第四章 指数函数与对数函数（单元测试-培优卷）高一数学人教A版必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第四章 指数函数与对数函数（培优卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的零点为（     ） A．和 B． C． D．和 3．深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（    ）（参考数据：） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 4．设，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 7．函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 11．高一某数学兴趣小组通过对课本习题的研究，探究到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是是偶函数．则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为___________． 13．已知是方程的两个根，若，则______． 14．已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．计算： (1) (2)． (3) 16．已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)画出函数的草图； (3)利用定义证明函数在区间上是减函数． 17．已知函数，． (1)求和的函数解析式； (2)设，判断的奇偶性，并加以证明． 18．受芯片制约，中国自主创新的爆发力被激发．某企业原有500名技术人员，年人均投入万元（），现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员名（），调整后研发人员的年人均投入增加，维护人员的年人均投入调整为万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)若对任意，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数的取值范围． 19．已知函数，（）． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数（冲刺卷） 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B B C D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 0 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 【详解】（1）原式------------------------4分 （2）原式------------------------8分 （3）原式 ------------------------13分 16．(15分) 【详解】（1）要使函数有意义，的取值需满足，解得，即函数的定义域是. ，即， ∴函数是偶函数．------------------------5分 （2）由于函数是偶函数，则其图象关于轴对称， 将函数的图象对称到轴的左侧与函数的图象合起来得到函数的图象， 如图所示．------------------------10分 （3）证明：设,，且， 则， ,，且，， ，，. ∴函数在区间上是减函数．------------------------15分 17．(15分) 【详解】（1）由于，所以，所以．------------------------7分 （2）是偶函数，证明如下： ， 因为的定义域为，， 且，所以是偶函数．------------------------15分 18．(17分) 【详解】（1）维护人员名，则研发人员名，调整后研发人员人均投入为， 所以，即， 即，解得，则， 所以调整后研发人员人数最少为50名.------------------------8分 （2）对于条件①，因为调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入， 所以，对任意恒成立， 即，即， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 对于条件②，因为维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入， 所以，对任意恒成立， 即，即， 当时，取最大值为15，所以， 综上所述，的取值范围为.------------------------17分 19．(17分) 【详解】（1）由对任意恒成立，得对任意恒成立． 当时，上式化为，恒成立． 当时，要使二次函数恒不大于，需 解得． 综上，实数的取值范围为．------------------------5分 （2）由且，所以 当时，，解集为 当时，，解集为． 当时，，解集为------------------------10分 （3）令 因为，所以由基本不等式得． 原方程化为------------------------12分 令，则原方程有四个不同的实根，当且仅当关于的方程有两个不同的正根． 由根与系数的关系，需------------------------13分 由于，有，所以由得； 再由得，即．------------------------14分 同时还需判别式 当时，随的增大而减小． 因此存在使，当且仅当在时已有 解得 结合，得------------------------16分 反之，当时，取，则，上述方程有两个不同正根，原方程即有四个不同实根． 所以实数的取值范围为------------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数（培优卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误. 2．二次函数的零点为（     ） A．和 B． C． D．和 【答案】D 【分析】由函数零点的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】令，即，即，解得，， 所以函数的零点是和. 3．深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（    ）（参考数据：） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】根据所给的函数关系可得，，再由对数的运算性质及对数式化为指数式可得. 【详解】设发光强度为级对应的光能为，发光强度为级对应的光能为， 由，得： 当时： ， 当时： 由对数减法运算性质，，即， 将对数式转化为指数形式得. 所以，因此发光强度级的生物释放的光能约是级的倍. 4．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为在上单调递增， 所以， 所以， 故选：B. 5．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 由，得， 当且仅当即时取等号， 得到的最小值为. 6．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，函数 的定义域为 ， ， 所以函数 为奇函数， 其图象关于原点对称，故排除选项C； 当时，，， 所以， 即轴右侧的图象应在轴上方，故排除选项B； 当时，， 当 时，， 排除选项A，选项D符合题意. 7．函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，得，故的取值范围是. 8．已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出分段函数图象，由四个根确定参数，分别利用抛物线的对称性和对数函数的对称性，求出和，最后通过换元，利用对勾函数的单调性求出比值的取值范围． 【详解】画出函数图象如图所示， 由有四个根，结合图象可知，直线与函数图象有四个交点， 所以，，且 令得： 所以，因此 所以，令，因为，所以， 所以，令， 根据对勾函数单调性，在上单调递增，所以， 所以 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 【答案】ACD 【分析】由对数型复合函数的性质，结合二次函数性质、复合函数“同增异减”规则、函数对称性判定方法逐一分析选项即可. 【详解】选项A：当时，对数真数需满足，因式分解得， 解得或，即定义域为，A正确； 选项B：当时，真数，为增函数， 故，值域为，不是，B错误； 选项C：， ， 即，故图象关于直线对称，C正确； 选项D：当时，定义域为， 内层函数在上单调递减，外层单调递增， 由复合函数“同增异减”规则，得的单调递减区间为，D正确. 11．高一某数学兴趣小组通过对课本习题的研究，探究到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是是偶函数．则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】利用题设给的结论对各个选项进行判断即可. 【详解】对于A，令， 则，所以为奇函数，故A正确； 对于B，令， 则，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，令， 则，所以为奇函数，故C正确； 对于D，令， 则，所以为偶函数，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】结合具体函数的定义域、对数型复合函数的定义域求法列出不等式求解即可. 【详解】由题得， 解得且，即的定义域为． 13．已知是方程的两个根，若，则______． 【答案】0 【详解】由题意知是方程的两个根， 令，则方程有两个正根， 则，解之得， 又是方程的两个根， 则，又，则， 解之得或（舍）， 则，又， 则，即，解得或，则或， 则，或，则. 14．已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先得到，的解析式，由的单调性得恒成立，结合基本不等式得到答案 【详解】由题意得，， 由①， 得，即②， 联立①②得，， 显然为上单调递增函数，且， 由得，故，即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．计算： (1) (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 16．已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)画出函数的草图； (3)利用定义证明函数在区间上是减函数． 【答案】(1)偶函数 (2) (3)证明：设,，且， 则， ,，且，， ，，. ∴函数在区间上是减函数． 【分析】（1）由偶函数定义可判断出为偶函数； （2）根据图像关于轴对称性质，画出图像； （3）定义法证明单调性，首先设,，且，再判断的正负即可. 【详解】（1）要使函数有意义，的取值需满足，解得，即函数的定义域是. ，即， ∴函数是偶函数． （2）由于函数是偶函数，则其图象关于轴对称， 将函数的图象对称到轴的左侧与函数的图象合起来得到函数的图象， 如图所示． （3）略． 17．已知函数，． (1)求和的函数解析式； (2)设，判断的奇偶性，并加以证明． 【答案】(1) (2)是偶函数，证明如下： ， 因为的定义域为，， 且，所以是偶函数． 【详解】（1）由于，所以，所以． （2）略 18．受芯片制约，中国自主创新的爆发力被激发．某企业原有500名技术人员，年人均投入万元（），现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员名（），调整后研发人员的年人均投入增加，维护人员的年人均投入调整为万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)若对任意，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数的取值范围． 【答案】(1)50 (2) 【分析】（1）根据题意表示出调整后研发人员人均投入，依据调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，即可列出不等式，即可求解. （2）对于条件①，依据题干信息列出不等式，对分离参数后，利用基本不等式求的最小值，即可求的范围；对于条件②，依据题干信息列出不等式，对分离参数后，利用一次函数单调性，即可求的最大值，即可求的范围，将上面两个的范围求交集即可. 【详解】（1）维护人员名，则研发人员名，调整后研发人员人均投入为， 所以，即， 即，解得，则， 所以调整后研发人员人数最少为50名. （2）对于条件①，因为调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入， 所以，对任意恒成立， 即，即， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 对于条件②，因为维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入， 所以，对任意恒成立， 即，即， 当时，取最大值为15，所以， 综上所述，的取值范围为. 19．已知函数，（）． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． (3) 【分析】（1）将恒成立不等式整理为关于的二次不等式，分别讨论与，利用二次函数恒非正的条件求的范围． （2）将因式分解为，比较两个零点与的大小，分情况写出解集． （3）令，由得；再令，将“四个不同实根”转化为关于的二次方程有两个不同正根，利用根与系数的关系和判别式确定的范围． 【详解】（1）由对任意恒成立，得对任意恒成立． 当时，上式化为，恒成立． 当时，要使二次函数恒不大于，需 解得． 综上，实数的取值范围为． （2）由且，所以 当时，，解集为 当时，，解集为． 当时，，解集为 （3）令 因为，所以由基本不等式得． 原方程化为 令，则原方程有四个不同的实根，当且仅当关于的方程有两个不同的正根． 由根与系数的关系，需 由于，有，所以由得； 再由得，即． 同时还需判别式 当时，随的增大而减小． 因此存在使，当且仅当在时已有 解得 结合，得 反之，当时，取，则，上述方程有两个不同正根，原方程即有四个不同实根． 所以实数的取值范围为 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数（培优卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的零点为（     ） A．和 B． C． D．和 3．深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（    ）（参考数据：） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 4．设，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 7．函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知函数若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 11．高一某数学兴趣小组通过对课本习题的研究，探究到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是是偶函数．则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为___________． 13．已知是方程的两个根，若，则______． 14．已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．计算： (1) (2)． (3) 16．已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)画出函数的草图； (3)利用定义证明函数在区间上是减函数． 17．已知函数，． (1)求和的函数解析式； (2)设，判断的奇偶性，并加以证明． 18．受芯片制约，中国自主创新的爆发力被激发．某企业原有500名技术人员，年人均投入万元（），现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员名（），调整后研发人员的年人均投入增加，维护人员的年人均投入调整为万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)若对任意，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数的取值范围． 19．已知函数，（）． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $