专题：指对幂函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题：指对幂函数-2026-2027学年高三数学上学期复习系列 基础达标 一、单选题 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A． B． C． D． 3．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 4．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年提出铅酸电池的容量C、放电时间t（单位：h）和放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48 h；当放电电流为25A时，放电时间为12h，则该蓄电池的常数约为（参考数据：，）（    ） A．1.14 B．1.15 C．1.16 D．1.17 5．若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数有唯一零点，则（     ） A． B． C． D． 7．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．下列结论或等式正确的是（       ） A． B．若函数在上有零点，则 C．若角α为第二象限角，且，则角为第二象限角 D．命题“存在，”的否定是“对于任意的，” 11．定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“2间距函数”，则下列函数是“2间距函数”的有（    ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 12．函数的单调递减区间为__________． 13．已知函数，则__________；不等式的解集是__________． 14．设函数，若函数有四个零点，，，，且，则k的取值范围是______，______． 四、解答题 15．计算： (1)； (2) 16．已知函数（且）． (1)若，求的定义域； (2)若的值域为R，求a的取值范围． 17．已知函数，在时最大值为 2，最小值为 1. (1)求实数的值； (2)设，若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 18．已知定义在R上的函数． (1)当时，求的值域； (2)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是函数的局部对称点，求实数m的取值范围． 19．已知函数的定义域为，对任意正实数，定义集合． (1)若时，，且，求的值； (2)若，且为非空集合，求的取值范围； (3)若为偶函数，当时，，且，都有． （i）求，的解析式； （ii）证明：对任意实数，函数在区间上最多有9个零点． 思维达标 20．已知函数的定义域为，集合. (1)若，求； (2)求证：存在定义域为的函数满足，且在处取最大值； (3)对任意，定义集合.设函数满足： ①当时，； ②当时，； ③若，则. （i）证明：； （ii）证明：. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：指对幂函数-2026-2027学年高三数学上学期复习系列》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B C D C A ACD AD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】因为“”的充要条件为“”， 而“”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 2．B 【详解】A.是奇函数，但该函数在定义域上不单调，排除. B.，定义域， ，是奇函数； 在上递增，故在上单调递减，符合题意； C.的定义域为，，即函数为奇函数， 又因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，排除. D.的定义域为，，故不是奇函数，排除. 3．D 【分析】根据对数函数的性质，易知，再对其作商，结合及基本不等式进行大小比较即可. 【详解】由对数函数的性质可知，，同理， 因为，所以， 又因为，所以， 因此，. 4．B 【详解】由题意得，故，所以，， 两边取常用对数得，所以. 5．C 【分析】利用对数性质可得，结合基本不等式可求，故可求目标代数式的最大值. 【详解】因为，所以，其中， 所以． 而，故， 故即，当且仅当时等号成立， 而． 故的最大值为． 6．D 【分析】先对函数配方换元，识别函数关于对称，函数仅有一个零点，根据对称性，零点只能落在对称轴处，代入直接解出参数． 【详解】， 设，则，， ， 所以为偶函数，即为偶函数， 所以的图象关于轴对称， 要使有唯一零点， 则只能，即， 解得． 7．C 【分析】利用指数函数的单调性分析得，当时，的值域，从而得到当时，的值域要包含，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数的值域为， 而当时，易知在上单调递增， 所以，即在上的值域为， 所以当时，在上的值域要包含， 所以的图象开口向下，又对称轴为， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 8．A 【分析】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解． 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又的图象经过原点，所以，即 因为，所以 ， 又因为在上单调递增， 所以 9．ACD 【分析】根据指数函数的单调性判断A的真假；根据基本不等式判断B的真假；设，根据函数的单调性判断C的真假；设，根据的单调性判断D的真假. 【详解】对A，因为，，且， 所以，，所以. 又因为在上单调递增，所以，即，故A正确； 对B，因为，，且，所以，当且仅当时取等号. 又，所以，故B错误； 对C，设，，则，. 因为时，恒成立，所以在上单调递增. 又，所以，即，故C正确； 对D，设，，则，. 当时，，所以在上单调递增. 又，所以，即.故D正确. 10．AD 【分析】根据指数幂与对数的运算法则，可判定A正确；根据函数零点的定义，可判定B不正确；根据象限角的标准方法和三角函数的符号，可判定C不正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定D正确. 【详解】对于A，由 ，所以A正确； 对于B，例如：函数，令，解得， 即是函数的零点，即在上有零点， 但，即，所以B不正确. 对于C，由角为第二象限角，则， 可得，即为第一象限角或第三象限角， 又由，可得，所以为第三象限角，所以C不正确； 对于D，根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“存在”的否定是“对于任意的”， 所以D正确. 11．ACD 【分析】根据函数单调性分别计算各函数在给定区间的最大值和最小值，验证二者差值是否等于2即可. 【详解】选项A：易知当时，单调递减，值域为； 当时，单调递增，所以的值域为； 故最大值，最小值，，符合定义，故A正确； 选项B：易知在上单调递减， 因此最大值，最小值，，不符合定义，故B错误； 选项C：因为， 令，时值域为， 故值域为，，符合定义，故C正确； 选项D：令，时，函数化为在上单调递增， 最大值，最小值，，符合定义，故D正确. 12． 【详解】要使函数有意义，则 ，整理得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，则， 外层函数的底数满足，因此在上为单调递减函数. 是开口向下的二次函数，对称轴为， 因此在上单调递增，在上单调递减. 根据复合函数“同增异减”的法则得的单调递减区间为. 13． 【详解】易得，，则； 若，则由得或，故； 若，则由得， 故的解集是. 14． 【分析】作出分段函数的图象，利用数形结合的思想确定k的取值范围，再根据二次函数的性质以及对数函数的性质可求解的值. 【详解】设，则， 作出的图象如下， ， 函数有4个零点，等价于方程有4个不相等的实数根， 所以数形结合可知，，所以， 由图可知，， 由二次函数的对称关系可得，， 又由图可知，所以， 则有，所以， 所以. 15．(1) (2)1 【详解】（1）； （2） . 16．(1) (2) 【分析】（1）根据对数的真数为正数，结合构造函数法、导数的性质求出所构造函数的最值进行求解即可； （2）根据对数型函数值域的性质，结合构造函数法、导数的性质求出所构造函数的最值进行求解即可. 【详解】（1）若，则， 要使有意义，则． 令，则． 令，可得． 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以． 因为，所以． 所以的定义域为． （2）令，则． 因为的值域为R，所以的值域包含． 由，可得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得． 故实数a的取值范围是． 17．(1) (2) 【分析】（1）把二次函数配成顶点式，得到对称轴，结合判断单调性，代入端点值列方程组求出； （2）先化简方程，令，原方程转化为关于的二次方程，一个正数对应两个，要有4个解，就需要二次方程有两个不等正根，利用判别式、韦达定理列不等式，求出范围. 【详解】（1）由可知，函数的图象关于对称， 又，所以函数在上单调递增， 可得即解得. （2）易知， 所以即为， 即， 令，则，原方程转化为. 则关于的方程有四个不同的实数解等价于关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根， 需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 18．(1) (2) 【分析】（1）令，则可转化为，通过换元法把求的值域转化为求二次函数的值域； （2）由是函数的局部对称点，得，，代入整理得，令，则，那么，把问题转化为求解关于的函数的值域. 【详解】（1）当时，， 令，则可转化为， 即， 的值域为． （2）由是函数的局部对称点， 得，， 代入整理得．① 令，则，当且仅当时取等号， 则， 代入①式得，即． 在上单调递增， ，， ∴实数m的取值范围为． 19．(1)； (2)； (3)（i），． （ii）证明：根据为偶函数，作出在上的图象， 其中，，但，，未知． 若，则，易知时，， 所以，则，则， 而时，，所以，与矛盾， 所以，则． 当或时，结合图象可知，若时，函数在区间上最多有5个零点； 当时，结合图象可知，若时，函数在区间上最多有7个零点； 当时，结合图象可知，若时，函数在区间上最多有9个零点． 综上可知，对任意实数，函数在区间上最多有9个零点． 【分析】（1）由定义建立等式，再代入计算即可； （2）由非空得存在使，结合分段函数的单调性确定与分别落在不同区间，从而建立方程并求出的范围； （3）（i）利用偶函数性质将的解析式转化为上的已知解析式，再结合的条件逐步推导；（ii）根据偶函数性质画出上的图象，结合推出、，再分的不同取值讨论零点的最大个数． 【详解】（1）由定义可知，，所以． （2）因为为非空集合，所以存在，使得， 根据单调性可知，当时，单调递增，当时，单调递增， 若 与同号，则不可能相等（因为两段各自严格递增），所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 故的取值范围为． （3）（i）对，则，因为为偶函数，所以， 又，所以， 则． 又，所以，． 对于，则，， 所以，， 则， 又，， 所以，即， 当时，则，所以． 故，． （ii）略． 20．(1) (2)构造函数 下面证明：，且的最大值为， 因为在区间单调递增，且在区间单调递增，且；在区间为常数函数，； 对任意，存在，使得，不合题意； 对任意，任意，不合题意； 对任意，任意，有；任意，有， 所以，且的最大值为； (3)在单调递增，且当时，； （i）假设．则必存在，使得，故， 则，所以， 即， 因为，矛盾， 因而，假设不成立，故； （ii）①先证明：当时，， 假设存在，使得．则必存在， 使得； 因为，故，即， 但是，则，矛盾， 因而，假设不成立，故当时， ②再证明：当时，， 假设存在，使得， 则必存在，使得； 因为，从而， 取，则，且， 所以，则，这与矛盾， 因而，假设不成立，故当时，； 综①②，当时，； ③设，因为， 所以， 所以， 所以，在区间 单调递增； 由①②③知： 对任意 ，存在，使得 ； 对任意，任意； 所以. 【分析】（1）转化题目新定义，结合二次函数的性质即可求解； （2）构造分段函数同时满足题给条件与最值条件的函数即可求证； （3）（i）假设，利用反证法推出矛盾，即可证明； （ii）通过反证法证明当时，，在区间 单调递增，结合新定义即可证明. 【详解】（1）因为在区间单调递减，在区间单调递增； 对于任意，对任意，必有，符合题意； 对于任意，存在，使得，不合题意； 所以． （2）略 （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $