第26讲 等差数列及其前n项和讲义- 2027届高三数学一轮复习

第26讲 等差数列及其前n项和 内 容 导 航 知识点1 等差数列基础概念 知识点2 等差数列前项和 知识点3 等差数列的性质 知识点4 等差数列的判定与证明 知识点5 等差数列的性质 知识点6 等差数列前n项和的最值 知识点7 等差数列奇偶项问题 知识点8 含绝对值的等差数列求和问题 题型1 等差数列的概念与判定 题型2 等差中项及其性质 题型3 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项 题型4 等差数列通项公式的应用 题型5 求等差数列的前n项和 题型6 由等差数列的前n项和求解数列 题型7 等差数列前n项和的性质 知 识 点 通 关 知识点1 等差数列基础概念 1.等差数列定义 从第2项起，每一项与前一项的差为同一个常数（公差），满足：（为常数）。 2.等差中项 若成等差数列，则为的等差中项，关系式：。 3.通项公式与变形 设首项，公差 通项： 变形1： 变形2： 知识点2 等差数列前项和 1.两个求和公式 2.函数特征 整理得： ①：是关于的二次函数，无常数项，对应图像为离散孤立点； ②：是关于的一次函数（常数列时为常数），图像为直线上离散点。 知识点3 等差数列的性质 1.项下标相关性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差的项，构成新等差数列，公差为。 2.数列线性运算性质 设公差为， ：公差仍为（为常数） （2）：公差为（为常数） （3）：公差仍为（为常数） （4）：公差为（公差） 3.片段和相关性质 设前项和 （1）为等差数列，首项，公差； （2）成等差数列，公差； （3）项数为：，； （4）项数为：，； 知识点4 等差数列的判定与证明 方法技巧 证明等差数列的两种方法 1.定义法：证明（为常数，），适用于已知递推关系式的题型。 2.等差中项法：证明，无需计算公差，适合仅给出三项关系的证明题。 知识点5 等差数列的性质 方法技巧 下标等量代换法 1.下标和相等性质：若，则；若，则，快速实现项的转化。 2.下标等差性质：下标成等差数列的项，构成新等差数列，公差为原公差的倍数。 3.线性运算性质：、、仍为等差数列，直接用于化简复合数列。 知识点6 等差数列前n项和的最值 方法技巧 求最值双解法 1.通项不等式法：求最大项令；求最小项令，解出的正整数取值。 2.二次函数法：，根据二次函数开口、对称轴判断最值位置，注意取正整数。 3.常数列时，所有项相等，无增减变化；和分开讨论单调性。 4.对称轴为小数时，取相邻整数对比大小确定最值。 知识点7 等差数列奇偶项问题 方法技巧 奇偶分组对比法 1.总项数为（偶数）：，，。 2.总项数为（奇数）：，，。 3.题目给出奇偶和差值、比值，直接套用公式建立方程，快速求解公差、中间项。 知识点8 含绝对值的等差数列求和问题 方法技巧 分段去绝对值求和法 1.第一步解不等式，确定正负项分界点；分界前项为正，分界后项为负。 2.当，绝对值不改变符号，；当，负数取相反数，。 3.分段书写最终求和表达式，不可合并为单一式子。 4.计算时先求出原数列前项和，再结合公式代入化简，注意符号变换。 考 点 演 练 题型1 等差数列的概念与判定 【典例1】我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3：2． 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸（单位：cm） 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64 根据上表，可以判断五种规格国旗的（　　） A．周长构成等差数列 B．周长构成等比数列 C．面积构成等差数列 D．面积构成等比数列 【变式1】已知数列{an}，{bn}分别是等差、等比数列，则必有（　　） A．a5+a7＝a12 B．a6+a7+a20＝3a11 C．b1b2b19＝b2b3b17 D．b1+b2，b3+b4，b5+b6成等比数列 题型2 等差中项及其性质 【典例1】已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则eb﹣a+eb+1的最小值为（　　） A．2e2 B．2e C． D．2 【变式1】已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝12，S8是{Sn}中的唯一最大项，则d的取值范围为（　　） A．（﹣4，﹣3） B．[﹣4，﹣3] C． D． 题型3 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项 【典例1】记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S5＝5，a6＝7，则a9＝（　　） A．8 B．10 C．13 D．15 【变式1】已知{an}是首项为6的等差数列．当且仅当n＝4时，{an}的前n项和取得最大值，则公差d的取值范围为（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2] C． D． 题型4 等差数列通项公式的应用 【典例1】已知等差数列{an}，公差为d，a1≠0，前n项和为Sn，记集合M＝{k|ak＝Sk}，若M中有2个元素，则a1，d的关系可以为（　　） A．2a1+3d＝0 B．2a1﹣3d＝0 C．3a1+2d＝0 D．3a1﹣2d＝0 【变式1】已知数列{an}的通项公式，当n≤40时，an均为素数，这40个素数中，被3除余2的数有　 　 个． 题型5 求等差数列的前n项和 【典例1】已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2+2a5+a10＝12，则S10＝（　　） A．24 B．30 C．36 D．48 【变式1】记Sn为等差数列{an}的前n项和，若，则数列{an}的公差为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 题型6 由等差数列的前n项和求解数列 【典例1】设等差数列{an}满足a1+a3＝10，a2+a4＝4，则当a1+a2+…+an＞0时，正整数n的最大值为　　 ． 【变式1】设Sn为等差数列{an}的前n项和，S12＝6a5，a9＝﹣2，则a12＝ 　　 ． 题型7 等差数列前n项和的性质 【典例1】已知等差数列{an}前n项和为Sn，若，则（　　） A． B． C．1 D． 【变式1】已知等差数列{an}，a2＝5，a1﹣a3＝a5，则Sn的最大值为（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 过 关 验 收 1．已知数列{an}的前n项和为，设，其中bi∈{0，1}，令f（m）＝b1+b2+…+bk，则（　　） A．数列{an}的通项公式为 B．f（m）＝f（2m） C．f（8m+5）＝f（4m+3） D．数列{f（an+3﹣Sn+1）}为等差数列 2．已知是公差为1的等差数列，且a1＝2，则a4＝　 　 ． 3．在数列{an}中，a1＝226，an+1＝an+100，若an＝2026，则n＝　 　 ． 4．已知数列{an}满足，an+1﹣an＝2，则S8＝　 　 ． 5．已知等差数列{an}中，a4+a8＝a7+8，则a5＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．已知a+b＝6，若在a，b之间插入3个数x1，x2，x3，使得这5个数成等差数列，则x1+x2+x3＝（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 7．已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，6），D（x4，y4）是曲线y＝8sin2x上的四个点，其中0＜x1＜x2＜x3＜x4，且x1，x2，成等差数列，则y1＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8．若5个正数之和为10，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是（　　） A．（﹣1，1） B．（0，1） C． D． 9．已知{lnan}（an＞0）为等差数列，a1＝3，a6＝96，则a3＝（　　） A．12 B． C． D． 10．已知等差数列{an}的前n项为Sn，且S5﹣a3＝16，S7﹣a4＝30，则an＝　 　　 ． 11．已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），a3＝7，a1，a2，a6成等比数列． （1）求{an}的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和Tn． 12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝15，a3+a5＝18． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn． 13．已知等差数列{an}中，a1+a2＝2，a4+a5＝14，则a7+a8＝（　　） A．26 B．24 C．20 D．30 14．已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（　　） A．664 B．665 C．674 D．675 15．已知{an}是等差数列，且a3+a9＝4a5，a2＝﹣4，则首项a1等于（　　） A．0 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣8 16．若方程（x2﹣4x+m）（x2﹣4x+n）＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|＝（　　） A．2 B． C． D． 17．已知等差数列{an}和{bn}的前10项均为正整数，且公差均不为0．若a10+b5＝10，则a5+b10的最小值为（　　） A．15 B．10 C．9 D．5 18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a9＝30，S9＝117，则a11＝（　　） A．17 B．19 C．25 D．30 19．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝2，S7＝35，则a8＝（　　） A．11 B．9 C．8 D．5 20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若5a5和S2的等差中项为6，则S7＝（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 21．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则满足的正整数n有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 22．设数列{an}和{bn}都为等差数列，记它们的前n项和分别为Sn和Tn，满足，则（　　） A． B． C． D． 23．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 24．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，且，则（　　） A． B．2 C． D． 25．已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且，则的值为　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26讲 等差数列及其前n项和 内 容 导 航 知识点1 等差数列基础概念 知识点2 等差数列前项和 知识点3 等差数列的性质 知识点4 等差数列的判定与证明 知识点5 等差数列的性质 知识点6 等差数列前n项和的最值 知识点7 等差数列奇偶项问题 知识点8 含绝对值的等差数列求和问题 题型1 等差数列的概念与判定 题型2 等差中项及其性质 题型3 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项 题型4 等差数列通项公式的应用 题型5 求等差数列的前n项和 题型6 由等差数列的前n项和求解数列 题型7 等差数列前n项和的性质 知 识 点 通 关 知识点1 等差数列基础概念 1.等差数列定义 从第2项起，每一项与前一项的差为同一个常数（公差），满足：（为常数）。 2.等差中项 若成等差数列，则为的等差中项，关系式：。 3.通项公式与变形 设首项，公差 通项： 变形1： 变形2： 知识点2 等差数列前项和 1.两个求和公式 2.函数特征 整理得： ①：是关于的二次函数，无常数项，对应图像为离散孤立点； ②：是关于的一次函数（常数列时为常数），图像为直线上离散点。 知识点3 等差数列的性质 1.项下标相关性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差的项，构成新等差数列，公差为。 2.数列线性运算性质 设公差为， ：公差仍为（为常数） （2）：公差为（为常数） （3）：公差仍为（为常数） （4）：公差为（公差） 3.片段和相关性质 设前项和 （1）为等差数列，首项，公差； （2）成等差数列，公差； （3）项数为：，； （4）项数为：，； 知识点4 等差数列的判定与证明 方法技巧 证明等差数列的两种方法 1.定义法：证明（为常数，），适用于已知递推关系式的题型。 2.等差中项法：证明，无需计算公差，适合仅给出三项关系的证明题。 知识点5 等差数列的性质 方法技巧 下标等量代换法 1.下标和相等性质：若，则；若，则，快速实现项的转化。 2.下标等差性质：下标成等差数列的项，构成新等差数列，公差为原公差的倍数。 3.线性运算性质：、、仍为等差数列，直接用于化简复合数列。 知识点6 等差数列前n项和的最值 方法技巧 求最值双解法 1.通项不等式法：求最大项令；求最小项令，解出的正整数取值。 2.二次函数法：，根据二次函数开口、对称轴判断最值位置，注意取正整数。 3.常数列时，所有项相等，无增减变化；和分开讨论单调性。 4.对称轴为小数时，取相邻整数对比大小确定最值。 知识点7 等差数列奇偶项问题 方法技巧 奇偶分组对比法 1.总项数为（偶数）：，，。 2.总项数为（奇数）：，，。 3.题目给出奇偶和差值、比值，直接套用公式建立方程，快速求解公差、中间项。 知识点8 含绝对值的等差数列求和问题 方法技巧 分段去绝对值求和法 1.第一步解不等式，确定正负项分界点；分界前项为正，分界后项为负。 2.当，绝对值不改变符号，；当，负数取相反数，。 3.分段书写最终求和表达式，不可合并为单一式子。 4.计算时先求出原数列前项和，再结合公式代入化简，注意符号变换。 考 点 演 练 题型1 等差数列的概念与判定 【典例1】我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3：2． 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸（单位：cm） 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64 根据上表，可以判断五种规格国旗的（　　） A．周长构成等差数列 B．周长构成等比数列 C．面积构成等差数列 D．面积构成等比数列 【答案】A 【解答】解：由题意得： 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64 周长 960 800 640 480 320 面积 55296 38400 24576 13824 6144 则960﹣800＝800﹣640＝640﹣480＝480﹣320， 所以周长构成等差数列， 因为， 所以周长不构成等比数列， 又因为55296﹣38400≠38400﹣24576， 所以面积不构成等差数列， 又， 故面积不构成等比数列． 故选：A． 【变式1】已知数列{an}，{bn}分别是等差、等比数列，则必有（　　） A．a5+a7＝a12 B．a6+a7+a20＝3a11 C．b1b2b19＝b2b3b17 D．b1+b2，b3+b4，b5+b6成等比数列 【答案】BC 【解答】解：数列{an}，{bn}分别是等差、等比数列， 对于A，a5+a7＝2a1+10d， a12＝a1+11d， ∴当a1≠d时，a5+a7≠a12，故A错误； 对于B，a6+a7+a20＝3a1+30d， 3a11＝3a1+30d， ∴a6+a7+a20＝3a11，故B正确； 对于C，b1b2b19q19，b2b3b17q19， ∴b1b2b19＝b2b3b17，故C正确； 对于D，∵{bn}是等比数列， ∴b1+b2，b3+b4，b5+b6不一定是等比数列，故D错误． 故选：BC． 题型2 等差中项及其性质 【典例1】已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则eb﹣a+eb+1的最小值为（　　） A．2e2 B．2e C． D．2 【答案】B 【解答】解：因为b是a，1的等差中项， 所以2b＝a+1，即a＝2b﹣1， 所以eb﹣a+eb+1＝e1﹣b+eb+12e， 当且仅当1﹣b＝b+1，即b＝0时取等号． 故原式的最小值为2e． 故选：B． 【变式1】已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝12，S8是{Sn}中的唯一最大项，则d的取值范围为（　　） A．（﹣4，﹣3） B．[﹣4，﹣3] C． D． 【答案】A 【解答】解：因为S8是{Sn}中的唯一最大项，所以，即， 因为a5＝12，所以，解得﹣4＜d＜﹣3，即d的取值范围是（﹣4，﹣3）． 故选：A． 题型3 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项 【典例1】记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S5＝5，a6＝7，则a9＝（　　） A．8 B．10 C．13 D．15 【答案】C 【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，由，变形可得a3＝1， 又因为a3+a9＝2a6，即1+a9＝14，解得a9＝13， 故选：C． 【变式1】已知{an}是首项为6的等差数列．当且仅当n＝4时，{an}的前n项和取得最大值，则公差d的取值范围为（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2] C． D． 【答案】C 【解答】解：由已知可得an＝6+（n﹣1）d， 因为当且仅当n＝4时，{an}的前n项和取得最大值，则a4＞0且a5＜0， 所以a4＝6+（4﹣1）d＝6+3d＞0，则3d＞﹣6，所以d＞﹣2， a5＝6+（5﹣1）d＝6+4d＜0，则4d＜﹣6，所以， 综上，， 即公差d的取值范围是． 故选：C． 题型4 等差数列通项公式的应用 【典例1】已知等差数列{an}，公差为d，a1≠0，前n项和为Sn，记集合M＝{k|ak＝Sk}，若M中有2个元素，则a1，d的关系可以为（　　） A．2a1+3d＝0 B．2a1﹣3d＝0 C．3a1+2d＝0 D．3a1﹣2d＝0 【答案】A 【解答】解：等差数列{an}，公差为d，a1≠0，前n项和为Sn，记集合M＝{k|ak＝Sk}，若M中有2个元素， 由ak＝Sk，得，则（k﹣1）[2a1+（k﹣2）d]＝0， 由M中有2个元素，得关于k的方程2a1+（k﹣2）d＝0有不小于2的整数解， 而a1≠0，则d≠0，k＞2，k∈N*，方程2a1+（k﹣2）d＝0中a1的系数为2，d的系数k﹣2是正整数， 选项A符合要求，选项BCD不符合要求． 故选：A． 【变式1】已知数列{an}的通项公式，当n≤40时，an均为素数，这40个素数中，被3除余2的数有　 　 个． 【答案】27． 【解答】解：因为数列{an}的通项公式，当n≤40时，an均为素数， 若整数被3除余2，则满足该数≡2（mod3）， 则先计算41模3的结果：41＝3×13+2，故41≡2（mod3）， 因此：，令an≡2（mod3）， 化简得：n2﹣n≡0（mod3）⇒n（n﹣1）≡0（mod3）， 因为3是素数，由于n（n﹣1）≡0（mod3）可得n≡0（mod3） 或n﹣1≡0（mod3）， 因此等价于n≡0（mod3）或n≡1（mod3）， 统计1≤n≤40中符合条件的n的个数： 满足n≡1（mod3）的n为1，4，…，40， 是首项为1、末项为40、公差为3的等差数列，项数为个； 满足n≡0（mod3）的n为3，6，…，39， 是首项为3、末项为39、公差为3的等差数列，项数为个， 所以符合条件的n共14+13＝27个，即对应被3除余2的素数有27个． 故答案为：27． 题型5 求等差数列的前n项和 【典例1】已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2+2a5+a10＝12，则S10＝（　　） A．24 B．30 C．36 D．48 【答案】B 【解答】解：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+2a5+a10＝12， 设等差数列{an}的公差为d， 可得a2+2a5+a10＝（a1+d）+2（a1+4d）+（a1+9d）＝4a1+18d＝12，整理得2a1+9d＝6， 根据等差数列前n项和公式， 可得， 又a10＝a1+9d， 因此S10＝5（a1+a10）＝5（2a1+9d）＝5×6＝30． 故选：B． 【变式1】记Sn为等差数列{an}的前n项和，若，则数列{an}的公差为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解答】解：根据题意，等差数列{an}的前n项和的一般形式是Sn＝An2+Bn， 结合题意可得p﹣2＝0，解得p＝2，所以， 由a1＝S1＝4﹣1＝3，，可得a2＝S2﹣S1＝11， 所以数列{an}的公差d＝a2﹣a1＝11﹣3＝8． 故选：D． 题型6 由等差数列的前n项和求解数列 【典例1】设等差数列{an}满足a1+a3＝10，a2+a4＝4，则当a1+a2+…+an＞0时，正整数n的最大值为　　 ． 【答案】6． 【解答】解：设{an}的公差为d， 差数列{an}满足a1+a3＝10，a2+a4＝4， 则（a2+a4）﹣（a1+a3）＝2d＝﹣6，d＝﹣3， 又a1+a3＝a1+a1+2d＝10，a1＝8， 所以an＝8﹣3（n﹣1）＝11﹣3n， 由得 故n的最大值为6． 故答案为：6． 【变式1】设Sn为等差数列{an}的前n项和，S12＝6a5，a9＝﹣2，则a12＝ 　　 ． 【答案】﹣8． 【解答】解：由题意可得，， 所以a8＝0，所以d＝a9﹣a8＝﹣2﹣0＝﹣2， 所以a12＝a9+3d＝﹣2+3×（﹣2）＝﹣8． 故答案为：﹣8． 题型7 等差数列前n项和的性质 【典例1】已知等差数列{an}前n项和为Sn，若，则（　　） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解答】解：根据题意，在等差数列{an}中，a1+a13＝2a7，a1+a5＝2a3， 若，则， 即1． 故选：C． 【变式1】已知等差数列{an}，a2＝5，a1﹣a3＝a5，则Sn的最大值为（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， 因为a2＝5，a1﹣a3＝a5， 所以a2﹣d﹣（a2+d）＝a2+3d， 即5d＝﹣a2＝﹣5，解得d＝﹣1， 所以a1＝a2﹣d＝6， 所以an＝a1+（n﹣1）d＝6﹣（n﹣1）＝﹣n+7， 令an≥0，可得n≤7， 所以Sn的最大值为S6＝S7＝7a17×6+21×（﹣1）＝21． 故选：C． 过 关 验 收 1．已知数列{an}的前n项和为，设，其中bi∈{0，1}，令f（m）＝b1+b2+…+bk，则（　　） A．数列{an}的通项公式为 B．f（m）＝f（2m） C．f（8m+5）＝f（4m+3） D．数列{f（an+3﹣Sn+1）}为等差数列 【答案】BCD 【解答】解：由，可得，对应m的二进制展开， bi∈{0，1}，f（m）代表m二进制表示中数码1的总个数． n＝1时，； n≥2时，， a1＝2不满足，， 因此，选项A错误． ，对应二进制整体左移一位、最低位补0，数码1的数量无变化，f（2m）＝f（m）， 因此，选项B正确． 8m等价二进制左移三位，末尾补三个0，8m+5＝8m+1012， 末三位改写为101，新增2个数码1，f（8m+5）＝f（m）+2；4m等价二进制左移两位， 末尾补两个0，4m+3＝4m+112，末两位改写为11，新增2个数码1，f（4m+3）＝f（m）+2， 因此，f（8m+5）＝f（4m+3），选项C正确． n+3≥4时，，，， 2n﹣1的二进制由n个连续的1构成，f（an+3﹣Sn+1）＝n，数列{n}是首项为1、公差为1的等差数列， 因此，选项D正确． 故选：BCD． 2．已知是公差为1的等差数列，且a1＝2，则a4＝　 　 ． 【答案】64． 【解答】解：设，则{bn}是公差为1的等差数列， ，bn＝1+n﹣1＝n， 所以，． 故答案为：64． 3．在数列{an}中，a1＝226，an+1＝an+100，若an＝2026，则n＝　 　 ． 【答案】19． 【解答】解：因为an+1＝an+100，所以an+1﹣an＝100（常数）， 又a1＝226， 所以{an}是首项a1＝226，公差d＝100的等差数列， 因为an＝a1+（n﹣1）d，所以2026＝226+（n﹣1）×100， 整理计算得n﹣1＝18，解得n＝19． 故答案为：19． 4．已知数列{an}满足，an+1﹣an＝2，则S8＝　 　 ． 【答案】60． 【解答】解：根据题意，数列{an}满足，an+1﹣an＝2， 则数列{an}是首项为，公差为2的等差数列， 故S8＝8a160． 故答案为：60． 5．已知等差数列{an}中，a4+a8＝a7+8，则a5＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解答】解：因为等差数列{an}中，a4+a8＝a7+8， 所以a4+a8＝a5+a7， 所以a5＝8． 故选：D． 6．已知a+b＝6，若在a，b之间插入3个数x1，x2，x3，使得这5个数成等差数列，则x1+x2+x3＝（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【解答】解：a+b＝6，在a，b之间插入3个数x1，x2，x3，使得这5个数成等差数列， 由等差数列的性质可得：x1+x3＝a+b＝6，x23， 故x1+x2+x3＝9． 故选：B． 7．已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，6），D（x4，y4）是曲线y＝8sin2x上的四个点，其中0＜x1＜x2＜x3＜x4，且x1，x2，成等差数列，则y1＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，6），D（x4，y4）是曲线y＝8sin2x上的四个点， 其中0＜x1＜x2＜x3＜x4，且x1，x2，成等差数列， 则，，，， ∵点C（x3，6）在曲线y＝8sin2x上， 代入，得8sin[2（）]＝6， 解得cos2d， y1＝8sin2x1＝8sin2（）＝8sin（）＝8cos4d ＝8×2cos22d﹣1＝8×[21]＝1． 故选：D． 8．若5个正数之和为10，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是（　　） A．（﹣1，1） B．（0，1） C． D． 【答案】A 【解答】解：设成等差数列的5个正数为a1，a2，a3，a4，a5， 因为5个正数之和为10， 所以a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝10， 所以a3＝2， 因为各项均为正数，所以，解得﹣1＜d＜1． 故选：A． 9．已知{lnan}（an＞0）为等差数列，a1＝3，a6＝96，则a3＝（　　） A．12 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设等差数列{lnan}的公差为d， 根据题意，lna1＝ln3，lna6＝ln96，则5d＝lna6﹣lna1＝ln96﹣ln3＝ln32＝5ln2， 所以d＝ln2， 所以lna3＝lna1+2d＝ln3+2ln2＝ln12， 所以a3＝12． 故选：A． 10．已知等差数列{an}的前n项为Sn，且S5﹣a3＝16，S7﹣a4＝30，则an＝　 　　 ． 【答案】n+1． 【解答】解：S5﹣a3＝5a1+10d﹣a1﹣2d＝4a1+8d＝16， 即a1+2d＝4①， S7﹣a4＝7a1+21d﹣a1﹣3d＝6a1+18d＝30， 即a1+3d＝5②，解①②得d＝1，a1＝2， 所以an＝2+（n﹣1）×1＝n+1． 故答案为：n+1． 11．已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），a3＝7，a1，a2，a6成等比数列． （1）求{an}的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和Tn． 【答案】（1）an＝3n﹣2． （2）． 【解答】解：（1）等差数列{an}的公差为d（d≠0），a3＝7，a1，a2，a6成等比数列， ∵a1，a2，a6成等比数列，∴， ∴，整理得． ∵d≠0，∴3a1＝d． 又a3＝a1+2d＝a1+2×（3a1）＝7a1＝7，解得a1＝1，d＝3， ∴an＝3n﹣2． （2）由（1）知， ∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn ． 12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝15，a3+a5＝18． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn． 【答案】（1）an＝2n+1，n∈N*． （2）． 【解答】解：（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝15，a3+a5＝18， 设等差数列{an}的公差为d， 则， 即，解得． 所以{an}的通项公式为an＝3+（n﹣1）×2＝2n+1，n∈N*． （2）由（1）知，， 所以． 所以数列的前n项和： ． 13．已知等差数列{an}中，a1+a2＝2，a4+a5＝14，则a7+a8＝（　　） A．26 B．24 C．20 D．30 【答案】A 【解答】解：设等差数列的公差为d， 则2a1+d＝2，2a1+7d＝14， 解得d＝2，a1＝0， 故a7+a8＝2a1+13d＝26． 故选：A． 14．已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2023，则序号n等于（　　） A．664 B．665 C．674 D．675 【答案】D 【解答】解：an＝1+（n﹣1）×3＝2023，解得n＝675． 故选：D． 15．已知{an}是等差数列，且a3+a9＝4a5，a2＝﹣4，则首项a1等于（　　） A．0 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣8 【答案】C 【解答】解：{an}是等差数列，且a3+a9＝4a5，a2＝﹣4， 则，解得a1＝﹣6，d＝2． 故选：C． 16．若方程（x2﹣4x+m）（x2﹣4x+n）＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|＝（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设方程（x2﹣4x+m）（x2﹣4x+n）＝0的四个根为x1，x2，x3，x4， 则x1+x2＝x3+x4＝4，x1•x2＝m，x3x4＝n， 又因为方程（x2﹣4x+m）（x2﹣4x+n）＝0的四个根组成一个首项为的等差数列， 设x1，则，设等差数列的公差为d， 则3d3， 解得d＝1，则等差数列为， 所以m，，则.． 故选：A． 17．已知等差数列{an}和{bn}的前10项均为正整数，且公差均不为0．若a10+b5＝10，则a5+b10的最小值为（　　） A．15 B．10 C．9 D．5 【答案】B 【解答】解：等差数列{an}和{bn}的前10项均为正整数，且公差均不为0， 设等差数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，且d1d2≠0， ∵a10+b5＝10，∴由等差数列的通项公式得a10+b5＝a5+5d1+b10﹣5d2＝10， ∴a5+b10＝10+5（d2﹣d1）， ∵等差数列{an}和{bn}的前10项均为正整数，即a5＞0，b10＞0， ∴10+5（d2﹣d1）＞0且d2，d1均为整数，解得d2﹣d1＞﹣2且d2，d1均为整数， 要使a5+b10最小，只需d2﹣d1取值最小， ∴当d2﹣d1＝﹣1时，即d2＝d1﹣1，此时a10+b5＝a5+5d1+b10﹣5（d1﹣1）＝10， 整理得a5+b10＝5， ∵a5，b10为正整数，∴1≤a5≤4，1≤b10≤4， 若d2≥1，则b10＝b1+9d2≤4，则b1≤4﹣9d2＜0，与{bn}的前10项均为正整数矛盾，∴d2＜1， 又d2≠0，d2为整数，∴d2≤﹣1，即d2＝d1﹣1≤﹣1，∴d1≤0， 又d1≠0，d1为整数，∴d1≤﹣1， 此时1≤a5＝a10﹣5d1≤4，即a10≤4+5d1＜0，与{an}的前10项均为正整数矛盾，不满足题意； 当d2﹣d1＝0时，即d2＝d1，此时a10+b5＝a5+b10＝10， ∵a5，b10为正整数，∴1≤a5≤9，1≤b10≤9， 若d2≥1，则b10＝b1+9d2≤9，则b1≤9﹣9d2≤0，与{bn}的前10项均为正整数矛盾，故d2＜1， 又d2≠0，∴d2≤﹣1，即d2＝d1≤﹣1， 此时令d2＝d1＝﹣1，a5＝6，b10＝4，则a10＝1，b1＝13，满足题意． 综上，当d2﹣d1取值最小为0时，a5+b10取最小值为10， 即若a10+b5＝10，则a5+b10的最小值为10． 故选：B． 18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a9＝30，S9＝117，则a11＝（　　） A．17 B．19 C．25 D．30 【答案】C 【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a9＝30，S9＝117， ∴a3+a9＝2a6＝30，∴a6＝15， ∵S9＝117，∴9a5＝117，∴a5＝13， ∴公差d＝a6﹣a5＝2， ∴a11＝a6+5d＝15+5×2＝25． 故选：C． 19．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝2，S7＝35，则a8＝（　　） A．11 B．9 C．8 D．5 【答案】A 【解答】解：S7＝35， 则7a4＝35，解得a4＝5， 而a2＝2，则公差， 所以a8＝a2+（8﹣2）d＝11． 故选：A． 20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若5a5和S2的等差中项为6，则S7＝（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， 因为5a5和S2的等差中项为6， 所以5a5+S2＝5a1+20d+2a1+d＝7a1+21d＝12， 则． 故选：C． 21．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则满足的正整数n有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【解答】解：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且， 所以， 又因为， 所以，整理得6n﹣3≤4n+1，解得n≤2， 所以符合条件的n可取1，2， 所以满足的正整数n有2个． 故选：C． 22．设数列{an}和{bn}都为等差数列，记它们的前n项和分别为Sn和Tn，满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为数列{an}和{bn}都为等差数列， 由等差数列性质可知，a1+a5＝2a3，b1+b5＝2b3， 因为， 则． 故选：B． 23．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， 因为，所以， 因为， 设2a1+5d＝m（4a1+6d）+n（a1+3d），则，解得m，n， 令4a1+6d＝x，a1+3d＝y，则x2+y2＝34， 令，则x＝6z﹣8y， 将x＝6z﹣8y代入x2+y2＝34得（6z﹣8y）2+y2＝34， 整理得65y2﹣96z•y+（36z2﹣34）＝0，由题知该方程有解， 所以（﹣96z）2﹣4×65×（36z2﹣34）≥0，即36z2≤65×34＝2210，解得， 所以，即的最大值为． 故选：A． 24．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，且，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可得，， 所以， 已知，令n＝7，则， 因此，． 故选：C． 25．已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且，则的值为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且， ∴由等差数列的性质得： ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $