解析几何专项训练（基础）-2027届高三数学一轮复习

解析几何章节测试卷·基础版 （满分 150 分　考试时间 120 分钟） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．双曲线 的焦点坐标为 A． B． C． D． 1． 【解析】若方程 表示双曲线，则两个分母异号： ，解得 。 此时 、，方程可写成 ， 是焦点在 轴上的双曲线，其中 ，。 于是 ，得 。 焦点在 轴上，故焦点坐标为 。故选 。 2．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则其离心率为 A． B． C． D． 2． 【解析】双曲线 的渐近线为 。 题意给出渐近线 ，故 ，得 。 于是 ，， 离心率 。故选 。 3．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，则 的离心率为 A． B． C． D． 3． 【解析】双曲线 的渐近线为 。 因其过点 ，代入得 ，即 。 于是离心率 。故选 。 4．若抛物线 上一点 与焦点 的距离 ， 为坐标原点，则 的面积为 A． B． C． D． 4． 【解析】抛物线 中 ，，焦点 ，准线 。 设 ，由抛物线定义 ，得 。 代入 得 ，即 。 所以 。故选 。 5．已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在 上，且 的周长为 ，则 面积的最大值为 A． B． C． D． 5． 【解析】椭圆 中 ，，。 的周长为 ，即 。 又 ，即 ，结合 得 。 解得 ，。 的面积 ， 在椭圆上时 ，故 。故选 。 6．已知椭圆 ， 为椭圆上一动点， 为椭圆的左焦点，则线段 的中点 的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线 6． 【解析】设 在椭圆上，左焦点 ，中点 。 由中点公式 ，，即 ，。 代入椭圆方程得 ， 这是中心在 的椭圆（，长轴沿 轴）。 故 的轨迹是椭圆。故选 。 7．直线 被圆 所截得的弦长为 A． B． C． D． 7． 【解析】圆 配方得 ， 圆心 ，半径 。 圆心到直线 的距离 。 弦长 。故选 。 8．由曲线 围成的图形的面积为 A． B． C． D． 8． 【解析】曲线关于两条坐标轴都对称，只需算第一象限部分再乘以 。 当 、 时，方程化为 ，即 ， 是以 为圆心、 为半径的圆盘，故第一象限部分是圆盘落在第一象限的区域。 该圆盘面积 ，被两坐标轴各切去一个弓形（另一侧不足的部分）。 圆心 到 轴距离 ，半径 ， 切去的一个弓形面积为 。 故第一象限面积 。 总面积 。故选 。 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．当 变化时，有关 表示曲线的说法正确的是 A．当 为第一象限角时，方程表示椭圆 B．当 为第二象限角时，方程表示焦点在 轴的双曲线 C．当 的终边在 轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D．当 为第四象限角时，方程表示焦点在 轴的双曲线 9． 【解析】方程 表示何种曲线，取决于 、 的符号。 A： 为第一象限角时 、，方程可化为 。 但当 时 ，方程变为 ，表示圆，而不是椭圆， 所以"当 为第一象限角时方程表示椭圆"这一说法不成立，A 错误。 B： 为第二象限角时 、，方程为 ， 表示焦点在 轴上的双曲线，B 正确。 C： 的终边在 轴非负半轴上时 ，、， 方程化为 ，即 ，表示两条平行直线，C 正确。 D： 为第四象限角时 、，方程为 ， 表示焦点在 轴上的双曲线，D 正确。故选 。 10．在平面直角坐标系中，、 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直线 相切，下列选项中，圆 的面积可以是 A． B． C． D． 10． 【解析】设 、，则以 为直径的圆的圆心为 ，半径 。 记圆心为 ，则 、，半径 。 该圆与直线 相切，故圆心到直线的距离等于半径： ，即 。 由 知 恒成立， 故 。设 、，则 ， 而 ，且取得 时方程无解（）， 故 。 所以圆面积 。 选项中 、 不合； 、 都可以取到。故选 。 11．已知点 为圆 上的一个点，点 、，则 A．过点 一定存在两条直线与圆 相切 B．存在实数 ，使得 C．存在实数 ，使得 D．存在实数 ，使得 11． 【解析】圆 的圆心为 ，半径 。 A：过点 作圆 的两条切线，须 在圆外， 即 ，解得 或 ， 并非对任意实数 都成立，A 错误。 B： 表示圆 与以 为圆心、 为半径的圆有公共点， 两圆相交或相切需 ，即 。 取 ，，符合，故存在这样的 ，B 正确。 C： 即 ，故 在以 为直径的圆 上， 的圆心为 、半径 。 两圆有公共点需 ，即 。 上式等价于 且 ，后者给 ， 前者判别式 恒成立。故 时两圆有公共点，C 正确。 D： 表示 在阿波罗尼斯圆上，由 整理得 ，圆心 、半径 。 该圆与 有公共点需 ， 即 ，其中 的判别式 ，无实数解， 故该阿氏圆与圆 恒不相交，D 错误。故选 。 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知椭圆 的右焦点为 ，若 ，则椭圆 的离心率为______． 12． 【解析】椭圆中 ，由条件 得 。 两边同除以 （）并记 ，得 ，即 。 解得 。 又 ，舍去负值，故 。 13．设双曲线 的左右焦点分别为 、，过 作平行于 轴的直线交 于 ， 两点，若 ，，则 的离心率为______． 13． 【解析】把 代入 ，得 ，即 。 故 、，，即 。 于是 。 由双曲线定义 ，即 ，得 。 再由 得 ，，。 离心率 。 14．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，则 的最小值是______． 14． 【解析】抛物线 中 ，焦点 ，准线 。 设 、，由抛物线定义 、。 过焦点的弦满足 ，即 （）。 于是 。 由 得 ， 故 ，当且仅当 时取等。 所以 。 （当 、 时，可验证存在过焦点的弦，等号成立。） 故最小值是 。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 、．(1) 求椭圆 的方程；(2) 若 ，求 的最大值．（13分） 15．（1）；（2） 【解析】(1) 由焦距 得 ； 由离心率 得 。 于是 。 所以椭圆 的方程为 。 (2) 当 时，设 ，代入 得 ，即 。 设 、，则 ，。 判别式 ，即 。 。 当 （即 ）时 取最大值 。 16．已知点 在抛物线 上，焦点为 ，，经过点 的直线 交抛物线 于 、 两点．(1) 求抛物线 的方程；(2) 若 ，求直线 的方程．（15分） 16．（1）；（2） 或 【解析】(1) 点 在 上，得 ，即 。 由抛物线定义 ，即 ， 化为 ，解得 。 所以抛物线 的方程为 ，此时 ，。 (2) 设过 的直线为 、（ 为参数， 时表示直线 ）。 代入 得 ，即 。 设 、 对应参数 、，则 ，。 。 由 得 ，。 当 时直线为 、，即 ； 当 时 、，消去 得 。 故直线 的方程为 或 。 17．已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且 ．(1) 求 的方程；(2) 过 的直线与 交于 ， 两点，若 在以 为直径的圆上，求 的面积．（15分） 17．（1）；（2） 【解析】(1) 点 在 上，得 ，即 。 由 得 ，解得 。 所以 的方程为 ，此时 ，。 (2) 过 的直线设为 （含 情形，）。 代入 得 ，即 。 设 、，则 ，。 在以 为直径的圆上，等价于 ，即 。 ，， 。 由 得 或 。 当 时直线为 ，此时 与 重合， 退化，舍去； 当 时，直线为 ，，，， 。 到直线 的距离 。 所以 。 18．已知 和 为椭圆 上两点．(1) 求 的方程；(2) 过点 作直线 与 相交于 、 两点，与 轴交于点 （点 在椭圆内部）， 为坐标原点，若 的面积与 的面积相等，求直线 的方程．（17分） 18．（1）；（2） 或 【解析】(1) 由 在椭圆上得 ，即 。 再由 得 ，即 ，得 。 所以 的方程为 。 (2) 设直线 过 且与 轴交于 ，故 的斜率存在，设为 ， 则 ，与 轴交点 ，。 设 、，代入椭圆得 ， 即 。 则 ，。 由 、 ， 两面积相等得 。 因 在椭圆内部（，即 ），、 位于 两侧， 不妨设 ，则 ，即 。 于是 ，得 ，即 ，。 当 时 ，化为 ； 当 时 ，化为 。 （注：原汇编答案为 或 ，其中第一式与联立结果不符，应为 。） 19．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，，且 ，离心率为 ．(1) 求椭圆 的方程；(2) 设直线 与椭圆 交于 ， 两点．① 若 过点 ，求 的最大值；② 设直线 ， 的斜率分别为 ，，且 ，问直线 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．（17分） 19．（1）；（2）① 最大值为 ；② 过定点 【解析】(1) 左、右顶点为 、，，得 。 又离心率 ，得 ，。 所以椭圆 的方程为 。 (2) ① 设直线 的斜率为 ，则 。 由 得 。 把 代入并整理，得 。 由 在椭圆外（），、 在 同侧，故 可按下法求。 改用参数式：设 ，，代入 得 。 其两根 、 满足 ，即 。 而 ， 故 ，最大值为 。 （当 时 ，，取得最大值 。） ② 设 与椭圆交于 、，、。 由 ，。 代入椭圆 得 ， 故 ，。 由椭圆第三定义 ，且 ， 由 得 ， 于是 ，即 。 又 ，代入并利用韦达定理整理得 ， 解得 或 。 当 时直线 经过点 ，不合题意，舍去； 故 ，即直线 恒过定点 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何章节测试卷·基础版 （满分 150 分　考试时间 120 分钟） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．双曲线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 3．已知双曲线 的一条渐近线过点 ，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 4．若抛物线 上一点 与焦点 的距离 ， 为坐标原点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 5．已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在 上，且 的周长为 ，则 面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．已知椭圆 ， 为椭圆上一动点， 为椭圆的左焦点，则线段 的中点 的轨迹是（　　） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线 7．直线 被圆 所截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 8．由曲线 围成的图形的面积为（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．当 变化时，有关 表示曲线的说法正确的是（　　） A．当 为第一象限角时，方程表示椭圆 B．当 为第二象限角时，方程表示焦点在 轴的双曲线 C．当 的终边在 轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线 D．当 为第四象限角时，方程表示焦点在 轴的双曲线 10．在平面直角坐标系中，、 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直线 相切，下列选项中，圆 的面积可以是（　　） A． B． C． D． 11．已知点 为圆 上的一个点，点 、，则（　　） A．过点 一定存在两条直线与圆 相切 B．存在实数 ，使得 C．存在实数 ，使得 D．存在实数 ，使得 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知椭圆 的右焦点为 ，若 ，则椭圆 的离心率为______． 13．设双曲线 的左右焦点分别为 、，过 作平行于 轴的直线交 于 ， 两点，若 ，，则 的离心率为______． 14．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，则 的最小值是______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 、．(1) 求椭圆 的方程；(2) 若 ，求 的最大值．（13分） 16．已知点 在抛物线 上，焦点为 ，，经过点 的直线 交抛物线 于 、 两点．(1) 求抛物线 的方程；(2) 若 ，求直线 的方程．（15分） 17．已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且 ．(1) 求 的方程；(2) 过 的直线与 交于 ， 两点，若 在以 为直径的圆上，求 的面积．（15分） 18．已知 和 为椭圆 上两点．(1) 求 的方程；(2) 过点 作直线 与 相交于 、 两点，与 轴交于点 （点 在椭圆内部）， 为坐标原点，若 的面积与 的面积相等，求直线 的方程．（17分） 19．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，，且 ，离心率为 ．(1) 求椭圆 的方程；(2) 设直线 与椭圆 交于 ， 两点．① 若 过点 ，求 的最大值；② 设直线 ， 的斜率分别为 ，，且 ，问直线 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $