4.2等差数列教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第二册　第4章 4.2　等差数列 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　等差数列的定义、通项公式与一次函数特征 （1）教材出处 选择性必修第二册 第四章 4.2.1 等差数列的概念 正文（定义、通项公式、与一次函数的关系）；例2（求等差数列 的通项公式与第20项，并判断 是否为该数列的项）；例4（已知 ，，求首项与公差）；课后习题中的通项与项数判断。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 ，那么这个数列叫做等差数列， 叫做公差： 通项公式为 当 时， 是关于 的一次函数，点 共线； 时数列递增， 时数列递减， 时为常数列。任意两项满足 判断等差数列的三种常用方法：定义法（ 为常数）、通项法（， 为常数）、等差中项法（，）。 （3）推导证明 由定义， 将 个等式左右分别相加，中间项全部抵消，得 即 。 若 （ 为常数），则 为常数，故 是公差为 的等差数列。反之，若 为公差为 的等差数列，则 ，即 ，。由一次函数的单调性， 时 随 增大而增大， 时递减， 时不变。 （4）适用条件与易错提醒 · 定义必须“从第2项起”且对所有相邻项成立；只验证前3项相等不能说明整个数列为等差数列。 · 公差是“后项减前项”，顺序不能颠倒； 可以为正、为负或为0。 · 通项 中的 必须是常数，且对一切 成立；分段给出的通项不能直接判定。 · 点 共线只在 时表现为斜率 的直线； 只取正整数，不能把整条直线都当作数列。 · 已知两项求公差时用 ，分母是下标差，不是项数差。 · 单调性只由 的符号决定，不能由 或某一项的大小判断。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题为主，考等差数列的判定、由基本量求通项、由通项判断某项是否为数列中的项、单调性；解答题中常作为数列大题的第一问，为后续求和或证明作铺垫。难度基础到中档。近年真题如 2024 全国甲卷·理 4（由 、 求 ）、2025 全国二卷·7（由 求 ）均以基本量运算为核心；2025 全国一卷·16（1）则以“证明 为等差数列”考查定义法。 （6）方法归纳 · 第一步　设基本量：写出 与 ，或设 。 · 第二步　列方程：把已知项、已知和或递推关系代入通项，得到关于基本量的方程（组）。 · 第三步　解出基本量：求 、，写出 ；若用定义法，直接计算 并说明为常数。 · 第四步　回代检验：确认 为正整数、项数合理、单调性与 的符号一致。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 求等差数列 的通项公式和第20项，并判断 是否是该数列中的项；若是，是第几项？ 解析 首项 ，公差 。故 第20项为 令 ，得 ，。因为 是正整数，所以 是该数列的第100项。 例题 2（教材原题改编） 在等差数列 中，已知 ，。 （1）求 、公差 与通项公式 ； （2）判断 是否是该数列中的项；若是，是第几项？ 解析 （1）由 ，得 所以 。又 ，即 ，得 。故 （2）令 ，得 ，。因为 是正整数，所以 是该数列的第35项。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） （改编自 2025 全国一卷·16（1））设数列 满足 ，且 （1）证明：数列 为等差数列； （2）求数列 的通项公式。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知数列 的通项公式为 ，（）。 （1）判断 是否为等差数列，并求公差； （2）证明 为等差数列，并求 ； （3）判断 是否为数列 中的项；若是，是第几项？ 条目二　等差中项与下标和相等的性质 （1）教材出处 选择性必修第二册 第四章 4.2.1 等差数列的概念 第二课时 正文“等差中项”与“下标和性质”；课后习题“已知 ，，求 ”；4.2.2 前 项和中的中项求和。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 如果三个数 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项，且 反之，若 ，则 成等差数列。 在等差数列 中，若 （），则 特别地，若 ，则 。当 时，反过来由 可得 。 常用设元：三个数成等差数列可设为 ；四个数成等差数列可设为 。 （3）推导证明 设 。则 若 ，两式右边相等，故 。当 时，由两式相减得 ，故 。 等差中项由定义直接得到：若 成等差数列，则 ，移项得 ；反之，若 ，则 ，故 成等差数列。 （4）适用条件与易错提醒 · 等差中项要求“中间项”是两端项的算术平均； 与 等价，但 必须作为数列的中间项。 · 下标和性质只对等差数列成立；等比数列的对应性质是“下标和相等则项积相等”，不要混用。 · 下标必须是正整数； 中允许 ，但不能把 误写成 之类。 · 由项和相等反推下标和相等，需要 ； 时常数列对任意下标都成立，不能反推。 · 等差中项与等比中项不同：等比中项满足 ，且 时 ；等差中项唯一。 · 用对称设元时，要保证设出的各项仍满足题目中的顺序与范围条件。 （5）考点定位与命题角度 选填高频，考求特定项、求前 项和、三项成等差求参数、等差中项在三角形或实际问题中的应用；解答题中常用于简化求和与证明。难度基础到中档。近年真题如 2023 全国甲卷·文 5（，，求 ）、2024 全国甲卷·文 4（，求 ）都直接考查下标和与整体代换。 （6）方法归纳 · 第一步　找下标关系：把已知项与目标项的下标相加，观察是否满足 或 。 · 第二步　用中项：若出现三个连续或对称的项，优先换成 ；若两组下标和相等，换成两组项和相等。 · 第三步　列方程：结合公差 或首项 ，减少未知量；三数成等差时用对称设元。 · 第四步　回代检验：求出目标项或和，检查下标为正整数、公差符号与单调性是否相符。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 在等差数列 中，已知 ，，求 。 解析 由下标和性质，，故 又 ，即 ，得 。于是 所以 例题 2（教材原题改编） 在等差数列 中，，且 ，求公差 与通项公式 。 解析 由下标和性质，，故 得 。设公差为 ，则 由 ，得 即 ，，所以 或 。 当 时，，； 当 时，，。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） （改编自 2023 全国甲卷·文 5）记 为等差数列 的前 项和，若 ，，求 。 变式 2-2（优质模拟改编） 已知等差数列 中，，，且 为递增数列，求公差 与前10项和 。 条目三　前 项和公式与二次函数特征、 最值 （1）教材出处 选择性必修第二册 第四章 4.2.2 等差数列的前 项和 正文（倒序相加、两个求和公式、 的二次函数特征）；例7（前10项和为310，前20项和为1220）；例9（，，求 的最大值）；课后练习。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 前 项和的两个公式： 整理得 当 时， 是关于 的二次函数，常数项为0，二次项系数为 ，对称轴为 最值规律：若 ，，则 有最大值，使 最大的 满足 且 ；若 ，，则 有最小值，使 最小的 满足 且 。 （3）推导证明 将 倒序写出： 两式相加，每一列的和都是 ，共 列，故 把 代入，得 因为 ，所以 在 由正变负（或由负变正）处取得最大（或最小）值；也可由二次函数的对称轴取最接近的正整数 。 （4）适用条件与易错提醒 · 两个求和公式都只适用于等差数列；第一个需要 与 ，第二个需要 与 。 · 求 最值前先看 的符号： 才有最大值， 才有最小值， 时 随 线性变化，没有内部最值。 · 用 且 求最大值时，若某一项为0，则相邻两个 可能同时取到最大值，不能只解 。 · 二次函数法要注意 只取正整数；对称轴不是整数时，要比较对称轴两侧最近的整数，不能直接把顶点坐标当作答案。 · 若题目给出 且 ，则从第2项起才是等差数列， 需要单独由 求并检验。 · 不要混淆“ 的最大值”与“ 的最大值”；前者看累积和，后者看单项。 （5）考点定位与命题角度 选填考求 、基本量、 的最值；解答题中常与通项公式、不等式、实际应用结合。难度基础到中档。近年真题如 2024 新课标Ⅱ卷·12（，，求 ）、2025 全国二卷·7（，，求 ）、2024 全国甲卷·理 4（，，求 ）、2022 全国乙卷·文 13（，求 ）均围绕求和公式与基本量展开。 （6）方法归纳 · 第一步　选公式：已知首末项用 ；已知首项与公差用 。 · 第二步　列方程：把已知的 、 代入，得到关于 的方程（组）。 · 第三步　判最值： 时找 变号处；或配方求对称轴，取最接近的正整数。 · 第四步　回代比较：计算相邻 的 ，确认最大（小）值及对应的 ，注意可能有两个 。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知等差数列 的前 项和为 ，，公差 ，求 的最大值及取得最大值时 的值。 解析 通项为 当 时 ；当 时 ；当 时 。因此 在 和 时取得最大值，且 故 的最大值为30，取得最大值时 或 。 例题 2（教材原题改编） 已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，求这个数列的首项、公差以及前 项和 ，并求 。 解析 设首项为 ，公差为 。由求和公式， 化简得 两式相减得 ，故 。代入 ，得 ，。于是 所以 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） （改编自 2024 新课标Ⅱ卷·12）记 为等差数列 的前 项和，若 ，，求 、公差 与 。 变式 3-2（优质模拟改编） 已知等差数列 的前 项和为 ，，且 ，求 的最大值及取得最大值时 的值。 条目四　等差数列前 项和的性质与片段和成等差 （1）教材出处 选择性必修第二册 第四章 4.2.2 等差数列的前 项和 课后习题与练习（片段和成等差、 为等差数列、奇数项和与偶数项和）；例7 的片段和视角。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：习题结论。 设 为等差数列，公差为 ， 为其前 项和。 · 片段和： 成等差数列，公差为 。 · 前 项和与项数之比：数列 为等差数列，且 反过来，若 为等差数列，则 为等差数列。 · 奇数项和与偶数项和：设奇数项之和为 ，偶数项之和为 。若项数为 （奇数），则 若项数为 （偶数），则 · 对称性：若 （），则 ，且 的二次函数对称轴为 。 （3）推导证明 · 片段和：第 个片段为 每个片段有 项，首项为 。当 增加1时，首项增加 ，故 所以片段和成等差数列，公差为 。 · ：由求和公式， 相邻两项之差为 ，故 为等差数列。反之，若 ，则 。当 时， 且 也符合该式，故 为公差为 的等差数列。 · 奇数项和与偶数项和：设项数为 ，奇数项之和为 ，偶数项之和为 。把奇数项与偶数项逐对相减，再加回最后一项： 又 设项数为 ，则 且 · 对称性：若 ，则 因 ，得 代入 ： 二次函数的对称轴为 。 （4）适用条件与易错提醒 · 片段和必须是连续且等长的片段：；不能取不等长的片段。 · 片段和的公差是 ，不是 ； 是每一段的项数。 · 为等差数列的结论要求 是同一个等差数列的前 项和；反过来由 为等差数列推 为等差数列时，要验证 的情形。 · 奇数项和与偶数项和公式只适用于等差数列且项按原顺序连续编号；项数为奇数时，中间项只计入奇数项。 · 由 （）推出 ，要求 为等差数列；反之不成立。 · 不要与等比数列的片段和混淆：等比数列的连续等长片段和成等比数列，公比为 。 （5）考点定位与命题角度 选填高频，考片段和、、奇数项和与偶数项和、 的对称性；解答题中常用于简化求和与求参数。难度中档。近年真题如 2023 新课标Ⅰ卷（判断“ 为等差数列”与“ 为等差数列”的充要关系）、2024 新课标Ⅱ卷·12（可用片段和简化）、2024 全国甲卷·文 4（ 求 ）都体现了这些性质。 （6）方法归纳 · 第一步　看片段：把 写成连续等长片段，确认每段项数。 · 第二步　用等差：片段和成等差数列，公差 ；或把 看成关于 的一次函数。 · 第三步　看奇偶：奇数项用中间项，偶数项用中间两项之和；先确定项数的奇偶。 · 第四步　回代：求 、 或目标片段，检验项数与首末项。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列中间一项的值以及项数。 解析 设项数为 ，中间项为 。由奇数项和与偶数项和的性质， 又 即 因为 ，且 ，所以 。故该数列共有19项，中间一项为29。 例题 2（教材原题改编） 已知等差数列 的项数为偶数，所有奇数项之和为45，所有偶数项之和为55，且 ，求项数与公差。 解析 设项数为 ，公差为 。由偶数项和与奇数项和的性质， 所以 。 又 且 代入得 即 解得 。故项数为10，公差 。 （8）变式训练 变式 4-1（高考真题改编） （2023 新课标Ⅰ卷）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则甲是乙的（　　） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 变式 4-2（优质模拟改编） 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，，求 与 。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案： 是首项为3、公差为1的等差数列；。 解析：由条件 两边同乘 ，得 令 ，则 故 是公差为1的等差数列。又 所以 由 ，得 当 时 ，符合题意。 变式 1-2 答案与解析 答案：（1）是，公差为3；（2），公差为6；（3）是，第339项。 解析：（1）因为 为常数，所以 是公差为3的等差数列。 （2）由 ，得 于是 故 是公差为6的等差数列。 （3）令 得 ，。因为 是正整数，所以 是 的第339项。 变式 2-1 答案与解析 答案：。 解析：由下标和性质， 所以 。又 ，即 得 。公差为 所以 由 ，得 变式 2-2 答案与解析 答案：，。 解析：由下标和性质， 所以 。设公差为 ，则 由 ，得 即 ，。因为 为递增数列，所以 ，故 。 于是 前10项和为 变式 3-1 答案与解析 答案：，，。 解析：设公差为 。由 ，得 由 ，得 即 联立 第一式乘2减去第二式，得 ，故 。代入 ，得 ，。于是 变式 3-2 答案与解析 答案： 的最大值为169，取得最大值时 。 解析：由 ，得 这8项构成等差数列，其和为 所以 设公差为 ，则 代入得 故 。通项为 当 时 ；当 时 。因此 在 时取得最大值，且 变式 4-1 答案与解析 答案：C。 解析：先证甲推出乙。若 为等差数列，公差为 ，则 ，所以 ，相邻两项之差为 ，故 为等差数列。 再证乙推出甲。若 为等差数列，设 ，则 。当 时，；又 也符合上式，所以 （），故 是公差为 的等差数列。因此甲是乙的充要条件，选 C。 变式 4-2 答案与解析 答案：，。 解析：由片段和性质，，，， 成等差数列。 已知 ，，故这个等差数列的首项为30，第二项为70，公差为 。 于是 ，所以 ；又 ，所以 。 人教A版·选择性必修第二册　第4章 4.2 等差数列　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $