第四章 相似三角形 单元自我检测 2026—2027学年 浙教版九年级数学上册

第四章相似三角形单元自我检测拔尖卷浙教版2026—2027学年九年级上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 考卷信息: 本卷试题共20题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度! 一．单项选择题（每小题4分，满分40分） 1．已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中a=2cm，b=3cm，c=6cm，则d是（　　） A．1cm B．5cm C．9cm D．12cm 2．两个相似三角形的对应边之比为，若较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为（　　） A． B． C． D． 3． 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（　　） A． B． C． D． 4．在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在. 中， 则下列比例式中，正确的是(　　). A． B． C． D． 6．如图，已知 如果AB：BC=2：3，那么 等于(　　). A． B． C． D． 7．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分)与△ABC 相似的是（　　). A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A 的坐标为(-2，4).若以原点O为位似中心，相似比为 ，把△AOB缩小，则点A 的对应点A'的坐标是(　　) A．(-1，2) B．(-1，2) 或(1， - 2) C．(-4，8) D．(-4，8)或(4， - 8) 9． 如图，在正方形中，为上一点，且，连接．过点作，垂足为，连接并延长交于点，连接，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，过点 D作DE⊥AB于点 E，交 AC于点 F.点 P是线段 DE上一动点，连接 OP、BP，若 AF=5， CF=7，则 OP+BP的最小值为(　　) A． B． C． D． 二．填空题（每小题5分，满分20分） 11．已知线段，，线段c是线段a，b的比例中项，则c=　 　. 12．如图，小益利用标杆EF测量旗杆AB的高度，小益、标杆和旗杆都垂直于地面，小益身高CD=1.6米，标杆EF=2.4米，DF=1米，BF=9米，则旗杆AB高度是　 　米. 13．如图，a//b//c，直线l与这三条平行线分别交于点A，B，C.若直线a与b，b与c之间的距离分别为1和2，且AB=，则BC的长是　 　. 14．如图，在中，为边上的中线，的角平分线，交于点F．则的长为　 　． 三．解答题（共6小题，总分60分，其中15—20题每题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 15． 已知a： b=3： 2. （1）求 的值； （2） 若a+2b=21， 求a、b的值. 16．如图，△ABC的顶点都在网格点上，点A的坐标为（-1，3). （1）以点O为位似中心，在第二象限作△ABC的位似图形△A'B'C'，使△A'B'C'的边长放大到原来的2倍，并直接写出点A的对应点A'的坐标： ； （2）如果△ABC内部的一点M坐标为（x，y)，则M的对应点M'的坐标是　 　； （3）S△OAB：S四边形AA'B'B=　 　. 17．如图，AB∥CD，AC与BD 交于点E，且AB=8，AE=4，AC=16. （1）求CD 的长； （2）求证：△ABE∽△ACB. 18．如图，在菱形ABCD中，点G在边CD上，连线AG并延长交BC的延长线于点F，连结BD交AF于点E，连结CE. （1）求证： （2）若求CF的长. 19．如图，已知BD是△ABC的中线，△ABD的外接圆⊙O交BC于点E，直径AF⊥BC于点G。 （1）求证：△ABD∽△ACB。 （2）若BE=8，⊙O的半径为5，求AC的长。 20． （1）【问题提出】 如图①，在中，是边上的点，是边上的点，连接交于点，若，求的值． 猜想证明：小明想过点于点．请你根据他的思路，写出解答过程． （2）【问题探究】 如图②，在中，点是边上的点，点是边延长线上的点，连接的延长线于点．若，且的面积为2，求四边形的面积． （3）【问题解决】 如图③，某市区需要改造一个矩形公园，其中两个门的位置点分别在边上，千米，千米，根据改造要求，需要增加步行通道，且与原步行通道交于点，将改造为休息长廊，由设计图知，求休息长廊的长． 参考答案 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵是成比例线段， ∴， ∵， ∴. 故答案为：C. 2．【答案】B 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵，， ∴，不符合题意， B、∵，， ∴，不符合题意， C、根据无法得到，符合题意， D、∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意， 故选：C． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 5．【答案】B 【解析】【解答】解：A、∵ DE∥BC， ，原说法错误，不符合题意； B、∵ DE∥BC， ，正确，符合题意； C、∵ DE∥BC，EF∥AB， ，但 ， ，原说法错误，不符合题意； D、∵ DE∥BC， ，原说法错误，不符合题意. 故选：B. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：B. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：AC=，BC=2，， A：三角形的三边为1，，，与原三角形三边不成比例，即与△ABC不相似； B：三角形的三边为，，3，与原三角形三边不成比例，即不与△ABC相似； C：三角形的三边为，，与原三角形三边成比例，即不与△ABC相似； D：三角形的三边为，2，，与原三角形三边不成比例，即不与△ABC相似； 故答案为：A. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为 把 缩小，点A的坐标为(-2，4)， ∴点A的对应点A'的坐标为 或 )， 即(-1，2)或(1，-2)， 故选： B. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：延长DF、AB交于点M，如下图所示： 设正方形的边长为3a，则AB=BC=CD=AD=3a， ∵CE=2BE， ∴， 由于BE∥AD，则△NBE∽△MAD， 所以， 又∵AM=AB+BM， 联立知，BM=1.5a， 在Rt△AMD中，由勾股定理得，， 由面积得：，解得， 在Rt△AFD中，， 则， 由于DG∥AM，则△MBF∽△DGF，所以， 可得，由于CE=2BE，则 ，联立得 . 故选：B. 10．【答案】C 【解析】【解答】作点B关于DE的对称点B'，连接B'P，此时点B'在AB上，过点O作OM⊥AB于点M， 由轴对称的性质可得，BP=B'P， ∴OP+BP=OP+B'P≥OB'，即点O、P、B'三点共线时有最小值为OB'的长， ∵AF=5，CF=7， ∴AC=12 ∵菱形ABCD， ∴OB=OD，，AC⊥BD，AB//CD， ∴OF=OA-AF=1， ∵DE⊥AB， ∴DE⊥CD ∴∠CDF=∠COD=90°， ∵∠DFC=∠OFD， ∴△CDF∽△DOF ∴ ∴ ∴(负值含去)， ∴， ∴， ∵∠AOF=∠DEB=90°，∠ODF=∠EDB， ∴△DOF∽△DEB， ∴ ∴ ∴， ∴ ∵OM//DE， ∴△BOM∽△BDE ∴ ∴， ∴ ∴ 即OP+BP的最小值为 故答案为：C. 11．【答案】4 【解析】【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项， ∴c2=ab， 而线段a=8，b=2， ∴c2=8×2=16， 而c＞0， ∴c=4. 故答案为：4. 12．【答案】9.6 【解析】【解答】解：过点C作水平线交EF于点O，交AB于点G， 由题意可知：、、 均垂直于地面，因此四边形CDFO、CDBG均为矩形。 ∴ 米， 米， 米 则 米， 米 ∵ ∴（两角分别相等的两个三角形相似） 根据相似三角形对应边成比例： 代入数值： 解得： 米 因此旗杆高度 米 故答案为：9.6 13．【答案】3 【解析】【解答】解： 故答案为：3. 14．【答案】 【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AB交AB于点G ∵BE平分∠ABC ∴CE=EG，CB=GB=6 设CE=EG=x，AE=8-x，AG=10-6=4 在Rt△AEG中，x2+42=(8-x)2 解得：x=3，即CE=3，AE=5 延长AD交BC的垂线于点H 易得△HBD≌△ACD，△HBF∽△AEF ∴HB=AC=8， ∵ ∴ 故答案为： 15．【答案】（1）解：设a=3k， b=2k (k≠0) 则 （2）解：设a=3k， b=2k (k≠0)， ∵a+2b=21， ∴3k+2×2k=21， ∴7k=21， 解得k=3， ∴a=3k=9， b=2k=6 16．【答案】（1）解：由位似的性质作图，如图1： ∴A'（-2，6)， （2）（2x，2y） （3）解：如图2，连接， 由位似的性质可知，， ∴， ∴， 故答案为： 17．【答案】（1）解：∵AE＝4，AC＝16， ∴CE＝AC－AE＝16－4＝12. ∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE， ∴＝，∴CD＝＝＝24 （2）证明：∵＝＝，＝＝，∴＝. ∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB 18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，∴由对称性可得∠DAE=∠DCE. ∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∴∠DCE=∠F，∵∠FEC=∠CEG，∴△FEC∽△CEG， ​​​​​​​ （2）解：由（1）可知△FEC∽△CEG， 解得x=4，经检验，x=4是分式方程的解，∴CF=3x=12. 19．【答案】（1）证明：∵直径AF⊥BC于点G， ∴， ∴∠ADB=∠ABC， 又∵∠BAC=∠BAC， ∴△ABD∽△ACB （2）解：连结BO， ∵直径AF⊥BC于点G， ∴BG=GE， 又∵BE=8，⊙O的半径为5， ∴BG=4，BO=AO=5， ∴AG=AO+OG=5+3=8， ∵由（1）得△ABD∽△ACB， ∴， 又∵BD是△ABC的中线， ∴ 20【答案】（1）解：过点E作EG∥AB交CD于点G ∴△CEG∽△CAD ∴ ∵ ∴ ∴AD=3EG ∵ ∴BD=2AD=6EG ∴ ∵EG∥AB ∴△EFG∽△BFG ∴ （2）解：连接AF ∵，△ACD的面积为2 ∴△BCD的面积为4 ∴△ABC的面积为2+4=6 ∵ ∴△ABF的面积为3x ∵ ∴△AEF的面积为 ∴ 解得： ∴ ∴四边形ADFE的面积为 （3）解：延长AF，BC交于点M ∵四边形ABCD是矩形，AB=3，AD=6 ∴CD=AB=3，BC=AD=6 ∵CF=2DF，CE=2BE ∴DF=1，CF=2，CE=4，BE=2 ∴ ∵AD∥BM ∴△ADF∽△MCF ∴ ∴CM=12 ∴EM=16 ∵AD∥BM ∴△ADP∽△MEP ∴ ∴ 延长AB，DE交于点N 同理可得，△BEN∽△CED ∴ ∴ ∴ ∵AB∥DC ∴△BNQ∽△FDQ ∴ ∴ ∴ ∴休息长廊的长为千米 学科网（北京）股份有限公司 $