精品解析：辽宁省沈阳市沈河区2024-2025学年八年级上学期10月阶段教学质量数据采集数学试卷

沈阳市实验学校2024-2025学年度（上）八年级 十月阶段数学教学质量数据采集 （考试时间：100分钟，试卷满分：120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分共30分） 1. 在数，，0.314，，，5中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求算术平方根． 【详解】解：， ∴在数，，0.314，，，5中，无理数有，，共个， 故选：B． 2. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、的被开方数含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、的被开方数含有开的尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、的被开方数含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、是最简二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 3. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ∶∶∶∶ 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，，∴最大的角，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 4. 如果点在x轴上，那么点P的坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x轴上的点的纵坐标为0，相应求出参数值，进而求出点坐标． 【详解】∵点在x轴上, ∴, 解得：, ∴, ∴点P的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查坐标轴上点的坐标特征，根据相关特征建立方程求解参数是解题的关键． 5. 已知实数，则以下对的估算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，得到，即得． 本题主要考查了实数的的计算和大小比较，熟练掌握算术平方根的计算和大小比较，是解决问题的关键． 【详解】∵，， ∴， 即． 故选：C． 6. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③1的算术平方根是；④没有立方根；⑤16的平方根是，用式子表示是；⑥．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数与数轴、无理数的定义、算术平方根、立方根、平方根逐项分析即可得解． 【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故原说法正确，符合题意； ②无理数是无限不循环小数，故原说法错误，不符合题意； ③1的算术平方根是，故原说法错误，不符合题意； ④立方根为，故原说法错误，不符合题意； ⑤16的平方根是，用式子表示是，故原说法错误，不符合题意； ⑥，故原说法错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①，共个， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴、无理数的定义、算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 7. 已知点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据直线轴得出点的纵坐标为，再结合，分两种情况点在点的左边时，点在点的右边时，分别求解即可得解． 【详解】解：∵直线轴，点A的坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴点在点的左边时，横坐标为，点在点的右边时，横坐标为， ∴点B的坐标为或， 故选：C． 8. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，进而结合数轴可得答案． 【详解】解：根据题意可得：， ， ∴点A表示的数为， 故选C． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，正确求出长是解题关键． 9. 如图，在中，，是角平分线，于点D，，，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用角平分线的性质推知；设，然后利用勾股定理求得，然后根据面积法列出关于x的方程并求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 又是的角平分线，， ∴． 设， ∴， 即． 解得． 即． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和角平分线的性质，解题时，采用了面积法列出方程，通过解方程求得相关线段的长度，属于中档题． 10. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是（　　） A. B. 6 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【详解】先设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图形和，可以写出关于a、b的方程，然后整理化简，即可求得的值． 【解答】解：设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的应用、正方形的面积，解答本题的关键是明确勾股定理的内容，可以写出相应的等式． 二．填空题（共5小题，每小题3分共15分） 11. 的相反数是________，的倒数是________，________． 【答案】 ①. ②. ## ③. ## 【解析】 【分析】根据相反数的定义“正负号相反的两个数互为相反数”确定的相反数；两个乘积是1的数互为倒数，据此计算的倒数；首先比较与2的大小，然后化简绝对值即可． 【详解】解：的相反数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了相反数、倒数、化简绝对值、实数比较大小、二次根式运算等知识，熟练掌握相关定义以及二次根式运算法则是解题关键． 12. 比较大小_______． 【答案】＜ 【解析】 【分析】分母相同时，比较分子，通过估算的大小，得到，从而求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：＜． 【点睛】本题考查无理数的估算和实数的大小比较，正确进行估算是本题的解题关键． 13. 的整数部分为a，的小数部分为b，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值，先估算出，从而得出，再估算出，从而得出，代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵的整数部分为a， ∴， ∵， ∴，即， ∵的小数部分为b， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端A在上运动，量得滑杆底端B距点C的距离为，当底端B向右移动达点D，顶端A到达点E时，求滑杆顶端A下滑________米． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得、，进而求得即可求解． 【详解】解：由题意，在中，，， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故滑杆顶端A下滑5米， 故答案为：5． 15. 如图，在长方形中，，，点P是射线上一动点，为线段的垂直平分线，将沿折叠，当点B的对应点落在上时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，分两种情况：当点在上时，令与交于点，与交于点；当点在的延长线上时，令与交于点，与交于点；分别利用折叠的性质，并结合勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图：当点在上时，令与交于点，与交于点， ， 由题意得可得， ∵为线段的垂直平分线， ∴，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； 如图，当点在的延长线上时，令与交于点，与交于点， ， 由题意得可得， ∵为线段的垂直平分线， ∴，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； ∴的长为或， 故答案为：或． 三．解答题（共8道题16题3分，17题12分，18题9分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根、立方根解方程，熟练掌握平方根、立方根的定义是解此题的关键． （1）将方程变形为，再利用平方根解方程即可得解； （2）将方程变形为，再利用立方根解方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 计算下列各式的值 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘除，再计算减法即可； （3）先计算负整数指数幂、立方根、绝对值，再计算加减即可； （4）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某城市清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．如图，已知，，，，，试求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式，连接，由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理判断出是直角三角形，且，最后根据计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴阴影部分的面积为． 19. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图1中画一个正方形，使其面积为5； （2）在图2中画一个等腰且，； （3）在图3中画一个且一条直角边长为，斜边长．并直接写出的面积________，斜边边上的高________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）图见解析，， 【解析】 【分析】（1）根据网格利用勾股定理和正方形的面积即可在图1中画一个边长为的正方形即可； （2）根据网格利用勾股定理画出一个三角形，使它的边长为，即可； （3）由勾股定理求出另一条直角边，根据网格利用勾股定理画出一个直角三角形，使它的边长为，，即可，再根据三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图，图中的正方形即为所求， ， 图中正方形的边长， 故它的面积为； 【小问2详解】 解：如图：图中的即为所求， ， 其中，； 【小问3详解】 解：∵在中，一条直角边长为，斜边长， ∴另一条直角边， 如图，即为所求， ， 的面积， 斜边边上的高． 【点睛】本题考查了作图—作三角形，勾股定理、三角形面积公式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 20. 平面直角坐标系中，已知直线与坐标轴相交于点A，B，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足． （1）________，________； （2）若点在x轴上，则的面积________； （3）若点D在y轴上，且的面积等于（2）中的的面积，那么点D的坐标为________． 【答案】（1）6，8 （2）36 （3）或 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质、坐标与图形、三角形的面积，数形结合思想的运用是解答的关键． （1）根据平方式和算术平方根的性质求解a、b值即可； （2）根据坐标与性质求得，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据三角形的面积公式，结合坐标与图形求得即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 解得，， 故答案为：6，8； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ∵点在x轴上， ∴， ∴的面积， 故答案为：36； 【小问3详解】 解：∵点D在y轴上，且的面积等于（2）中的的面积， ∴， ∴， 又∵， ∴点D的坐标为或． 21. 【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）问题：已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你结论是否正确） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、二次根式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据求出，再代入计算即可得解； （2）作于，则，设，则，由勾股定理得出，求出的值，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴ ； （2）如图：作于，则， 设，则， 由勾股定理可得：，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 代入验算： ． 22. 阅读材料：像，（）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． （1）请用以上方法化简：________；（直接填空） （2）计算：（没有过程不给分） （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先求得a值，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ． 23. 【问题1】在中，垂足为A，D为内一点，连接，，延长到点E，使得． （1）如图1，延长到点F，使得，连接，．若，直接写出与的位置关系是________________________；（不用证明） （2）如图2，连接，交的延长线于点H，若，请在横线上直接写出，，的数量关系________________________；并说明理由． 【问题2】如图3，在中，，如果点D为线段上一动点，点E为线段上一动点，且，连接、，且，，请直接写出的最小值为________． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，从而推出，结合即可得解； （2）延长到，使，连接，，结合题意得出，证明得出，，从而推出，结合题意得出，最后由勾股定理即可得解； （3）作于，且，连接交于，证明，得出，从而得到，由两点之间，线段最短可得，此时的的值最小，再由等面积法求出，即可得出，最后再由勾股定理求出、的长即可得解． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图：延长到，使，连接，， ， ∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴由勾股定理可得：， ∴； （3）如图，作于，且，连接交于， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，由两点之间，线段最短可得，此时的的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈阳市实验学校2024-2025学年度（上）八年级 十月阶段数学教学质量数据采集 （考试时间：100分钟，试卷满分：120分） 一．选择题（共10小题，每小题3分共30分） 1. 在数，，0.314，，，5中，无理数个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ∶∶∶∶ 4. 如果点在x轴上，那么点P的坐标是(　　) A. B. C. D. 5. 已知实数，则以下对的估算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③1的算术平方根是；④没有立方根；⑤16的平方根是，用式子表示是；⑥．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知点A的坐标为，直线轴，且，则点B的坐标为（ ） A 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，，是的角平分线，于点D，，，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是（　　） A. B. 6 C. 5 D. 二．填空题（共5小题，每小题3分共15分） 11. 的相反数是________，的倒数是________，________． 12. 比较大小_______． 13. 的整数部分为a，的小数部分为b，那么________． 14. 如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端A在上运动，量得滑杆底端B距点C的距离为，当底端B向右移动达点D，顶端A到达点E时，求滑杆顶端A下滑________米． 15. 如图，在长方形中，，，点P是射线上一动点，为线段的垂直平分线，将沿折叠，当点B的对应点落在上时，的长为________． 三．解答题（共8道题16题3分，17题12分，18题9分，19题8分，20题8分，21题10分，22题10分，23题12分，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 计算下列各式的值 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某城市清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．如图，已知，，，，，试求阴影部分的面积． 19. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图1中画一个正方形，使其面积为5； （2）在图2中画一个等腰且，； （3）在图3中画一个且一条直角边长为，斜边长．并直接写出的面积________，斜边边上的高________． 20. 平面直角坐标系中，已知直线与坐标轴相交于点A，B，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足． （1）________，________； （2）若点在x轴上，则的面积________； （3）若点D在y轴上，且的面积等于（2）中的的面积，那么点D的坐标为________． 21. 【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）问题：已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确） 22. 阅读材料：像，（）…这种两个含二次根式代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． （1）请用以上方法化简：________；（直接填空） （2）计算：（没有过程不给分） （3）若，求的值． 23. 【问题1】在中，垂足为A，D为内一点，连接，，延长到点E，使得． （1）如图1，延长到点F，使得，连接，．若，直接写出与的位置关系是________________________；（不用证明） （2）如图2，连接，交的延长线于点H，若，请在横线上直接写出，，的数量关系________________________；并说明理由． 【问题2】如图3，在中，，如果点D为线段上一动点，点E为线段上一动点，且，连接、，且，，请直接写出的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$