1.1 集合的概念-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 变式训练答案 [变式1]一4.提示：5∈A, .a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4. 当a=2时，B={5,2},不符合5tB,应舍去； 当a=-4时，B={1,2},符合5氏B,∴.a=-4. [变式2]B提示：设a=3n,b=3m+1,c=3s一1，m,n, s∈Z,则d=3-(3m+1)+(3s-1)=3(n-m+s)-2= 3(n-m+s-1)+1,又n-m+s-1∈Z,所以d∈N. [变式3B提示：集合A={x|(k十2)x2+2kx十1=0} 中只有1个元素.若k+2=0,即k=一2，方程等价于 -4红+1=0，解得x-子，满足条件；若6十2≠0，即 k≠-2，则方程满足△=0，即42一4(k十2)=0，解得 k=2或k=一1.综上，k=士2或k=一1. [变式4]{-4，-2，一1,0,1,2}.提示：对于任意非空 集合A,B,定义A+B={a+ba∈A,b∈B}, 若S=T={-2,0,1},各取一个元素a∈S,b∈T形成 有序数对(a,b), 所有可能情况为（一2，一2），（一2,0），（一2,1），(0，一2)， (0,0),(0,1),(1,一2)，(1,0)，(1,1)，所有情况两个数 之和构成的集合为{一4，-2，一1,0,1,2}. 真题演练答案 1.C提示：由题意知，集合A与集合B的公共元素满足 b2,且y∈N,由x十y=8≥2x得x≤4， x+y=8, 所以满足x十y=8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)， 故集合A与集合B的公共元素的个数为4. 练习册答案 A学考过关练 1.D提示：根据集合元素的确定性可以判断A,B,C正 确；对于D,“表现较好”没有衡量标准，因此“表现较 好”的运动员是不确定的，不能构成集合，故D不正确。 2.A提示：由x-1>2解得x>3,因为5>3，-4<3， 故5∈A,且-4庄A. x十y=1, 3.D提示： 解得=2， 所以方程组 （4x-y=9, y=-1, /x十y=1, 的解集是{(2，一1)}. 4x-y=9, 4.{一5，一4,4,5}.提示：当a=1时，x=5;当a=一1 时，x=-5;当a=2时，x=4;当a=-2时，x=一4； 当a=4时，x=5;当a=-4时，x=-5.故A={-5, -4,4,5}. 5.6;3,4,5.提示：由题意知a∈N,又x∈N,2<x<a, 且集合P中恰有三个元素，所以a=6,此时集合P中 的元素是3,4,5. 6.(1)由(x-2)2十(y十3)2=0得x一2=0，y十3=0，解 得x=2,y=一3，所以集合为{(2，一3). (2)由x≤2，x∈Z得x为-2，-1,0,1,2， 当x=2或x=一2时，y=3;当x=1或x=一1时， y=0;当x=0时，y=-1.所以集合为{3,0，-1}. (3){(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R. (4)解不等式2x+3>7,得x>2,所以不等式2x+3> 7的解集可表示为{xx>2}. B高考提能练 1.C提示：因为P={1,2,3,Q={2,4),M={xx∈P 且xQ},所以M={1,3}. 2.A提示：显然-√x=-|x|,x=x.当x=0 时，集合中有1个元素0；当x>0时，|x|=x,-x|= 一x,集合中有2个元素x,一x;当x<0时，|x|= 一x,一x|=x,集合中有2个元素x,一x.所以集合 中最多含2个元素. 红一y=3,解得 x=1, 3.B提示：对于A,有 x+y=-1,y=-2, 由x=1时，y=2,故(3，一1)M,故A错误； |x-y=一1， x=1, 对于B,有 解得 x+y=3, y=2, 由x=1时，y=2,故（一1,3）∈M,故B正确； .1 对于C,有 /x-y=-1,. 解得 x+y=2, 3 y=2’ 由x=)时，y=1,故(-1,2)EM,放C错误； 1 对于D,有 x-y=2, x2' 解得 x+y=-1, 3 y=-2 由x=2时，y=1,故(2，一1DEM,故D错误。 1 4.B提示：因为a∈P,b∈Q,所以a=2k1,k1∈Z,b= 2k2-1,k2∈Z,所以a+b=2(k1+k2)-1=2k-1∈ Q,其中k1,k2,k∈Z 5.D提示：P={y=x2+1}是单元素集，集合中的元 素是y=x2+1,Q={yly=x2+1}={y|y≥1}，E= {x|y=x2+1}=R,F={(x,y)y=x2+1}中的元素 是点，G={xx≥1}，.Q与G相等 6.C提示：由题意知A={-2,1},B={-1,2},由集合 A⊙B的定义可知，集合A⊙B中有以下元素：①一2X (-1)=2,②-2×2=-4，③1×(-1)=-1，④1×2 2,根据集合中元素满足互异性去重得A⊙B={一4， -1,2},所以A⊙B中所有元素之积为-4×(-1)× 2=8. 7.AC提示：当m=6时，满足x∈Z,∈Z的x有6， 3,2,1,一1，-2，-3，-6，即集合A中有8个元素，符 合题意，故A正确； 当m=7时，满足x∈Z,∈Z的x有1,1，-1，-7， 即集合A中有4个元素，不符合题意，故B错误； 当m=8时，满足x∈乙，∈Z的x有8,4,2,1，-1， -2,一4，一8，即集合A中有8个元素，符合题意，故C 正确； 当m=9时，满足x∈Z,∈Z的x有9,3,1，-1， 一3，一9，即集合A中有6个元素，不符合题意，故D 错误 8.5;2025.提示：若A={x∈N*|1≤x≤4}={1,2,3， 4},则B={3,4,5,6,7},所以L(A)=5.若A={x∈ N*|1≤x2n,n∈N*}={1,2,3,…,2n-1,2n(n∈ N)},则易知集合A中任意两个元素的和的最小值是 1+2=3,最大值是2n-1十2m=4n-1,且对任意k∈ N*,3≤k≤4n-1,都存在a:,a,∈A,使得a:十a;= k,所以L(A)=4n-1一3十1=4n-3.由4n-3 8097,解得n=2025. 1 34w2 9GDx342店2路，eA. ,x2=√/9-4V2=-1十2W2,.x2∈A. x3=(1-32)2=19-6W2,.x3∈A. (2)任取x4,x5∈A,设x4=m1十n1√2，x5=m2十 n2V2(m1,n1,m2,n2∈Z),则x4+x5=(m1+n1V2)+ 2 (m2十n22)=(m1+m2)+(n1+n2)W2, 其中(m1十m2),(n1十n2)∈Z,所以x4十x5∈A. 由于x4xs=(m1+n1√2)(m2+n2√2)=(m1m2+ 2m1n2)+(m1n2十m2n1)√2，其中(m1m2+2m1n2), (m1n2十m2n1)∈Z,所以x4xs∈A. 10.(1)m=6k+3=3k+1+3k+2(k∈Z), 令a=3k十1，b=3k十2，则m=a+b. 故若m∈M,有a∈A,b∈B,使m=a十b成立. (2)设a=3k+1,b=3l+2,k,l∈Z,则a+b=3(k+ l)+3. 所以当k+l=2p(p∈Z)时，a十b=6p+3∈M,此时 有m∈M,使a十b=m成立： 当k+l=2p+1(p∈Z)时，a十b=6p+6任M,此时 不存在m使a十b=m成立. C拓展拔高练 1.{0,1,一2}.提示：因为A=2,A※B=1,所以B=1 或B=3.当B=1时，a=0或a=1.当B=3时，(ax 1)(x-1)(x2-ax十1)=0有3个解，分析可知，不存 在a使得x2一ax十1=0有2个不同的解，且其中一个 解为或1，所以x2-ax十1=0只有一个解x0,且 工1产日则△=a-4=0,解得a=士2 当a=2时，由x2-2x十1=0，得x=1,不符合题意； 当a=一2时，由x2+2x十1=0，得x=-1,符合题意 所以a=-2,B=1,-2,-1放P=01,-2 2由题意，若a∈S,则十a∈S, 可得1二1-a-1=1-2∈S, ∴若a∈S,则1-1∈S. (2)由2∈S,得1-2=-1∈S: 由-1s,得1--D号∈S 1 当2∈S时，1 1 =2∈S,又回到了开始的数， 1一2 所以当2∈S时，还有另外两个数-15S,号∈S。 3)知若a∈S,则已a∈s,从而1-日∈S 鸭证明a,己。，1一日这三个数两两互不相等 a ①诺a=。即a-a+1=0,无实根，a≠。 ②若a=1-1,即a2-a+1=0,无实根，…a卡1-a为 ③若。=1-合，即公2-a+1=0,无实极， 1 综上所述，集合S中至少有三个不同的元素。 1.2集合间的基本关系 变式训练答案 [变式1B提示：集合M={10,2,号2,3的所 有非空子集中具有伙伴关系的集合为(-1，{3,2， (合3，{-1，日2…{1号…层2 {-1,23. [变式2]由A=B知两集合的元素相同. 若a2=1,解得a=士1. 当a=1时，A={1,b},B={1,b}, 此时A=B需满足b∈R且b≠1； 当a=-1时，A={1,-b},B={1,b}, 此时A=B需满足b=一b,即b=0. 若a2=b,A={b,ab},B={1,b},此时A=B需满 足ab=1,取a=1,b=1,这时不满足集合的互异性，故 舍去 综上所述，当a=1时，b∈R且b≠1；当a=-1时，b=0. [变式3】一或-1提示：根据题意知集合xar十 2x+1=0}={b}, 则集合中只有一个元素，即ax2+2x十1=0只有一个 实数根， ①当a=0时，ax2+2x十1=0，即2x十1=0，解得x= 29 集合xlar2+2xr+1-o-x=号}则6=是 ②当a≠0时，△=4-4a=0,则a=1, 此时集合{x|x2十2x十1=0}={x|x=-1),故b=-1. 所以6的值为-分或-1. 真题演练答案 1.A提示：当a=3时，A={1,3},B={1,2,3},A二B 成立.当A二B时，a=2或3. 2.8.提示：由于集合中有3个元素，因此该集合的子集 共有23=8个 练习册答案 A学考过关练 1.AD提示：对于A,0∈{0}，故A正确；对于B,集合 {0,1}表示数集，集合{(0,1)}表示点集，故B错误；对 于C,集合{(a,b)}表示以点(a,b)为元素的集合，集合 {(b,a)}表示以点(b,a)为元素的集合，故C错误；对 于D,空集是任意非空集合的真子集，故D正确. 2.AC提示：由x2-2x-3=(x-3)(x+1)=0,得x -1或x=3,由题意知{-1,3}二A{-1,0,1,3},所 以满足条件的集合A可能为{一1,3}，{-1,0,3)， {-1,1,3}. 3.D提示：因为A={x|1<x<2},B={xx<a}且A二 B,所以a≥2，即a的取值范围是{aa≥2}. 4C提示：治有意义，a≠0.：{a,名，1=a, a+b,0,2=0,即6=0，a0,1)=a2,a, 0},.当a2=1时，a=-1或a=1,当a=1时，不符 合元素的互异性，故舍去，当a=一1时，满足题意.故 a=-1,b=0,∴.a2025+b202s=(-1)2025+025=-1. 5.A提示：因为A有8个子集，所以集合A中含有3个 元素，则2<m≤3. 6.31.提示：依题意得A={(3,19),(19,3),（5,17), (17,5),(11,11)},所以集合A的真子集的个数为25 1=31, B高考提能练 1.C提示：任取a∈M,则a=5k1-2=5(k1-1)+3, k1∈Z,所以a∈P,所以M二P,任取b∈P,则b=5m1+ 3=5(n1十1)一2，n1∈Z,所以b∈M,所以P二M,所 以M=P.任取c∈S,则c=10m1+3=5·2m1+3, m∈Z,所以c∈P,所以S二P,又8∈P,8￠S,所以 S≠P,所S二P=M,故选C. 2.90.提示：P={-1,1,3,5,7}, ∴.集合P的含有3个元素的子集有10个，即k=10. 在这10个子集中，P中每个元素都出现了6次， .Sr,+Sp,+…+Sp=6×(-1+1+3+5+7)=6× 15=90. 3.C提示：满足条件的集合有两类：(1)有四个连续元素 的集合共有3个，即{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{2,3,4,5}. 3第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 A学考过关练 (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的 测试时间：15分钟 集合 1.[知识点1]2024年巴黎奥运会已圆满结束，中 (4)不等式2x+3>7的解集. 国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人 的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构 成集合的是(). A.全体参赛国家 B.全体裁判员 C.全体荣获金牌的运动员 D.全体表现较好的运动员 B高考提能练 。测试时间：25分钟 2.[题型3]已知集合A中的元素x满足x一1> 1.[题型3](2026·浙江东阳中学模拟)已知P= 2,则下列选项正确的是(). {1,2,3},Q={2,4},若M={xx∈P且x Q},则M=(). A.5∈A,且-4tA A.{1,2,3} B.{2,4} B.5∈A,且-4∈A C.{1,3} D.{2} C.5氏A,且-4氏A 2.[题型1]由实数x,-x,|x,一√x2,x所 D.5tA,且-4∈A 组成的集合，最多包含的元素个数为(). 3.[题型2](2026·浙江金华一中周练)方程组 A.2 B.3 C.4 D.5 x+y=1, 3.[题型3]若集合M={(x一y,x十y)|y= 的解集是( 4x-y=9 2x},则( A.(2,-1) B.(-1,2) A.(3,-1)∈M B.(-1,3)∈M C.{(-1,2)} D.{(2,-1)》 C.(-1,2)∈M D.(2,-1)∈M 4.[题型3]已知集合P={xx=2k,k∈Z},Q= 4.[题型2]集合A={x∈zx=4+a,aeZ用 0 {x|x=2k-1,k∈Z,M={x|x=4k+1,k∈ 列举法表示为 Z},且a∈P,b∈Q,则() 5.[题型3]已知集合P中的元素x满足：x∈N, A.a+b∈P B.a+b∈Q C.a+b∈M D.以上都不对 且2<x<a,又集合P中恰有三个元素，则整数 5.[题型2]已知集合P={y=x2+1},Q={yly= a= ,集合P中的元素是 x2+1},E={xy=x2+1},F={(x,y)y= 6.[题型2]用适当的方法表示下列集合： x2+1},G={xlx≥1}，则(). (1)方程(x一2)2+(y+3)2=0的解集. A.P与F相等 B.Q与E相等 (2)A={y|y=x2-1,|x|≤2，x∈Z. C.E与F相等 D.Q与G相等 1 重难点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) 6.[题型5]（新定义）设集合A含有-2,1两个元 (2)对于任意a∈A,b∈B,是否一定存在m,使 素，B含有-1,2两个元素，定义集合A⊙B, a十b=m且m∈M?请证明你的结论. 满足x1∈A,x2∈B且x1x2∈A⊙B,则 A⊙B中所有元素之积为(). A.-8 B.-16 C.8 D.16 7.[题型3]（多选）已知集合A={x∈Zz”∈Z, 一9≤m≤9，则满足A中有8个元素的m的 值可能为(). A.6 B.7 C.8 D.9 C拓展拔高练 测试时间：10分钟 8.[题型5]（新定义）(2025·华中师范大学一附 1.(新定义)用符号A表示非空集合A中元素的 中检测)已知有限集A={a1,a2,a3,,am}, A-B,A≥B, 定义集合B={a:+a;|1≤i<j≤n,i,j∈N*}》 个数，定义A※B 已知集合 B-A,A<B. 中的元素个数为集合A的“容量”，记为L(A). A={0,2},B={x|(ax-1)(x-1)(x2-ax 若集合A={x∈N*|1≤x≤4}，则L(A)= 十1)=0}，若A※B=1,实数a的所有可能取 ;若集合A={x∈N*|1≤x≤2n, 值组成集合P,则P= ·(请用列举法 n∈N*},且L(A)=8097,则正整数n的值是 表示) 2.(2025·湖北黄冈中学高一数学竞赛预赛)设 9.[题型3]已知集合A={x|x=m+√2n,m, 实数集S是满足下面两个条件的集合：①1 n∈Z. S:②若a∈5.则。∈s. （1)设x1= 3-4w2'x=√9-42，x3= (1)求证：若a∈S,则1-1∈S. (1-3W2)2.试判断x1,x2,x3与A之间 的关系。 (2)若2∈S,则S中必含有其他的两个数，试 (2)任取x4,x5∈A.试判断x4十x,x4x5与 求出这两个数 A之间的关系 (3)求证：集合S中至少有三个不同的元素 10.[题型3]集合A={xx=3n十1，n∈Z},B= (xx=3n+2,nEZ),M=(xx=6n+3, n∈Z}. (1)若m∈M,问：是否有a∈A,b∈B,使 m=a十b成立？ 2