函数性质、指数函数、对数函数和幂函数同步练习卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习卷以函数性质、幂函数、指对函数为核心，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三级分层设计，实现从概念理解到实际应用的知识进阶，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（单调性判断、指数运算、分段函数求值）|单选题1-5、填空题12-13，聚焦概念辨析与基本运算，夯实数学抽象基础| |提升层|性质综合应用（函数奇偶性与单调性、指对函数最值）|单选题6-8、多选题9-11，结合图像与逻辑推理，发展数学思维严谨性| |综合层|复杂问题解决（单调性证明、实际应用建模）|解答题15-19，如环保板材利润问题，融合数学建模与运算能力，体现应用意识|

高一数学必修第一册第三四章（函数性质，幂函数，指对函数）函数专题练习卷 一、单选题 1．下列函数在上为单调增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．幂函数在上单调递增，则的值为（    ） A． B． C． D．或 5．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为（    ）（） A．1.5 B．1.6 C．0.8 D．0.6 6．已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意，（）都有，若，则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 8．已知，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．函数的定义域为R，且在单调递减，，若函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．为偶函数 C．，恒成立 D．的解集为 10．下列结论中，正确的是（ ） A．函数是指数函数 B．若则 C．函数的单调增区间是 D．函数的图象必过定点 11．已知定义在上的函数满足，，且当时，，若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．当时， C．当时，单调递减 D．a的取值范围是 三、填空题 12．计算:___________. 13．已知函数的图象过原点，则__________；若对，都有，则m的最大值为__________． 14．已知函数，若的值域是，则实数的取值范围是________. 四、解答题 15．已知函数. (1)用单调性定义证明：在区间是减函数； (2)对任意时，都成立，求实数的取值范围. 16．设，且． （1）求的值及的定义域； （2）求在区间上的最值． 17．已知函数. （1）当，时，求函数的最大值与最小值； （2）若函数在上恒有，求实数a的取值范围. 18．为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 19．已知函数是上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学必修第一册第三四章专题练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A D D A A BCD CD 题号 11 答案 AB 1．C 【分析】分别判断一次函数、指数函数、二次函数及反比例函数的单调性即可. 【详解】在上为减函数，在上为减函数， 在上为增函数，在上为减函数. 故选：C 【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，属于基础题. 2．B 【分析】借助指数幂的运算法则计算即可得. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误. 故选：B. 3．D 【分析】根据分段函数解析式求得的值. 【详解】依题意 . 故选：D 4．A 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得的值． 【详解】解：幂函数在上单调递增， ，且，解得或， 当时符合题意； 当时不符合题意； 故选：． 5．D 【分析】利用对数的定义及其已知条件即可求解. 【详解】由已知条件得 ，解得， 则. 故选：. 6．D 【解析】根据函数有最小值可得出函数的单调性，然后对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由于函数有最小值，则函数在区间上不为增函数，可得. 当时，，，此时函数无最小值； 当时，即当时，函数在区间上为减函数， ①若函数在上为增函数，则， 且有，即，解得，此时； ②若函数在上为减函数，则， 且，所以，，即，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用分段函数的最值求参数，解题时要根据题意分析出两支函数在各自定义域上的单调性，并分析出间断点处函数值的大小关系，本题易错的地方在于忽略函数在区间上单调递减，忽略这一条件的分析，进而导致求解出错. 7．A 【分析】根据函数的对称性以及单调性即可求解. 【详解】∵函数为偶函数∴的图像关于对称 ∵对任意，（）都有 ∴函数在上单调递增，在上单调递减 ∵ ∴ ∴ 故选：A. 8．A 【分析】根据幂函数、对数函数的知识求得正确答案. 【详解】对于，函数在上单调递增，所以. 在上单调递减，所以， 由于，所以， 所以， 综上所述，. 故选：A 9．BCD 【分析】根据函数的图象关于直线对称，可得的图象关于轴对称，在单调递减得在单调递增，可判断ABC；再由可判断D. 【详解】若函数的图象关于直线对称， 则的图象关于轴对称，即为偶函数，故B正确； 又在单调递减，所以在单调递增，故A错误； 所以，恒成立，故C正确； 因为，所以，所以的解集为，故D正确. 故选：BCD. 10．CD 【分析】A选项，根据指数函数的定义判断；B选项，根据指数函数的单调性判断即可；C选项，根据复合函数的单调性判断；D选项，指数函数过定点，令即可求得. 【详解】A选项，由指数函数定义得函数不是指数函数A错； B选项，当时，此时在定义域内单调递减，由，根据单调性可得，B错； C选项，函数中， 令，在上递增，在上递减， 又在R上单调递减， 因此函数的单调增区间是，C正确； D选项，函数中，由得， 即函数图象过点，D正确． 故选：CD 11．AB 【解析】先根据题意得函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合思想讨论各选项即可得答案. 【详解】解：根据题意得：知是偶函数， 由知是周期为2的周期函数， 因为当时，，所以有如图的函数图象， 故对于A选项，由图可知图象关于对称，所以A正确； 对于B选项，当时，，所以B正确； 对于C选项，当时，由周期为2可知单调性与时的单调性相同，易知当时，单调递增，所以C错误； 对于D选项，设，则函数在上至少有三个不同的零点，等价于函数与图象在上至少有三个不同的交点，结合图象可知，则有，即，解得，所以D错误. 故选：AB. 【点睛】本题考查函数的零点，周期性，奇偶性等函数性质，考查数形结合思想和运算求解能力，解题的关键在于根据题意做出函数图象，利用数形结合思想求解，是中档题. 12．2 【解析】根据指数幂的运算及对数的换底公式,化简即可得解. 【详解】由指数幂的运算及对数的换底公式,化简可得 故答案为: 【点睛】本题考查了指数幂及对数换底公式的应用,属于基础题. 13． 【分析】根据函数过原点，从而求出的值；对于，只需求出，从而可求解. 【详解】对空：由函数过原点，即，得； 对空：由函数在定义域上单调递增，且恒成立，所以的最大值为. 故答案为：；. 14． 【解析】利用数形结合，根据对数函数的概念，可得，然后根据的值域，可得结果. 【详解】， 根据题意： 由的值域是， 如图： 当时， 由 可知 当时， 由 所以 综上所述： 故答案为： 【点睛】本题重在于考查分段函数的值域，掌握各段函数的特点，熟练掌握数形结合的思想，属中档题. 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据单调性的定义可证在区间是减函数； （2）根据为奇函数以及在区间是减函数可求在上的最大值，从而可求实数的取值范围. 【详解】（1）设任意且， 则， 因为，故， 故即， 所以在区间是减函数. （2）的定义域为， 而，故为奇函数， 由（1）可得在上的最小值为， 故在上的最大值为， 故. 16．（1），；（2）函数在区间上的最小值是，无最大值． 【分析】（1）根据，代入数据，即可求得a值，即可求得解析式，根据真数大于0，即可求得定义域. （2）由（1）得，令，根据x的范围，即可求得t的范围，结合的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得：，因为，解得， 所以， 所以，解得， 所以函数的定义域为； （2）由（1）得， 令，由得：， 则原函数为，， 由于函数在上单调递减， 所以， 因此，函数在区间上的最小值是，无最大值． 【点睛】解题的关键是熟练掌握对数函数的定义域、值域的求法、考查分析理解，计算求值的能力，属基础题. 17．（1）最大值为，最小值为；（2）. 【解析】（1）化简得到，令，则，计算得到答案. （2）变换得到在上恒成立， 设，，根据函数单调性得到答案. 【详解】（1）. 令，则. 由，得， 当时，y取得最大值，；当时，y取得最小值，. 即函数的最大值为，最小值为. （2）, ,, ， 在上恒成立， 设，由，得. 设，， 在上单调递减，在上单调递增， ，， ，即实数a的取值范围是. 【点睛】本题考查了函数的最值，函数的恒成立问题，构造函数是解题的关键. 18．(1) (2)当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别利用二次函数，基本不等式求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， 显然，， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元. 19．(1)； (2) 函数在区间上单调递增，证明如下： ，且， ， 因为， 所以，，，，， 所以， 所以， 所以函数在区间上单调递增. (3)或或. 【分析】（1）由列出方程组，解出答案； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将原命题等价为对所有的恒成立，即对所有的恒成立，令，再讨论函数即可. 【详解】（1）因为函数是上的奇函数，且， 所以， 所以. （2）略 （3）由（2）知函数在区间上单调递增. 所以， 因为对所有的恒成立， 所以对所有的恒成立， 所以对所有的恒成立， 令， ①当时，，满足题意； ②当时，此时为的一次函数，若对所有的恒成立，则 或， 所以或或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $