专题01 期中热点题型突破（1-4章）（四大题型）（高效培优期中专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题01 期中热点题型突破（四大题型） 考点01 特殊平行四边形热点题型（12题） 考点02 一元二次方程热点题型（10题） 考点03 相似三角形热点题型（12题） 考点04 视图投影热点题型（12题） 考点01 特殊平行四边形热点题型（12题） 1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在菱形中，，，则， ∴为等边三角形，∴，设，则， ∵，∴，在中，，， ∴，由，得，解得，故，， 过P作于点M，∵，∴， 在中，，， ∴，∴， 在中，，由勾股定理可得：， 在中，，由勾股定理可得：． 2．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，，矩形的顶点，分别在、上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中，点到点的最大距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，取的中点E，连接、、， ，，， ，四边形是矩形，， ，根据三角形的三边关系，， 当过点E时最大，最大值为． 3．（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在正方形中，点，，分别为，，上的点，连接，交于点，连接．若，，，，且，则的长度为（     ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：过点作于点，交于点，连接，则， 正方形中，，，， 四边形和四边形都为矩形，， 在和中，，， 在中，，在中，， ，，，． ，，，垂直平分，， ，，， ，，，是等边三角形， ，，． 是等边三角形，，， ，，， 在中，根据勾股定理得，，． 4．（26-27九年级上·辽宁本溪·阶段检测）如图，正方形的边长为，为边的中点，连接，过点作，垂足为，为上一点，且，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴， ∵为边的中点，，∴，∴，即， ∵，∴，∴， 根据勾股定理得：， 解得：（负值舍去），∴． 5．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在菱形中，，，E为上一动点，F为中点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：连接，， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∵，∴，∴，∴， ∴当点在上时，取得最小值， ∵，，∴是等边三角形，∴ ∵F为中点，∴，， ∴，∴的最小值为． 6．（26-27九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，在菱形中，点为菱形外一点，连接，，点在上，，连接，，若，，则线段的长为______． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形， ， ，，∴ ． ，． ，点在上， ，． 在中， ， ∵ ， ． ∵在和中 ， ， ．． 过点作于点 ，，是等腰直角三角形，． ，， ．中， ， ．∴．∵， ．． 7．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，平行四边形可分割成一个正方形和两组全等的直角三角形：与，与．若平行四边形面积为20，，则的长为________． 【答案】 【详解】 解：设正方形的边长为，则， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 设，则 ， ， ，， ， 在 中，， 平行四边形由正方形和两组全等的直角三角形组成， ， ， ，，， 在 中，由勾股定理得： ． 8．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在矩形中，，点E为上一点，，连接，作的平分线交于点F，连接交于点G．当时，的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，延长，交的延长线于M，延长，交的延长线于N． ∵在中，，∴． ∵，∴．∵，∴， ∴，∴，． ∵在中，，∴． ∵平分，，∴，∴． ∵，∴，∴，即， ∴． 9．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，，则线段的长为______． 【答案】 【详解】解：取，的中点为，，连接，，   四边形为菱形，，，， 为的中点，为的中点，为的中位线， ，，同理可得，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，即， ∴，∴，∴，， ∵点是的中点，，， ，即，，． 10．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】(1)如图1，已知，垂足为．求证：； (2)如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】(3)如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵四边形为正方形， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； （2）解：∵四边形为正方形，∴， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， 根据解析（1），同理可得：； （3）解：连接，交于点H，过点M作于点G，如图所示：则， ∵四边形为正方形，∴，， ∴四边形为矩形，∴，∴， 根据折叠可得：，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴在中，根据勾股定理得：． 11．（25-26八年级下·河北保定·期末）为了研究矩形折叠过程中的数学问题和有关结论，数学综合与实践小组的同学进行了如下的探究性学习． 【探究发现】如图①．若四边形是正方形，为边上的一点，沿所在直线折叠，点落在正方形内部点处，延长交于点． (1)求证：；(2)当是的中点时，试判断与的数量关系，并加以证明； (3)【拓展应用】如图②，若四边形是矩形，，，点在边上，且，沿所在直线折叠，使点落在矩形外部点处，交于点，交于点，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵四边形是正方形∴， 由折叠得，，∴， 又∵∴∴； (2)，证明如下∶当是的中点时，设，则，设， ∴，， ∵四边形是正方形∴∴ ∴整理得，∴； （3）解：如图，以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，延长到点H，使，延长到点I，使，连接，延长交于点J， ∵四边形是矩形，，，∴， ∵点在边上，且，∴，， ∴，，即点E是的中点，∵∴ ∵四边形是矩形∴，∴四边形是平行四边形 ∵∴四边形是矩形∵∴四边形是正方形 ∴，轴由（2）得，∴，∴， ∴设所在直线的表达式为 将，代入得，解得 ∴所在直线的表达式为∴当时，解得∴∴． 12．（25-26八年级下·贵州铜仁·期末）已知在菱形中，，，N是上的一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接． (1)如图1，的度数为___________；线段与线段的数量关系为_________； (2)如图2，连接，，试探究线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若点N是射线上的动点，且，求的长． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴，，∴， 又∵， ∴； 又∵，，∴；   ∴； (2)解：，理由如下：    ∵是菱形的对角线，， ∴，，， ∴，；又∵， ∴； 又∵，，∴；   ∴，； 又∵，∴； 在中∴，又∵，∴； （3）解：过作，交延长线点E， ∵四边形是菱形，，∠．∴，， 在中，，，∴，． 在中，，．∴； ①当N在线段上时，如上图 ∵．∴；由（2），∴ ； ②当N在的延长线时，如下图 ∵．∴；由（2） ∴，综上，长为或． 考点02 一元二次方程热点题型（10题） 1．（25-26九年级下·安徽·开学考试）一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元， 由题意可得，，解得， 经检验，是原方程的解，符合题意，∴， ∴第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元， ∴根据第二天总利润为元可得， ， 整理得，，解得，， 当时，，， ∵，∴符合题意；当，， ∵，∴不合题意，舍去；∴，故选：． 2．（25-26八年级下·北京·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数的最小值为__________． 【答案】 且 2 【详解】解：∵方程有两个不相等的实根，∴该方程为一元二次方程，可得， ∵方程有两个不相等的实根，∴， 解得，∴的取值范围是且； 若方程的两个实根均为有理数，由求根公式可知，判别式必须是完全平方数，即 为完全平方数 设（为正整数），则， 当时，，不符合，舍去， 当时，，符合条件，∴整数的最小值为． 3．（26-27九年级上·湖北黄石·阶段检测）已知关于x的两个一元二次方程和有且只有一个公共根，则m的值为________． 【答案】或 【详解】解：设两个方程的公共根为，∵同时满足两个一元二次方程， ∴，由②①得，解得：或． 当时，代入得，解得． 验证：当时，变为， 解得：方程根为和，变成， 解得：方程根为两个相等的，两方程只有一个公共根，符合条件． 当时，代入得，整理得，解得． 验证：当时，变为，解得：方程根为和， 变成， 解得：方程根为和，两方程只有一个公共根，符合条件．∴的值为或． 4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知实数满足，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：∵ 代入，得左边，∴ ， 对两边同时除以，得， ∵ ，且，即， ∴ 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得，， 拆分所求式子：． 5．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）小明在与对话中输入如下的文字，当敲下回车键后，给出的这个数应该是______． 【答案】4 【详解】解：设这个正数为x，由题意得，，∴， ∴，∴或，解得或（舍去）， ∴给出的这个数应该是4，故答案为：4． 6．（25-26九年级上·山西·阶段检测）综合与探究 请阅读下面的材料．已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 【答案】(1)(2)(3)，． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得，化简，得； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得，整理，得； （3）解：将所求方程整理可得：，令，则， 则方程的两根比的两个实数根大2， ∴的两个实数根分别是，． 7．（25-26九年级上·山东东营·校考期中）列方程解应用题 (1)某市为了打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治理与园林绿化工程．已知2023年投资万元，2025年投资万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同，求平均每年投资增长的百分率． (2)水果店老板以每千克元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克元的价格出售，每天可售出千克．通过调查发现，这种水果的销售价每降低元，每天可多售出千克，为保证每天至少售出千克，老板决定降价出售．若想每天盈利元，老板需将每千克的售价定为多少元？ 【答案】(1)平均每年投资增长的百分率为 (2)老板需将每千克的售价定为元 【详解】（1）解：设平均每年投资增长的百分率为， 由题意得，解得（负值舍去）， 答：平均每年投资增长的百分率为； （2）解：设老板需将每千克的售价定为元， 由题意得，解得， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 答：老板需将每千克的售价定为元． 8．（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数；(3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场，∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个，所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去），则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下：因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以，解得，（不符合题意，舍去）， 所以，则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】(1)；；(2)(3)8 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：，， ，，，，，∵，∴． （3）解：∵在四边形中，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴四边形面积的最大值为． 10．（2026·福建漳州·模拟预测）阅读、综合与应用． 【阅读材料】在初中数学的学习中，我们已经知道一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程的两根为，，则，．这一结论可以帮助我们在不解方程的情况下，快速得到根与系数的关系，为解决复杂的数学问题提供了有力的工具．当我们将研究范围从二次方程拓展到更高次的方程时，会发现类似的规律依然存在．下面，我们就来进一步探究，感受数学知识的连贯性与拓展性．对于一般的一元三次函数，当时，我们得到一个一元三次方程．这个方程总有三个根（重根按重数计算），记为，，，这三个根与系数a，b，c，d之间存在着必然的联系． 推广1：若一元三次方程的三个根分别为，，，则三次多项式可以因式分解为，即 推广2：一般地，对于一元三次方程，如果它的三个根分别为，，，那么． 拓展1：图象的对称性我们知道，二次函数的图象是一条抛物线，具有轴对称性．三次函数的图象是一条连续的曲线，它具有中心对称性．也就是说，在平面直角坐标系中，总能找到一个点，使得整个三次函数的图象关于这个点对称，这个点叫做三次函数的对称中心．经过数学研究发现，对于一个三次函数，其对称中心的坐标为 拓展2：超级韦达定理对于任意实数p，我们可以构造一个表达式通过展开和代换，可以发现它与原三次函数有着直接的联系，即，这个公式在处理与根的差相关的乘积问题时，能起到化繁为简的神奇作用． 【问题解决】请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)已知方程的三个根分别为，，． ①求三次函数的图象的对称中心的坐标； ②不解方程，求的值． (2)已知三次函数的图象关于点中心对称，且，求d的值，并分别用含a的式子表示b，c． (3)证明推广2的结论． 【答案】(1)，；(2)，，；(3)见解析 【详解】（1）解：①根据材料给出的结论：三次函数的对称中心为， ∴三次函数的图象的对称中心的横坐标为，纵坐标为，即对称中心坐标为； ②∵，∴； （2）解：∵对称中心为，∴，∴，， ∵，∴，即； （3）证明： 由推广1可知，对任意实数，恒有等式， 则，， 解得：，，． 考点03 相似三角形热点题型（12题） 1．（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知平分，垂直平分，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴∵，∴， ∴，∴，∴，∴，∴． 2．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）如图，在菱形ABCD中，，B，D两点间的距离是8，点M，N分别为边上不与端点重合的动点，且，将沿翻折，得到，分别交于E，F两点，当为面积的一半时，的长为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接，交于点O，∵四边形是菱形，， ∴，， 根据勾股定理，得，∴． 根据折叠的性质得，． ∵，∴，∴． ∵，∴，∴， 所以当为面积一半时，的长为． 3．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）如图，在矩形中，交于，垂足为，平分交于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：如图，作于点， 在和中， ，∴． ∵，，∴．又∵，∴四边形是矩形，∴． ∵，，，∴，故①错误； ∵，∴，∵，，∴， ∴，故②正确； ∵，，∴． 在和中，，， ∴，． 又∵，∴，∴． 又∵，∴，．故③正确； 如图，作于点， 在和中，∴，∴． ∵，，∴，， ，，故④正确．综上，结论正确的有3个：②③④．故选：C． 4．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）已知：如图，是等边三角形，点分别在边上，．若，且，则的长为___________． 【答案】2 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵， ∴，∴，∴，∴， 解得（已检验是原方程的解）或（舍去）． 5．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，点D、E分别在的边、上，若，点G在上，，连接并延长交于点F，则________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵，∴，，设， ∴，，∴，∴． 6．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，，，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠，使点B的对应点始终落在边AC上，若与相似，则BM的长为_____． 【答案】或 【详解】解：情况一：如图，当时，，此时，点与点重合， ，，是等腰直角三角形， 又，点是的中点，． 情况二：如图，当时，， ，，，是等腰直角三角形，， 设，则，由勾股定理，， ，解得，（舍去） 综上所述，的长为或． 7．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点，连接； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点； ④连接并延长交于点，若恰好为的中点，则的长为______． 【答案】 【详解】解：由题中作图可知，， ，，则， 恰好为的中点，， ，，则， 解得或（负值，舍去）． 8．（25-26九年级下·辽宁大连·期中）如图，中，，，是的角平分线，过点C作的垂线，交的延长线于点E．若设，，则y关于x的函数解析式为______． 【答案】 【详解】解：延长、交于点， ∵是的角平分线，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，， ∴，，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 由题意可得，∴y关于x的函数解析式为． 9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，若，则正方形的面积是______．    【答案】 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ，由正方形的性质可得轴，轴， ，，， ，，， 正方形的边长为，，，    正方形的边长为，， ， 同理可得， ，，正方形的边长为，……， 以此类推可知，正方形的边长为，∴正方形的边长为 ∴正方形的面积是．故答案为：． 10．（2026·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 如图1，点C为线段上一点，点C把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点C是线段的一个黄金分割点，k为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设，，则， …… 任务：(1)概念理解：根据材料可知，一条线段有________个黄金分割点； (2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程； (3)拓展应用：如图2，利用无刻度的直尺和圆规，作线段的黄金分割点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】（1）解：∵一条线段上有两个不同的点可以将线段分成不相等的两条线段，且满足较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，∴一条线段有2个黄金分割点； (2)解：设，，则， ∵，∴，∴，∴， 解得，（舍去），∴． (3)如图所示，点即为所求．（答案不唯一） 证明：设的长度为，∵为的垂直平分线，∴， 又∵，∴在中，由勾股定理得，， ∵，∴， ∵，∴． 11．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，分别是边，的中点，，相交于点，求证：，证明：连接． (1)请根据素材提示，结合图①，写出完整的证明过程． (2)结论应用：在平行四边形中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点． ①如图②，若为正方形，且，则的长为______； ②如图③，连接交于点，若四边形的面积为，则的面积为______． 【答案】(1)证明：连接， ∵，分别是边，的中点，∴是的中位线， ∴，，∴， ∴，∴，， ∴，， ∴，，∴． （2）解：①∵四边形是正方形，对角线、交于点，为边的中点， ∴，，， ∴， ∴，∴，∴，， ∵四边形是正方形，∴，，∴， ∴，，∴． ②如图，连接，过点作于点，作于点， ∵在平行四边形中，对角线、交于点，为边的中点， ∴，∴是的中位线，∴，，∴， ∴，∴， ∴，同理可得是的中位线， ∴，，∴，∴， ∴，∴， ∴， ∵，∴， ∵四边形是平行四边形，∴． 12．（2026·四川成都·模拟预测）探究不同情境，解决下面问题： (1)问题发现：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，填空：① ；②的度数为 ． (2)拓展探究：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，请判断与之间的数量关系以及与的数量关系，并说明理由． (3)解决问题：如图，在中，，，，是边上一动点（不与点重合），，，连接．若，请直接写出的长． 【详解】（1）解：①∵，，∴，∴， ∵，， ∴，，即， 在和中，，∴， ∴，，∴； ②由①可得； (2)，，理由如下： ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，； （3）解：过点作于点，当点在上时，如图： ∵，∴为等腰直角三角形， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴， ∵，，∴，∴，即， ∵，即， ∴，∴，∴，∴，∴， 当点在的延长线上时，如图： ∵，∴为等腰直角三角形， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，即， ∴，∴，∴，∴，∴， 综上所述，的长为或． 考点04 视图投影热点题型（12题） 1．（2026·河北唐山·一模）图中几何体是由6个相同的小正方体搭成的，小正方体的棱长为，则左视图的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：图中的几何体的左视图如下： 共有４个小正方形，面积为． 2．（2026·江苏南京·二模）如图，用12个大小相同的小正方体（共3种颜色，每种颜色各4个）组成一个长方体，则下列几何体中与图中黑色正方体组成的几何体相同的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题可知图中黑色正方体组成的几何体相同的是． 3．（2026·安徽阜阳·二模）一个几何体按如图所示的方式水平放置，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：这个几何体的左视图为一个正方形，割线可视，为左面对角线（由左上至右下）的实线． 4．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，台阶顶端距地面高度为，其在地面上的影长， 此时物高与影长的比为， 树梢的影子落在台阶的左端点处，该点距地面高度为， 该点距大树的水平距离为，设大树的高度为， ，解得，大树的高度约是． 5．（26-27九年级上·四川·期中）如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：如图，过作，交于点， ∵一条线段在平面内的正投影为，∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴锐角，即与的夹角为． 6．（25-26九年级下·江苏南京·期中）如图所示，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵小路的正中间有一路灯，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的变化关系为：y随x的增大而减小，∴用图象刻画出来应为B．故选：B． 7．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）仰仪是元代天文学家郭守敬设计制造的一种天文仪器，通过观察仰釜（铜制半球）内壁上太阳像的位置，结合坐标网刻度，能直接读出太阳的方位和高度，进而推算出具体时间，同时必能观测日食等天文现象．在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的是_____投影．（填写“中心”或“平行”） 【答案】平行 【详解】解：太阳光属于平行光线，在太阳光照射下，物体形成的投影是平行投影； 而中心投影是由点光源发出的光线形成的投影，与太阳光的光线特征不符．故答案为：平行 ． 8．（26-27九年级上·成都·单元复习）如图①是一个直四棱柱，图②是它的三种视图，其中俯视图为一个等腰梯形，根据图中的数据，计算这个直四棱柱的表面积为__________． 【答案】240 【详解】解：由题意可知，等腰梯形的上底是2，下底是，高是4，棱柱的侧棱为10， 如图，设底面为等腰梯形，过点作于点，则， 由题意得，，， ∴在中，， ∴直四棱柱的表面积为． 9．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高米．当地中午时，物高与影长的比是． (1)如图，当地中午时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为______米． (2)当地下午时，物高与影长的比是．如图，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长． 【答案】(1)(2)米 【详解】（1）解：由题意得，，解得米，故答案为：； （2）解：如图，作于点，则米，， 由题意得，，∴米，∴米， 答：落在乙楼上的影子的长为米． 10．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯在阳光下的影子；(2)测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 【答案】(1)解：由题意作图如下： （2）解：如图，设直线交于点J． 由题意，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 11．（24-25九年级上·广东河源·阶段检测）某一个周末张明去爸爸的工作室玩，张明发现爸爸桌面上设计的某个零件三视图如下图所示，爸爸见张明对设计图纸如此感兴趣就考了张明如下几个问题，你能帮张明解决这些问题吗？ (1)此物体是 ；(2)请你求出此物体的表面积；(3)如果这个零件是用来支撑圆桌的，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为的圆．已知圆桌的高度为，圆桌面的半径为，求吊灯距地面的高度． 【答案】(1)圆柱(2)(3) 【详解】（1）解：∵主视图和左视图是矩形，俯视图是圆， ∴此物体是圆柱．故答案为：圆柱； （2）解； （3）解：如图， ∵圆桌在地板上的投影是面积为的圆∴，∴（负值舍去）． ∵，∴， ∴，∴，解得． 12．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末） 探究活动主题 物体在不同光源下的影子 情境一： 阳光下的测量 如图1，广场上的景观灯与地面垂直．某日上午，身高的小陈刚好站在景观灯影子的顶端点A处，并做了标记．测量发现景观灯底座中心O，影子顶端A，小陈影子顶端M三点共线．此时小陈的影子长，且点A到景观灯底座中心O的距离． 情境二： 灯光下的变化 如图2，到了晚上，小陈从做了标记的A点沿着A→O方向走了到达B点． 问题解决 （1）请根据情境一中的数据求出景观灯的高度； （2）请在图2中画出小陈站在A点和B点时，在景观灯（点P为光源）照射下形成的影子； （3）判断小陈在B点时影子的长度比在A点时影子的长度变长了还是变短了，并求出变化了多少米． 【答案】（1）景观灯的高为17米； （2）如图所示，线段和线段分别是小陈站在A点和B点时，在景观灯照射下形成的影子； （3）小陈影子的长度变短了，变短了1米 【详解】解：（1）根据题意得，，， ，，， 答：景观灯的高为17米； （2）略 （3）如（2）图所示，根据题意得，， ，， ，，，，解得：， ，，，， ，，， ，解得：，， 答：小陈影子的长度变短了，变短了1米． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中热点题型突破（四大题型） 考点01 特殊平行四边形热点题型（12题） 考点02 一元二次方程热点题型（10题） 考点03 相似三角形热点题型（12题） 考点04 视图投影热点题型（12题） 考点01 特殊平行四边形热点题型（12题） 1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，，矩形的顶点，分别在、上，当在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中，点到点的最大距离为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在正方形中，点，，分别为，，上的点，连接，交于点，连接．若，，，，且，则的长度为（     ） A． B． C．4 D．3 4．（26-27九年级上·辽宁本溪·阶段检测）如图，正方形的边长为，为边的中点，连接，过点作，垂足为，为上一点，且，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 5．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在菱形中，，，E为上一动点，F为中点，则的最小值为______． 6．（26-27九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，在菱形中，点为菱形外一点，连接，，点在上，，连接，，若，，则线段的长为______． 7．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，平行四边形可分割成一个正方形和两组全等的直角三角形：与，与．若平行四边形面积为20，，则的长为________． 8．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在矩形中，，点E为上一点，，连接，作的平分线交于点F，连接交于点G．当时，的长为______． 9．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，，则线段的长为______． 10．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】(1)如图1，已知，垂足为．求证：； (2)如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】(3)如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 11．（25-26八年级下·河北保定·期末）为了研究矩形折叠过程中的数学问题和有关结论，数学综合与实践小组的同学进行了如下的探究性学习． 【探究发现】如图①．若四边形是正方形，为边上的一点，沿所在直线折叠，点落在正方形内部点处，延长交于点． (1)求证：；(2)当是的中点时，试判断与的数量关系，并加以证明； (3)【拓展应用】如图②，若四边形是矩形，，，点在边上，且，沿所在直线折叠，使点落在矩形外部点处，交于点，交于点，请直接写出线段的长． 12．（25-26八年级下·贵州铜仁·期末）已知在菱形中，，，N是上的一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接． (1)如图1，的度数为___________；线段与线段的数量关系为_________； (2)如图2，连接，，试探究线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若点N是射线上的动点，且，求的长． 考点02 一元二次方程热点题型（10题） 1．（25-26九年级下·安徽·开学考试）一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是__________________；若该方程的两个实根均为有理数，则整数的最小值为__________． 3．（26-27九年级上·湖北黄石·阶段检测）已知关于x的两个一元二次方程和有且只有一个公共根，则m的值为________． 4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知实数满足，则的值是___________． 5．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）小明在与对话中输入如下的文字，当敲下回车键后，给出的这个数应该是______． 6．（25-26九年级上·山西·阶段检测）综合与探究 请阅读下面的材料．已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 7．（25-26九年级上·山东东营·校考期中）列方程解应用题 (1)某市为了打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治理与园林绿化工程．已知2023年投资万元，2025年投资万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同，求平均每年投资增长的百分率． (2)水果店老板以每千克元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克元的价格出售，每天可售出千克．通过调查发现，这种水果的销售价每降低元，每天可多售出千克，为保证每天至少售出千克，老板决定降价出售．若想每天盈利元，老板需将每千克的售价定为多少元？ 8．（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数；(3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 10．（2026·福建漳州·模拟预测）阅读、综合与应用． 【阅读材料】在初中数学的学习中，我们已经知道一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程的两根为，，则，．这一结论可以帮助我们在不解方程的情况下，快速得到根与系数的关系，为解决复杂的数学问题提供了有力的工具．当我们将研究范围从二次方程拓展到更高次的方程时，会发现类似的规律依然存在．下面，我们就来进一步探究，感受数学知识的连贯性与拓展性．对于一般的一元三次函数，当时，我们得到一个一元三次方程．这个方程总有三个根（重根按重数计算），记为，，，这三个根与系数a，b，c，d之间存在着必然的联系． 推广1：若一元三次方程的三个根分别为，，，则三次多项式可以因式分解为，即 推广2：一般地，对于一元三次方程，如果它的三个根分别为，，，那么． 拓展1：图象的对称性我们知道，二次函数的图象是一条抛物线，具有轴对称性．三次函数的图象是一条连续的曲线，它具有中心对称性．也就是说，在平面直角坐标系中，总能找到一个点，使得整个三次函数的图象关于这个点对称，这个点叫做三次函数的对称中心．经过数学研究发现，对于一个三次函数，其对称中心的坐标为 拓展2：超级韦达定理对于任意实数p，我们可以构造一个表达式通过展开和代换，可以发现它与原三次函数有着直接的联系，即，这个公式在处理与根的差相关的乘积问题时，能起到化繁为简的神奇作用． 【问题解决】请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)已知方程的三个根分别为，，． ①求三次函数的图象的对称中心的坐标； ②不解方程，求的值． (2)已知三次函数的图象关于点中心对称，且，求d的值，并分别用含a的式子表示b，c． (3)证明推广2的结论． 考点03 相似三角形热点题型（12题） 1．（26-27九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河南周口·开学考试）如图，在菱形ABCD中，，B，D两点间的距离是8，点M，N分别为边上不与端点重合的动点，且，将沿翻折，得到，分别交于E，F两点，当为面积的一半时，的长为（   ） A． B． C．4 D．6 3．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）如图，在矩形中，交于，垂足为，平分交于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）已知：如图，是等边三角形，点分别在边上，．若，且，则的长为___________． 5．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，点D、E分别在的边、上，若，点G在上，，连接并延长交于点F，则________． 6．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，，，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠，使点B的对应点始终落在边AC上，若与相似，则BM的长为_____． 7．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点，连接； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点； ④连接并延长交于点，若恰好为的中点，则的长为______． 8．（25-26九年级下·辽宁大连·期中）如图，中，，，是的角平分线，过点C作的垂线，交的延长线于点E．若设，，则y关于x的函数解析式为______． 9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，若，则正方形的面积是______．    10．（2026·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 如图1，点C为线段上一点，点C把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点C是线段的一个黄金分割点，k为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设，，则， …… 任务：(1)概念理解：根据材料可知，一条线段有________个黄金分割点； (2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程； (3)拓展应用：如图2，利用无刻度的直尺和圆规，作线段的黄金分割点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 11．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，分别是边，的中点，，相交于点，求证：，证明：连接． (1)请根据素材提示，结合图①，写出完整的证明过程． (2)结论应用：在平行四边形中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点． ①如图②，若为正方形，且，则的长为______； ②如图③，连接交于点，若四边形的面积为，则的面积为______． 12．（2026·四川成都·模拟预测）探究不同情境，解决下面问题： (1)问题发现：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，填空：① ；②的度数为 ． (2)拓展探究：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，请判断与之间的数量关系以及与的数量关系，并说明理由． (3)解决问题：如图，在中，，，，是边上一动点（不与点重合），，，连接．若，请直接写出的长． 考点04 视图投影热点题型（12题） 1．（2026·河北唐山·一模）图中几何体是由6个相同的小正方体搭成的，小正方体的棱长为，则左视图的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·二模）如图，用12个大小相同的小正方体（共3种颜色，每种颜色各4个）组成一个长方体，则下列几何体中与图中黑色正方体组成的几何体相同的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽阜阳·二模）一个几何体按如图所示的方式水平放置，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·四川·期中）如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 6．（25-26九年级下·江苏南京·期中）如图所示，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）仰仪是元代天文学家郭守敬设计制造的一种天文仪器，通过观察仰釜（铜制半球）内壁上太阳像的位置，结合坐标网刻度，能直接读出太阳的方位和高度，进而推算出具体时间，同时必能观测日食等天文现象．在太阳光照射下玑板在仰釜上形成的是_____投影．（填写“中心”或“平行”） 8．（26-27九年级上·成都·单元复习）如图①是一个直四棱柱，图②是它的三种视图，其中俯视图为一个等腰梯形，根据图中的数据，计算这个直四棱柱的表面积为__________． 9．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高米．当地中午时，物高与影长的比是． (1)如图，当地中午时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为______米． (2)当地下午时，物高与影长的比是．如图，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长． 10．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯在阳光下的影子；(2)测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 11．（24-25九年级上·广东河源·阶段检测）某一个周末张明去爸爸的工作室玩，张明发现爸爸桌面上设计的某个零件三视图如下图所示，爸爸见张明对设计图纸如此感兴趣就考了张明如下几个问题，你能帮张明解决这些问题吗？ (1)此物体是 ；(2)请你求出此物体的表面积；(3)如果这个零件是用来支撑圆桌的，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为的圆．已知圆桌的高度为，圆桌面的半径为，求吊灯距地面的高度． 12．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末） 探究活动主题 物体在不同光源下的影子 情境一： 阳光下的测量 如图1，广场上的景观灯与地面垂直．某日上午，身高的小陈刚好站在景观灯影子的顶端点A处，并做了标记．测量发现景观灯底座中心O，影子顶端A，小陈影子顶端M三点共线．此时小陈的影子长，且点A到景观灯底座中心O的距离． 情境二： 灯光下的变化 如图2，到了晚上，小陈从做了标记的A点沿着A→O方向走了到达B点． 问题解决 （1）请根据情境一中的数据求出景观灯的高度； （2）请在图2中画出小陈站在A点和B点时，在景观灯（点P为光源）照射下形成的影子； （3）判断小陈在B点时影子的长度比在A点时影子的长度变长了还是变短了，并求出变化了多少米． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $