第3章函数的概念与性质单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第3章函数的概念与性质重难点练习-2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册 一、单选题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数，图象向右平移3个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为2，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 5．已知函数的定义域为，则“，，当时，都有”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 8．设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数 若对任意都有恒成立，则实数的值可能为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．4 10．下列函数中，值域为的是（     ） A． B．， C．， D．， 11．定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（     ） A． B．当时， C． D．当时， 三、填空题 12．已知函数．当时，函数的值域是________ 13．已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于x的方程的解集为______. 14．已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则下列说法正确的有_____________ ①．    ②． ③．是奇函数    ④．不可能是一次函数 四、解答题 15．设函数，其中． (1)若，求不等式的解集； (2)记在区间上的最小值为，求的解析式. 16．已知函数且图象经过. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最大值和最小值. 17．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且 . (1)求与的解析式： (2)求函数在上的值域. 18．已知幂函数在上单调递减. (1)求常数，的值； (2)设，判断在上的单调性，并用定义法证明你的结论. 19．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度(单位：千米/小时)和车流密度(单位：辆/千米)满足关系式：. (1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足，求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度(精确到1辆/千米)（）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第3章函数的概念与性质重难点练习-2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D A D A A AD BCD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】的定义域满足，解得且，故函数定义域为． 2．D 【详解】定义域，值域，且函数要求一个只能对应唯一， 结合图象可知，D正确． 3．C 【详解】， 4．D 【分析】根据给定条件求出的关系，再利用二次函数图象性质按分类求解. 【详解】由二次函数的图象向右平移3个单位长度，得的图象， 依题意，的图象过原点，则，解得， 因此二次函数为， 该函数图象对称轴为，而当时，的最大值为2， 则当时，，，解得，符合题意； 当时，，，解得，符合题意， 所以的值为或. 5．A 【分析】先验证题设条件能否推出是奇函数判断充分性，再举反例验证奇函数是否一定满足题设条件判断必要性，最终确定条件类型. 【详解】已知，当时，都有， 当时，可得，因此. 对任意，令，，可得，即. 记，由分母不为零可知，因此. 此时，满足奇函数定义，充分性成立； 若是奇函数，取反例，其定义域为且满足是奇函数， 取，，则，而，二者不相等，不满足题设条件，故必要性不成立. 综上所述，“，当时，都有”是“是奇函数”的充分不必要条件. 6．D 【分析】画出函数的图象，根据图象分析可得的值，再由的取值范围即可得出答案. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 若，由，即， 即，化简可得：，所以， 当时，单调递增，且， 令，则，所以，. 7．A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 8．A 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以. 9．AD 【详解】函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 因此在区间上单调递增，区间内最小值为， ， 要使在上恒成立，只需， 即，解得或， 选项A：，满足条件，符合； 选项B：，不满足条件，不符合； 选项C：，不满足条件，不符合； 选项D：，满足条件，符合. 10．BCD 【详解】选项A：的值域为，选项A错误； 选项B：在上单调递增，， ，的值域为； 选项C：在上单调递增，，， 的值域为； 选项D：在单调递减，在上单调递增， 又，，， 的值域为. 11．ABD 【分析】选项A，取求解；选项C，令得到，取得解；选项B，当时， ，则有，从而得到；选项D，令 ，通过计算整理得到，利用基本不等式得到，从而得到，结合得到结论. 【详解】选项A，因为，所以取，得到， 解得，选项A正确； 选项C，令，则，即， 取，得到，选项C错误； 选项B，因为当时，， 所以当时， ，则有， 又 ，即，选项B正确； 选项D，令 ，则，即， 两边除以得到，即， 因为，所以，所以， 又因为，所以，即， 则，故正确； 12． 【分析】可以通过将二次函数化为顶点式，再通过其函数特征得出结果． 【详解】由题意得， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以当时，取得最小值，且． 又， 所以， ∴函数的值域是， 13． 【详解】由得，即， 则或，得或， 故关于x的方程的解集为 14．①②④ 【分析】①令，即可计算；②令，可计算，利用在上单调即可判断；③令，可计算即可判断；④由三组值中的两值解得一次函数解析式，再利用第三组值进行验证. 【详解】①：在中，令， ，解得，因此本选项说法正确； ②：在中，令， ，解得， 因为，， 所以，又因为在上单调， 所以在上单调递增，所以，因此本选项说法正确； ③：在中，令， ， 解得，所以函数不是上的奇函数，因此本选项说法不正确； ④：由上可知：， 假设是一次函数，设， 因为，所以有， 当时，，这与矛盾，假设不成立，所以不可能是一次函数，因此本选项说法正确. 15．(1)． (2) 【详解】（1）当时，由，解得， 所以解集为． （2）开口向上，对称轴为直线， ①当时，在上单调递增， 所以， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， ③当时，在上单调递减， 所以． 综上. 16．(1) (2)函数在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为，所以，，， 所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. (3)最小值4；最大值5. 【分析】（1）将点代入函数解析式，可求的值. （2）先判断函数的单调性，再利用函数单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性. （3）利用函数的单调性求函数在给定区间上的最大、最小值. 【详解】（1）因为函数且图象经过，所以， 所以. 所以. （2）略 （3）由（2）可知，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，； 当时，函数取得最大值，. 17．(1)， (2) 【分析】（1）先设出幂函数解析式，把已知点坐标代入求出幂指数；再利用条件得到一次函数上另外一点，结合已知点列出二元一次方程组，解方程组求得一次函数的系数，进而求出两个函数的解析式； （2）先通过换元把原函数转化为闭区间上的二次函数，再确定出新变量的取值范围，计算对称轴与区间端点处的函数值，最后比较后得到函数的值域即可. 【详解】（1）设，， 则由题意可知，，， ， 得，，， 则，； （2） ， 令，则 ，对称轴为， 又， ， ， 则， ∴函数在上的值域为. 18．(1)， (2) 由（1）可知，，在上单调递减； 证明：任取，且， 因为，所以，，，， 所以，则， 所以，故在上单调递减． 【分析】（1）由幂函数的定义，结合单调性求参数即可； （2）根据题意，，任取，且，作差得，再根据的符号确定单调性即可． 【详解】（1）根据幂函数的定义可知，，，即，， 解得或， 当时，，显然在上单调递增，不合题意； 当时，，在上单调递减，满足题意， 所以幂函数，即，， 故常数，的值分别为2和4； （2）略 19．(1) (2)隧道内车流量的最大值为2424辆/小时，车流量最大时的车流密度75辆/千米 【详解】（1）由，车流速度不小于40千米/小时，得. 当时，，符合题意； 当时，，解得； 综上所述，. 车流密度的取值范围为. （2）由，，得. 当 时，，则，当且仅当 时等号成立； 当 时， ， 当且仅当，即时成立. ，的最大值为2424，此时约为75. 隧道内车流量的最大值为2424辆/小时，车流量最大时的车流密度75辆/千米． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $