第1-2章 阶段复习卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第1-2章阶段复习卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•曾都区期末）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（　　） A．AC＝BD B．AB＝BC C．AB∥CD D．AC⊥BD 2．（2026秋•靖江市校级月考）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．y+1＝0 B． C．x2﹣2x+1＝0 D．2x3﹣1＝3 3．（2025秋•湘潭期末）一元二次方程3x2＝5x﹣1化为一般式为（　　） A．3x2+5x﹣1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2＝5x﹣1 D．3x2﹣5x＝﹣1 4．（2026春•广西校级期中）下列说法错误的是（　　） A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 B．矩形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形 5．（2026•庆阳二模）一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与a的取值有关 D．没有实数根 6．（2026秋•兴宁市月考）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得AC＝16cm，BD＝12cm，则菱形ABCD的周长为（　　） A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm 7．（2026•浙江模拟）《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（　　） A．x2+（x﹣68）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝12 C．x2+（x+68）2＝1002 D．x2+（x﹣6.8）2＝102 8．（2026秋•南海区校级月考）如图，两段公路AB，BC互相垂直，公路AC的中点D与点B被湖隔开，若测得AC的长为4km，则B，D两点间的距离为（　　） A．1km B．1.5km C．2km D．3km 9．（2026秋•兴宁市月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（　　） A．4.8 B．2.4 C．6 D．5 10．（2026春•庐阳区校级期中）如图，学校园林设计师，打算在长为14m，宽为10m的矩形地面的中间种植草坪．草坪四周种植花卉，如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为xm，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•商河县校级月考）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，若∠BAE＝α，则∠EFC一定等于___________ ． 12．（2026秋•宝应县月考）将一元二次方程4x2＝3+5x化为一般形式（a＞0），则一次项系数是_______ ． 13．（2026秋•碑林区校级月考）如图，两张全等的菱形纸片叠放在一起，若重叠部分的形状是正八边形，则菱形的较小内角的度数为_______ °． 14．（2026秋•迎泽区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH．若AC＝8，菱形ABCD的面积为24，则OH的长为 _____ ． 15．（2026秋•丹徒区月考）已知关于x的一元二次方程x﹣2＝0，则m的值为_______ ． 16．（2026春•舟山期末）小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程x2+6ax＝16a2（a＞0）的过程如下：将方程配方得（x+3a）2＝（4a）2+（3a）2，以3a和4a为两直角边作Rt△ABC（如图），再在斜边AB及其延长线上截取BD＝BE＝BC，发现方程的解x1＝AD，x2＝﹣AE．若x＝AD＝8，则x2的值为________ ． 三．解答题（共8小题） 17．（2026秋•丹徒区月考）解方程： （1）（x﹣1）2﹣4＝0； （2）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）； （3）2x2﹣4x+3＝0； （4）（x﹣4）2+x2＝16． 18．（2026秋•兴宁市月考）如图，已知▱ABCD的周长为24，BD⊥AC，O为垂足，∠BAD＝60°． （1）求证：▱ABCD是菱形． （2）求▱ABCD的面积． 19．（2026春•同步）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设x1，x2是原方程的两个实数根．是否存在实数k，使得等式k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由． 20．（2026•市南区二模）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E． （1）求证：△FCE≌△BOE； （2）当AD⊥CD时，判断四边形OCFD的形状，并说明理由． 21．（2026•宁明县二模）如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 22．（2026秋•兴宁区校级月考）如图，已知四边形ABCD是正方形，，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG． （1）求证：DE＝EF； （2）求AE2+CE2的最小值． 23．（2026春•市中区期末）请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_____________ ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 24．（2026•开封二模）某校数学小组在学习图形旋转的相关知识后，对平行四边形进行了相关探究．如图①，平行四边形ABCD中，将线段AB逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AE（点E为点B的对应点），作∠BAE的角平分线交射线BC于点F，连接EF，延长AE交CD所在的直线于点G． 【初步感知】 （1）线段BF与EF的数量关系为__________ ． 【问题探究】 （2）如图②，当∠B＝90°时，点F是BC的中点，延长AE交边CD于点G，判断EG与CG是否相等，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若∠B＝90°，AB＝BC＝6，EF所在直线交射线CD于点H，HD＝1，直接写出线段BF的长． 第1-2章阶段复习卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•曾都区期末）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（　　） A．AC＝BD B．AB＝BC C．AB∥CD D．AC⊥BD 【解答】解：选项A：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形ABCD中对角线AC＝BD，满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确． 选项B：邻边相等（AB＝BC）的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误． 选项C：平行四边形本身就具有对边平行的性质，AB∥CD本来就是平行四边形的已有性质，无法判定它是矩形，该选项错误． 选项D：对角线互相垂直（AC⊥BD）的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误， 故选：A． 2．（2026秋•靖江市校级月考）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．y+1＝0 B． C．x2﹣2x+1＝0 D．2x3﹣1＝3 【解答】解：A．y+1＝0是含有一个未知数的整式方程，属于一元一次方程，故选项A不符合题意； B．该方程不是整式方程，即它不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C．该方程符合一元二次方程的定义，故选项C符合题意； D．该方程中未知数的最高次数是3，它不是一元二次方程，故选项D不符合题意． 故选：C． 3．（2025秋•湘潭期末）一元二次方程3x2＝5x﹣1化为一般式为（　　） A．3x2+5x﹣1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2＝5x﹣1 D．3x2﹣5x＝﹣1 【解答】解：根据题意可知，将一元二次方程3x2＝5x﹣1化为一般式为：3x2﹣5x+1＝0． 故选：B． 4．（2026春•广西校级期中）下列说法错误的是（　　） A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 B．矩形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形 【解答】解：A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意； B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意； C、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，错误，符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意； 故选：C． 5．（2026•庆阳二模）一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与a的取值有关 D．没有实数根 【解答】解：由题知， 因为一元二次方程为x2+ax﹣1＝0， 所以Δ＝a2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4＞0， 所以此方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6．（2026秋•兴宁市月考）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得AC＝16cm，BD＝12cm，则菱形ABCD的周长为（　　） A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16cm，BD＝12cm， ∴AC⊥BD，，， ∴， ∴菱形ABCD的周长为4AB＝40cm． 故选：A． 7．（2026•浙江模拟）《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（　　） A．x2+（x﹣68）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝12 C．x2+（x+68）2＝1002 D．x2+（x﹣6.8）2＝102 【解答】解：设长方形门高x尺，则宽是（x﹣6.8）尺， 根据题意得x2+（x﹣6.8）2＝102， 故选：D． 8．（2026秋•南海区校级月考）如图，两段公路AB，BC互相垂直，公路AC的中点D与点B被湖隔开，若测得AC的长为4km，则B，D两点间的距离为（　　） A．1km B．1.5km C．2km D．3km 【解答】解：∵两段公路AB，BC互相垂直， ∴∠ABC＝90°， ∵AC＝4km，D是AC的中点， ∴B，D两点间的距离为， 故选：C． 9．（2026秋•兴宁市月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（　　） A．4.8 B．2.4 C．6 D．5 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，则： ， 连接CP， ∵∠ACB＝90°，PE⊥AC，PF⊥BC， ∴四边形PECF是矩形， ∴CP＝EF， 由垂线段最短可知，当CP⊥AB时，CP取得最小值， 此时， ∴， 即线段EF的最小值为4.8， 故选：A． 10．（2026春•庐阳区校级期中）如图，学校园林设计师，打算在长为14m，宽为10m的矩形地面的中间种植草坪．草坪四周种植花卉，如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为xm，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设花卉带的宽度为xm，则草坪的长为（14﹣2x）m，宽为（10﹣2x）m， 由题意得：， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•商河县校级月考）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°，若∠BAE＝α，则∠EFC一定等于　90°﹣2α　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°， 把△ADF绕顶点A顺时针方向旋转90°，得到△ABH． 根据旋转的性质，∠DAF＝∠BAH，∠D＝∠ABH＝90°， ∠HAF＝90°，AF＝AH，∠AFD＝∠AHE． 又∠ABH＝90°，∠ABC＝90°， ∠ABH+∠ABC＝180°， ∴H、B、C这三个点处在同一条直线上． 已知∠BAE＝α，∠EAF＝45°，且∠BAD＝∠HAF＝90°， ∴∠DAF＝∠BAH＝90°﹣∠EAF﹣∠BAE＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α． ∵∠EAH＝∠BAH+∠BAE， 代入角度∠EAH＝（45°﹣α）+α＝45°， ∴∠EAH＝∠EAF＝45°． 在Rt△AHB中，两角互余，也就是∠AHB+∠BAH＝90°， ∴∠AHB＝90°﹣∠BAH＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α． ∵在△AEF与△AEH中， ， ∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∠AFE＝∠AHE＝45°+α． 由旋转的结论可知，∠AFD＝∠AHB＝45°+α． 观察DC边上的点F，∠AFD、∠AFE、∠EFC共同组成一个平角， 即：∠AFD+∠AFE+∠EFC＝180°， ∴∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝180°﹣（45°+α）﹣（45°+α）＝90°﹣2α． 故答案为：90°﹣2α． 12．（2026秋•宝应县月考）将一元二次方程4x2＝3+5x化为一般形式（a＞0），则一次项系数是　﹣5　 ． 【解答】解：将原方程整理得4x2﹣5x﹣3＝0， ∴一次项为﹣5x，一次项系数为﹣5． 故答案为：﹣5． 13．（2026秋•碑林区校级月考）如图，两张全等的菱形纸片叠放在一起，若重叠部分的形状是正八边形，则菱形的较小内角的度数为　45　 °． 【解答】解：如图， ∵重叠部分是正八边形， ∴∠A135°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠C＝135°，∠B＝∠D，AD∥BC， ∴∠C＝135°，∠B+∠A＝180°， ∴∠D＝∠B＝45°， ∴菱形的内角度数为45°、135°、45°、135°， ∴菱形的较小内角的度数为45°， 故答案为：45． 14．（2026秋•迎泽区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH．若AC＝8，菱形ABCD的面积为24，则OH的长为 　3　 ． 【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，面积为24， ∴点O是BD的中点，AC×BD＝24， ∵AC＝8， ∴， ∴BD＝6， ∵DH⊥AB于点H， ∴∠DHB＝90°， ∴△DHB是直角三角形， 又∵点O是BD的中点， ∴OH是Rt△DHB的斜边BD上的中线， ∴OHBD＝3． 故答案为：3． 15．（2026秋•丹徒区月考）已知关于x的一元二次方程x﹣2＝0，则m的值为　﹣2　 ． 【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0， ∵m2﹣2＝2， ∴m2＝4， ∴m＝2或m＝﹣2， ∵m﹣2≠0， ∴m≠2， 综上，m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 16．（2026春•舟山期末）小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程x2+6ax＝16a2（a＞0）的过程如下：将方程配方得（x+3a）2＝（4a）2+（3a）2，以3a和4a为两直角边作Rt△ABC（如图），再在斜边AB及其延长线上截取BD＝BE＝BC，发现方程的解x1＝AD，x2＝﹣AE．若x＝AD＝8，则x2的值为　﹣32　 ． 【解答】解：由题意可得，AC＝4a，BC＝3a，∴， ∵BD＝BE＝BC， ∴BD＝BE＝BC＝3a， ∴AD＝AB﹣BD＝5a﹣3a＝2a， ∵x1＝AD＝8， ∴AD＝2a＝8， ∴a＝4， ∴AE＝AB+BE＝5a+3a＝8a＝32． ∵x2＝﹣AE， ∴x2＝﹣32． 故答案为：﹣32． 三．解答题（共8小题） 17．（2026秋•丹徒区月考）解方程： （1）（x﹣1）2﹣4＝0； （2）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）； （3）2x2﹣4x+3＝0； （4）（x﹣4）2+x2＝16． 【解答】解：（1）∵（x﹣1）2﹣4＝0， ∴（x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， ∴x1＝3，x2＝﹣1； （2）∵（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）， ∴（3x﹣1）2﹣2（3x﹣1）＝0， ∴（3x﹣1）（3x﹣1﹣2）＝0， ∴（3x﹣1）（3x﹣3）＝0， ∴3x﹣1＝0或3x﹣3＝0， ∴，x2＝1， （3）∵2x2﹣4x+3＝0， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝16﹣24＝﹣8＜0， ∴方程无实数根； （4）∵（x﹣4）2+x2＝16， ∴x2﹣8x+16+x2＝16， ∴2x2﹣8x＝0， ∴x2﹣4x＝0， ∴x（x﹣4）＝0， ∴x＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝0，x2＝4． 18．（2026秋•兴宁市月考）如图，已知▱ABCD的周长为24，BD⊥AC，O为垂足，∠BAD＝60°． （1）求证：▱ABCD是菱形． （2）求▱ABCD的面积． 【解答】解：（1）证明：∵已知▱ABCD的周长为24，BD⊥AC，O为垂足， ∴▱ABCD是菱形； （2）∵▱ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC平分∠BAD， ∵菱形ABCD的周长为24， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∵∠BAD＝60°， ∴， ∵∠AOB＝90°， ∴， ∴， ∴，BD＝2OB＝6， ∴ 19．（2026春•同步）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设x1，x2是原方程的两个实数根．是否存在实数k，使得等式k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题知， 因为关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根， 则Δ＝（﹣2）2﹣4（k+2）≥0， 解得k≤﹣1， 所以k的取值范围是k≤﹣1； （2）存在， 因为x1，x2是原方程的两个实数根， 则x1+x2＝2，x1x2＝k+2． 因为k﹣2， 则， 所以， 解得k， 经检验，k都是原方程的解． 因为k≤﹣1， 所以k． 20．（2026•市南区二模）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E． （1）求证：△FCE≌△BOE； （2）当AD⊥CD时，判断四边形OCFD的形状，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵CF∥BD，DF∥AC， ∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE＝∠CFE， ∴OD＝CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴OB＝CF， 在△FCE和△BOE中， ， ∴△FCE≌△BOE（AAS）； （2）当AD⊥CD时，四边形OCFD为正方形；理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC， ∴∠COD＝90°． ∵CF∥BD，DF∥AC， ∴四边形OCFD是平行四边形， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， ∴OC＝OD， ∴四边形OCFD为正方形． 21．（2026•宁明县二模）如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm， 由题意得x（32﹣2x+2）＝140， 解得x1＝7，x2＝10， 当x＝7时，32﹣2x+2＝20＞18（舍去）， 当x＝10时，32﹣2x+2＝14＜18， 答：所围矩形猪舍的长为14m，宽为10m时，猪舍面积为140m2． 22．（2026秋•兴宁区校级月考）如图，已知四边形ABCD是正方形，，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG． （1）求证：DE＝EF； （2）求AE2+CE2的最小值． 【解答】（1）证明：如图，过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝∠ECM＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∴EM＝EN，∠MEN＝90°， ∴∠MEF+∠NEF＝90°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF＝90°， ∴∠NED+∠NEF＝90°， ∴∠NED＝∠MEF， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形； （2）如图，连接EG， ∵四边形ABCD为正方形，， ∴， ∴∠ADE+∠CDE＝90°， ∵矩形DEFG为正方形， ∴DE＝DG，∠EDG＝90°， ∴∠CDG+∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴CG＝AE，∠DCG＝∠DAE＝45°， ∴∠ECG＝∠DCG+∠ACD＝90°， ∴AE2+CE2＝CG2+CE2＝EG2＝DE2+DG2＝2DE2， 由垂线段最短可知，当DE⊥AC时，DE取得最小值，最小值为， ∴AE2+CE2的最小值为2×52＝50． 23．（2026春•市中区期末）请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：y2﹣y﹣2＝0　 ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 【解答】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y， 把x＝﹣y代入x2+x﹣2＝0， 得y2﹣y﹣2＝0， 故答案为：y2﹣y﹣2＝0； （2）设所求方程的根是y，则y， 所以x， 把x代入方程2x2﹣7x+3＝0，得 2（）2﹣7•3＝0， 化简，得3y2﹣7y+2＝0； （3）一元二次方程整理后可得：a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0， ∵令y﹣1＝x， ∴y＝x+1， 则方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根比 ax2+bx+c＝0（a≠0）两根大1， 所以方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根分别是4、﹣1． 24．（2026•开封二模）某校数学小组在学习图形旋转的相关知识后，对平行四边形进行了相关探究．如图①，平行四边形ABCD中，将线段AB逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AE（点E为点B的对应点），作∠BAE的角平分线交射线BC于点F，连接EF，延长AE交CD所在的直线于点G． 【初步感知】 （1）线段BF与EF的数量关系为BF＝EF ． 【问题探究】 （2）如图②，当∠B＝90°时，点F是BC的中点，延长AE交边CD于点G，判断EG与CG是否相等，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若∠B＝90°，AB＝BC＝6，EF所在直线交射线CD于点H，HD＝1，直接写出线段BF的长． 【解答】解：（1）∵线段AE是线段AB旋转得到的， ∴AB＝AE， ∵AF平分∠BAE， ∴∠BAF＝∠FAE， 在△ABF和△AEF中， ， ∴△ABF≌△AEF（SAS）， ∴BF＝EF， 故答案为：BF＝EF； （2）EG＝CG，理由如下： 如图，连接FG， 由（1）可知，△ABF≌△AEF， ∴BF＝EF，∠AEF＝∠B， ∵∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠AEF＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠FEG＝180°﹣∠AEF＝90°， ∵点F是BC的中点， ∴CF＝BF＝EF， 在Rt△FEG和Rt△FCG中， ， ∴Rt△FEG≌Rt△FCG（HL）， ∴EG＝CG． （3）∵AB＝BC＝6，∠B＝90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AD＝AB＝6，∠D＝∠B＝90°， ①如图，当点H在线段CD上， ∵HD＝1， ∴HC＝CD﹣HD＝6﹣1＝5， 由（1）可知，AE＝AB，△ABF≌△AEF， ∴BF＝EF，AD＝AE，∠AEF＝∠B＝90°， ∴∠AEH＝180°﹣∠AEF＝90°， 在Rt△ADH和Rt△AEH中， ， ∴Rt△ADH≌Rt△AEH（HL）， ∴HE＝HD＝1， 设BF＝EF＝x，则FH＝EF+HE＝x+1，FC＝BC﹣BF＝6﹣x， 在Rt△FCH中，FC2+HC2＝FH2， ∴（6﹣x）2+52＝（x+1）2， 解得，即； ②如图，当点H在CD的延长线上， 设BF＝x， ∵线段 AB逆时针旋转得到AE， ∴AB＝AE， ∵AF平分∠BAE， ∴∠BAF＝∠EAF， 在△ABF和△AEF中， ， ∴△ABF≌△AEF（SAS）， ∴EF＝BF＝x，AE＝AB＝6，∠AEF＝∠B＝90°， ∴∠AEH＝180°﹣∠AEF＝90°， ∵点H在CD的延长线上，正方形边长为6，HD＝1， ∴HC＝CD+HD＝6+1＝7，∠ADH＝90°， 在 Rt△ADH和 Rt△AEH中， ， ∴Rt△ADH≌Rt△AEH（HL）， ∴HE＝HD＝1， ∴FH＝EF﹣HE＝x﹣1，FC＝BC﹣BF＝6﹣x， ∵∠C＝90°，在 Rt△FCH中由勾股定理列方程：（6﹣x）2+72＝（x﹣1）2， 解得：， ∴． 综上所述，BF的长为或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $