第4章指数函数与对数函数重难点练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第4章指数函数与对数函数重难点练习-2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册 一、单选题 1．下列函数中与函数是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 2．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 5．国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 6．已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（ ） A．是偶函数，且在上单调递减 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是非奇非偶函数，且在上单调递减 8．对任意实数，定义运算“”：设，若函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 10．高斯（1777-1855)被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，．下列命题正确的是（　　　） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．方程恰有两个不同实数解 D．若不等式的解集为，则 11．下列说法正确的是（    ） A．若函数，则 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．，则 D．命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 三、填空题 12．已知，，则的值为________． 13．若二次函数有两个零点，则实数a的取值范围是__________． 14．已知若，且，则的取值范围是______ 四、解答题 15．计算下列各式的值： (1)已知，求； (2)； (3). 16．已知函数． (1)求证：函数图像为中心对称图形； (2)若，求关于的不等式的解集． 17．设（，，） (1)若，设，，用列举法表示； (2)若，，，若方程有两个大于的根，求实数的取值范围； (3)若，，，且，均为奇数，求证：方程无整数解． 18．随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于)测试发现：汽车每小时耗电量 P(单位：kW·h)与速度 v(单位：)的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从 A 地经高速公路(最低限速，最高限速)匀速行驶到距离为500km的 B 地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达 B地后至少要保留5kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为 v 的过程中消耗的电量与路程都忽略不计). (1)求汽车从 A 地经高速公路匀速行驶到 B 地需要的电量 y. (2)判断该车是否可以在不充电的情况下到达 B 地，并说明理由； (3)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达 A 地与 B 地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电电量＝充电功率×时间），求到达 B 地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 19．已知函数． (1)已知对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第4章指数函数与对数函数重难点练习-2026-2027学年高一数学人教A版必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D D C B B BCD ABD 题号 11 答案 AD 1．D 【分析】依次判断各选项中函数的定义域和解析式，与已知函数均相同的即为结果. 【详解】的定义域为； 对于A：的定义域为， 与解析式不同，故A错误； 对于B：的定义域为，与的定义域不同，故B错误； 对于C：的定义域为，与的定义域不同，故C错误； 对于D：的定义域为，与解析式相同，故D正确. 2．C 【详解】根据分数指数幂的定义：（）， 逐步化简如下：化简内层根式：； 计算根号内的同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 因此； 化简外层三次根式：， 根据幂的乘方运算性质，底数不变，指数相乘，可得， 因此结果为. 3．A 【分析】分段函数在上单调递减，需要满足两个条件：各分段内函数自身单调递减，且在分段点处左侧函数值不小于右侧函数值；分别对二次函数、指数型复合函数列出不等式，求交集得到参数范围. 【详解】当时，二次函数开口向上，对称轴为， 要使其在上单调递减，需对称轴在区间的右侧，即：. 当时，指数函数，内层函数为单调递增函数，需外层指数函数为单调递减函数， 因此底数满足：. 函数在上单调递减，需满足处左侧函数值不小于右侧函数值，即， 代入，得，解得. 联立三个约束条件：，取交集得，即的取值范围是. 4．D 【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ， ， 所以函数 为奇函数， 其图象关于原点对称，故排除选项C； 当时，，， 所以， 即轴右侧的图象应在轴上方，故排除选项B； 当时，， 当 时，， 排除选项A，选项D符合题意. 5．D 【详解】设， 则， 所以， 即最接近. 6．C 【分析】由题知函数为偶函数，且在上单调递增，上单调递减，再结合，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为偶函数， 易知，函数在上单调递增， 当时，为增函数，且 则当时，为减函数，且， 所以当时，， 当时，， 则不等式等价于 或 ， 解得或或 或 ， 解得或或． 7．B 【详解】函数的定义域为， ，因此函数是奇函数， 函数分别是上的减函数、增函数， 减函数-增函数，则函数在上单调递减. 8．B 【分析】先根据新定义运算规则求出的分段解析式，再结合分段函数的图象与性质，数形结合确定与有三个交点时的取值范围。 【详解】根据新定义的运算规则，分情况化简： 当时，整理得，解得或，此时； 当时，整理得，解得,此时. 因此的解析式为： . 分析各段函数的取值与交点情况： 当时，为增函数，值域为； 当时,为抛物线，顶点为，则值域为； 当时，值域为. 如图所示： 要使与恰有三个公共点，即的取值范围为. 9．BCD 【分析】举例说明判断A；利用指数函数、对数函数、幂函数性质，结合作差法及基本不等式判断BCD. 【详解】对于A，当时，，命题若，则不是真命题； 对于B，由，得，则，， 命题若，则是真命题； 对于C，由，得，而，则，， 命题若，则是真命题； 对于D，， ，因此， 命题是真命题. 10．ABD 【分析】对于A，将换成，根据求根公式求出解，判断区间内是否存在整数即可得出答案；对于B，根据取整函数的性质即可得出答案；对于C，根据取整函数的性质可以得出肯定是整数，根据求根公式即可得出答案；对于D，将换成，根据，求出的值，代入即可得出答案. 【详解】对于A，令，则为整数， 原式等价于无解， 令， 因为，所以，， 则，因为区间内没有整数，所以无解， 即不等式的解集为； 对于B，因为，根据取整函数的性质， 若，则，与不符，故，同理可得， 所以不等式的解集为； 对于C，因为为整数，所以也是整数，则为整数， 所以原式等价于求的解的个数， 解得，所以方程仅有一个实数解； 对于D，令，原式转化为 因为，所以， 当时有，解得， 取，此时有，解得， 所以若不等式的解集为，则， 综上所述选ABD. 11．AD 【分析】对于A，根据特殊值法求解即可；对于B，根据抽象函数的定义域求解即可；对于C，根据指数与对数的互化及对数的运算性质求解即可；对于D，根据命题的真假及二次函数的值域求解即可. 【详解】 对于A，令，可得，解得，故A正确； 对于B，因为函数的定义域为， 所以，所以，所以函数的定义域为，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以 ，故C错误； 对于D，由于“，”是真命题，则， 由于，故，故D正确. 12．/ 【详解】. 13． 【详解】因为二次函数，所以， 又二次函数有两个零点，所以的， 综上，实数a的取值范围是. 14． 【分析】画出函数的图象，利用函数图象的对称性分别计算和的范围求解. 【详解】画出的图象，如图所示： 设，则， 令，解得或0， 因为的对称轴为， 由对称性可得，且， 其中， 因为，所以， 故， 又，故， 所以． 15．(1) (2) (3) 【详解】（1）设 ，则 ，， 原式 ； （2）由，，， 设 ，则 ， 所以 ， 原式 ； （3）由，，，， 原式 ． 16．(1)已知，由，得，解得，所以函数的定义域为， 因为，所以， 故图像关于点中心对称， 所以函数图像为中心对称图形. (2) 【分析】(1)先求函数定义域，通过计算为定值，证明函数图像关于点中心对称； (2)利用复合函数“同增异减”法则与一次函数单调性，判断时在定义域内单调递减，再结合定义域约束与单调性解不等式. 【详解】（1）略 （2），， 对于函数，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减， 函数在上单调递增，所以在上单调递减， 因为，所以函数在上单调递减， 因此在定义域上单调递减， 不等式变形为， 则，解得，所以， 故若，关于的不等式的解集是 17．(1) (2) (3)证明：若为奇数，则为奇数. 若为奇数，则为奇数，即同奇或同偶. 假设存在整数使得方程，即，则， 故为奇数. 若为偶数，则为偶数，所以，均为偶数，故为偶数，矛盾. 若为奇数，则为奇数， 当同奇时，，均为奇数，故为偶数，矛盾. 当同偶时，，均为偶数，故为偶数，矛盾. 综上，不存在整数使得. 故方程无整数解． 【分析】（1）根据集合的表示方法、交集的定义及一元二次方程求解即可. （2）根据一元二次方程根的个数、对应函数的对称轴，结合已知条件列不等式组求解即可. （3）根据零点的定义及反证法，分情况证明即可. 【详解】（1）若，则. 令，即，解得或. 所以. （2）若，，，则. 令，则. 若方程有两个大于的根，则，对称轴，且. 即，整理得，解得. 综上，实数的取值范围为. （3）略 18．(1) (2)该车不可以在不充电的情况下到达 B 地.该车到达B地至少需要消耗电量80kW·h，出发前电池存量扣除5kW·h保障电量后可用于行驶的电量仅为70kW·h，80kW·h＞70kW·h，因此该车不可以在不充电的情况下到达B地. (3)小时 【分析】（1）根据从 A 地经高速公路匀速行驶到 B 地需要的电量与时间、每小时耗电量的关系列式即可；（2）计算耗电量的最小值，并与预存电量比较即可判断；（3）分别计算充电时间与行驶时间关于速度的函数，然后求出函数的最小值即为到达 B 地的最少用时. 【详解】（1）由题可知，汽车行驶时间为 所以汽车从 A 地经高速公路匀速行驶到 B 地需要的电量为 （2）由上可知， 当且仅当时取等号，所以该车到达 B 地至少需要消耗电量. 因为出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量， 故汽车可消耗电量为70kW·h， 因为 所以该车不可以在不充电的情况下到达 B 地. （3）因为电动汽车的现存电量一定可以到达 A 地与 B 地间的服务区， 且服务区充电桩的功率为15kW. 因为到达B地后需要保留， 所以汽车在服务区需要充电的电量为 充电所需时间为，行驶所需时间为 所以总用时 ， 当且仅当，即时取等号， 所以到达B 地的最少用时为小时. 19．(1) (2)当时，解集为，当时，解集为或，当时，解集为，当时，解集为；当时，解集为； (3)． 【分析】（1）将不等式恒成立问题转化为函数恒小于0问题，分类讨论二次项系数是否为0，结合判别式求解参数范围；（2）先对二次式因式分解，再根据二次项系数符号、两根大小关系分类讨论，求解一元二次不等式的解集；（3）利用偶函数对称性，将含绝对值的方程转化为关于的二次方程，把四个实根问题转化为二次方程有两个正根问题，结合基本不等式与存在性条件求解参数范围. 【详解】（1）将代入不等式，整理得，该不等式对任意恒成立，分类讨论： 当时，不等式化为，对任意恒成立，符合条件； 当时，函数是二次函数，要使恒成立，需满足，解得， 综上，实数的取值范围是. （2）由得， 当时，不等式化为，解得，解集为， 当时，不等式化为，此时，不等式的解集为或， 当时，方程的两根为，， 若，则，不等式的解集为， 若，则不等式化为，无解，不等式的解集为； 若，则，不等式的解集为； （3）令，原方程化为 整理为， 原方程有四个不同实根，等价于关于的方程有两个不同的正实根（每个正根对应两个互为相反数的）. 由基本不等式，时，因此，即方程的常数项恒为负数. 设方程两个不同的正实根为，需同时满足： ，因为分子，因此必须. ，结合，得，即. ，化简得，结合，两边除以（不等号变向）：， 题目要求“存在”满足条件，即存在使得上述不等式成立，只需右边大于的最小值即可，，结合，得， 解二次不等式，得或， 结合前提，所以，故实数的取值范围为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $