第三章函数的概念与性质单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念与性质基础训练 满分150分，用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高三上·江西·阶段检测）已知幂函数在区间上单调递减，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【详解】因为函数在区间上单调递减，所以，所以可取0,1,2，当时，为奇函数，舍去； 当时，，符合题意；当时，为奇函数，舍去；综上.故选：C 2.（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（     ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【详解】选项A： 的定义域是；的定义域同样是，但对应关系不同，不是同一函数，A错误；选项B： 的分母不能为0，定义域是；而的定义域是全体实数，定义域不同，不是同一函数，B错误；选项C： 根据根式运算性质，，两个函数的定义域都是全体实数，对应关系完全一致，是同一个函数，C正确；选项D： 要求被开方的分式非负，即，解得定义域是或；而要求根号内的数都为正，且分母不能为0，即且，解得定义域是，定义域不同，不是同一函数，D错误故选：C. 3.（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为，由，解得，从而函数的定义域为，又有，得，综上得到函数的定义域为.故选：A 4.（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，，所以，即，解得.所以当时，，那么当时，，则.根据奇函数的性质可得，所以当时，，即当时，，所以.故选：D 5.（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于对称，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【详解】由的图象关于对称可得，，即，又因为函数是定义在上的偶函数，所以，则，当时，，代入得，因此，即.故选：A 6.（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】在时，要求递减，；在时，要求递减，对称轴，要保证区间在对称轴右侧，则；再考虑衔接点，.结合三个条件，可得.故选：A 7.（26-27高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【详解】令，由题设对任意，有，故在上为增函数.因为是定义域为的奇函数，即，故，即为偶函数，因此在上为减函数， 由得，故， 由偶函数性质得.原不等式等价于： ①当即时，得，即.因为，在递增，故，解得； ②当即时，得，即，由偶函数得在递减，故，解得，即.综上所述，解集为.故选：C. 8.（26-27高一上·四川·期中）已知函数的定义域为，且满足，，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．是奇函数 D． 【详解】对于A，令，则，解得，故A正确；对于B，令，则，得，令，则，又，所以，故B错误；对于C，令，取，则，即，又，故不恒为0，所以，且定义域为，定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，故C正确；对于D，令取，，得，则，令取，取，得，所以，则，故D正确.故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．函数与是相同的函数 B．若，则 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．已知函数的值域为，则函数的值域为 【详解】 选项A：要使有意义，则，所以的定义域为； 要使有意义，则，所以的定义域为，二者定义域不同，不是相同函数，A错误;选项B：令，则，代入得，即，B正确;选项C：定义域为即，则，故的定义域为，C正确;选项D：与对应法则完全一致，仅自变量表达形式不同，故二者值域相同，的值域仍为，D错误.故选：BC 10.（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数 若对任意都有恒成立，则实数的值可能为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．4 【详解】函数是开口向上的二次函数，对称轴为，因此在区间上单调递增，区间内最小值为，，要使在上恒成立，只需，即，解得或，选项A：，满足条件，符合； 选项B：，不满足条件，不符合； 选项C：，不满足条件，不符合； 选项D：，满足条件，符合.故选：AD 11.（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（     ） A． B．当时， C． D．当时， 【详解】选项A，因为，所以取，得到， 解得，选项A正确；选项C，令，则，即， 取，得到，选项C错误；选项B，因为当时，，所以当时， ，则有，又 ，即，选项B正确；选项D，令 ，则，即，两边除以得到，即，因为，所以，所以，又因为，所以，即，则，故正确；故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为_________ 【详解】当时，，二次函数开口向上，对称轴为直线；所以当时，在上单调递减，在上单调递增；又因为函数是定义在上的偶函数，其图象关于轴对称，所以当时，在上单调递减，在上单调递增；综上可知，函数在上的单调减区间为和. 13.（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数，例如，．函数，，则的值域为______________． 【详解】首先对分式分离常数： ，分两种情况讨论： 当时，，因此，变形得，故， 根据取整函数的定义，此时的取值为或； 当时，，因此，变形得，故， 根据取整函数的定义，此时的取值为；综上，的所有可能取值为，故值域为． 14.（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）若命题“，，使成立”为真命题，则实数a的取值范围为_______. 【详解】令，，则，当且仅当，即时，等号成立，又，，所以当时，. 若命题“，，使成立”为真命题，只需，恒成立，即，恒成立.令，则需在上恒成立.二次函数的图象开口向上，对称轴为. 当，即时，，则，解得，故此时无解.当，即时，，则，整理得，解得，故此时.当，即时，，则，解得，故此时.综上，.故实数a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知幂函数在上单调递减． （1）若命题：，为真命题，求实数的最小值； （2）求不等式的解集． 【详解】（1）因为是幂函数，所以，即或，又因为函数在单调递减，所以，所以，代入得， ，，即，使得成立，则，设，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，所以，即，则实数的最小值为. （2），，其三个零点分别为，且的系数为正， 所以解得或. 16.（满分15分） （26-27高一上·云南保山·阶段检测）目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元. （1）写出前年总盈利关于的函数关系式； （2）估计该设备从第几年开始实现总盈利； （3）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由. 【详解】（1）； （2）第2年，理由如下： 由（1）得，由得，又，故该设备从第2年开始实现总盈利； （3）方案二更合理，理由如下： 方案一：总盈利额， 当时，取得最大值160，此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：平均盈利额为 ， 当且仅当，即时，等号成立； 即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备，总利润为万元； 综上所述：两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适. 17.（满分15分） （26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知二次函数，满足，的图像关于对称，且的最小值为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在上具有单调性，求实数m的取值范围； （3），若对任意，不等式恒成立，若t存在，求实数t的取值范围；若t不存在，请说明理由. 【详解】（1）由得，的对称轴为，故，即， 的最小值为，故，将和代入上式可得，由于，故，解得，故，所以的解析式为； （2），开口向上，对称轴为， 在上具有单调性，故或，解得或，所以实数m的取值范围为； （3）t不存在，理由如下： ， ，即，，化简得，，即，对任意恒成立，所以，解得，这与矛盾，故t不存在. 18.（满分17分） （26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）设，，其中，记． （1）若，求的值域； （2）若的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围； （3）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【详解】（1）时，， 故， 当时，； 当时，，故的值域为 （2）的图象始终在的图象上方即为，故对任意恒成立，故，故，而，故. （3），因为对任意，总存在，使得成立， 故在上的值域为的子集，因为，故，故， 所以，解得. 19.（满分17分） （25-26高一上·重庆一中·阶段检测）已知定义在上的函数同时满足下列四个条件： ①； ②对任意，恒有； ③对任意，恒有； ④对任意，恒有. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）若对任意，恒有，求实数的取值范围. 【详解】（1）在中令； （或令). 而. （2）在上单调递减.下证明：由④知：对任意，恒有.证一：任取，于是 因为，所以，而对任意时恒有，故，即，所以在上单调递减，证毕； 证二：任取，设 ，因为，所以，即，也即在单调递减,证毕； （3）在中：令，而，于是令，由（2）知在上单调递减， 又，可得在上也单调递减，如图，可知不等式等价于：对任意，不等式 ……①或者恒成立，……② 法一：令立，因为开口向下，由图像可知： 不等式①对于②，当时，由，即一定不存在满足②.综上取并，得 法二：令开口向下，对称轴为， 且， 当即时，问题等价于或,解得； 当即时，等价于或 当即时，问题等价于或，解得； 当即时，问题等价于或，解得；综上，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的概念与性质基础训练 满分150分，用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高三上·江西·阶段检测）已知幂函数在区间上单调递减，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2.（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）下列各组函数是同一个函数的是（     ）． A．与 B．与 C．与 D．与 3.（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4.（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5.（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于对称，当时，，则（     ） A． B． C． D． 6.（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.（26-27高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 8.（26-27高一上·四川·期中）已知函数的定义域为，且满足，，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．是奇函数 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．函数与是相同的函数 B．若，则 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．已知函数的值域为，则函数的值域为 10.（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数 若对任意都有恒成立，则实数的值可能为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．4 11.（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（     ） A． B．当时， C． D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为_________ 13.（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数，例如，．函数，，则的值域为______________． 14.（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）若命题“，，使成立”为真命题，则实数a的取值范围为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知幂函数在上单调递减． （1）若命题：，为真命题，求实数的最小值； （2）求不等式的解集． 16.（满分15分） （26-27高一上·云南保山·阶段检测）目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元. （1）写出前年总盈利关于的函数关系式； （2）估计该设备从第几年开始实现总盈利； （3）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理； 问哪种方案较为合理？并说明理由. 17.（满分15分） （26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知二次函数，满足，的图像关于对称，且的最小值为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在上具有单调性，求实数m的取值范围； （3），若对任意，不等式恒成立，若t存在，求实数t的取值范围；若t不存在，请说明理由. 18.（满分17分） （26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）设，，其中，记． （1）若，求的值域； （2）若的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围； （3）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 19.（满分17分） （25-26高一上·重庆一中·阶段检测）已知定义在上的函数同时满足下列四个条件： ①； ②对任意，恒有； ③对任意，恒有； ④对任意，恒有. （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）若对任意，恒有，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $