第2章一元二次函数、方程和不等式单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学人教A版2019必修第一册第2章单元复习卷，全面覆盖一元二次函数、方程和不等式核心知识，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，培养数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|不等式性质、集合运算、充分条件|第3题结合充分必要条件考查逻辑推理| |多选题|3题|不等式恒成立、基本不等式应用|第9题综合考查均值不等式与不等关系| |填空题|3题|充要条件判断、最值问题|第14题融合二次函数与反比例函数交点的整数解| |解答题|5题|不等式证明、二次函数综合应用|第19题三问设计，从解集到参数讨论再到最值，层次递进|

第2章一元二次函数、方程和不等式章末复习卷-2026-2027学年数学人教A版2019必修第一册 一、单选题 1．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．“，”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4．已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．，设，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则在下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知正实数，满足，则下列结论正确的是（      ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为4 D．的最小值为2 11．下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．已知关于x的不等式 的解集为， 则的解集是 三、填空题 12．已知，则“”是“”的______条件. 13．已知，，则的最小值为____________________． 14．已知二次函数，反比例函数.若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数有________个. 四、解答题 15．设，，当时，求证：． 16．若，求证：． 17．（1）已知，比较与的大小； （2）已知，且，求的最大值． 18．已知实数，，，，满足，． (1)判断的正负，并证明； (2)若，，均为奇数，，是否可能都为整数？说明你的理由． 19．已知关于的二次函数 (1)若关于的不等式 的解集为，求实数、的值； (2)若实数，满足 ，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） (3)已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第2章一元二次函数、方程和不等式章末复习卷-2026-2027学年数学人教A版2019必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B A B B B BCD ABD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 2．B 【分析】解绝对值不等式后结合并集的运算即可求解. 【详解】解得,即集合,且集合, 所以. 3．A 【详解】，，所以， 当，，当且仅当，即时取等号，所以， 则，， 选项A，能推出，不能推出，故是它的一个充分不必要条件； 选项B是它的充分必要条件， 选项C、D，是既不充分也不必要条件. 4．B 【详解】原式可化为：， 因为 ，由基本不等式，当且仅当 ，即 时取等号． 所以原式的最小值为： 5．A 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 6．B 【分析】先将不等式进行变式，将a的取值范围初步求出，再根据初步范围和不等式恰有2个整数解进行分类讨论，最终求出a的范围. 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为， 故2个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 7．B 【详解】由，即， 而， 则， 即，得，所以. 8．B 【详解】对于A，令，可得，故A错误， 对于B，由题意得，而，得到， 则，得到，而， 可得，由二次根式性质得， 得到成立，故B正确， 对于C，令，可得，故C错误， 对于D，令，可得，故D错误. 9．BCD 【详解】因为，所以，即，当且仅当时等号成立，故B正确， 又，即，当且仅当时等号成立，故D正确， 由，得，当且仅当时等号成立，故A错误， 因为，由，得， 即，，当且仅当时等号成立，故C正确． 10．ABD 【分析】选项A变形已知等式，推导的取值范围，选项B应用均值不等式求解，选项C利用的代换变形，应用均值定理求解，选项D将所求式子变形为，求最值. 【详解】正实数，满足，， ，，选项A正确； ，，， 当且仅当时，即时，等号成立，选项B正确； ， 当且仅当，即时，即等号成立，选项C错误； ， ，，，选项D正确. 11．ABD 【详解】不等式即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式即，即，即， 解得，故不等式的解集为，B正确； 不等式即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 由关于x的不等式 的解集为知， 方程有两个实数根为1和5，且， 由韦达定理得，可得， 故，即，即， 即的解集是，D正确. 12． 必要不充分 【分析】先求解不等式得到对应解集，再判断两个条件的双向推出关系，确定条件类型. 【详解】首先求解不等式： 将不等式变形为，解得或； 充分性判断：若成立，的取值可能为，无法推出，因此充分性不成立； 必要性判断：若成立，对不等式两边同时平方可得，因此必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 13． 【分析】对原式因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 14．12 【分析】联立方程去分母整理成三次形式，然后将其分解，讨论二次函数根的情况，逐个分析即可求出结果. 【详解】联立这两个函数解析式，得到，注意到始终是方程的根， 所以可以将方程整理为， 当时，， 只要为正整数，， 因此不是方程的根. （1）若无实根，则两个函数图象只有1个交点， 此时，解得， 又，所以,共11个； （2）若有整数根，显然， 分离参数有，这说明可能是，. 当时，不符合题意；当时，； 当时，不符合题意；当时，， 此种情况下，只能取16. 综上，符合条件的正整数有12个. 15．由题意可得： ． 因为，则， 当时，，，当且仅当时，等号成立； 当时，，； 综上所述：与同号，可得，所以． 【分析】利用作差法可得，分析可知与同号，可得，即可得结果. 【详解】略 16．由，得， 设，， 因此 ， 而，则，当且仅当时取等号，所以． 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式推理得证. 【详解】略 17．（1）；（2）4 【分析】（1）根据题意利用作差法结合不等式性质分析判断即可； （2）整理可得，结合基本不等式运算求解即可； 【详解】（1）因为 ， 又因为，则，， 且，， 可得，即， 所以； （2）因为，且，则， 又因为，即， 整理可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为4. 18．(1)依题意得，. 方法一（最优解）：韦达定理应用， 变形结构，显然， 由韦达定理，可知，和是一元二次方程的两个根． 其中， 所以为非负数； 方法二：由已知，可用表达，， ， 所以为非负数. (2)不可以． 【分析】（1）方法一，利用韦达定理可得和是一元二次方程的两个根，利用根的判别式得到； 方法二：由已知，可用表达，并得到； （2）若都为整数，其可能的情况有都为奇数和其中至少有一个为偶数，就两种情况，分别推出矛盾，故、不能都为整数. 【详解】（1）略 （2）若都为整数， 其可能的情况有：都为奇数和其中至少有一个为偶数． ①若、都为奇数，则为偶数，为奇数， 则为偶数，与已知矛盾． ②若、为整数，且其中至少有一个为偶数， 则必为偶数，为偶数，与已知矛盾． 因此，，不可能都为整数． 19．(1)， (2)当时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为；当 时，原不等式的解集为；当 时，原不等式的解集为 (3) 【分析】（1）由二次不等式解集为两根之外，可知二次项系数为正且对应方程的两根为区间端点，利用韦达定理建立方程组求得； （2）代入 后因式分解为 ，对分情况讨论，分别写出对应解集； （3）由两个正根得 及韦达定理，结合平方和条件导出与的关系，再代入目标式并利用基本不等式求最大值． 【详解】（1）由 的解集为或 ，得与1是方程 的两个实根，且， 因此，解得， ， 所以， ． （2）由 ，，则不等式化为： ， 当时，不等式化为 ，无解； 当时， ，解得 ； 当 时， ，解得； 当 时， ，解得或， 所以当时，原不等式的解集为 ； 当 时，原不等式的解集为； 当 时，原不等式的解集为； 当 时，原不等式的解集为． （3）由方程 有两个不等的正实数根，， 得， 由 ，得 ，则 ，即 ， 由 ，，得 ，，解得 ， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为 ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $