精品解析：天津市武清区杨村光明道中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

杨村光明道中学2026-2027学年度九上第一次月练习数学试卷 （时间100分钟 满分120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的解题步骤解答即可． 【详解】解：移项得， 配方得， 整理得． 3. 若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线的定义确定， 再结合抛物线与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵ 函数是抛物线， ∴ ， ∵ 抛物线与轴有交点， ∴ 一元二次方程有实数根， ∴ ， 整理得， 解得， 综上， 的取值范围是且． 4. 已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 5 B. 9 C. 13 D. 11 【答案】C 【解析】 【详解】解：由根与系数的关系得，，， ． 5. 点、、都在抛物线上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先从抛物线顶点式中确定开口方向和对称轴，因为二次项系数为负，所以抛物线开口向下，对称轴为直线．分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，对于开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大．也可以选择将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出、、的具体值后再比较大小． 【详解】将代入，得． 将代入，得． 将代入，得． ∴ ． 6. 将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线关于轴对称的抛物线解析式，再根据抛物线平移规律得到原抛物线向下平移2个单位后的解析式，对比对应系数即可求出和的值． 【详解】解：∵抛物线关于轴对称时，只需将原解析式中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为： ， ∵抛物线向下平移2个单位， ∴平移后解析式为， 又∵平移后抛物线与上述关于轴对称的抛物线是同一个，对应系数相等， ∴，， 解得，， 7. 某共享单车公司2024年3月投放共享单车8万辆，5月投放量达到12.5万辆．设4、5两个月投放量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确3月到5月共经历2次月增长，结合初始投放量与5月投放量列方程. 【详解】解：∵3月投放量为8万辆，4、5月投放量的月平均增长率为x， ∴4月投放量为万辆， ∴5月投放量为万辆， ∵5月投放量达到12.5万辆， ∴可列方程为． 8. 若二次函数y=﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b、c的值分别是（　　） A. b=2，c=4 B. b=﹣2，c=﹣4 C. b=2，c=﹣4 D. b=﹣2，c=4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数y=﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数y=﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答b、c的值． 【详解】∵二次函数y=﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1＜0，∴该函数的图象的开口方向向下，∴二次函数y=﹣x2+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标，∴﹣1=﹣，即b=﹣2；① ﹣3=，即b2+4c﹣12=0；② 由①②解得：b=﹣2，c=﹣4． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值．解答此题时，弄清楚“二次函数y=﹣x2+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标”是解题的关键． 9. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，得到，证明是等腰直角三角形，则，得到，进一步求出． 【详解】解：当时，，则， 由图象可知，， 故， 当时，， 解得， ∴， 则， ∵抛物线关于轴对称， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 10. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 11. 已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． 根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 12. 某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为，再把代入解析式求出a即可判断②；把代入解析式求出，再用即可判断③；把代入解析式即可判断④． 【详解】解：①观察图形可知，， 即水面宽度为， 故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； 故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴最大水深为， 故③正确； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为时， 将代入，得， 可知此时最深处到水面的距离为， 即为原来的， 故④错误． 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为________． 【答案】 16 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到两个根，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边长度，最后计算三角形周长. 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， 设第三边长为，根据三角形三边关系可得，即， 因此不符合要求，舍去， 故第三边长为， 所以三角形的周长为. 14. 将二次函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数解析式是______．（用顶点式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”规律，对原解析式进行变换即可得到结果． 【详解】解：二次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， 原二次函数解析式为，向左平移个单位，需对自变量左加，将替换为， 第一次平移后得到． 再向上平移个单位，需对函数整体上加，在式子后加， 最终得到的函数解析式为． 15. 设a、b是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求式子平方后变形，代入计算后再开方得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， 设，显然， 将两边平方得：， 展开得：， 整理得： 代入，得： ∵， ∴. 16. 关于x方程的两根为1和5，则一次函数不经过第__________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和一次函数图像的性质，解决此题的关键是灵活的运用各个知识点；先根据根与系数的关系算出和，再根据一次函数的图形性质即可得到结果； 【详解】解：∵关于x方程的两根为1和5， ∴，， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴一次函数图形经过一、二、四象限，不经过第三象限； 故答案为：三 17. 若抛物线与x轴有且只有一个交点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与轴只有一个交点，说明对应的一元二次方程根的判别式等于，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴ 化简得， 解得． 18. 已知为一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，及利用整体代入法求代数式的值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利用一元二次方程根的定义，得到，再整体代入计算． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ，即， ， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：方程  中， ， ， ； 即. 【小问2详解】 解：， ， ， 或； 解得. 20. 已知抛物线过点，，求它的解析式及顶点坐标． 【答案】抛物线的解析式为，顶点坐标为 【解析】 【分析】设抛物线的解析式为：，利用待定系数法解得抛物线的解析式，并将解析式的一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：设抛物线的解析式为：， 由题意把点代入抛物线的解析式得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：， ， 抛物线的顶点坐标为． 21. 为实数，关于的方程为． （1）判断方程根的情况． （2）若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】（1）原方程总有两个实数根 （2）或 【解析】 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 【小问1详解】 解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 22. 如图，已知二次函数． （1）求抛物线与坐标轴交点坐标； （2）结合图象，写出当时自变量x的取值范围； （3）若直线与该抛物线有两个不同的交点，求m的取值范围． 【答案】（1）与轴交点坐标为，；与轴交点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别令和进行解答即可； （2）画出二次函数的图象，根据二次函数图象和轴交点的横坐标进行解答即可； （3）根据抛物线开口向下，顶点坐标为即可求出答案． 【小问1详解】 解：当时，， ∴与轴交点坐标为； 当时，， 解得 ∴与轴交点坐标为，； 【小问2详解】 解：如图， 结合图象，当时自变量x的取值范围为； 【小问3详解】 解：∵ ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴若直线与该抛物线有两个不同的交点，m的取值范围为． 23. 暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元，用525元购买《奥德赛》电影票数量与用450元购买《牛来》电影票数量一样多． （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额要达到1820元，单价应降低多少元？ 【答案】（1）《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元 （2）单价应降低4元 【解析】 【分析】（1）设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元，根据题意列出分式方程，即可求解； （2）设单价应降低元，根据题意列出一元二次方程，解方程得的值，再根据销售单价不得低于20元，确定的值，即可求解． 【小问1详解】 解：设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解， ∴（元）． 答：《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元． 【小问2详解】 解：设单价应降低元， 由题意得，， 解得，， ∵销售单价不得低于20元， ∴， 解得， ∴， ∴． 答：单价应降低4元． 24. 在矩形中，，，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为x秒，解答下列问题． （1）设的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？最小值是多少？ （2）是否存在x的值，使得？试说明理由． 【答案】（1），当时， （2）存在，时， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，勾股定理等；能根据二次函数的性质求解是解题的关键． （1）根据图形得，化简后由二次函数的性质即可求解； （2）由勾股定理得，，，，即可求解． 【小问1详解】 解：矩形中， ，，， 由题意得，， ，， ， ，， 当时，； 综上，，当时，； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： ， ， ， ， ， ， 整理得， 解得，（舍去）， 故当时，． 25. 如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； （3）如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2） （3）符合条件的点有三个，坐标为：，， 【解析】 【分析】（1）先推导出，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出，即，根据三角形的内角和求出，推导出，得到，可推导出是等腰直角三角形，求出，继而求出直线解析式是，联立直线与抛物线，求出点D的横坐标，再求出，即可解答； （3）分类讨论：当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时， ， 解得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：，得 ， 解得（点B，舍去），， 将代入，得 ， ∴； 【小问3详解】 解：设直线解析式是， 把，代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图2， 设，则， ∴， ，四边形是菱形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴， ， 解得（不合题意舍去）或， 此时， ． ②当为菱形的边时，如图， 作于点H， 设，则， ∴，， ， ∴． ∴ 解得：，，（不合题意舍去）． 或． ∴，， 如图所示， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨村光明道中学2026-2027学年度九上第一次月练习数学试卷 （时间100分钟 满分120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）． A. B. C. D. 3. 若抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 5 B. 9 C. 13 D. 11 5. 点、、都在抛物线上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线（a、b、c为常数，）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则b、c的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 某共享单车公司2024年3月投放共享单车8万辆，5月投放量达到12.5万辆．设4、5两个月投放量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若二次函数y=﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b、c的值分别是（　　） A. b=2，c=4 B. b=﹣2，c=﹣4 C. b=2，c=﹣4 D. b=﹣2，c=4 9. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 11. 已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为________． 14. 将二次函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数解析式是______．（用顶点式表示） 15. 设a、b是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 16. 关于x方程的两根为1和5，则一次函数不经过第__________象限． 17. 若抛物线与x轴有且只有一个交点，则________． 18. 已知为一元二次方程的一个根，则的值为___________． 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知抛物线过点，，求它的解析式及顶点坐标． 21. 为实数，关于的方程为． （1）判断方程根的情况． （2）若方程的两根为，，当时，求的值． 22. 如图，已知二次函数． （1）求抛物线与坐标轴交点坐标； （2）结合图象，写出当时自变量x的取值范围； （3）若直线与该抛物线有两个不同的交点，求m的取值范围． 23. 暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元，用525元购买《奥德赛》电影票数量与用450元购买《牛来》电影票数量一样多． （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额要达到1820元，单价应降低多少元？ 24. 在矩形中，，，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为x秒，解答下列问题． （1）设的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？最小值是多少？ （2）是否存在x的值，使得？试说明理由． 25. 如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； （3）如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $