专题10 累加累乘、取倒数、构造法、奇偶项数列等常见方法求通项公式讲义-2026届高三数学一轮复习（全国适用）

专题10 累加、累乘、构造、取倒数、递推法求通项公式 七种常见题型思维导图： 题型一 累加法、累乘法 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 知识储备：一、累加法、累乘法 ①累加法：适用于，求 具体过程：两边分别相加得 ②累乘法：适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 ---累加法--- 1．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，代入计算即可得到，继而得到. 【详解】因为数列满足，， 所以， 所以， 则， 所以， 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得. 【详解】因为，所以， 所以当时，，，…，， 累加可得， 因为，所以，当时，，满足上式， 所以， 故选：B． 3．（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式. 【详解】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为. 故选：C 4．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列 中，，则 （   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由已知可得，利用累加法结合对数的运算法则求解即可. 【详解】在数列中， 即 , 所以 故选：A. 5．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，． (1)若，，成等差数列，求k； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，成等差数列得，求出即可； （2）由可得答案. 【详解】（1）已知数列满足，． 因为，，成等差数列，所以， 所以， 整理得，解得，或（负值舍去）. （2）因为，又， 所以时， ， 时,也满足上式， 所以． 6．（25-26高三上·贵州遵义·模拟）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用累加法求出的通项公式，然后可得的通项公式； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以当时， ， 是首项为1的正项数列， 则， 又满足上式，所以. （2）由（1）可得，， 所以. ---累乘法--- 1．（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果. 【详解】由， 当时， ， 显然，对于时也成立， 所以， 则的前6项和为. 故选：C. 2．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，得，，． 由累乘法，得， 即， 又，所以． 故选：C． 3．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知首项为1的数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用累乘法求解. 【详解】依题意，. 故选：A. 4．（24-25高三上·江苏淮安·模拟）(多选)已知数列满足，，的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】累乘法可计算出数列的通项公式，再使用错位相减法计算出即可得. 【详解】，则、、、， 累乘得：， 又，故，故B正确； 则，故A正确； ， 则， 有 ， 即，故D错误； ，故C正确. 故选：ABC. 5．（25-26高三上·天津·阶段练习）已知数列的首项且满足. (1)证明：是等比数列； (2)数列满足，，求数列的通项公式； (3)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据递推关系可得，由等比数列定义可得结论； （2）利用累乘法可求得； （3）由等比数列通项公式求法可求得，由此可得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）由得：，， ，，数列是以为首项，为公比的等比数列. （2），， 当时，； 当时，满足； 综上所述：. （3）由（1）得：，，又， ； ， ， ， . 6．（24-25高三上·江苏苏州·期末）已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且． (1)求及； (2)求的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案； （2）先求出，累乘可求答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，； 又，所以，所以， 所以，． （2）因为，所以， ， 以上各式相乘可得， 因为，所以. 题型二 同除法及取倒数法 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 知识储备：二、同除法及取倒数法 ①形如整式，两边同时除以 ②形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） ③形如,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 题型三 同除法或取倒数法 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】由题设有，等比数列定义求通项公式，进而有求，再由及放缩法确定范围求参数值. 【详解】，又， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 故，令 由且，则， 由，则， 则，所以， 故，则正整数的值为2023. 故选：C 2．（25-26高三上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】令，根据构造法求得，结合等比数列前n项求和公式建立不等式即可求解. 【详解】，令， 则，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 得，所以， ∴， 由，解得. 故选：B 4．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得到数列是以1为首项，4为公差的等差数列，即可求出的通项公式，再解不等式即可． 【详解】解：因为，所以，所以，又， 数列是以1为首项，4为公差的等差数列． 所以，所以，由，即，即，解得，因为为正整数，所以的最大值为； 故选：C 5．（25-26高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式. 【详解】因为数列的首项，且各项满足公式，则，，， 以此类推，对任意的，， 由可得，所以，， 所以，数列是等差数列，且首项为，公差为， ，因此，. 故选：B. 6．（2025·河南·二模）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知等式变形得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）验证当时，不等式成立；当时，推导出，再利用等比数列的求和公式可证得不等式成立. 【详解】（1）由题设条件，可得若，则， 用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以. 因为，所以，，，所以，， 由得，所以， 又，所以是首项、公比均为的等比数列. 所以，则. （2）显然时，成立， 当时，，所以，所以， 所以，即，所以， 所以. 综上，，得证. 题型四 构造法 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 知识储备：四、构造法 ①形如且，化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ①形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 1．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 【答案】C 【分析】根据已知可得，构造法得到是首项、公比均为的等比数列，写出通项公式即可求项. 【详解】由题设，则， 所以，则 又，则， 所以是首项、公比均为的等比数列，则， 所以，则. 故选：C 2．（2025·河南·模拟预测）设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用求出，进而求出即可得解. 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，于是，所以． 故选：C 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】分析可知数列是首项为3，公差为1的等差数列，进而可得，根据题意利用裂项相消法可得，运算求解即可. 【详解】因为数列满足，，可得， 可得数列是首项为3，公差为1的等差数列， 则，即， 则， 可得 ， 因为，可得，解得， 即所求的最大值为6. 故选：B. 4．（25-26高三上·陕西榆林·开学考试）已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造法，结合与等差数列的定义即可得解. 【详解】因为，则，整理得， 又，则， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则，所以. 故选：D. 5．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）(多选)已知数列满足则（    ） A． B．是等比数列 C． D．是等比数列 【答案】ACD 【分析】通过构造法求数列的通项公式可得选项C正确；根据通项公式可得选项A正确；求出数列的前3项可得选项B错误；通过定义法证明等比数列可得选项D正确. 【详解】由得则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，从而，C正确. 由得，A正确. 由得， 故数列不是等比数列，B错误. 由得， 故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，D正确. 故选：ACD. 6．（25-26高三上·广东·阶段练习）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意可得，从而可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项，再根据分组求和法即可求出，即可得出答案. 【详解】解：∵，可得， 又 ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确； 则，∴，故C错误； 则，故A正确； ∴，故D错误. 故选：AB. 题型五 因式分解法求通项 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（25-26高三上·吉林·阶段练习）已知是各项均为正实数的数列的前项和，，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件可得数列是等比数列，由此求得其通项公式和前项和，代入不等式，并分离参数，可利用基本不等式，求得实数的取值范围. 【详解】由，得. 因为数列各项均为正实数，所以，所以，所以. 所以，即. 因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列. 所以所以. 因为，所以. 因为，当且仅当，即时，等号成立. 所以.所以. 所以实数的取值范围是. 故选：A. 2.已知正项数列满足，且，求的通项公式 【答案】 【详解】由已知，得， 因为数列是正项数列，所以， 即， 故 累乘得，， 又也满足上式 故的通项 3.已知正项数列满足，设． (1)求，； (2)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (3)的通项公式，并求其前项和为． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 (3)， 【详解】（1），当时，，， 可得， 则或，因为为正项数列，所以. 数列为首项为1，公比为2的等比数列， 可得； ， ，； （2）数列为等差数列，理由：， 则数列为首项为0，公差为1的等差数列； （3）， 前项和为． 题型六 隔项差（比）数列 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 六、隔项等差（比）数列 ①形如可推出，即奇数项构成以为首项的等差数列，公差为；偶数项构成以为首项的等差数列，公差为； ②形如，，可推出，即奇数项构成以为首项的等比数列，公比为；偶数项构成以为首项的等比数列，公比为 1．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知是等差数列，满足：对，，则数列的通项公式＝（　　） A．n B．n﹣1 C．n﹣ D．n+ 【答案】C 【分析】由得，两式相减得，可得d的值，可得答案. 【详解】解：由得， 两式相减得， 故.故选. 2.（北京市大兴区2025届高三上学期期末检测数学试题）已知数列中，，，，则下列结论错误的是（） A． B． C．是等比数列 D． 【答案】D 【分析】AB项，分别令，，求出的值验证；CD项，由可得，得，继而得到及均为等比数列，根据等比数列的通项求解. 【详解】当时，，故A正确. 当时，， 当时，，，故B正确. C项，， ， 所以得，所以，是以为首项，为公比的等比数列，故C正确. D项，由C项得， 又，，是以为首项，为公比的等比数列， ，故D错误. 故选：D 3．（24-25高三下·河北保定·期末考试）已知数列满足，则数列的前10项和为（    ） A．3069 B．2046 C．1023 D．511 【答案】B 【分析】对已知条件进行整理化简，判断数列是等比数列，再根据等比数列的前项和公式，即可求得结果. 【详解】，即， ，， 由可知，故，则数列是公比的等比数列； 又，设数列的前项和为， 则.故选：B. 题型七 分段递推求通项 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 七、分段递推求通项 奇偶项的递推关系不同，一般利用递推关系推出奇数项或偶数项之间的关系，分别求出奇偶项的通项公式 1．（25-26高三上·上海·开学考试）数列中，，，使对任意的恒成立的最大值为（　　） A．1209 B．1211 C．1213 D．1215 【答案】B 【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找出数列的规律，判断到哪一项等于，即可求解. 【详解】由已知可得，数列：， 可得规律为1，6，11；6，11，16；11，16，21；.．， 此时将原数列分为三个等差数列： ，； ，； ，； 因为， 所以满足对任意的恒成立的最大值为1211. 故选：B. 2．（25-26高三上·河北·开学考试）已知数列的首项为1，，则数列的前20项和为（    ） A．190 B．380 C．210 D．420 【答案】C 【分析】利用迭代法和不完全归纳法可作出判断. 【详解】根据，由可得， ，， 由此可归纳通项公式为， 则， 故选：C. 3．（24-25高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先根据数列的递推公式求出数列的前几项，再找出数列的周期，最后根据周期求出的值. 【详解】解：因为且 所以，， ，， ，， 所以数列是周期数列，且周期为4， 所以. 故选：C. 4．（2024·山东济南·二模）已知数列满足，对于任意的且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系，写出数列前几项，归纳出通项即可得解. 【详解】依题意，设， 则， ，， ，， ，， 可归纳得：，， 所以.故选：B 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 累加、累乘、构造、取倒数、递推法求通项公式 七种常见题型思维导图： 题型一 累加法、累乘法 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 知识储备：一、累加法、累乘法 ①累加法：适用于，求 具体过程：两边分别相加得 ②累乘法：适用于，求 具体过程： ，两边分别相乘得 ---累加法--- 1．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列 中，，则 （   ） A．5 B． C．4 D． 5．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，． (1)若，，成等差数列，求k； (2)求． 6．（25-26高三上·贵州遵义·模拟）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． ---累乘法--- 1．（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知首项为1的数列满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏淮安·模拟）(多选)已知数列满足，，的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·天津·阶段练习）已知数列的首项且满足. (1)证明：是等比数列； (2)数列满足，，求数列的通项公式； (3)记，求数列的前项和. 6．（24-25高三上·江苏苏州·期末）已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且． (1)求及； (2)求的通项公式． 题型二 同除法及取倒数法 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 知识储备：二、同除法及取倒数法 ①形如整式，两边同时除以 ②形如且，两边同除,得,令,得,转化为利用累加法求（若为常数,则为等差数列） ③形如,则有. 所以是以为首项,为公差的等差数列,即.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 题型三 同除法或取倒数法 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．（25-26高三上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（25-26高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·二模）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 题型四 构造法 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 知识储备：四、构造法 ①形如且，化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. ①形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式. 1．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 2．（2025·河南·模拟预测）设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（25-26高三上·陕西榆林·开学考试）已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）(多选)已知数列满足则（    ） A． B．是等比数列 C． D．是等比数列 6．（25-26高三上·广东·阶段练习）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 题型五 因式分解法求通项 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1．（25-26高三上·吉林·阶段练习）已知是各项均为正实数的数列的前项和，，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知正项数列满足，且，求的通项公式 3.已知正项数列满足，设． (1)求，； (2)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (3)的通项公式，并求其前项和为． 题型六 隔项差（比）数列 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 六、隔项等差（比）数列 ①形如可推出，即奇数项构成以为首项的等差数列，公差为；偶数项构成以为首项的等差数列，公差为； ②形如，，可推出，即奇数项构成以为首项的等比数列，公比为；偶数项构成以为首项的等比数列，公比为 1．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知是等差数列，满足：对，，则数列的通项公式＝（　　） A．n B．n﹣1 C．n﹣ D．n+ 2.（北京市大兴区2025届高三上学期期末检测数学试题）已知数列中，，，，则下列结论错误的是（） A． B． C．是等比数列 D． 3．（24-25高三下·河北保定·期末考试）已知数列满足，则数列的前10项和为（    ） A．3069 B．2046 C．1023 D．511 题型七 分段递推求通项 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 七、分段递推求通项 奇偶项的递推关系不同，一般利用递推关系推出奇数项或偶数项之间的关系，分别求出奇偶项的通项公式 1．（25-26高三上·上海·开学考试）数列中，，，使对任意的恒成立的最大值为（　　） A．1209 B．1211 C．1213 D．1215 2．（25-26高三上·河北·开学考试）已知数列的首项为1，，则数列的前20项和为（    ） A．190 B．380 C．210 D．420 3．（24-25高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（ ） A． B． C． D． 4．（2024·山东济南·二模）已知数列满足，对于任意的且，都有，则（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $