解析几何专项训练测试卷（提高版）-2027届高三数学一轮复习

解析几何专项训练测试卷（提高版） （满分 150 分　考试时间 120 分钟） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知 是抛物线 上一点， 为其焦点，点 的坐标为 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，点 在 上，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 、 是椭圆 的左、右焦点，点 在 上，且 ，，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 4．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 、， 是它们的一个公共点，且 ，若 的离心率为 ，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．已知直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线 的斜率为（　　） A． B． C． D． 6．已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，过点 作 在该点处切线的垂线，交直线 于点 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知圆 与直线 ，动圆 与圆 外切，且与直线 相切，则动圆圆心 的轨迹为（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 8．已知 、 是椭圆 的左、右焦点，过 且垂直于 轴的直线与 交于 、 两点，若 为正三角形，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与 交于 、 两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 的最小值为 10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，则下列说法正确的是（　　） A． 的离心率为 B．若点 在 的右支上，且 ，则 C．过 且垂直于 轴的弦长为 D．存在过 的直线 ，使 与 的右支交于 、 两点，且 11．关于曲线 （、 为实数，且 ），下列说法正确的是（　　） A．当 时， 表示圆 B．当 时， 表示双曲线 C．当 时， 的焦点在 轴上 D．当 表示离心率为 的双曲线时， 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知抛物线 上存在两个不同的点 、 关于直线 对称，则 的取值范围是______． 13．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，直线 与 交于 、 两点，若 ，则 的实半轴长为______． 14．已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，则 的面积为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，点 满足 ，当点 在圆 上运动时，点 的轨迹为曲线 ．(1) 求 的方程与离心率；(2) 设直线 与 交于 、 两点，若 ，求 的方程．（13分） 16．已知椭圆 ， 为坐标原点，、 是 上两点，且 ．(1) 求 的离心率；(2) 证明：点 到直线 的距离为定值，并求出该定值；(3) 求 面积的最大值．（15分） 17．在平面直角坐标系 中，已知点 、，动点 满足 ，记点 的轨迹为 ．(1) 求 的方程；(2) 设 为 的右焦点，过点 的直线 与 的右支交于 、 两点．（ⅰ）若 ，求 的斜率；（ⅱ）求 的最小值．（15分） 18．已知椭圆 ，点 ．(1) 求 的离心率；(2) 设直线 与 交于 、 两点， 的斜率存在且不为 ，若直线 、 的斜率之和为 ，证明：直线 经过定点．（17分） 19．已知抛物线 经过点 ．(1) 求 的方程；(2) 过点 作 的两条切线，切点分别为 、，求直线 的方程；(3) 求 的面积．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何专项训练测试卷（提高版） （满分 150 分　考试时间 120 分钟） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知 是抛物线 上一点， 为其焦点，点 的坐标为 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 1．C 【解析】 由 得 ，即 ，故焦点 ，准线 。 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离，记为 。 于是 ，它表示从点 出发经点 折向准线 的折线长。 由「两点之间线段最短」，这条折线长不小于点 到准线 的距离， 即 。 当 时取等号，此时 ，代入 得 ， 点 在抛物线 上，且位于 与准线之间，等号可以取到。 故 的最小值为 ，选 C。 2．已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，点 在 上，且 ，则 A． B． C． D． 2．B 【解析】 由 得 ，，焦点 ，准线为 。 因为 、 都在 轴上，所以 沿 轴方向。 由 得 轴，故点 的横坐标为 。 代入 得 ，即 ，不妨取 。 于是 ，选 B。 3．已知 、 是椭圆 的左、右焦点，点 在 上，且 ，，则 的离心率为 A． B． C． D． 3．C 【解析】 在 中，， 所以 是直角三角形 的斜边，且 。 由直角三角形的边角关系得 ，。 由椭圆的定义，， 所以 ，选 C。 4．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 、， 是它们的一个公共点，且 ，若 的离心率为 ，则 的离心率为 A． B． C． D． 4．D 【解析】 设 ，。由椭圆的定义得 ，由双曲线的定义得 。 因为 ，所以 ，即 。 又 ，而 ， 即 ，代入得 ，即 。 两边同除以 得 。 由 得 ，故 ， 所以 ，选 D。 5．已知直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线 的斜率为 A． B． C． D． 5．A 【解析】 圆心为 ，半径 。圆心到直线 的距离 。 设弦长为 ，则 。 由 得 ，即 。 所以 ，解得 ，即 ，选 A。 6．已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，过点 作 在该点处切线的垂线，交直线 于点 ，若 ，则 A． B． C． D． 6．C 【解析】 由 得 ，焦点 ，准线为 。 设 ，则 ，且 。 由 得 ，故 ，点 处切线的斜率为 。 于是过点 且与切线垂直的直线斜率为 （）， 其方程为 。令 得 。 所以 。 把 代入得 。 令 ，则 ，故 。 由 得 ，即 ，解得 ， 所以 ，，选 C。 7．已知圆 与直线 ，动圆 与圆 外切，且与直线 相切，则动圆圆心 的轨迹为 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．D 【解析】 设动圆 的半径为 。 因为动圆 与直线 相切，所以点 到 的距离等于 。 因为动圆 与圆 外切（圆 的半径为 ）， 所以 。 两式相减得 ，即点 到直线 的距离等于 。 又点 不在直线 上， 由抛物线的定义，点 的轨迹是以 为焦点、以 为准线的抛物线（除顶点外）， 故选 D。 8．已知 、 是椭圆 的左、右焦点，过 且垂直于 轴的直线与 交于 、 两点，若 为正三角形，则 的离心率为 A． B． C． D． 8．B 【解析】 把 代入 得 ， 所以 ，且 轴。 正三角形 的高等于点 到直线 的距离，即 。 另一方面，边长为 的正三角形的高为 。 所以 ，即 。 令 ，则 ，整理得 ， 解得 或 。因为 ，故 ， 所以 ，选 B。 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与 交于 、 两点，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 的最小值为 9．ACD 【解析】 抛物线 的焦点为 ，准线为 。 设过点 的直线为 （该形式包含直线垂直于 轴的情形）。 代入 得 ，即 ， 所以 ，A 正确。 又 ，B 错误。 由抛物线定义，，， 所以 。 而 ， 故 ，C 正确。 又 ，当直线垂直于 轴时取等号，D 正确。 故选 ACD。 10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，则下列说法正确的是 A． 的离心率为 B．若点 在 的右支上，且 ，则 C．过 且垂直于 轴的弦长为 D．存在过 的直线 ，使 与 的右支交于 、 两点，且 10．ABD 【解析】 由 的方程得 ，，。 所以 的离心率为 ，A 正确。 若点 在右支上，则由双曲线的定义得 。 又 ，所以 ，即 。 而右支上的点到右焦点距离的最小值为 ，故 可以实现，B 正确。 过 且垂直于 轴的弦长为通径 ，C 错误。 设过 的直线 的倾斜角为 ，由双曲线的焦半径公式， 当 与右支交于 、 两点时 ， 其中 ，故 。 因为 ，所以存在这样的直线，D 正确。 故选 ABD。 11．关于曲线 （、 为实数，且 ），下列说法正确的是 A．当 时， 表示圆 B．当 时， 表示双曲线 C．当 时， 的焦点在 轴上 D．当 表示离心率为 的双曲线时， 11．ABC 【解析】 当 时，方程化为 ，表示圆，A 正确。 当 时，、 一正一负，不妨设 ， 方程化为 ，表示双曲线，B 正确。 当 时，方程化为 ， 因为 ，所以分母较大的 对应 ，焦点在 轴上，C 正确。 当 表示双曲线时，仍设 ，则 ，， 。由 得 ，即 ，D 错误。 故选 ABC。 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知抛物线 上存在两个不同的点 、 关于直线 对称，则 的取值范围是______． 12． 【解析】 设 、，线段 的中点为 。 因为 、 关于直线 对称，所以 且 。 由 的斜率为 得直线 的斜率为 ， 故可设直线 （ 为参数）。 代入 得 ，即 。 因为 、 是两个不同的点，所以 ，即 。 由韦达定理 ，故 ，。 把 代入 得 ，即 。 由 得 。 所以 的取值范围是 。 13．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，直线 与 交于 、 两点，若 ，则 的实半轴长为______． 13． 【解析】 由渐近线方程为 得 ，即 。 把 代入双曲线方程得 ， 整理得 ， 所以 （此时需 ）。 由 得 ，即 ， 所以 ，满足 。 故 的实半轴长为 。 14．已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，且 ，则 的面积为______． 14． 【解析】 由双曲线方程得 ，，，故 。 设 ，，由双曲线的定义得 。 在 中由余弦定理， 。 又 ， 所以 ，即 。 故 。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，点 满足 ，当点 在圆 上运动时，点 的轨迹为曲线 ．(1) 求 的方程与离心率；(2) 设直线 与 交于 、 两点，若 ，求 的方程．（13分） 15．见解析 【解析】 (1) 设 ，则 ，且 。 设 ，则 ，。 由 得 ，，即 ，。 代入 得 ，即 。 所以 ，，， 的离心率 。 (2) 由 (1) 知 的方程为 。 把 代入得 ，即 。 因为 与 交于两个不同的点，所以 ，即 。 由韦达定理 ，。 因为 的斜率为 ，所以 。 由 得 ，即 ，解得 ， 满足 ，故 。 所以直线 的方程为 或 。 16．已知椭圆 ， 为坐标原点，、 是 上两点，且 ．(1) 求 的离心率；(2) 证明：点 到直线 的距离为定值，并求出该定值；(3) 求 面积的最大值．（15分） 16．见解析（离心率 ，定值 ，面积最大值 ） 【解析】 (1) 由 的方程得 ，，，所以 。 (2) 设 为点 到直线 的距离。 当直线 的斜率不存在时，设 、。 由 得 ，即 ， 代入椭圆方程得 ，解得 ， 此时 。 当直线 的斜率存在时，设 。 由 得 ，代入得 ， 故 ，。 由 得 ，而 ， 所以 。 代入韦达定理的结果并化简得 。 于是 。 综上，点 到直线 的距离为定值 。 (3) 设 ，， 的倾斜角为 。 由 在 上得 ； 由 知 的方向角为 ，同理 。 两式相加得 。 由 得 。 记 ，则 ， 记 ，则 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增。 又 ，，故 的最大值为 。 所以 的最大值为 ， 此时 、 分别在 轴、 轴上（即 ，）。 17．在平面直角坐标系 中，已知点 、，动点 满足 ，记点 的轨迹为 ．(1) 求 的方程；(2) 设 为 的右焦点，过点 的直线 与 的右支交于 、 两点．（ⅰ）若 ，求 的斜率；（ⅱ）求 的最小值．（15分） 17．见解析（；；最小值为 ） 【解析】 (1) 由 知点 到 的距离大于到 的距离，且 ， 所以点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的右支。 设 ，则 ，，故 ，。 所以 的方程为 。 (2) 右焦点 ，即点 。 （ⅰ）由双曲线的渐近线为 知，当过 的直线与右支交于两点时， 其斜率的绝对值大于 。 设 ，由 得 ，代入得 ， 故 ，。 于是 。 由 得 。 由 得 ，即 ， 满足 ，故 。 （ⅱ）当直线 的斜率不存在时，，代入 得 ， 此时 。 当直线 的斜率存在时，由（ⅰ）知 。 所以 的最小值为 ，此时 的方程为 。 18．已知椭圆 ，点 ．(1) 求 的离心率；(2) 设直线 与 交于 、 两点， 的斜率存在且不为 ，若直线 、 的斜率之和为 ，证明：直线 经过定点．（17分） 18．见解析（离心率 ，定点 ） 【解析】 (1) 由 的方程得 ，，，所以 。 (2) 设 （），、。 由 得 ，代入得 ， 故 ，。 由 得 ， 即 。 把 代入得 ， 即 。 代入韦达定理的结果得 ， 约去 （）得 ，即 ， 所以 。 故直线 的方程为 ，它恒过定点 。 （此时 恒成立， 与 总有两个交点，且交点不与 重合。） 19．已知抛物线 经过点 ．(1) 求 的方程；(2) 过点 作 的两条切线，切点分别为 、，求直线 的方程；(3) 求 的面积．（17分） 19．见解析（；；面积 ） 【解析】 (1) 因为点 在 上，所以 ，即 ，故 的方程为 。 (2) 设切点为 ，则 。 由 得 ，故 ，点 处切线的斜率为 。 切线方程为 ，即 ，亦即 。 因为切线过点 ，所以 ，即 。 代入 得 ，即 ，解得 。 所以两个切点 、 的坐标满足 ，即直线 的方程为 。 (3) 由 (2) 知 、 是 的两根，故 。 所以 。 点 到直线 的距离 。 故 。 学科网（北京）股份有限公司 $