第2章一元二次函数、方程和不等式单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2章一元二次函数、方程和不等式重难点练习-2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 4．设正实数，满足，则（     ） A．的最大值是 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为2 5．如图所示，矩形的边靠在墙上，另外三边是由篱笆围成．围成所需要的篱笆长度为4，则围成的矩形的面积的最大值为（     ） A． B．2 C． D．4 6．已知命题：“，”，命题：“，”.若两个命题中存在量词命题是假命题，另一个命题是真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，，均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 10．下列命题为真命题的是（   ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若实数a，b满足，，的取值范围是 11．已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为8 三、填空题 12．若“，”是假命题，则的取值范围是______ 13．若，则的最大值为________. 14．已知关于的不等式的解集为，集合，且，，则的解集为________． 四、解答题 15．（1）比较和的大小； （2）若，，，求证：． 16．已知，，且． (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值． 17．已知 ；不等式的解集包含区间． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为真命题，求实数的取值范围； (3)若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 18．为响应“双碳”目标，某电子企业拟安装一套可使用10年的太阳能供电设备．该设备的安装费用（单位：万元）与太阳能电池板面积（单位：平方米）成正比，比例系数为．为保障生产用电，安装后采用“自发自用、市电互补”模式，在此模式下，企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积之间的函数关系是．记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与10年所消耗的电费之和． (1)要使该设备的安装费与第1年的电费之和不超过17万元，求安装太阳能电池板面积的取值范围； (2)当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 19．已知二次函数（），关于的不等式的解集为，若集合，集合． (1)求函数在集合上的取值范围； (2)求集合； (3)记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第2章一元二次函数、方程和不等式重难点练习-2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C B D D C ABD AC 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，可得，故C正确； 对于D，若，，，则，，，故D错误. 2．D 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 即的取值范围是. 3．A 【详解】， ，， 所以，即. 4．C 【分析】利用基本不等式求出的最大值，即可判断A；利用“1”将原式变形，再利用基本不等式求出的最小值，即可判断B；利用二次函数求出的最小值，即可判断C；利用“1”将原式变形，再利用基本不等式求出的最小值，即可判断D. 【详解】因为，解得，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是，故A不正确； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2，故B不正确； 由可得， 所以， 因为，故当时，取到最小值，故C正确； 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D错误． 5．B 【分析】根据已知条件建立关于篱笆长度的关系式，然后结合基本不等式即可求解． 【详解】设米，米，则， 所以，解得， 当且仅当，即时取等号， 所以围成的矩形的面积的最大值为2． 6．D 【分析】利用恒成立求得命题为真命题时实数的范围，求得命题为真命题时实数的范围，进而根据题意可求得实数的取值范围. 【详解】对于命题，由题意，得对恒成立，则； 即命题为真命题时，可知； 对于命题，由，得， 又因为，当且仅当，即时取等号， 若命题为真命题，可知； 因为存在量词命题是假命题，另一个命题是真命题， 所以，所以，所以实数的取值范围是. 7．D 【分析】由题可得，且，继而可得，解一元二次不等式即可求解. 【详解】的解集是，可得，且， ，即， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 8．C 【详解】命题“，”的否定“，”为真命题. 依题意需满足 ， 即，解得， 即实数的取值范围为. 9．ABD 【分析】对C，举反例说明；对ABD，利用不等式性质判断. 【详解】对于A，由，又，，所以，即，故A正确； 对于B，由，得，又，所以，故B正确； 对于C，取，，但，，则，故C错误； 对于D，由，则，得，故D正确. 10．AC 【分析】本题考查不等式性质、作差法比较大小、代数式取值范围求解，需逐一验证各选项命题真假. 【详解】 选项A：要证，等价于证，两边均为正数，平方得左边，右边， 因，不等式成立，A为真命题； 选项B：作差得，由，得，即，B结论错误，为假命题； 选项C：由得，与同向相加，得，符合不等式性质，C为真命题； 选项D：设，解得，所以， 因为，，所以，，所以， 得的取值范围是，不是，D为假命题. 11．ACD 【详解】选项A：由基本不等式（，当且仅当时等号成立）， 代入得，解得， 当时取等号，故的最大值为4，A正确； 选项B：通分得，由可知，当时取等号， 故的最小值为1，不是2，B错误； 选项C：对平方得， 由得，故，当时取等号， 即的最大值为，C正确； 选项D：由恒等式， 结合得， 当时取等号，故的最小值为8，D正确. 12． 【详解】若“，”是假命题， 则“，”是真命题. 当时，显然成立； 当时，，解得； 综上，. 13． 【分析】分离常数，再利用基本不等式求解． 【详解】已知 由于，由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值是. 14． 【详解】因为，，， 所以， 即不等式的解集为， 所以为方程的两根且， 所以，即， 所以可化为， 因为， 所以， 解得或， 所以的解集为. 15．（1）； （2）因为，所以， 又因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得， 所以，所以，因为，， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．又，所以， 所以，由不等式的同号可乘性可得． 【分析】（1）用作差法，将两式相减后配方为，由平方非负得差恒大于零； （2）由已知条件推出和，利用倒数性质和同号可乘性，结合确定，最终证得结论. 【详解】（1） . . （2）证明：略 16．(1)8 (2)4 【分析】（1）使用“1”的妙用和基本不等式求解； （2）分离参数后，将问题转化为恒成立，消元求解. 【详解】（1）由题可知， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为8； （2）由，，，得， 将代入得， 所以要使恒成立， 则，即的最大值为4. 17．(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由为真命题，只需要满足即可求解； （2）由为真命题，对方程 进行因式分解，再由不等式的解集包含区间，对进行讨论即可求解； （3）由若，中有且仅有一个真命题，对，分别进行讨论，即可求解. 【详解】（1）由为真命题，需满足，即： ，即， 解得 或 ． （2）方程 可因式分解为 ，两根分别为 和 , 当 时 此时 ，不等式的解集为 , 要使 ，需满足 ，解得 ， 当 时 ，不等式变为 ，解集为 ，显然 ，故 不合题意， 当 时 ，此时 ，不等式的解集为 ， 由于 ，解集 中的所有元素均为负数， 而区间 中的元素均为正数，故 ． 因此，当 时，无解， 若为真命题，实数的取值范围为. （3）由题意可知   真： ， 假： ， 真： ，假： ， 当真且假时，求集合 = ， 当假且真时，求集合 =， 所以若 中有且仅有一个真命题，实数的取值范围为： . 18．(1) (2)当平方米时，取得最小值，最小值为万元． 【分析】（1）先根据题目给出的正比关系写出安装费的函数表达式，结合题设的年电费函数列出面积满足的不等式，将其整理为一元二次不等式的标准形式，结合实际定义域求解得到面积的取值范围. （2）先根据总费用的定义写出目标函数的表达式，通过代数配凑将其变形为可使用基本不等式的和式结构，利用基本不等式求解目标函数的最小值，并推导取等条件下对应的面积取值. 【详解】（1）由题安装这种太阳能供电设备费用， 所以该设备的安装费与第1年的电费之和为，， 令，即，解得． 所以安装太阳能电池板面积的取值范围是． （2）由题可知，， 所以， 当且仅当，即时取等号； 所以当平方米时，取得最小值，最小值为万元． 19．(1) (2)若，集合；若，集合；若，集合 (3) 【分析】（1）分析可知的根为或，且，结合韦达定理求，，即可得到的解析式，从而解不等式即可得到集合，进而结合二次函数性质即可求解； （2）整理可得，分类讨论两根大小解不等式即可得到答案； （3）结合（1），（2）中结果分类讨论，结合交集运算求解即可得到答案． 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，且， 即，可得， 可知的根为和，且，即， 则，解得，即， 对于不等式，即， 整理得，解得或，即集合， 又因为， 由，则，则，则， 所以函数在集合上的取值范围为． （2）结合（1）得到， 由，即， 整理得，令，解得，或， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为 综上所述，若，则集合；若，则集合；若，则集合． （3）结合（1）知集合， 又集合中有且仅有一个整数， 结合（2），当时，则，则集合中的整数为，可得，解得； 当时，则，可得，不合题意； 当时，则集合，则集合中的整数为，可得，解得， 综上所述，实数的取值范围为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $