2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中模拟试题一

2026-2027学年期中模拟试题（一） 满分：100分 测试范围：北师版九年级上册第1-4章 建议用时：90分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．解下列方程，能用直接开平方法的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 5．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 6．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，当对角线与的长度相等时，四边形的形状是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 10．如图，菱形的边长是5，两条对角线交于O点，且的长分别是关于x的方程的根，则m的值为（     ） A． B．5 C．5或 D．0 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如图，已知正方形地毯，建立如图所示平面直角坐标系．若点的坐标为，则顶点的坐标为________． 12．某校九年级举行篮球单循环比赛（每两个班之间比赛一场），共比赛 45 场．设共有 x 个班参赛，根据题意可列出的方程为__________． 13．若，是方程的两个根，则的值为_____． 14．一个立体图形由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的左面、上面看到的形状图，则这个立体图形至少是用______个小立方块搭成的． 15．在正方形中，点M、N分别是、边上的中点，连接，交于点O，连接．若，则的长为______． 三、解答题（本大题共6小题，共55分） 16．（8分）解方程： (1)； (2)． 17．（7分）水墨画（中国画）是由水和墨经过浓度调配所画出的画，是中国传统绘画形式之一，某公司给如图所示的矩形水墨画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成一个矩形工艺品进行销售．已知该工艺品的长为，宽为，若该工艺品中间的水墨画的面积为，求画框（空白部分）的宽度． 18．（8分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作交的延长线于点，在上截取，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19．（10分）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比．如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点、，使，均为黄金三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)在第（1）小题的基础上，求的值． 20．（10分）如图，在正方形中，点在对角线上，，垂足为点，，垂足为点，连接、． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，且，求的长． 21．（12分）阅读与思考 利用对称性完成单尺作图 数学课上，老师和同学们一起对“利用对称性完成单尺作图”问题进行了探讨． 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、一条射线、或者连接线段，延长已知线段． 问题1：如图，在平行四边形中，E是边上一点．现要用单尺作图，求作平行四边形，且点F在上． 分析：平行四边形是中心对称图形，且▱与▱有公共的对称中心． 勤学小组的作法：①连接相交于点O；②连接并延长交于点F；③连接，即为所求． 问题2：已知菱形中，点E是边上一点．现要用单尺作图，在边上求作一点F，使． 分析：菱形是轴对称图形，对角线所在的直线就是它的一条对称轴．因为，所以点E与点F也关于直线对称． 善思小组的作法：①连接；②连接交于点P；③连接并延长交于点F，点F即为所求． 反思：以上作图都利用了图形的对称性，这种方法可以迁移到其他对称图形的作图中． 任务一：推理解释 (1)借助图2，证明勤学小组作出的四边形是平行四边形． 任务二：类比操作 已知菱形，请仅用无刻度直尺按照下面要求作图．（要求保留作图痕迹，不写作法） (2)如图5，点M，N分别为的中点，求作一个矩形，使P，Q分别在边上； (3)如图6，点M为边上一点，求作一个矩形，使得N，P，Q分别在上． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D D D C B B A 1．B 【分析】用最长与最短线段的乘积和中间两线段的乘积是否相等，判断线段是否成比例． 【详解】解：A．∵， ∴、、、不成比例； B．∵， ∴、、、成比例； C．∵， ∴、、、不成比例； D．∵， ∴、、、不成比例． 2．D 【分析】由矩形对角线性质得，结合已知角度求出的度数，利用直角三角形性质与勾股定理求解的长． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．D 【分析】对于形如或的一元二次方程，根据平方根的意义，直接开平方求出方程的根，这种方法叫直接开平方法． 【详解】解：A选项，，不符合或的形式，不符合题意； B选项，移项得，但，不符合题意； C选项，，不符合或的形式，不符合题意； D选项，移项得，符合的形式，符合题意． 4．D 【分析】根据相似三角形的判定定理，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，将选项中的乘积式转化为比例式，结合公共角进行判断即可． 【详解】 解： 由可得， ， ， 只有选项D符合题意． 5．D 【分析】主视图就是从正面看到的视图．注意：几何体内部空间轮廓线条在外面看不见时，用虚线表示． 【详解】解：该几何体的主视图是 ． 6．D 【分析】位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比，据此可得答案． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 7．C 【分析】先求出，由折叠得出，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，，， ， ∵沿折叠，点恰好落在对角线上的点处， ∴， ∴． 8．B 【分析】设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 依题意得：． 9．B 【分析】由三角形中位线定理得到，再由，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点，，，分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． 10．A 【分析】由题意可知：菱形的边长是5，则，则再根据根与系数的关系可得：，，代入中，得到关于m的方程后，即可求得m的值． 【详解】解：∵，的长分别是关于的方程的两根， 设方程的两根为和，可令，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中：由勾股定理得：， ∴，则， 由根与系数的关系得：，， ∴， 整理得：， 解得， 又∵， ∴， 解得， ∴． 11． 【分析】过点、分别向轴作垂线，构造一线三垂直模型，再利用正方形邻边相等、夹角为，证明，结合的线段长度，根据在第二象限，得到的坐标． 【详解】如图，过点作轴于点，过点作轴于点． 在正方形中，， ， ， ． ， ， ． ， ， ． 12． 【详解】解：若有个班，每个班都要和除自己之外的个班各赛1场，统计总场次为， ∴根据题意可列出的方程为（或）． 13． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到和的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，得，， ∴． 14． 6 【分析】由从上面看到的形状图可知底层小立方块的分布及数量；由从左面看到的形状图可知立体图形的层数及前后排的最高层数；综合两层信息计算最少数量． 【详解】解：由从上面看到的形状图可知，该立体图形底层共有5个小立方块，分为前后两排，其中后排3个，前排2个． 由从左面看到的形状图可知，该立体图形共有两层，且前后两排中，有一排最高为1层，另一排最高为2层 要使小立方块数量最少，则最高为1层的那排所有位置均为1层，最高为2层的那排中仅有1个位置为2层，其余为1层． 最少数量为 （个） 故填：6． 15． 【分析】先由正方形性质和中点条件，通过证，推得；再作辅助线，用证，结合求出相关线段长，最终在中由勾股定理计算的长度． 【详解】解：在正方形中，，， ∵、分别为、中点， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∴， ∴， 过点作于点，如图： ∴， ． 又∵， ， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴ 解得，， ∴，． ∴， 在中，． 16．(1) ， (2) ， 【分析】（1）用求根公式法解一元二次方程； （2）用分解因式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； （2）解：， 提公因式得：， 整理可得：， 可得：或， 当时，解得：， 当时，解得：， 方程的解为，． 17．画框（空白部分）的宽度为． 【分析】设画框（空白部分）的宽度为，根据该工艺品中间的水墨画的面积为列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设画框（空白部分）的宽度为， 由题意可得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：画框（空白部分）的宽度为． 18．(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 则平行四边形是矩形． (2) 【分析】（１）结合菱形的对边平行和对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证明四边形是平行四边形，再结合有一个直角的平行四边形是矩形即可得证； （２）利用菱形的对角线相互垂直和勾股定理，可得，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）见答案 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵且， ∴在中，． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角可知，则分别以点B和点C为圆心，为半径画弧交于点D和点E，即可解答； （2）连接，，根据“黄金三角形”的定义得到，，，可知为黄金三角形，根据“黄金三角形”的性质作答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，连接，． 由（1）知，，为黄金三角形， ∴，， ∴，，， ∴为黄金三角形，可得， 即， ∴． 20．(1)证明：因为，， 所以， 又在正方形中，， 所以四边形是矩形， 所以 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质以及垂直的定义得出矩形，然后根据矩形的对角线相等得出结论； （2）根据正方形的性质得出相等的边，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：因为四边形是正方形， 所以， 因为， 所以． 因为正方形的边长为4， 所以， 所以． 21．(1)如图． ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． (2)如图，矩形即为所求； (3)如图，矩形即为所求． 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）分别取的中点P，Q，连接，则分别为的中位线，可得，再结合菱形的性质可得，即可； （3）连接交于点O，连接，延长交于点P，连接交于点K，连接，并延长交于点Q，连接，并延长交于点N，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：理由：连接交于点O，连接，延长交于点P，连接交于点K，连接，并延长交于点Q，连接，并延长交于点N， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分，，平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形为平行四边形， ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年期中模拟试题（一） 满分：100分 测试范围：北师版九年级上册第1-4章 建议用时：90分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．解下列方程，能用直接开平方法的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 5．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 6．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，当对角线与的长度相等时，四边形的形状是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 10．如图，菱形的边长是5，两条对角线交于O点，且的长分别是关于x的方程的根，则m的值为（     ） A． B．5 C．5或 D．0 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如图，已知正方形地毯，建立如图所示平面直角坐标系．若点的坐标为，则顶点的坐标为________． 12．某校九年级举行篮球单循环比赛（每两个班之间比赛一场），共比赛 45 场．设共有 x 个班参赛，根据题意可列出的方程为__________． 13．若，是方程的两个根，则的值为_____． 14．一个立体图形由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的左面、上面看到的形状图，则这个立体图形至少是用______个小立方块搭成的． 15．在正方形中，点M、N分别是、边上的中点，连接，交于点O，连接．若，则的长为______． 三、解答题（本大题共6小题，共55分） 16．（8分）解方程： (1)； (2)． 17．（7分）水墨画（中国画）是由水和墨经过浓度调配所画出的画，是中国传统绘画形式之一，某公司给如图所示的矩形水墨画安装上一个四周宽度相等的画框（空白部分），制成一个矩形工艺品进行销售．已知该工艺品的长为，宽为，若该工艺品中间的水墨画的面积为，求画框（空白部分）的宽度． 18．（8分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作交的延长线于点，在上截取，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19．（10分）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比．如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点、，使，均为黄金三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)在第（1）小题的基础上，求的值． 20．（10分）如图，在正方形中，点在对角线上，，垂足为点，，垂足为点，连接、． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，且，求的长． 21．（12分）阅读与思考 利用对称性完成单尺作图 数学课上，老师和同学们一起对“利用对称性完成单尺作图”问题进行了探讨． 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、一条射线、或者连接线段，延长已知线段． 问题1：如图，在平行四边形中，E是边上一点．现要用单尺作图，求作平行四边形，且点F在上． 分析：平行四边形是中心对称图形，且▱与▱有公共的对称中心． 勤学小组的作法：①连接相交于点O；②连接并延长交于点F；③连接，即为所求． 问题2：已知菱形中，点E是边上一点．现要用单尺作图，在边上求作一点F，使． 分析：菱形是轴对称图形，对角线所在的直线就是它的一条对称轴．因为，所以点E与点F也关于直线对称． 善思小组的作法：①连接；②连接交于点P；③连接并延长交于点F，点F即为所求． 反思：以上作图都利用了图形的对称性，这种方法可以迁移到其他对称图形的作图中． 任务一：推理解释 (1)借助图2，证明勤学小组作出的四边形是平行四边形． 任务二：类比操作 已知菱形，请仅用无刻度直尺按照下面要求作图．（要求保留作图痕迹，不写作法） (2)如图5，点M，N分别为的中点，求作一个矩形，使P，Q分别在边上； (3)如图6，点M为边上一点，求作一个矩形，使得N，P，Q分别在上． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $