， f(x)=2xX+l(1+x)>0(x>0). x+1 函数f(x)在[0，+∞)上单调递增， 所以f(x)2f(0)=0, 因此X-2x(x1+21n1+x片f(Xn20, XmXn1(n∈N,) 故2Xn4-Xm≤2 (3)因为X,=义1l(1+X1X1+X12x1所以X≥2 由2x8k收-20 2 所分收卦收 Xn2Xn-12 故综 2a(n∈N. 例3已知数列o满足a=a1=2∈Ny证明：a,子 n2+1 证明：由a1 nan及糖水不等式可得：d1=n2>n2-1=n-1×n+1 n2+1 ann2+1(n2+1)-1nn 1x1x3x2x4x..xa-2xn=n 所以，当n23时，am>2×2×2×33 .1 n-1n-14(n-1)4 又a=是所以a,>对切n∈N成立 @ 课后练习-巩固加强 1已知a,=nn； n+2,求证：n∈N，b,>an 证明：构造函数f(x)=X,=1-1 X+1 X+1 由糖水不等式对应分式单调性结论可知：x>0时，f(x)单调递增 对任意正整数n,满足n+1>n>0,由函数单调性公式得： 即n十上>，个1故bn>an不等式得证 乃1 2设x朵kEN求证立sn火晋 k=1 证明对任意正整数k,X=∈(0，受，满足三角放缩定义域， 由sinX<X三角放缩公式得：sinX<X=4k π 对不等式两边k=1到逐项求和，由同向不等式求和性质公式得：) k 不等式成立 3.求证：血1+ln2+lh3++lnn<nm- 2,n≥2，n∈N 2 证明：k=1时，1n1=0:对k≥2，x=k>1>0, 满足对数放缩定义域，由lnx≤x-,1得：nk≤k-1,且k>1时严格小于. 对不等式两边逐项求和，由同向不等式求和性质公式得： 三nk=0+三血k←公(k~1)小得由等茶致列求和公式得： k=2k=2 三k-11+2*+n-1-?1,原不等式得正 2 4设x=sin求证：∑口x4<1+lnn,n≥2，n∈N. k=1 证明：对任室k2≥1.青∈(0，号，满足三角放缩定义拔，由snX<X三角放缩公式得： 11 sin 对不等式逐项求和，由同向不等式求和性质公式得： 含加m含1+转 由题6对数下界放缩公式结论得： ∑<nn代入化简得： k xhn限不等形面 反卫知数列1a满ta,=方a=sin号a,n∈Ny (1)证明：2≤a,<a+11. (2)设S,是数列a,前m项和，证明：S,>n多 解：)证明：因为a,5n任2，所以0a,,1 42 假设0<a<a1<1(k21,k∈N) 由于 f(x)=sin x在0 上单调增加， 所以f(0)<f(ak)f(ak+1)Kf(1),即0<ak+1<ak+2<1. 所以对任意的n∈N',0<an<an+1<1. 又4方所以a≥a号 1 所以对狂意的neN',2≤a,<a1<1 71-2m话(ajp1-2(a.-1y m以1-a管0-，6-a水-a, 2 8 6月数到aa子a最 (n∈N) (1)证明： 1 是等差数列，并求出{a,}的通项公式： an-1 1 (2)证明：a1aa,a.<n+ a-2,可得：a*1-1=2a-3 证明：()油a产2a,-3 1-an. 2. 因为-号即。-3，所以。}是以-3为首顺-2为公送的等装数列 a1-1 2n 以a于2n-L,QntY 1,-a,a-a-号*200 2n+1 因为 2nt号所以T,<子×5××2号@. 2n+12n+2 46 2n+2 0×®122中 所以T<n+了 1 即a1a,aamn+i 1 7已知正项数列a,，a=,a-nfa,+1,n∈N证明 (1)an+1<an; (2)an-2an+1<an'an-1; 解：亚明00x对-2xx+,0,f0)2中0 则f(x)在x>0递增，则f(x)>f(O)=0, 令x=a2a,n(a.+h少0.即有a2n(a,+1=即4a (2)an-2an+1<anan+等价为ann(an+1)+2ln(an+1)-2an>0, 可设g(x)=x1n(x+1)+2In(x+1)-2X'x>0' 8)(xr安2x*南 7 设m(xH(x+小文灯m(x) X x+1(x+1)y(x+1y>0, 可得nm(x)在0，+递增即有m(x>m(0-0' 则g（x在0.+∞递增即有g(x广g0)=0 令x=a,则2，ln(a,+1)+2n(a,+1)-2a,>0 所以an-2an+1<anan+ 8冷Mx对上x-Mx+x0h()r1文0 h(x)在(0，+o)递增令x=an,则an-ln(an+1)>0, 即有a,>2an即a12, .1 当n=1时，a1=1; 当2a 由an-2an+1<anan+,两边除以anan+l,可得： 12+1, an+1 an an+1 以<a 1 2n-12n2m 8E期数6f1,f导◆线分f (1)求数列x 的通项公式： （2)证明：X1×x22e 1 解：)：函数f(x)上2x 0r1号 2 2 a+b 人， 2 1 2a+b 立解得a=b-10x)2令x分×-0x X*1 2Xn, 两边取倒数可得：1一=1一+1， x2+1 Xn+1 2Xn 2 变形为： Xn+1 数列-1 是等批数列，首项为1公比为1 Xn x+2+1+ 2证明：X,X2…X, sr一 g 2 n- 数列+一)广单调避增im1+一)广-e, 1 2e,x8 x1X2…Xm