第3章函数的概念与性质单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦函数概念与性质，通过基础辨析、情境应用及创新题型，适配人教A版必修第一册第三章复习，强化数学思维与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|定义域、值域、单调性、幂函数图象|第8题“隐对称点”设计，融合函数性质与创新定义，培养数学眼光| |多选题|3|函数定义、幂函数性质、实际应用|第11题结合温州机动车流数据，构建车流量模型，体现数学语言表达现实世界| |填空题|3|分段函数、方程求解|第14题直线与函数图象交点问题，考查数形结合思想| |解答题|5|作图、单调性证明、实际应用|第19题以学生接受能力为情境，通过分段函数分析教学实际问题，强化数学思维的应用|

第3章函数的概念与性质章末复习卷-2026-2027学年数学人教A版2019必修第一册 一、单选题 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，的定义域为，则（　　） A． B． C． D． 4．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，且，那么（　　） A．10 B． C． D． 6．如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 7．若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 8．对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 10．已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 11．根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当，车流速度是车流密度的一次函数．规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）．下列说法正确的是（   ） A．若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时 B．若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时 C．当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值 D．车流量最大值可以达到约为3333辆/小时 三、填空题 12．已知，则________. 13．若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 14．在平面直角坐标系中，若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数______________. 四、解答题 15．画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 16．已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)若，试判断，的大小. 17．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 18．定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件． (1)判断函数在上是否满足1阶李普希兹条件，并说明理由； (2)证明函数在区间上满足阶李普希兹条件，并求出的取值范围． 19．心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； (3)若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第3章函数的概念与性质章末复习卷-2026-2027学年数学人教A版2019必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D D D D A AD BC 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据题意，利用函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，可得，解得或， 所以函数的定义域为． 2．A 【分析】利用分离常数法将原函数变形为，再根据自变量的条件逐步推导出最终的值域. 【详解】由题意得， 因为，所以，所以，所以，所以， 即函数的值域为． 3．A 【分析】先求出两函数的定义域，再根据交集的定义即可求解． 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为， 令，解得， 的定义域为， 所以． 4．D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数在闭区间上有最大值3，最小值2， 所以，即的取值范围是. 5．D 【详解】，， ， ， 解得． 6．D 【分析】由幂函数定义结合题设幂函数特征可得答案. 【详解】由幂函数的形式为知. 因为其图象不过原点，所以指数. 由得， 所以.故或. 7．D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 8．A 【分析】把问题转化为一元二次方程在给定的区间上有解，求参数的取值范围. 【详解】设为奇函数，且当时，，则时，. 则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题. 由在有解得： . 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据“隐对称点”的概念，把函数位于轴左侧的图象关于原点对称后，必与函数位于轴右侧的图象有公共点，从而转化为二次函数在给定区间上有零点的问题解决是该问题的关键.属于中档题. 9．AD 【详解】选项A，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系； 选项B，对于集合中元素，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系； 选项C，中元素的倒数没有意义，在集合中没有元素与之对应，因此不是函数关系； 选项D，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系． 10．BC 【分析】首先求出函数的解析式，根据解析式即可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，根据函数的单调性可判断C，证明即可判断D. 【详解】因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，， 故恒成立，故D正确. 故选：BC 11．ABD 【分析】根据题意用分段函数并结合待定系数法求出函数的关系式即可判断A，再由题意得到的解析式，代值即可判断B，最后根据分段函数求得最值即可判断C，D． 【详解】由题意，当时,； 当时，设 由已知得， 解得， ∴； 所以时，，故A正确； 由上可得， 时，，故B正确； ①当时，为增函数， ∴当时，取得最大值，且最大值为 ， ②当时，， ∴当时，取得最大值，且最大值为．， 所以的最大值为， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，且最大值为3333辆/小时，故C错误，D正确； 故选：ABD. 12． 【详解】设， 则为奇函数， 则， 所以. 所以， 所以. 13． 【分析】构造幂函数，利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 14．-1 【分析】在同一坐标系中作出直线与函数的图象，根据有且只有一个公共点，数形结合求得实数的值. 【详解】如图，在同一坐标系中作出直线与函数的图象. 因为有且只有一个公共点，且，所以，所以. 故答案为：. 15．(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）通过分离常数把分式函数化成反比例平移型，借助图象平移或对称中心确定函数图象，由渐近线得到值域； （2）分段分别求出各段函数取值范围再取并集，结合函数图像观察纵坐标整体变化得到值域； （3）先画出内层二次函数图像，把轴下方部分沿轴向上翻折，观察翻折后图像纵坐标得到函数值域； （4）先画出函数在轴及右侧部分图像，利用偶函数关于轴对称补全左侧图像，观察图像纵坐标得到值域； （5）去掉绝对值将函数改写为分段函数，画出分段函数图像，依据图像纵坐标范围读出函数的值域. 【详解】（1）法一：，其图象为的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得， 如图所示： 由图可得其值域为； 法二：分离常数，则函数取不到的点即为二四象限反比例函数的对称中心，可直接利用函数对称中心画出反比例函数平移后的图像 （2）的图象如图所示： 由图可得其值域为； （3）先作出的图象，然后保留轴上以及轴上方的部分，将轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （4）先作出的图象，然后保留轴上以及轴右侧的部分， 将轴左侧的图象换成与轴右侧的图象关于轴对称的图象， 得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （5）将原解析式中的绝对值去掉，化为分段函数，它的图象如图所示： 由图象得函数的值域为. 16．(1)不妨设， 则 ． 因为，则，， 可得，即， 所以在上单调递增. (2) 【分析】（1）利用定义法判断并证明函数单调性； （2）结合函数的奇偶性可知在上单调递增，即可比较函数值大小. 【详解】（1）略 （2）因为的定义域为， 因为，所以是奇函数． 且在上单调递增，可知在上单调递增， 因为，所以． 17．(1)或 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义、奇偶性与单调性，确定的值，即得函数的解析式； （2）利用（1）的函数的奇偶性与单调性将不等式化为，两边取平方后求解一元二次不等式即得. 【详解】（1）因为是幂函数，且在上单调递增， 则且，由解得， 又，所以或3. 又是偶函数，则是偶数， 将或3分别代入，可得或6， 故或； （2）由（1），偶函数在上单调递增， 则由可得，故有， 两边取平方，整理得，解得或， 所以原不等式的解集是. 18．(1)满足1阶李普希兹条件，不满足1阶李普希兹条件，理由如下： 对于， ，只需， 所以存在正数，使对任意恒成立， 所以满足1阶李普希兹条件． 对于， ，不妨设，则， ，即不存在正数，使不等式对任意恒成立， 所以不满足1阶李普希兹条件． (2)证明： 不妨设，则时，， 所以 ， 故时，对任意，均有 故函数在区间上满足阶李普希兹条件， 的取值范围为． 【分析】（1）结合题意根据1阶李普希兹条件的含义即可求解；（2）结合已知条件以及题干定义即可求解. 【详解】（1）满足1阶李普希兹条件，不满足1阶李普希兹条件． 理由略； （2）略，的取值范围为． 19．(1)开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟 (2)接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟 (3)不能，当时，由解得， 当时，因为，满足要求 ， 当时，由解得， 当时，因为，不满足要求 ， 因为分钟<12分钟 所以老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题. 【分析】 （1）根据分段函数求最大值； （2）根据分段函数解析式求函数值； （3）分3段求出的解. 【详解】（1）由题意可知，当时，， 所以当时，的最大值为60， 当时，， 当时，，， 当时，， 所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟. （2），，， 则接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟. （3）略. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $