第四章 相似三角形【单元进阶卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区）

**基本信息** 浙教版九年级上册《相似三角形》单元进阶卷，适配新授课，覆盖全章7节知识点，以真实情境（国旗、建筑测量）和梯度问题（基础计算到综合证明）落实数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段、相似判定、位似图形|结合景区建筑（4.2平行线截比例线段）考查几何直观| |填空题|6/18|黄金分割、相似三角形性质、位似比|以国旗判断（4.6相似多边形）体现应用意识| |解答题|8/72|相似证明、性质应用、位似作图|设计建筑测量（4.5性质应用）与矩形动态问题（综合推理），梯度提升创新思维|

2026—2027学年度第一学期 九年级数学（上册） 第四章 相似三角形【单元进阶卷】 （浙教版·温州地区适用 考试时间：90分钟 满分：120分） 考试范围：浙教版九年级上册第四章《相似三角形》（4.1 比例线段｜4.2 由平行线截得的比例线段｜4.3 相似三角形｜4.4 两个三角形相似的判定｜4.5 相似三角形的性质及应用｜4.6 相似多边形｜4.7 图形的位似） 学校：__________ 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 题 号 一 二 三 总分 等级 得 分 注意事项：1．答题前请将学校、班级、姓名、学号填写清楚；2．选择题须用2B铅笔填涂，其余题目用黑色签字笔作答；3．解答题应写出必要的文字说明或演算步骤，只写答案不给过程分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知线段，线段是和的比例中项，则等于（   ） A．2 B．4 C．±4 D．8 2．如图：，那么的长为（    ） A．4 B．12 C． D．6    3．如图是某景区大门部分建筑，已知，当时，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点D，E分别在的边上，且，若，则值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 5．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法正确的是（） A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似 6．如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 7．若，且＝．若的面积为8，则的面积是（    ） A． B．6 C．9 D．18 8．若,顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且，则这两个三角形的对应中线之比为（     ） A． B． C． D． 9．地图上两地间的图上距离为厘米，比例尺是，那么这两地间的实际距离是（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 10．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上） 11．一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台长为米，主持人现在站在处，则它应至少再走　　　　　　米才最理想．（结果精确到米） 12．如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是　　　　　　　　． 13．如图，线段相交于点，连接，请添加一个条件，使与相似，且点的对应点为点，这个条件可以是　　　　　　　　．（写出一个条件即可） 14．如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，垂足为F．若，则　　　　　　　　　　cm． 15．2024年10月1日，是伟大祖国75周年华诞，全国各地都升起了鲜艳的五星红旗——国旗．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是　　　　　　． 16．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是　　　　　　　　． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）已知线段满足，且 (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值． 18．（6分）已知三条互相平行的直线分别截直线l4于点，截直线于点，直线与相交于点O，且，． (1)求的长； (2)求的长． 19．（8分）如图，在中，正方形的边长是6，且四个顶点都在的各边上，． (1)求证：； (2)求的值．    20．（8分）如图，在中，的平分线交于点D，交于点E， (1)求证：； (2)若，求线段长． 21．（10分）如图，建筑物上有一个旗杆，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，小芳沿后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆米，米，米，米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，、均垂直于，请你帮助小芳求出这座建筑物的高． 22．（10分）小亮运用《数书九章》中测量塔高的方法测量一幢楼房的高度．如图，表示楼房的高，表示一根直杆顶端到地面的高，表示小亮的眼睛到地面的高，在同一平面内，点在同一条直线上．已知，小亮从点远眺楼顶，视线恰好经过直杆的顶端，请帮小亮求出楼房的高． 23．（12分）如图，矩形中P为对角线上一动点，过P点作交于点E，作交于点F，连接、． (1)若， ①求证：平分； ②求证： (2)已知， 且P为的中点， 求矩形的周长．    24．（12分）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为． (2)证明和相似． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期 九年级数学（上册） 第四章 相似三角形【单元进阶卷】 参考答案与详细解析 （浙教版·温州地区适用 满分：120分） 一、答案速查 1．选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A A C D B B B 2．填空题（每小题3分，共18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 （或或） （2） 9 3．解答题（共72分）各题答案与分步评分标准见"二、详细解析"． 二、选择题详细解析 1． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【详解】解：线段，线段是和的比例中项， ， ， ， （舍去负值）， 故选：B． 2． 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 3． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再由可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选C． 4． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，本题可根据相似三角形的性质，利用相似三角形面积比与相似比的关系来求解的面积． 【详解】解：相似三角形面积比等于相似比的平方， 设与的面积分别为和，相似比为k， 则有， 由题可知，已知， 将其代入到中，可得， 即． 故选：A． 5． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可． 【详解】在图①中：第一个三角形三个角分别为：75°，35°，180°－75°－35°＝70°； 第二个三角形的两个角分别为：75°，70°； 故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似； 在图②中：∵， ∴， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC∽△DOB, 故都相似． 故选：A 【点评】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键． 6． 【答案】C 【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 根据作图可知，即可证明． 【详解】解：根据作图可知， 又， ∴， 故选：C． 7． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵，且＝． ∴ ∵的面积为8， ∴的面积为18， 故选：D． 8． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质，对应中线之比等于相似比得到结果. 【详解】,、、分别与、、对应，且 ∴对应中线之比=. 故选B. 【点评】本题考查相似三角形的性质，对应线段之比都等于相似比. 9． 【答案】B 【分析】根据比例尺定义代入计算，最后化单位即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 实际距离为：（厘米）， ∴（厘米）（千米）， 故选B． 【点评】本题考查比例尺的运用，解题的关键是熟练掌握比例尺的定义及注意单位化简． 10． 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义判断即可. 【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以A，B，D中的两个图形是位似图形，C中的两个图形不是位似图形. 故选B. 【点评】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形. 三、填空题详细解析 11． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的计算，分式方程的运用，掌握黄金分割的计算方法是关键． 根据黄金分割点的计算方法列分式方程计算即可． 【详解】解：设至少再走米， ∴，整理得， 解得， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴至少再走米， 故答案为： ． 12． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：观察图象可知， ． 故答案为：． 13． 【答案】（或或） 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定方法，根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【规范解答】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：（或或）． 14． 【答案】 【分析】由，可得，由菱形的性质与折叠可得，过点E作于点G，设，则，易证，得到，代入即可求出x的值，从而得到的长，进而在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】∵， ∴， 由翻折可得：， ∴在菱形中， ∵， ∴ ∴在中， ∵在菱形中， ∴， 又由折叠有，且， ∴ 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵在菱形中， 又， ∴， ∴，即 解得：， ∴， ∴在中，． 故答案为： 【点评】本题考查菱形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．综合运用各知识点，正确作出辅助线，得到相似三角形是解题的关键． 15． 【答案】（2） 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知似多边形对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应边的比相等求解即可． 【详解】解∶∵， ∴， 则（2）不符合标准， 故答案为∶（2）． 16． 【答案】9 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为， ∴与的面积之比为， ∵的面积为4， ∴的面积是9， 故答案为：9． 四、解答题详细解析 17． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，可设，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1） 设， ， ， ， （2）是a、b的比例中项， ， 是线段， ． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如(即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． 18． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，推出，即可求解； （2）由，推出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 19． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据正方形的性质得，根据直角三角形两个锐角互余得到，即可证明； （2）由（1）知，根据三角形相似的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解： ， ， ∴． 【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟记三角形相似的判定方法是解题关键． 20． 【答案】(1)见解析 (2)线段长为5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据角平分线的定义、角的和差可得，再结合即可证明结论； （2）由线段的和差可得，再根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵ ， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴线段长为5． 21． 【答案】这座建筑物的高BC为14米． 【分析】根据相似三角形的判定和性质得出CD，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得，∠ACE=∠FDE=90°，∠AEC=∠FED， ∴△ACE∽△FDE， ∴，即 ， ∴， 由题意可得，∠BCG=∠FDG=90°，∠BGC=∠FGD， ∴△BCG∽△FDG， ∴，即 ， ∴6.5BC=4（CD+6.5）， ∴， ∴BC=14， ∴这座建筑物的高BC为14米． 【点评】此题考查似三角形的判定和性质的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质解答． 22． 【答案】楼房的高为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．过作于，根据矩形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过作于，交于E， 则， ， ， ， ， ， ， ， 答：楼房的高为． 23． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①由矩形得到，然后根据等边对等角和平行线得到，等量代换得到，然后结合即可求解； ②证明出，得到，然后等量代换即可证明； （2）如图所示，过点D作，由相似得到，代数求出，利用三线合一求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②∵， ∴， ∴， ∵（矩形的性质）， ∴， ∴， ∴ ∴整理得； （2）解：如图所示，过点D作， ∵，且为的中点， ∴，（矩形的性质）， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长．    24． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据和位似，且位似比为作出图形即可； （2）利用相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， ； （2）证明：小正方形边长为1， ， ， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $