专题05实际问题与二次函数期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题05实际问题与二次函数期中复习讲义 ✵复习目标 1.能够分析实际问题中的数量关系，建立二次函数模型，体会二次函数的模型思想。 2.掌握借助二次函数顶点求解实际问题最值的方法，理解自变量实际取值范围对最值的约束作用。 3.能够合理建立平面直角坐标系，求解抛物线型实物问题，熟练运用二次函数解决几何、营销等典型实际问题。 4.体会数形结合的数学思想，规范建模、列式、求解、检验的完整解题流程。 ✵高频题型梳理 题型1.图形问题（实际问题与二次函数） 题型2.图形运动问题（实际问题与二次函数） 题型3.拱桥问题（实际问题与二次函数） 题型4.销售问题（实际问题与二次函数） 题型5.投球问题（实际问题与二次函数 题型6.喷水问题（实际问题与二次函数） 题型7.增长率问题（实际问题与二次函数） 题型8.其他问题（实际问题与二次函数） 题型9.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一 利用二次函数解决实际问题的一般步骤 审题：找出已知量、未知量与等量关系。 建模：设自变量，列出二次函数解析式 y=ax2+bx+c(a≠0)。 定范围：根据实际意义确定自变量取值范围（最值必须在此范围内讨论）。 求解：利用函数性质求最值；顶点不在区间内时，在端点处求最值。 检验作答：验证结果是否符合实际，规范写出答案。 要点提示：函数顶点最值不等于实际问题最值，受自变量取值范围限制。 知识点二 求二次函数最值 将解析式写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，当x=h时，y有最大（小）值k；若对二次函数y=ax2+bx+c使用配方法，则当x=-时，y有最大（小）值。 知识点三 两类核心模型 1.销售利润模型：总利润 = 单件利润 × 销售量 单件利润 = 售价 − 进价；售价发生变化时，销售量随之改变，据此构建二次函数，求解最大利润。 2.抛物线实物模型： 解题思路：恰当建立平面直角坐标系，将实物上已知位置转化为平面坐标，代入求出抛物线解析式，再借助解析式求解高度、水平距离等问题。 解题技巧：优先将抛物线顶点放置在 y 轴上，选用顶点式y=a(x-h)2+k列式，简化计算过程。 ✵易错提醒 1.忽略自变量的实际取值范围，直接套用顶点公式求最值，是本小节最常见的错误；当顶点横坐标不在取值区间内时，需要结合增减性，在区间端点求取最值。 2.建立平面直角坐标系时，混淆坐标符号，位于抛物线下方的点纵坐标为负数。 3.利润问题中，涨价、降价对应的销量变化关系列式出错。 4.求出函数最值后，未检验结果是否符合现实意义。 5.求出的函数值对应题目中的实际量，作答时注意对应题干所求。 ✵典例精讲 题型1.图形问题（实际问题与二次函数） 1．如图，李叔叔想用长为的篱笆围成一个矩形草莓园，且要求矩形的一边的长不得低于，草莓园中有一横两纵且宽均为的小路，其余部分种草莓，则种草莓部分的最大面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设草莓部分的面积为S，，则，再表示出种植草莓区域的长和宽，然后根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：把小路平移到上方和左方，面积不变，如图： 设草莓部分的面积为S，，则， ∵小路的宽均为， ∴，， ∴， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，． 2．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，且在边处设计有宽的通道方便出入，若墙足够长，求这个花园可围成的最大面积是_____． 【答案】 【分析】设垂直于墙的一边长为，表示出平行于墙的一边长，再利用矩形面积公式列出二次函数关系式，最后利用二次函数的性质求最值． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为，围成的矩形面积为． 因为篱笆长为，且在处设计有宽的通道， 所以平行于墙的一边长为，即， 所以，即， 因为， 所以当时，有最大值，最大值为， 此时平行于墙的一边长为，符合题意， 故这个花园可围成的最大面积是． 3．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设，矩形的面积为． (1)写出与的函数关系式（不需写出x的取值范围）； (2)若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 【答案】(1)． (2)（）． 【分析】（1）由篱笆总长 m 且只围 、 两边，得 ，矩形面积 ； （2）树 距墙 为 m、距墙 为 m，把树围在花园内需 且 ，得 ；配方 ，由对称轴位置知 在 上随 的增大而增大，故 时取最大值． 【详解】（1）解：∵ 篱笆只围 、 两边，篱笆总长 m， ， ∴ ， ∴ ． （2）解：∵ 点 与墙 的距离是 ，花园在墙 上方的竖直宽度为 ，要把树围在花园内，需 ； ∵ 点 与墙 的距离是 ，花园从墙 起的水平宽度为 ，需 ，即 ， ∴ ． ∵ ，抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ∵ ， ∴ 随 的增大而增大， ∴ 当 时， 取最大值 （）． 题型2.图形运动问题（实际问题与二次函数） 1．如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A点作于H，利用等腰直角三角形的性质得到，，分类讨论：当时，如图1，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图2，易得，根据三角形面积公式得，于是可判断当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，故B选项符合题意． 2．如图，在中，点B在x轴上，于点B，且．设直线（）截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数解析式为_______________． 【答案】 【分析】得到为等腰直角三角形，则，即可建立函数表达式． 【详解】解：如图，在中，， ∴ 由题意得，轴 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴． 3．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，．理由如下： ， 由（2）可知：， 故当时， . 【分析】（1）根据题意列出和的代数式即可． （2）根据题意得出，再利用勾股定理得出，最后解方程即可得出答案． （3）根据，得出关于t的一元二次函数，利用二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，． （2）解：∵当点Q运动到点C时，两点停止运动且， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得：（不合题意，舍去）或， 故当时，的长度等于． （3） 略； 题型3.拱桥问题（实际问题与二次函数） 1．有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图，平面直角坐标系的原点O是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，x轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是米．为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于．如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为米，此时最多可悬挂的灯笼数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据题意可得抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，进一步可得解析式，结合灯笼长0．5米，要求灯笼最底端不低于，可得悬挂点的最低纵坐标为，将代入抛物线表达式，即可解答． 【详解】解：根据题意可得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入可得， 解得， ∴桥拱截线所在抛物线的表达式为； 由题意可得点的纵坐标为， 灯笼长米，要求灯笼最底端不低于， 悬挂点的最低纵坐标为， 将代入抛物线表达式，可得， 解得， 相邻悬挂点水平间距为米， 最多可悬挂灯笼数为个． 2．如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为________m． 【答案】 【分析】建立适当的坐标系，设抛物线解析式为，由已知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题． 【详解】建立如图所示坐标系， 抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入解析式，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴两盏壁灯之间的距离为． 3．如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为，为平行于地面的一张除湿板． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，然后把分别代入抛物线对应的函数解析式解方程组即可； （2）先求出拱顶到x轴的距离，即顶点坐标的纵坐标，然后求出点的横坐标，代入表达式，求出纵坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，． 把分别代入抛物线对应的函数解析式， 得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为． （2）解：， ∴顶点坐标为， ∴拱顶到x轴的距离为． 由题意得， 将代入中， 解得， ， ∴除湿板与仓顶间的距离为． 题型4.销售问题（实际问题与二次函数） 1．某商场降价销售一批名牌衬衫．已知商场所获得的利润y（元）与降价金额x（元）之间的关系是，则该商场最多获利（     ） A．15元 B．400元 C．80元 D．1250元 【答案】D 【分析】将二次函数配方为顶点式，结合开口方向求最大利润． 【详解】解：， ∵， ∴当时，的最大值为． 2．某商场引进一批进价为每件元的玩具，如果以每件元销售，那么一个月可售出件．如果提高售价，销售单价每上涨元，月销售量将相应减少件，当销售单价为________元时，该店一个月获得的利润最大． 【答案】 【分析】根据总利润每件利润销售量，列出利润关于销售单价的二次函数，利用二次函数性质求最大值点． 【详解】解：设销售单价为元，该店一个月获得的利润为元， 根据题意，每件利润为元， 销售单价上涨了元，因此月销售量减少件，月销售量为件， 可得总利润， 整理得， ，二次函数开口向下，存在最大值， 当时，取得最大值， 即当销售单价为元时，该店一个月获得的利润最大． 3．春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如表所示： 电影票售价（元/张） 售出电影票数量（张） (1)请求出与之间的函数关系式： (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式： (3)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，且是整数） (2)（，且是整数） (3)电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由题意可得： ， 解得． （，且是整数）． （2）解：根据题意，得（，且是整数）． （3）解：， ，且是整数， 或41时，最大为5060． 答：电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元． 题型5.投球问题（实际问题与二次函数 1．一位运动员掷出铅球，铅球离地高度（单位：米）关于水平距离（单位：米）的函数表达式为，此运动员这一掷的成绩是（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 【分析】掷铅球的成绩为铅球落地时的水平距离，需求解时的正根． 【详解】解：当铅球落地时，， 代入函数表达式，得， 两边同乘，得， 因式分解，得， 解得，， ∵水平距离为正数， ∴舍去，即成绩为9米． 2．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为________秒． 【答案】/ 【分析】先用待定系数法求出二次函数的表达式为，当时，解方程求出即可． 【详解】解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的表达式为， ∵抛物线过，代入，， 解得， ∴这个二次函数的表达式为：， 当时，， 解得：（不合题意舍去），， ∴铅球落地点到出手点的时间为秒． 3．篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小石站在距篮圈中心水平距离处的点练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是（单位：）时，球心距离地面的竖直高度是（单位：）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 ①由表中数据可知，小张第一次练习投篮的出手高度是______，球运行过程中的最高高度是______． ②结合表中数据，求与满足的函数解析式； ③小石第一次投篮练习能否投进，请说明理由； (2)第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次最高点的正上方．如果小石在进行第二次训练时，在他正前方米处的教练准备起跳拦截，教练起跳后伸直手臂手尖离地的最大高度是米，那么教练能否成功拦截小石这次投篮？请说明理由．（篮球半径忽略不计） 【答案】(1)①；； ②或； ③答：不能投进，理由如下： 当时， ， ∴小石第一次投篮练习不能投进； (2)答：教练不能成功拦截小石这次投篮，理由如下： 由题意得：第二次训练的抛物线形状与第一次相同，对称轴相同， 设第二次训练的抛物线解析式为：， 当时， ， 解得：， 即：第二次训练的抛物线解析式为：， 当时， ， ∴教练不能成功拦截小石这次投篮. 【分析】（1）①根据表格即可得出结论； ②根据表格数据用待定系数法求出解析式即可； ③把代入解析式求出值，然后再与比较即可得出结论； （2）由题意得：第二次训练的抛物线形状与第一次相同，对称轴相同，用待定系数法求解析式，把代入求出值，然后再与比较即可得出结论. 【详解】（1）①解：由表格可知：当时，；的最大值是， ∴小石第一次练习投篮的出手高度是，球运行过程中的最高高度是． ②由表格可知：抛物线的顶点， 设与满足的函数解析式为：， ∵在抛物线上， ∴，解得：， 即：； ③见答案（略） （2） 见答案（略） 题型6.喷水问题（实际问题与二次函数） 1．如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】 解：， ， 当时，取最大值为， 水流喷出的最大高度为. 2．如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了“二次函数的图象与性质”，理解题意，找到对应点的坐标是解题关键． 根据题意，通过距离关系，得到对应点的坐标，根据点坐标求解析式，解析式与y轴的交点纵坐标即为设计高度的值． 【详解】解：由题意，得，即，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， 令，得， ∴这个装饰物设计高度为5． 故答案为： 5． 3．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出抛物线与轴正半轴交点的横坐标，即可求出自变量的取值范围； （）由题意得调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点，设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 令，得， 解得， ∴第一象限部分图象对应的自变量的取值范围为； （2）解：由题意得，调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点， 设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴调整后水管的最大长度为． 题型7.增长率问题（实际问题与二次函数） 1．某商品价格是元，准备进行两次降价，若每次降价百分率都是，两次降价后价格（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则与之间的关系式为（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】每次降价的基数为上一次降价后的价格，据此推导两次降价后的价格表达式． 【详解】解：商品原价为元，第一次降价百分率为， 第一次降价后的价格为元， 第二次降价百分率仍为，降价基数为第一次降价后的价格， 两次降价后的价格． 2． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 3．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 【答案】(1)含的代数式为，二次函数一般形式为 (2)该市参加健身运动人数的年平均增长率为 【分析】（1）初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则满足等量关系，再化为一般式即可； （2）令，则，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x， 由题意得：2023年参加健身运动的人数， ∴二次函数一般形式为 （2）解：由题意得：，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该市参加健身运动人数的年平均增长率为． 题型8.其他问题（实际问题与二次函数） 1．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来所用的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的最大值时自变量的值即可得． 【详解】解：∵汽车刹车后到停下来时，行驶距离取得最大值， ∵，其中， ∴当时，取得最大值，即汽车刹车后停下来． 2．在某校“科技点亮未来”活动中，火箭模型弹射这一充满巧妙构思的作品吸引了同学们的目光，火箭模型从地面弹出．模型在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当火箭模型达到最高点时，其最大高度为__________米． 【答案】 【分析】求火箭模型的最大高度，即求二次函数的最大值，可通过配方得到顶点式，结合二次函数性质求解． 【详解】解：对函数关系式配方，得， ∵， ∴二次函数开口向下，顶点为最高点，的最大值为． 即最大高度为米． 3．如图，某跳水运动员进行跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为，跳板距离水面的高为，跳水运动员在离起跳点水平距离时达到距水面最大高度米，现以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)当时，求这条抛物线对应的函数表达式； (2)图中，，，若跳水运动员在区域内（含点）入水时才能达到训练要求， ①当时，是否达到训练要求？ ②直接写出达到训练要求时，的取值范围______． 【答案】(1) (2)①不能；② 【分析】（）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可； （）①把代入（）所得函数解析式得，进而得到入水点不在区域内，即可求解；②设抛物线的解析式为，把代入得，即得，若跳水运动员要在区域内入水（含点），则当时，；当时，，据此列不等式组解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴这条抛物线对应的函数表达式为； （2）解：①当时，， 解得，， ∵运动员的入水点在轴右侧， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴入水点不在区域内， ∴不能达到训练要求； ②设抛物线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴， 若跳水运动员要在区域内入水（含点），则当时，；当时，， 即， 解得， ∴达到训练要求时，的取值范围为． ✵分层专项训练 一、单选题 1．小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．12 B．11 C．6 D．3 【答案】B 【分析】利用二次函数顶点式图像求出点坐标以及对称轴，再根据二次函数的对称性和的值求出点横坐标，从而知道的纵坐标，即可知道点纵坐标，结合点纵坐标即可知道的长度，即可求出长度． 【详解】解：， ，二次函数对称轴为． ，关于点对称， ， 点横坐标为， 点纵坐标为， 点纵坐标为， 点纵坐标为， ， ， ． 2．有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为米，拱顶距水面米．拱桥的截面如图，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是米．为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于．设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点坐标为，如果能且最多只能悬挂个灯笼，的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据桥下水面宽度为米，拱顶距水面米，可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据抛物线的解析式求出第个灯笼和第个灯笼的纵坐标即为的取值范围． 【详解】解：桥下水面宽度为米，拱顶距水面米， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 拱顶到的距离是米， 悬挂了个灯笼， 拱顶的左、右各悬挂个灯笼， 设每个灯笼之间的水平距离为， 最左侧灯笼的坐标为， 则有，， ， 若在左侧再加一个灯笼，则这个灯笼的横坐标为， 第个灯笼的纵坐标为， 拱顶到的距离是米， 点的纵坐标为， 又灯笼的长度为米， 悬挂点的纵坐标最低为， 由题意可知， 整理可得：， 解得：或， 解得：或， ， ， 当时，可得：， 当时，可得：， ． 二、填空题 3．某照明公司研发了一款成本为20元的新型节能灯．经过试销售后发现，销售单价定为30元时，每月销售量为300个；每涨价1元，每月少销售10个．那么每月销售这款新型节能灯能获得的最大利润是__________元． 【答案】4000 【详解】解：设销售单价涨价元，销售利润为元， 由题意得，， ∵， ∴当时，取得最大值为4000元， ∴每月销售这款新型节能灯能获得的最大利润是4000元． 4．儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图1）．以出水点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．喷出的水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系．为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道，其截面图如图3所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽为1米．则隧道顶端到地面的最大高度为________米． 【答案】 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当隧道顶部到水柱的竖直距离均等于1.5米时，隧道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵隧道宽为1米， ∴，即， ∵隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米， ∴，即， 即当隧道顶部到水柱的竖直距离均等于1.5米时，隧道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴隧道顶端到地面的最大高度为（米）． 三、解答题 5．在数学课上学习一元二次方程应用——变化率问题时，小雨同学发现若两种商品原价相同，分别经过两轮涨价之后的价格也相同，其中一种商品第一轮涨价，在第一次涨价后的价格基础上，第二轮涨价的百分率为，另一种商品两轮涨价的百分率均为（），则与存在函数关系，试写出与的函数解析式． 【答案】 【详解】解：根据两种商品两轮涨价后的最终价格相等，得， 去括号，得， 移项得， 系数化为1，得． 6．如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由 (4)在运动过程中，四边形的面积有最_____值，最值为_________ 【答案】(1)， (2)当运动时间为或运动时间为时，的长度等于 (3)存在，时间为2秒时，四边形的面积等于面积的 (4)小，15 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，，，结合已知解答即可； （2）根据勾股定理，列式计算即可； （3）根据列式计算即可； （4）求出四边形的面积的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． ∴，， ∴； （2）解：∵，， ， ∴， 整理，得， 解得， 当运动时间为或运动时间为时，的长度等于． （3）解：∵，，， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 故当运动时间为2秒时，四边形的面积等于面积的． （4）解： ， 可知当时，四边形的面积有最小值，最小值为15． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05实际问题与二次函数期中复习讲义 ✵复习目标 · 1.能够分析实际问题中的数量关系，建立二次函数模型，体会二次函数的模型思想。 · 2.掌握借助二次函数顶点求解实际问题最值的方法，理解自变量实际取值范围对最值的约束作用。 · 3.能够合理建立平面直角坐标系，求解抛物线型实物问题，熟练运用二次函数解决几何、营销等典型实际问题。 · 4.体会数形结合的数学思想，规范建模、列式、求解、检验的完整解题流程。 ✵高频题型梳理 题型1.图形问题（实际问题与二次函数） 题型2.图形运动问题（实际问题与二次函数） 题型3.拱桥问题（实际问题与二次函数） 题型4.销售问题（实际问题与二次函数） 题型5.投球问题（实际问题与二次函数 题型6.喷水问题（实际问题与二次函数） 题型7.增长率问题（实际问题与二次函数） 题型8.其他问题（实际问题与二次函数） 题型9.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一 利用二次函数解决实际问题的一般步骤 审题：找出已知量、未知量与等量关系。 建模：设自变量，列出二次函数解析式 y=ax2+bx+c(a≠0)。 定范围：根据实际意义确定自变量取值范围（最值必须在此范围内讨论）。 求解：利用函数性质求最值；顶点不在区间内时，在端点处求最值。 检验作答：验证结果是否符合实际，规范写出答案。 要点提示：函数顶点最值不等于实际问题最值，受自变量取值范围限制。 知识点二 求二次函数最值 将解析式写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，当x=h时，y有最大（小）值k；若对二次函数y=ax2+bx+c使用配方法，则当x=-时，y有最大（小）值。 知识点三 两类核心模型 1.销售利润模型：总利润 = 单件利润 × 销售量， 单件利润 = 售价 − 进价；售价发生变化时，销售量随之改变，据此构建二次函数，求解最大利润。 2.抛物线实物模型： 解题思路：恰当建立平面直角坐标系，将实物上已知位置转化为平面坐标，代入求出抛物线解析式，再借助解析式求解高度、水平距离等问题。 解题技巧：优先将抛物线顶点放置在 y 轴上，选用顶点式y=a(x-h)2+k列式，简化计算过程。 ✵易错提醒 1.忽略自变量的实际取值范围，直接套用顶点公式求最值，是本小节最常见的错误；当顶点横坐标不在取值区间内时，需要结合增减性，在区间端点求取最值。 2.建立平面直角坐标系时，混淆坐标符号，位于抛物线下方的点纵坐标为负数。 3.利润问题中，涨价、降价对应的销量变化关系列式出错。 4.求出函数最值后，未检验结果是否符合现实意义。 5.求出的函数值对应题目中的实际量，作答时注意对应题干所求。 ✵典例精讲 题型1.图形问题（实际问题与二次函数） 1．如图，李叔叔想用长为的篱笆围成一个矩形草莓园，且要求矩形的一边的长不得低于，草莓园中有一横两纵且宽均为的小路，其余部分种草莓，则种草莓部分的最大面积为（） A． B． C． D． 2．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，且在边处设计有宽的通道方便出入，若墙足够长，求这个花园可围成的最大面积是_____． 3．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设，矩形的面积为． (1)写出与的函数关系式（不需写出x的取值范围）； (2)若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 题型2.图形运动问题（实际问题与二次函数） 1．如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点B在x轴上，于点B，且．设直线（）截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数解析式为_______________． 3．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型3.拱桥问题（实际问题与二次函数） 1．有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图，平面直角坐标系的原点O是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，x轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是米．为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于．如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为米，此时最多可悬挂的灯笼数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为________m． 3．如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为，为平行于地面的一张除湿板． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 题型4.销售问题（实际问题与二次函数） 1．某商场降价销售一批名牌衬衫．已知商场所获得的利润y（元）与降价金额x（元）之间的关系是，则该商场最多获利（     ） A．15元 B．400元 C．80元 D．1250元 2．某商场引进一批进价为每件元的玩具，如果以每件元销售，那么一个月可售出件．如果提高售价，销售单价每上涨元，月销售量将相应减少件，当销售单价为________元时，该店一个月获得的利润最大． 3．春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如表所示： 电影票售价（元/张） 售出电影票数量（张） (1)请求出与之间的函数关系式： (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式： (3)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 题型5.投球问题（实际问题与二次函数） 1．一位运动员掷出铅球，铅球离地高度（单位：米）关于水平距离（单位：米）的函数表达式为，此运动员这一掷的成绩是（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 2．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为________秒． 3．篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小石站在距篮圈中心水平距离处的点练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是（单位：）时，球心距离地面的竖直高度是（单位：）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 ①由表中数据可知，小张第一次练习投篮的出手高度是______，球运行过程中的最高高度是______． ②结合表中数据，求与满足的函数解析式； ③小石第一次投篮练习能否投进，请说明理由； (2)第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次最高点的正上方．如果小石在进行第二次训练时，在他正前方米处的教练准备起跳拦截，教练起跳后伸直手臂手尖离地的最大高度是米，那么教练能否成功拦截小石这次投篮？请说明理由．（篮球半径忽略不计） 题型6.喷水问题（实际问题与二次函数） 1．如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（     ） A． B． C． D． 2．如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为____________． 3．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 题型7.增长率问题（实际问题与二次函数） 1．某商品价格是元，准备进行两次降价，若每次降价百分率都是，两次降价后价格（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则与之间的关系式为（     ） A．B． C． D． 2． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 3．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 题型8.其他问题（实际问题与二次函数） 1．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来所用的时间是（    ） A． B． C． D． 2．在某校“科技点亮未来”活动中，火箭模型弹射这一充满巧妙构思的作品吸引了同学们的目光，火箭模型从地面弹出．模型在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当火箭模型达到最高点时，其最大高度为__________米． 3．如图，某跳水运动员进行跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为，跳板距离水面的高为，跳水运动员在离起跳点水平距离时达到距水面最大高度米，现以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)当时，求这条抛物线对应的函数表达式； (2)图中，，，若跳水运动员在区域内（含点）入水时才能达到训练要求， ①当时，是否达到训练要求？ ②直接写出达到训练要求时，的取值范围______． ✵分层专项训练 一、单选题 1．小明以二次函数的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．12 B．11 C．6 D．3 2．有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为米，拱顶距水面米．拱桥的截面如图，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是米．为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于．设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点坐标为，如果能且最多只能悬挂个灯笼，的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．某照明公司研发了一款成本为20元的新型节能灯．经过试销售后发现，销售单价定为30元时，每月销售量为300个；每涨价1元，每月少销售10个．那么每月销售这款新型节能灯能获得的最大利润是__________元． 4．儿童公园的广场上有一个喷泉设施（如图1）．以出水点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．喷出的水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系．为增加儿童游玩趣味性，在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形透明隧道，其截面图如图3所示，为保证隧道不被水流影响，要求隧道顶部到水柱的竖直距离均不小于1.5米，隧道宽为1米．则隧道顶端到地面的最大高度为________米． 三、解答题 5．在数学课上学习一元二次方程应用——变化率问题时，小雨同学发现若两种商品原价相同，分别经过两轮涨价之后的价格也相同，其中一种商品第一轮涨价，在第一次涨价后的价格基础上，第二轮涨价的百分率为，另一种商品两轮涨价的百分率均为（），则与存在函数关系，试写出与的函数解析式． 6．如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由 (4)在运动过程中，四边形的面积有最_____值，最值为_________ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $