第1章集合与常用逻辑用语重难点练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第1章集合与常用逻辑用语重难点练习-2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册 一、单选题 1．集合的元素个数为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．若集合中的三个元素互不相同，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 3．已知集合，，若，则实数（   ） A．或 B．1或2 C．2 D．-2 4．若集合，则的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 5．设集合，则之间的关系是（   ） A． B． C． D．以上都不是 6．如图所示，已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 8．对含有至少两个元素的有限实数集A，定义它的“距离集合”为.下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若A含5个元素，则最多含8个元素 C．若A含5个元素，则最少含4个元素 D．存在含4个元素的A，使 二、多选题 9．下列关系正确的有（   ） A． B． C． D．⫋⫋ 10．使“或”成立的一个充分不必要条件是（ ） A．或 B．或 C． D．或 11．设集合，，则下列结论正确的是（    ） A．集合可能只有一个元素 B．集合的非空真子集个数个 C．， D．， 三、填空题 12．已知集合，则的真子集个数为________． 13．若，则“”是“”的________条件.（用“充分非必要”“必要非充分”“既非充分又非必要”或“充要”填空） 14．对给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质．设集合，且，若C具有孪生性质，则n的最小值为________． 四、解答题 15．已知集合. (1)若中至少有一个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 16．已知集合，． (1)若，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围． 17．已知集合，，全集． (1)求，； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 18．已知集合，非空集合. (1)当时，“”是“”的什么条件？说明理由； (2)若集合中恰有7个整数，求实数t的取值范围； (3)在（2）的条件下，求的取值范围. 19．已知非空数集，定义集合的“差值集”为． (1)若集合，求，并求出的所有子集的个数． (2)若集合，，且有且仅有5个元素，证明：． (3)若集合，且集合有（且）个元素，记中元素的个数为，求的最值（用含的式子表示）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章集合与常用逻辑用语重难点练习-2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C C A B C BCD BCD 题号 11 答案 AD 1．A 【详解】集合，包含的互异元素为1、2，合计2个，因此集合A的元素个数为2. 2．D 【分析】根据集合的三要素即可求解. 【详解】由题意得：且. 3．A 【分析】利用集合的关系与运算，即可求出的值． 【详解】若，则，显然满足题意； 若，则，不成立； 若，解得，或，若，则不满足元素的互异性，所以.故选A. 4．C 【详解】由题意可得：共4个元素， 所以真子集个数为. 5．C 【分析】判断两个集合的元素是否完全一致，进而确定集合关系. 【详解】由，所以与均表示全体奇数， 所以集合与集合都表示全体奇数构成的集合，故. 6．A 【详解】由题意，， 则阴影部分表示的集合为. 7．B 【分析】根据集合并集的定义，合并两个集合的所有元素，结合端点的开闭情况即可得出结果. 【详解】根据并集的定义可得：. 8．C 【分析】根据给定距离集合的定义，结合各项描述中的前提，确定不同集合对应的判断正误. 【详解】A：若，根据定义集合中任意两个不同元素的差的绝对值，，， 所以，并非，错误； B：若集合有5个元素，那么这5个元素两两组合共有对，因此最多产生10个不同的差值， 实际上，可以构造一个有5个元素的集合，使其距离集合含有10个元素，例如， 任意两数的距离：1, 4, 9, 15, 3, 8, 14, 5, 11, 6，刚好是10个不同的值， 因此最多含10个元素，错误； C：若集合有5个元素，将它们从小到大排列， 考虑最大元素与其他元素的差， 由于这4个差都是正数且互不相等，因此它们都属于， 所以中至少有4个元素，如集合的距离集合为，刚好只有4个元素，正确； D：假设存在含有4个元素的集合（从小到大排列），且， 因为集合有4个元素，最多只有个距离值，这里刚好有6个， 设相邻元素之间的差分别为，，（均为正数）， 那么这6个距离分别是， 已知（最大距离），需要， 这五个数的和为， 同时， 因此，解得，这与矛盾，因此不存在满足条件的集合，错误. 9．BCD 【详解】对于A，因为是整数，所以，A错误； 对于B，因为为无理数，所以，B正确； 对于C，因为，所以，C正确； 对于D，由于为正整数集，为自然数集，为整数集，所以⫋⫋，D正确． 10．BCD 【详解】对于A，当时，得不出或， 所以“或”是“或”成立的不充分条件，故A不符合题意； 对于B，由或，可得出或， 所以“或”是“或”成立的充分条件； 当时，由或得不出或， 所以“或”是“或”成立的不必要条件； 所以“或”是“或”成立的一个充分不必要条件；故B符合题意； 对于C，由，可得出或， 所以“”是“或”成立的充分条件； 当时，由或得不出， 所以“”是“或”成立的不必要条件； 所以“，”是“或”成立的一个充分不必要条件；故C符合题意； 对于D，由或，可得出或， 所以“或”是“或”成立的充分条件； 当时，由或得不出或， 所以“或”是“或”成立的不必要条件； 所以“或”是“或”成立的一个充分不必要条件；故D符合题意. 11．AD 【详解】对于A，因，当时，，故A正确； 对于B，由可得，则集合的非空真子集个数为，故B错误； 对于C，因为当取1或4时，，故C错误； 对于D，当取除1，3，4这三个数之外的数时，，故D正确. 12． 【详解】因为，所以的真子集个数为． 13．充分非必要 【详解】等价于或. 由能推出，但由推不出（还可能）， 所以“”是“”的充分非必要条件. 14．675 【分析】先根据定义求出，由孪生性质即交集为空集，建立不等式关系即可求出的取值范围，从而求出n的最小值. 【详解】由题可得，， 若集合C具有孪生性质，则，所以，即， 又，所以，，即n的最小值为675. 15．(1) (2)或 【详解】（1）当时，方程为，解得，集合有 1 个元素，满足条件. 当时，方程是一元二次方程，，解得且. 综上，. （2）当时，方程，有 1 个根，满足至多 1 个元素. 当时，一元二次方程要求，解得. 综上，或. 16．(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，代入方程求得，代回检验即可； （2）求出方程的判别式，按照，，讨论求解. 【详解】（1），， ，必有，所以，解得； 故. （2）方程的判别式， 当时，，所以，满足； 当时，，不满足； 当时，，集合有两个元素，若，则必有， 所以，反之，时确有； 综上，实数的取值范围为. 17．(1)，或 (2) 【分析】（1）根据集合的基本运算即可求解； （2）由得，列出不等式即可求解． 【详解】（1）因为，， 所以； 又全集，所以或， 所以或． （2）由得， 又因为恒成立，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 18．(1)“”是“”的充分不必要条件，理由如下： 当时，集合， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件； (2) (3) 【分析】（1）根据集合的包含关系判断即可； （2）结合题意，分类讨论求解即可； （3）根据二次函数性质计算求解即可； 【详解】（1）略 （2）因为集合中含有个整数，分别是， 若集合中恰有7个整数， 则集合必须包含的整数为或或， 当集合必须包含的整数为时， 有，解得； 当集合必须包含的整数为时， 则，此时不等式组无解； 当集合必须包含的整数为时， 有，此时不等式组无解. 综上所述，实数的取值范围是； （3）令，函数开口向上，对称轴为， 因为，所以时，取得最小值， 时，取得最大值2， 则的取值范围为. 19．(1)，128 (2)证明：对于集合， 枚举所有的差值：．共7个差值， 将它们从小到大排列，可知最小，最大，0在正中间，，夹在和0之间，夹在0和之间， 因为有且仅有5个元素，所以上述7个差值必有2个差值与另外5个差值中的2个相同，按照上面从小到大的排列规律，所以且，故． (3)，． 【分析】（1）先列举集合中所有元素两两作差，再利用集合元素的互异性剔除重复差值，得到差值集，最后根据集合元素个数，利用子集个数公式求出结果； （2）先写出三元集合所有两两差值，结合大小关系判断差值原本最多有7个；题目仅有5个元素，说明存在差值重复，通过分析相反数结构，唯一能产生重复的条件是相邻差值相等，由此推出三个元素成等差数列，证得结论； （3）先有序排列集合整数元素，求最大值时，让所有差值尽可能互不重复，统计最多不同差值个数；求最小值时，利用等差数列差值种类最少的规律，统计最少不同差值个数，最终得到差值集元素个数的最值范围. 【详解】（1）∵ ∴， ∴该集合共有7个元素，子集个数为． （2）略 （3）设． 当集合中的元素从小到大排列后，从第二项开始，后一项与它的前一项之差为非0的定值时， 根据“差值集”的定义，此时不同的差值最少， 所有差值分别为， 此时中元素的个数最小，即． 当集合中的元素从小到大排列后，任意两个不同元素的差值均不相等时，不同差值的个数最多， 总共有组，其中的差值恒为0（只能算一个元素）， 剩余个非零差值两两成对且互为相反数，它们无重复时元素最多， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $