精品解析：江苏南京市第一中学2026-2027学年第一学期10月阶段性检测高三数学试卷

南京一中2026-2027学年度第一学期10月阶段性检测试卷 高 三 数 学 2026.10 命题人:王健慧、查曼玉校对人:查曼玉审核人:王健慧 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 则， 所以． 2. 如图所示，向量（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由图可知：，， 所以． 3. 样本数据5，8，9，10，12，14的下四分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】样本容量为6，，所以下四分位数为第二个，即下四分位数为8. 4. 以斜边为4的等腰直角三角形的斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】斜边为4的等腰直角三角形，斜边上的高 （等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半），且该高将斜边分为两段，每段长为2.以斜边为轴旋转一周，所得几何体为两个底面重合的圆锥，底面半径 ，两圆锥的高均为2. 故体积为 5. 已知函数若，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最小值为，可得，进而对进行讨论即可求解. 【详解】由题意知的最小值为，故，即． 当时，，不合题意； 当时，在上的最小值为， 为使为全局最小值，还需在上， 此时的下确界为3，故需， 解得， 综上，实数的取值范围为 故选：D． 6. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】的周长为16， 所以有， 化简得. 由椭圆方程可知，，代入， 解得，， 设椭圆的短半轴长为，则， 所以，当点为椭圆上下顶点时，面积最大，最大值为. 7. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动9次，则质点最可能移动到的位置是（ ） A. 7或 B. 1或 C. 3或 D. 5或 【答案】B 【解析】 【分析】首先得出最终位置的分布满足二项分布，然后求出位置对应的概率，最后根据组合数的性质即可求解. 【详解】 设9次移动中，质点向正方向移动（），则向负方向移动次， 最终位置为： ， 每次向正/负方向移动概率均为，因此位置对应的概率为 ， 概率大小由组合数决定， 组合数​满足“先增后减，中间最大”， 当时，最大的组合数为，即和时概率最大， 时，， 时，， 因此质点最可能移动到的位置是或. 8. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】已知式等价于，利用函数的单调性得，，相加后利用等号成立的条件求得值，从而可得结论. 【详解】，所以原等式化为， 设，则， 时，，递增，时，，递减， 所以，所以，即，当且仅当时取等号， 所以时，，，所以， 又已知条件为，所以，， 所以. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每题有多项符合题意，全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若成对样本数据都落在一条直线上，则变量和变量的样本相关系数满足 B. 若，则事件相互独立与A，B互斥不能同时成立 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把2×2的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D. 若随机变量服从二项分布，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，样本点完全落在一条直线上即完全线性相关；选项B，互斥则 ，独立则 ，在 下二者矛盾；选项C，卡方统计量随样本量等比例放大；选项D，利用二项分布 、 及 、 计算. 【详解】选项A若所有样本点都落在一条直线上，则两个变量完全线性相关， 样本相关系数 （正相关）或 （负相关），即 ，选项A正确. 选项B，若事件 A,B 互斥，则 ，故 .又 ，故 ， 于是 ， A,B 不独立； 反之，若 A,B 相互独立，则 ，与 矛盾.因此二者不能同时成立，选项B正确. 选项C，设 列联表中四个数据为 a,b,c,d，样本容量 ， 卡方统计量为 所有数据扩大为原来的10倍后，，， 分子变为原来的 倍，分母变为原来的 倍，故 ， 卡方统计量变为原来的10倍，关联性增强，结论可能改变，选项C错误. 选项D， ，则 ，. 由 ，得 ，， 故 ，选项D正确. 【点睛】样本点完全落在一条直线上则 ；概率均为正时互斥与独立不可兼得；列联表数据等比例放大会使卡方统计量等比例放大；线性变换下 ，. 10. 已知，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【详解】设，，， A.法一：∵，∴， 即，而 ，显然 条件推不出结论， 法二：举反例，取， 满足，但是， ，A错误. B.∵，∴， 即，∴，B正确. C.∵， ∴，即 ，其几何意义 是圆上任意两个点， 又，其几何 意义是两个点之间的距离小于等于2， ∵圆上任意两点(直径），∴C正确. D.举反例，当时，， 满足，但是，D错误. 11. 已知函数，且在 内有最大值，没有最小值， 则下列结论正确的有（ ）． A. B. 在上有且仅有1个零点 C. 若，则 D. 函数的所有零点之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可得，，结合特殊值即可判断A；由求出x的表达式，即可判断B；利用三角函数恒等变换可判断C；令，求出符合题意要求的所有零点，可判断D. 【详解】A：由，即得，， 设，，则． 由于在内有最大值，没有最小值， 不妨取，，则， 故，解得，A正确； B：由以上分析知，令， 则，得， 令，，得，，所以在上有2个零点，B错误； C：，得， 因为，得，， 因此，，得，， 所以，，且， 所以， 故， 即， 由，得（负值舍），C正确； D.令，有， 得或， 解得或， 故上的零点依次为，，或，，，，， 所以各零点和为，D正确． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 等比数列的公比为2，且，，成等差数列，则数列的通项公式__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式，将用首项表示，由等差数列中项性质建立方程，求解首项，进而写出通项公式. 【详解】因为等比数列的公比为2， 所以， 因为，，成等差数列， 所以， 即，解得， 所以. 13. 水车又称孔明车，是以水流为动力的机械装置，是我国古老的农业灌溉工具.如图，某水车的半径为4米，圆心距离水面2米，每分钟逆时针匀速旋转5圈.当水车上点从水中浮现时（图中点）开始计时，已知点距离水面的高度（米）关于时间（秒）的函数为，则________；点第一次到达最高点大约需要________秒. 【答案】 ①. 0 ②. 4 【解析】 【分析】以圆心为原点建立平面直角坐标系，由函数的周期求出，最后由，求出，即可求出函数解析式，则得到的值，令，即即可求得时间． 【详解】以为坐标原点建立如图坐标系， 由题知周期秒，，所以， 又，∴，又因为，则，则， 所以，（）. 令得，∴， 所以，得.所以点第一次到达最高点需要4秒. 故答案为：0；4. 14. 对于集合的子集，将中的元素按从小到大排列为．若对所有的，的奇偶性与相同，则称为的交替子集．约定空集为交替子集．例如、、均为交替子集．记为的交替子集的个数，则_______． 【答案】144 【解析】 【分析】先明确交替子集的定义，将问题转化为满足“第i个元素与i奇偶性相同”的递增序列计数问题，空集单独计入总数然后找递推关系：考虑第个元素是否在交替子集中，如果为奇数，那么它只能作为序列的奇数位置元素，以此建立和、的关联，最后确定初始条件：计算、的数值，再根据递推式逐步计算到. 【详解】设为集合的交替子集总数， 所有的交替子集，本身也属于的交替子集，这部分共个. 若要把元素追加到某个的交替子集末尾， 若是奇数，追加后它是新子集的最后一位，要求它的奇偶性和它的位置序号相同， 即追加前的子集最后一位是偶数位（空集也满足，空集追加奇数后得到单元素奇子集，符合要求）， 这类子集的总数恰好是. 得到递推公式：，这是斐波那契型递推， 初值：，， 依次递推： . 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的距离． 【答案】（1） 证明：法一:连接分别为的中点， 分别是的中点， ，平面，平面， 平面，平行且等于， 是平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面； 法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，     则， ， ， ，，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面平面， （2） 【解析】 【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系，通过证明，再由面面平行的判定定理即可证明. （2）法一: 平面与平面的距离到平面的距离,再由等体积法即可求出答案. 法二:求出平面的法向量,，平面与平面的距离等于到平面的距离，由点到平面的距离公式即可求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一:平面与平面的距离到平面的距离． 中，，，， 由等体积可得，． 法二: 设平面的一个法向量为， 则，则可取， ， 平面与平面的距离为 16. 已知向量. （1）当时，求的值； （2）当时，(为实数），且，试求的最小值. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量共线的坐标表示，计算作答. （2）求出的坐标，借助向量数量积的运算律，建立函数关系求解作答. 【小问1详解】 因向量，且，则， 整理得，即，解得或， 所以或. 【小问2详解】 因，则，，， 又，则 ， 于是得，当且仅当时，取“=”， 所以当时，取得最小值. 17. 苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. （1）用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； （2）现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； （3）用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 【答案】（1）​ （2）​ （3）​ 【解析】 【分析】（1）先由男女性居民人数比求出样本中男、女性居民人数，再分别求出两类居民中观看比赛的人数，用观看人数除以样本总人数得到观看频率． （2）根据样本数据分别求出在观看比赛与未观看比赛的条件下居民为女性的条件概率，再代入似然比的定义计算． （3）按访谈的2人中男性居民人数分类，利用超几何分布求各类的概率，再对“没有观看比赛的男性居民”这一事件使用全概率公式． 【小问1详解】 由男、女性居民人数比为，得样本中男性居民和女性居民的人数分别为人和人． 男性居民中观看比赛的人数为人，女性居民中观看比赛的人数为人． 所以样本中观看比赛的频率为． 用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，估计此人观看比赛的概率为． 【小问2详解】 由题意，表示居民观看比赛，表示居民为女性． 样本中观看比赛的居民有人，其中女性有人，男性有人，因此，． 由似然比定义，． 未观看比赛的居民有人，其中女性和男性各有人，所以，． 因此， 从而． 【小问3详解】 按性别比例抽取5名居民，抽得男性居民3人、女性居民2人． 设从这5人中随机抽取的2人中恰有名男性居民为事件，其中，则． 设事件为抽取的2名居民中没有观看比赛的男性居民． 按频率估计，男性居民观看比赛的概率为，所以男性居民未观看比赛的概率为． 当发生时抽取的2人均为女性，故． 当发生时抽取的2人中有1名男性居民，故． 当发生时抽取的2人中有2名男性居民，故． 由全概率公式，根据、、三种情况， 代入各项概率，得 18. 已知中，角的对边分别是，且. （1）若，求； （2）若且B为钝角. （i）若，求的面积. （ii）若D为线段上一点，且满足，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）已知的角度，从而得到，结合三角公式，将方程的未知量只保留，从而得解； （2）（i）先将方程化简为，代入，利用是钝角的条件将方程只保留未知量，解得三角形的三个角度，结合正弦定理和三角形面积公式求解； （ii）设，在和中使用正弦定理，将用含的式子表达，然后结合，最后用角平分线定理求解. 【小问1详解】 时，， 即， 由辅助角公式，， 结合可得，， 则，结合，可得 【小问2详解】 （i）， 整理可得， 即， 由可知， 代入上式可得，， 即， 由题知，可知， 则，得到， 故，解得， 由正弦定理，，则， 由面积公式可知； （ii）设， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 两式相乘可得， 由题干可得， 则， 则，则（负值舍去）， 由于，只可能，得到， 即是的平分线， 根据角平分线定理结合正弦定理， 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，求出函数解析式，求出导数，根据导数的几何意义即可求出切线方程，求出横纵截距即可求解. （2）化为，构造函数，求出，得到函数的单调性，将表达式转化为，根据函数单调性得到不等式并反解，构造函数，利用求出即可求解. 【小问1详解】 当时，，， 切线的斜率，， 所以切点坐标为，切线方程为，， 当时，，当时，， 所以直线与轴交点为，与轴交点为， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 【小问2详解】 因为，，， 所以， 可化为：， 即， 令，， 所以为上的单调递增函数， 将， 转化为， 因为为上的单调递增函数，所以， 即，即， 整理有：， 令，， 令，即，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以， 因为恒成立， 所以. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用同构的方法对不等式进行变形，构造函数利用函数的单调性解决不等式恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2026-2027学年度第一学期10月阶段性检测试卷 高 三 数 学 2026.10 命题人:王健慧、查曼玉校对人:查曼玉审核人:王健慧 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，向量（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据5，8，9，10，12，14的下四分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 以斜边为4的等腰直角三角形的斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数若，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24 7. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动9次，则质点最可能移动到的位置是（ ） A. 7或 B. 1或 C. 3或 D. 5或 8. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每题有多项符合题意，全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若成对样本数据都落在一条直线上，则变量和变量的样本相关系数满足 B. 若，则事件相互独立与A，B互斥不能同时成立 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把2×2的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D. 若随机变量服从二项分布，，则 10. 已知，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，且在 内有最大值，没有最小值， 则下列结论正确的有（ ）． A. B. 在上有且仅有1个零点 C. 若，则 D. 函数的所有零点之和为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 等比数列的公比为2，且，，成等差数列，则数列的通项公式__________． 13. 水车又称孔明车，是以水流为动力的机械装置，是我国古老的农业灌溉工具.如图，某水车的半径为4米，圆心距离水面2米，每分钟逆时针匀速旋转5圈.当水车上点从水中浮现时（图中点）开始计时，已知点距离水面的高度（米）关于时间（秒）的函数为，则________；点第一次到达最高点大约需要________秒. 14. 对于集合的子集，将中的元素按从小到大排列为．若对所有的，的奇偶性与相同，则称为的交替子集．约定空集为交替子集．例如、、均为交替子集．记为的交替子集的个数，则_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的距离． 16. 已知向量. （1）当时，求的值； （2）当时，(为实数），且，试求的最小值. 17. 苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. （1）用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； （2）现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； （3）用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 18. 已知中，角的对边分别是，且. （1）若，求； （2）若且B为钝角. （i）若，求的面积. （ii）若D为线段上一点，且满足，求的值. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $