立体几何专项训练测试卷（基础版）-2027届高三数学一轮复习

立体几何专项训练测试卷（基础版） （满分 150 分　考试时间 120 分钟） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： ① 若 ，，则 ∥； ② 若 ，，则 ∥； ③ 若 ∥，∥，，则 ∥； ④ 若 ，，∥，∥，则 ∥． 其中真命题的个数为（　　） A． B． C． D． 2．已知直三棱柱 的顶点都在球 的表面上，，，，则球 的表面积为（　　） A． B． C． D． 3．已知正四棱台的上、下底面边长分别为 和 ，侧棱长为 ，则该正四棱台的体积为（　　） A． B． C． D． 4．把棱长为 的正方体的八个顶点各截去一个三条侧棱长均为 的三棱锥，得到一个多面体，则该多面体的表面积为（　　） A． B． C． D． 5．在棱长为 的正方体 中，点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 6．一个直三棱柱形容器 的底面是边长为 的正三角形，侧棱长为 ，容器内装有适量的水．将该容器的侧面 平放在水平桌面上，此时水面恰好经过棱 的中点．若再把容器竖放，使底面 水平放置，则水面的高度为（　　） A． B． C． D． 7．已知正四面体的棱长为 ，球 与该正四面体的六条棱都相切，则球 的表面积为（　　） A． B． C． D． 8．在棱长为 的正方体 中，点 是棱 上的动点，点 是体对角线 上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．在棱长为 的正方体 中，下列说法正确的是（　　） A．直线 与 所成的角为 B．平面 ∥ 平面 C．直线 与平面 所成角的正切值为 D．三棱锥 的体积为 10．已知球 的半径为 ，点 在球 的表面上，点 在平面 上的射影 恰为 的外心，且 ，， 三点也在球 的表面上，则下列结论正确的是（　　） A．三棱锥 为正三棱锥 B．若 ，则平面 平面 C． 面积的最大值为 D．三棱锥 体积的最大值为 11．已知正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，则下列结论正确的是（　　） A．该四棱锥的高为 B．侧面与底面所成二面角的正切值为 C．该四棱锥的表面积为 D．该四棱锥外接球的体积为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知正四棱柱 的体积为 ，，点 是底面 内（含边界）的一动点，且 ，则点 的轨迹长度为______． 13．在正三棱锥 中，，侧面与底面所成二面角的大小为 ，则该正三棱锥外接球的半径为______． 14．在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点，则过 ，， 三点的平面截该正方体所得截面的面积为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在直三棱柱 中，，， 为棱 的中点， 为棱 的中点． (1) 证明：∥ 平面 ； (2) 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．（13分） 16．在平行六面体 中，，，，，．设 ，，， 为棱 的中点． (1) 用 ，， 表示 ； (2) 求线段 的长； (3) 求异面直线 与 所成角的余弦值．（15分） 17．如图，在三棱锥 中， 平面 ，，， 为棱 的中点． (1) 证明：； (2) 求二面角 的余弦值．（15分） 18．如图，在直四棱柱 中，底面 为直角梯形，∥，，，，， 为棱 的中点， 为棱 的中点． (1) 证明：∥ 平面 ； (2) 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．（17分） 19．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形，， 平面 ，， 为棱 的中点． (1) 证明： 平面 ； (2) 求直线 与平面 所成角的正弦值．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何专项训练测试卷（基础版） （满分 150 分　考试时间 120 分钟） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： ① 若 ，，则 ∥； ② 若 ，，则 ∥； ③ 若 ∥，∥，，则 ∥； ④ 若 ，，∥，∥，则 ∥． 其中真命题的个数为 A． B． C． D． 1．B 【解析】① 由线面垂直的性质知，垂直于同一个平面的两条直线平行，① 正确． ② 两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面未必平行．例如墙角处的两面墙都垂直于地面，但它们相交，② 错误． ③ 设 为 内一点，过 与 作平面，它与 交于 ，与 交于 ．由 ∥ 得 ∥，由 ∥ 得 ∥，所以 ∥． 又 ，，所以 ∥；而 ，，所以 ∥，于是 ∥，③ 正确． ④ 设 与 相交于直线 ，在 内取两条都平行于 的直线 ，，则 ∥，∥，但 与 相交，④ 错误． 所以真命题有 2 个，故选 B． 2．已知直三棱柱 的顶点都在球 的表面上，，，，则球 的表面积为 A． B． C． D． 2．A 【解析】在 中，由余弦定理得 ，所以 ． 设 外接圆的半径为 ，由正弦定理得 ，所以 ． 直三棱柱的外接球球心在上下底面外心连线的中点处，球心到底面的距离 ． 设球 的半径为 ，则 ， 所以球 的表面积 ，故选 A． 3．已知正四棱台的上、下底面边长分别为 和 ，侧棱长为 ，则该正四棱台的体积为 A． B． C． D． 3．C 【解析】正四棱台上、下底面的对角线长分别为 和 ． 在过两底面中心的轴截面中，上、下底面的半对角线之差为 ，侧棱长为 ， 所以棱台的高 ． 由台体体积公式得 （， 分别为上、下底面积），所以 ，故选 C． 4．把棱长为 的正方体的八个顶点各截去一个三条侧棱长均为 的三棱锥，得到一个多面体，则该多面体的表面积为 A． B． C． D． 4．A 【解析】截去八个三棱锥后，原正方体的每个面剩下一个八边形，这个八边形由原来的正方形去掉四个直角边长均为 的等腰直角三角形得到， 其面积 ； 八个截面都是边长为 的正三角形，每个截面的面积 ． 所以该多面体的表面积 ，故选 A． 5．在棱长为 的正方体 中，点 到平面 的距离为 A． B． C． D． 5．B 【解析】以 为原点，，， 的方向分别为 ，， 轴正方向建系，则 ，，，． 所以 ，． 设平面 的法向量为 ，由 ，，取 得 ． 又 ，所以点 到平面 的距离 ，故选 B． 6．一个直三棱柱形容器 的底面是边长为 的正三角形，侧棱长为 ，容器内装有适量的水．将该容器的侧面 平放在水平桌面上，此时水面恰好经过棱 的中点．若再把容器竖放，使底面 水平放置，则水面的高度为 A． B． C． D． 6．C 【解析】底面正三角形的高为 ． 侧面 平放时，水体是一个以梯形为底面、以 为高的柱体： 该梯形下底为 ，上底为水面宽度，由中位线知为 ，梯形的高为 （即水面到 的距离，等于正三角形高的一半）， 所以水的体积 ． 竖放时，水的体积 ． 由 得 ，故选 C． 7．已知正四面体的棱长为 ，球 与该正四面体的六条棱都相切，则球 的表面积为 A． B． C． D． 7．B 【解析】设正四面体 的棱长为 ，中心为 ，棱 的中点为 ． 因为 是中心到棱 的距离，而球 与六条棱都相切，所以棱切球半径 ． 设底面 的中心为 ，则 在高 上，且 ，． 又 平面 ， 平面 ，所以 ，在 中 ． 由 ， 得 ． 在直角 中，，故 ． 当 时 ，所以球 的表面积 ，故选 B． 8．在棱长为 的正方体 中，点 是棱 上的动点，点 是体对角线 上的动点，则 的最小值为 A． B． C． D． 8．C 【解析】以 为原点，，， 的方向分别为 ，， 轴正方向建系，则 ，，，． 设 ，，其中 ，． 则 ． 因为 ，所以 ， 当且仅当 时取等号，此时 ，故选 C． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．在棱长为 的正方体 中，下列说法正确的是 A．直线 与 所成的角为 B．平面 ∥ 平面 C．直线 与平面 所成角的正切值为 D．三棱锥 的体积为 9．ABD 【解析】以 为原点，，， 的方向分别为 ，， 轴正方向建系，则 ，，，，，，． 对于 A：，，，即两直线所成角为 ，A 正确． 对于 B：平面 中 ，，法向量 ； 平面 中 ，，法向量 ． 因为 ∥，且两平面不重合，所以两平面平行，B 正确． 对于 C：，平面 的法向量为 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 ，，C 错误． 对于 D： 的四条棱都是正方体的面对角线，是棱长为 的正四面体， 其体积 ，D 正确． 所以选 ABD． 10．已知球 的半径为 ，点 在球 的表面上，点 在平面 上的射影 恰为 的外心，且 ，， 三点也在球 的表面上，则下列结论正确的是 A．三棱锥 为正三棱锥 B．若 ，则平面 平面 C． 面积的最大值为 D．三棱锥 体积的最大值为 10．BCD 【解析】设球 到平面 的距离为 ， 外接圆的半径为 ，则 ，且 ，， 三点共线，． 对于 A：三棱锥 为正三棱锥要求底面 为正三角形，而题设只说明 ，， 在球面上， 未必是正三角形，A 错误． 对于 B：若 ，则 是 外接圆的直径， 为 的中点．因为 平面 ，且 平面 ，所以平面 平面 ，B 正确． 对于 C：外接圆半径 固定时， 的面积当且仅当其为正三角形时最大，最大值为 ． 又 ，所以 的最大值为 ，C 正确． 对于 D：，其中 ． 令 ，则 ， 所以 在 上递增、在 上递减， ，即体积的最大值为 ，D 正确． 所以选 BCD． 11．已知正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为 ，则下列结论正确的是 A．该四棱锥的高为 B．侧面与底面所成二面角的正切值为 C．该四棱锥的表面积为 D．该四棱锥外接球的体积为 11．ABD 【解析】设底面中心为 ， 的中点为 ，则 ． 对于 A：高 ，A 正确． 对于 B：斜高 ，侧面与底面所成二面角的平面角为 ，，B 正确． 对于 C：表面积 ，C 错误． 对于 D：设外接球半径为 ，球心在直线 上，由 得 ，解得 ， 所以外接球的体积 ，D 正确． 所以选 ABD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知正四棱柱 的体积为 ，，点 是底面 内（含边界）的一动点，且 ，则点 的轨迹长度为______． 12． 【解析】设正四棱柱的高为 ，由 得 ． 因为 平面 ，所以 为直角三角形， ． 所以点 在底面 内的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆． 又底面是边长为 的正方形，该圆只有以 为圆心、圆心角为 的一段弧（从 到 ）在正方形内（含边界）， 所以轨迹长度为 ． 13．在正三棱锥 中，，侧面与底面所成二面角的大小为 ，则该正三棱锥外接球的半径为______． 13． 【解析】设底面中心为 ， 的中点为 ，连接 ，，则 ，， 所以 是侧面与底面所成二面角的平面角，． 底面正三角形的边长为 ，， 所以高 ． 底面外接圆半径 ． 设外接球半径为 ，球心在直线 上，由 得 ， 解得 ． 14．在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点，则过 ，， 三点的平面截该正方体所得截面的面积为______． 14． 【解析】以 为原点，，， 的方向分别为 ，， 轴正方向建系，则 ，，． 设平面 的法向量为 ，由 ，，取 得 ， 所以平面 的方程为 ． 设该平面与棱 交于点 ，由 上点的坐标可设为 ，代入得 ，，即 ， 为 的中点． 又平面与棱 无交点（点 ， 均在平面同侧），故截面为四边形 ． 因为 ，，所以 ∥ 且 ， 又 ，所以截面是等腰梯形，两底分别为 与 ． 高 ， 所以截面面积 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在直三棱柱 中，，， 为棱 的中点， 为棱 的中点． (1) 证明：∥ 平面 ； (2) 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．（13分） 15．（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）取 的中点 ，连接 ，． 因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ∥，且 ． 又 是 的中点，所以 ∥∥，且 ． 于是 ∥ 且 ，四边形 为平行四边形，所以 ∥． 因为 平面 ， 不在平面 内，所以 ∥ 平面 ． （2）在直三棱柱中，，，， 两两垂直．以 为原点，，， 的方向分别为 ，， 轴正方向建系，则 ，，． 所以 ，． 设平面 的法向量为 ，由 ，，取 得 ． 平面 的一个法向量为 ． 设两平面所成锐二面角为 ，则 ， 所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ． 16．在平行六面体 中，，，，，．设 ，，， 为棱 的中点． (1) 用 ，， 表示 ； (2) 求线段 的长； (3) 求异面直线 与 所成角的余弦值．（15分） 16．（1）；（2）；（3） 【解析】（1）因为 为 的中点，所以 ， 于是 ． （2）由已知 ，，，且 ，，． 由空间向量基本定理， ， 所以 ，即线段 的长为 ． （3）因为 ∥ 且 ，所以 ． ． 设异面直线 与 所成角为 ，则 ， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ． 17．如图，在三棱锥 中， 平面 ，，， 为棱 的中点． (1) 证明：； (2) 求二面角 的余弦值．（15分） 17．（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）因为 ， 为 的中点，所以 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以 ． 又 ，， 都在平面 内，所以 平面 ． 因为 平面 ，所以 ． （2）因为 平面 ，，所以 ，， 中 ．以 为原点，， 的方向分别为 ， 轴正方向，过 且平行于 的方向为 轴正方向建系，则 ，，，． 所以 ，，，． 设平面 的法向量为 ，由 ， 取 ； 设平面 的法向量为 ，由 ， 取 ． 则 ， 由图形可知二面角 为锐角，所以其余弦值为 ． 18．如图，在直四棱柱 中，底面 为直角梯形，∥，，，，， 为棱 的中点， 为棱 的中点． (1) 证明：∥ 平面 ； (2) 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．（17分） 18．（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）因为 ∥，，， 为 的中点，所以 且 ∥， 又在直四棱柱中 ∥ 且 ， 所以 ∥ 且 ，四边形 为平行四边形，∥． 因为 平面 ， 不在平面 内，所以 ∥ 平面 ． （2）因为 ， 平面 ，所以 ，， 两两垂直．以 为原点，，， 的方向分别为 ，， 轴正方向建系，则 ，，，，． 所以 ，． 设平面 的法向量为 ，由 ，，取 得 ． 平面 的一个法向量为 ． 设两平面所成锐二面角为 ，则 ， 所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ． 19．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形，， 平面 ，， 为棱 的中点． (1) 证明： 平面 ； (2) 求直线 与平面 所成角的正弦值．（17分） 19．（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）因为四边形 是菱形，所以 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以 ． 又 ，， 都在平面 内，所以 平面 ． （2）以 为原点，以 的方向为 轴正方向，在平面 内作与 垂直的方向为 轴， 的方向为 轴正方向建系． 因为 ，，所以 ，，，，． 所以 ，，． 设平面 的法向量为 ，由 ，，取 得 ． 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $