第四章 相似三角形【易错复盘卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区）

**基本信息** 聚焦浙教版九年级相似三角形单元易错点，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合黄金矩形、河宽测量等真实情境，强化几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段、相似判定与性质|如第7题通过周长差考查相似比计算，夯实基础| |填空题|6/18|黄金矩形、位似面积比|如16题结合位似中心求面积比，深化空间观念| |解答题|8/72|实际测量、动态几何|如21题河宽测算（应用意识）、23题A4纸折叠（创新意识），体现综合应用|

2026—2027学年度第一学期 九年级数学（上册） 第四章 相似三角形【易错复盘卷】 （浙教版·温州地区适用 考试时间：90分钟 满分：120分） 考试范围：浙教版九年级上册第四章《相似三角形》（4.1 比例线段｜4.2 由平行线截得的比例线段｜4.3 相似三角形｜4.4 两个三角形相似的判定｜4.5 相似三角形的性质及应用｜4.6 相似多边形｜4.7 图形的位似） 学校：__________ 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 题 号 一 二 三 总分 等级 得 分 注意事项：1．答题前请将学校、班级、姓名、学号填写清楚；2．选择题须用2B铅笔填涂，其余题目用黑色签字笔作答；3．解答题应写出必要的文字说明或演算步骤，只写答案不给过程分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，若，则为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，则的值为（  ） A． B． C． D．2 3．如图，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，则∠BCD的度数是（　　） A．32° B．48° C．64° D．86° 5．如图， 已知， 添加下列条件后， 仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，则图中相似三角形的对数为(    ) A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 7．两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（   ） A．75，115 B．85，125 C．60，100 D．45，85 8．若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 9．下列说法错误的是(   ) A．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 C．边数相等的两个正多边形一定相似 D．如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，这个四边形一定是菱形 10．在平面直角坐标中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'，若点A和它对应点A'的坐标分别为(2，5)，(-6，-15)，则△A'B'C'与△ABC的相似比为(    ) A．-3 B．3 C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上） 11．矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的周长为　　　　　　　　　． 12．如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是　　　　　　　　　　　． 13．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为　　　　　　　　　　　　．    14．如图，已知中，点是线段上一动点，过点作交于点，当点从点运动到点的过程中，点经过的路径长是　　　　　　． 15．如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的　　　　　．（从平移、轴对称、相似、旋转中选） 16．如图，O是内任意一点，D、E、F分别为、、上的点，且与是位似三角形，位似中心为O．若，则与的面积比为　　　　　　　　　　． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）已知线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值． (2)若线段a，b，c，d成比例线段，求线段d的值． 18．（6分）如图在四边形中，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 19．（8分）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 ． 20．（8分）如图，在的方格纸中，每个方格边长为，和都是格点三角形． (1)填空：______，______ (2)判断与是否相似，并说明你的结论． 21．（10分）如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度．在河对岸有一棵高4米的树，树在河里的倒影为，小斌在岸边调整自己的位置，当恰好站在点B处时看到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点C到水面的距离米，米，米，视线与水面的交点为D，请你根据以上测量方法及数据求河的宽度． 22．（10分）如图，在中，P，是边上的两个动点，点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动；点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动．它们同时出发，设出发时间为秒． (1) ________（用含的代数式表示）； (2)当________秒时； (3)设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 23．（12分）A4纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入(编号是)，虽然其中一些格式法国在同一时期也自行研发出来，不过之后就被遗忘了．定义了 A、B、C 三组纸张尺寸． (1)观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较长边与较短边的比为 ． (2)探究迁移；将一张纸沿经过A、C两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点E．点E是否为的中点?请说明理由． (3)拓展应用；利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点． 24．（12分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上． （1）画出位似中心O； （2）求出△ABC与△A′B′C′的相似比． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期 九年级数学（上册） 第四章 相似三角形【易错复盘卷】 参考答案与详细解析 （浙教版·温州地区适用 满分：120分） 一、答案速查 1．选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C D B  【分析】此题考查了相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似．解题的关键是注意识图，注意做到不重不漏． 由，根据平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，可得，，所以图中共有对相似三角形． 【详解】 解：， ，，． 图中共有对相似三角形． 故选B． A D D B 2．填空题（每小题3分，共18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 或 相似 3．解答题（共72分）各题答案与分步评分标准见"二、详细解析"． 二、选择题详细解析 1． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解： ， ． 故选：A． 2． 【答案】A 【分析】先求出AB，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 3． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段比例定理，得到对应的线段成比例，判断出正确的选项． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查平行线分线段比例定理，解题的关键是掌握这个定理，根据平行的条件得到对应的线段成比例． 4． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质得到∠DAC＝∠B＝31°，∠BAC＝∠D＝117°，根据四边形的内角和等于360°计算即可． 【解析】解：∵△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°， ∴∠DAC＝∠B＝31°，∠BAC＝∠D＝117°， ∴∠BCD＝360°﹣∠B﹣∠BAD﹣∠D＝360°﹣31°﹣117°﹣31°﹣117°＝64°， 故选：C． 5． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 6． 【答案】B  【分析】此题考查了相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似．解题的关键是注意识图，注意做到不重不漏． 由，根据平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，可得，所以图中共有对相似三角形． 【详解】 解： ，． 图中共有对相似三角形． 故选B． 7． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质．设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为，利用相似三角形的周长比等于对应边之比的性质，列方程求解即可． 【规范解答】解：设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应边分别是15和23， ∴对应边之比为， ∴ 周长之比也为， 即 ， 解得：， ∴小三角形周长为75，大三角形周长为． 故选：A 8． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意， 故选：D． 9． 【答案】D 【分析】根据正方形的判定方法、平行线分线段成比例、相似三角形的性质和菱形的判定方法一一判断即可． 【详解】A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形，说法正确，不符合题意； B. 平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例，说法正确，不符合题意； C. 边数相等的两个正多边形一定相似，说法正确，不符合题意； D. 如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，这个四边形不一定是菱形，也可能是筝形，原说法错误，不合题意； 故选：D． 【点评】本题考查正方形的判定、平行线分线段成比例、相似三角形的性质和菱形的判定等知识，注意区分菱形和筝形． 10． 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质和坐标与图形的性质，进行解答即可． 【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′关于原点位似，且点A和它的对应点A′的坐标分别为（2，5），（-6，-15）， ∴对应点乘以-3，则△A′B′C′与△ABC的相似比为：3． 故选：B. 【点评】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解答此题的关键． 三、填空题详细解析 11． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了黄金比，矩形的周长，由题意可得，即得，进而根据矩形的周长公式计算即可求解，掌握黄金比是解题的关键． 【规范解答】解：∵矩形为黄金矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长为， 故答案为：． 12． 【答案】 【思路点拨】根据是斜边上的高，于点，得，再根据相似三角形的判定，即可． 【规范解答】∵是斜边上的高，于点， ∴， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 故答案为：． 13． 【答案】 【分析】在上取一点G，使得连接．根据菱形的性质可知，则，结合，可得，利用相似三角形的性质证得根据可知的长即为的最小值，利用勾股定理求出便可解决问题． 【详解】解：如图，在上取一点G，使得，连接． ∵四边形为菱形， ∴， ∵，P是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴当点G、P、C在同一直线上时，取得最小值， 此时 ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握“胡不归”问题模型，正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质和勾股定理求解．      14． 【答案】 【分析】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的判别式等知识，过点作于，设，构建一元二次方程，利用判别式求出的最大值，可得结论．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】解：过点作于，如图所示： 设， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ∴或（，不符合题意，舍去）， ∴， ∴的最大值为， 当点从点运动到点的过程中，点经过的路径长是2倍的最大值， ∴点经过的路径长是， 故答案为：． 15． 【答案】相似 【分析】本题考查相似的应用，根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案． 【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似， 故答案为：相似． 16． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查位似图形的性质，掌握“位似图形的面积比等于位似比的平方”是解题的关键；先计算位似比再根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行计算即可． 【规范解答】∵ ， ∴， ∴． ∵与是位似三角形，位似中心为O， ∴，且相似比为． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比为． 考点27：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，． (1)把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【思路点拨】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点逆时针方向旋转得到即可； （2） 按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【规范解答】（1）解：如图，把绕点逆时针方向旋转得到，即为所求； （2）如图，在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为，即为所求； （3）的面积为． 四、解答题详细解析 17． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例，线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）设，得到，代入，求出 ，则，即可解答． （2）推导出，将代入求解即可． 【详解】（1）解：设， 则 ∵ ∴， 解得， ∴． （2）∵线段a，b，c，d成比例线段， ∴， ∴ ∴． 18． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定添加条件证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ，即， 当时， ； 或当时， ； 或当时， ∴， 故答案为：或或 19． 【答案】140 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质． 根据相似三角形的判定可得，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度 【详解】解：如图， ∵ ，． ∴， 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得 ， ， 解得． 灯泡离地面的高度为； 故答案为：140． 20． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． （1）根据图形求出，根据勾股定理求出即可； （2）求出的值，求出和的值，再根据相似三角形的判定定理即可解答． 【详解】（1）解：由图可知：， 根据勾股定理∶． 故答案为：，． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． 21． 【答案】7.2米 【分析】首先推知，利用相似三角形对应边成比例求得线段米，则米． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，即， ∴， ∴米， ∴河的宽度为7.2米． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 22． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查列代数式，平行线分线段成比例，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，解题的关键是第3问注意分段讨论． （1）根据列代数式即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，当时，由此列式求解； （3）按照运动时间进行分类讨论，当时，当时，过点Q作于点H， 证明，得出，再根据列函数关系式． 【规范解答】（1）解：由题意知， 故答案为：； （2）解：如图， ， ， ， 解得， 故答案为：； （3）解：在中， ， 当点Q到达点C时， 当点Q到达点A时， 当时，如图， ； 当时，如图，过点Q作于点H， ， ， ， ， ， ， 综上可得，关于的函数关系式为． 23． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）设纸较长边的长为a，较短边长为b，易求得第一次折痕长为，根据第1次的折痕与纸较长的边重合得到，进而可求解； （2）设，根据矩形和折叠性质得到，进而证得，由推导出即可； （3）延长、相交于点P，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得，再根据折叠性质和等角对等边得到，证明得到，进而可求得，即可证得结论． 【详解】（1）解：设纸较长边的长为a，较短边长为b， 由题意，第一次折痕长为， ∵第1次的折痕与纸较长的边重合， ∴，即， 故答案为：； （2）解：点E是的中点，理由如下： 由（1）得，设， 由折叠使得点A和点C重合得，则， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即点E是的中点； （3）解：如图，延长、相交于点P， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴G是的黄金分割点． 【点评】本题考查矩形与折叠性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、黄金分割等知识，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 24． 【答案】（1）见解析；（2）1：2． 【分析】△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，位似中心O是每一组对应点所连直线的交点，它们的顶点都在小正方形的格点上．则△ABC与△A′B′C′的相似比为对应边之比． 【详解】解：（1）如图，点O即为所求； （2）∵顶点都在格点上，B′C′=2，BC=， ∴BC：B′C′=1：2 ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2． 【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比就是对应边的比． 学科网（北京）股份有限公司 $