精品解析：辽宁沈阳市南昌中学沈抚示范区分校( 沈抚改革创新示范区文华路中学 )2026-2027学年八年级上学期10月学情自测 数学试题

第三周周末数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各数中，无理数的个数为（ ） ，，，，，，，， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数）逐项判断即可得． 【详解】解：是有限小数，是分数，和以及都是整数，都属于有理数， ，，属于无理数，共计3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数是解答本题的关键． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 的立方根是 B. 的算术平方根是7 C. 是的平方根 D. 0没有平方根 【答案】A 【解析】 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义逐个进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴的立方根是，故A正确，符合题意； B、∵，∴的算术平方根是，故B不正确，不符合题意； C、没有平方根，故C不正确，不符合题意； D、0的平方根是0，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关定义，以及求出立方根，算术平方根，平方根的方法和步骤． 3. 若，满足，则的算术平方根是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，算术平方根的意义，先根据非负数的性质求出m，n的值，再根据算术平方根的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 故选A． 4. 下列各式中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 直接根据二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，根号里面的数不能为负数，该选项错误，不符合题意． 故选：C． 5. 我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（ ） A. 52 B. 104 C. 48 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质等知识，理解题意是关键；由题意得，，设，则，在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，由题意得四边形是正方形，则， 由题意得， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，勾股定理. 由题意可得：，，由勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：作， 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， ∴， 又∵，， ∴按手势解锁一次的路径长为：． 故选：C． 7. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理、勾股定理及三角形三边关系逐一分析各选项，判断是否能构成直角三角形． 【详解】A.，， ， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； B.设三边比例为， 即，，， 此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），因此无法构成三角形，更无法判定为直角三角形，故此选项符合题意； C. ，即，符合勾股定理， ， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； D.， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； 故选B． 8. 如图，学校开展“数学测量日”活动，数学兴趣小组决定测量四楼教室到地面的距离的长度，在无法跨越花坛直接测量的情况下，他们采用以下方法： ①甲同学在四楼教室窗户处拉住绳子一端，乙同学在楼下平坦地面上拉直绳子退至离教学楼米的点处，此时手上的绳子还剩米； ②乙同学继续往后退米到达点处，此时手上的绳子刚好用完； ③乙同学拉绳子的手到地面的距离和的长都是米． 则四楼教室到地面的距离的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】设米，绳子总长度为米，通过作辅助线构造直角三角形，分别在、中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据题意可得， 过点作于， 则点在上， 设米，绳子总长度为米， 由题意得： 乙同学手高米，米，米， 第一次绳长剩余米，故，第二次绳子用完，， 米，米，米，， 在中，， 在中，， 得：，解得， 把代入得：，即，边长为正，故，得米， 因此四楼教室到地面的距离为米． 9. 华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米． A. B. 20 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案． 【详解】解：展开图： （米， （米， （米， 故选：C． 10. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=EF，则正方形ABCD的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2 【详解】解：由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b， ∵AM=2EF， ∴2a=2b， ∴a=b， ∵正方形EFGH的面积为S， ∴b2=S， ∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S， 故选C． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，根据这一性质列方程求解即可. 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 合并同类项得， 解得. 12. 已知，则的值为________． 【答案】0或2或6 【解析】 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， ∴或或， 故答案为：0或2或6． 13. 如图AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12，则图形ABCD的面积=______________． 【答案】24 【解析】 【分析】连接AC，在中根据勾股定理求得AC的长度，利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，根据即可求解． 【详解】解：连接AC， ， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键． 14. 如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理的意义，将容器的侧面展开，建立点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度为爬行最短距离，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：将圆柱的侧面展开，为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F， 则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为， 即， 过作交延长线于点D， ∵， ∴， 中，由勾股定理可得， ∴该圆柱底面周长为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点为边上一动点，将沿直线对折，其中点的对应点为，连接，当为直角三角形时，线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由折叠性质可得，，；分、及三种情况讨论，利用勾股定理或等腰直角三角形性质求解，即可得出答案． 【详解】解：如图，当时，为直角三角形， ∵，，， ∴， ∵沿直线对折，其中点的对应点为， ∴，，， ∴， ∴、、三点在同一条直线上，即点在上， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，即； 如图，当时，为直角三角形， ∵， ∴， ∵沿直线对折，其中点的对应点为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当时，不符合题意； 综上所述：的长为或． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算即可得出结果； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可得出结果； （3）先利用二次根式的性质进行化简，再利用二次根式的除法法则计算即可得出结果； （4）利用二次根式的性质进行化简，再将除法转化为乘法，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，是平方根等于本身的数． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的定义和立方根的定义得出方程组，求出解即可，再根据平方根等于本身的数是0解答； （2）将三个字母的值代入待求式，并求出值，再根据平方根定义解答． 【小问1详解】 解：因为的算术平方根是3， 所以； 因为的立方根是2， 所以，即， 联立，得， 解得． 因为c是的平方根等于本身的数， 所以． 【小问2详解】 解：因为， 所以， 所以16的平方根是． 18. 分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… （1）计算：____________________； （2）用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； （3）求出的值． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）观察上述结论，可以发现，再开方即可求解； （2）观察上述结论，可以发现，即可求解； （3）的值就是把面积的平方相加即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， …… 按此规律，， ∴（负值已舍去）； 【小问2详解】 解：， ， ， …… 按此规律，， ， ， ， …… 按此规律，（是正整数）； 【小问3详解】 解： ． 19. 如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． （1）试说明：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵是斜边的中点，， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得垂直平分，由垂直平分线的性质可得，再由勾股定理即可得解； （2）由题意可得，再结合勾股定理计算得出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是斜边的中点，， ∴， 在中，由勾股定理可得，， ∴， ∴的周长． 20. 【综合与实践】在数学项目式学习活动中，小轩同学尝试利用勾股定理测量无人机悬停时离地面的垂直高度．他将问题抽象为如下几何模型，并记录了测量数据．请根据表格信息，完成以下任务． 项目主题 无人机定点悬停高度测量 成员 组长：XXX　　　　　组员：XXX，XXX，XXX，XXX 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 相关说明 （1）点在同一竖直平面内； （2）点在同一水平线上； （3）遥控器离地面的高度米，围墙的高度米． 测量步骤 （1）观测者站在围墙外处，无人机悬停在围墙上方处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （2）观测者保持位置不变，无人机飞到教学楼顶部处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （3）无人机悬停在教学楼顶部处，观测者从向教学楼走到处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米． 完成任务 （1）求观测点到围墙的水平距离； （2）求教学楼的高度（忽略无人机自身尺寸）． 【答案】（1）4米；（2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理内容． （1）先求出米，然后根据勾股定理求出米即可； （2）延长交于点，设米，则米，根据勾股定理列出方程，求出，根据勾股定理求出（米），最后求出结果即可． 【详解】解：（1）若米，米， 米， 在Rt中，米， 由勾股定理，得米， 答：观测点到围墙的水平距离的长为4米． （2）延长交于点， 依题意得：，米， 设米，则米， 在Rt中，， 由勾股定理，得：， 在Rt中，， 由勾股定理，得， 所以， 解得：， 所以（米）， 所以米， 答：教学楼的高度为米． 21. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求t的值； （3）当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由题意知．当为直角时，点与点重合，，即；当为直角时，，在中，利用列方程求解即可． （3）当时，；当时，，所以；当时，在中，利用列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由题意，知． ①如图①，当为直角时，点与点重合，，即； ②如图②，当为直角时，． 在中，， 在中，， 即， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，或． 【小问3详解】 解：①如图③，当时，； ②如图④，当时，，所以； ③如图⑤，当时， 在中，，即，解得． 综上所述，当为等腰三角形时，或或． 22. 在中，，点D，E分别是边上的点，连接． （1）若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） （2）如图1，连接，若平分，求的长． （3）如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． 【答案】（1）直角 （2） （3） ①，理由如下： 由题意知， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ． ． ② 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理即可得出结论； （2）根据角平分线的性质定理结合勾股定理进行求解即可； （3）①等边对等角得到，中垂线的性质结合等边对等角得到，进而推出，即可得证；②连接，设，则，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵点为的中点，， ． ，且， ， 是直角三角形． 【小问2详解】 解：平分， ． 设，则， 在中，， ， ， 即． 【小问3详解】 解：①略 ②如图，连接． 设，则． ， ． 由勾股定理，得， 即， ， 的长为． 23. 在中，，为中点，，射线、分别交直线、于、． （1）如图1，在射线上，连接，试判断、、之间的数量关系并证明； （2）如图2，在射线上，将绕点逆时针旋转． ①如图3，当射线交线段于点时，求证：； ②当时，若，，当时，求的长度． 【答案】（1） ， 理由如下：是中点，， ， 中， ； （2） ①证明：如图，延长至点，使，连接，，， ， 中，， ， ，， ， ，， ， ，即， 中，， ， ； ②或 【解析】 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求解； （2）①由勾股定理可求，由可证，可得，，由勾股定理可得，即可求解； ②分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① 略 ②解：当点在线段上时， ，，， ，， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图，延长至点，使，连接，，， 中，， 又， ， ，，， ，， ， ， ， ， 中，， ， ． ， ． 综上所述：的长度为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三周周末数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各数中，无理数的个数为（ ） ，，，，，，，， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 的立方根是 B. 的算术平方根是7 C. 是的平方根 D. 0没有平方根 3. 若，满足，则的算术平方根是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 4. 下列各式中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（ ） A. 52 B. 104 C. 48 D. 96 6. 如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 7. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，学校开展“数学测量日”活动，数学兴趣小组决定测量四楼教室到地面的距离的长度，在无法跨越花坛直接测量的情况下，他们采用以下方法： ①甲同学在四楼教室窗户处拉住绳子一端，乙同学在楼下平坦地面上拉直绳子退至离教学楼米的点处，此时手上的绳子还剩米； ②乙同学继续往后退米到达点处，此时手上的绳子刚好用完； ③乙同学拉绳子的手到地面的距离和的长都是米． 则四楼教室到地面的距离的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米． A. B. 20 C. 15 D. 10. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=EF，则正方形ABCD的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 12. 已知，则的值为________． 13. 如图AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12，则图形ABCD的面积=______________． 14. 如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为_____． 15. 如图，在中，，，，点为边上一动点，将沿直线对折，其中点的对应点为，连接，当为直角三角形时，线段的长为______． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，是平方根等于本身的数． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 18. 分析探索题：细心观察图片，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… （1）计算：____________________； （2）用含（是正整数）的等式表示上述变化规律：__________，__________； （3）求出的值． 19. 如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． （1）试说明：； （2）若，，求的周长． 20. 【综合与实践】在数学项目式学习活动中，小轩同学尝试利用勾股定理测量无人机悬停时离地面的垂直高度．他将问题抽象为如下几何模型，并记录了测量数据．请根据表格信息，完成以下任务． 项目主题 无人机定点悬停高度测量 成员 组长：XXX　　　　　组员：XXX，XXX，XXX，XXX 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 相关说明 （1）点在同一竖直平面内； （2）点在同一水平线上； （3）遥控器离地面的高度米，围墙的高度米． 测量步骤 （1）观测者站在围墙外处，无人机悬停在围墙上方处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （2）观测者保持位置不变，无人机飞到教学楼顶部处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （3）无人机悬停在教学楼顶部处，观测者从向教学楼走到处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米． 完成任务 （1）求观测点到围墙的水平距离； （2）求教学楼的高度（忽略无人机自身尺寸）． 21. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求t的值； （3）当为等腰三角形时，求t的值． 22. 在中，，点D，E分别是边上的点，连接． （1）若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） （2）如图1，连接，若平分，求的长． （3）如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． 23. 在中，，为中点，，射线、分别交直线、于、． （1）如图1，在射线上，连接，试判断、、之间的数量关系并证明； （2）如图2，在射线上，将绕点逆时针旋转． ①如图3，当射线交线段于点时，求证：； ②当时，若，，当时，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $