第二十六章 第25课时 实际问题与二次函数(2)(抛物线形问题)-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

解得x1=8(不合题意，舍去)，x2=1. 即剪去的正方形的边长为1cm. (2)有侧面积最大的情况 设正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm, .y与x的函数解析式为y=2(10一2x)x+2(8-2x)x, y--8r+3r=-8c-r+婴0<K0, 当x=2.25时，y最大，为40.5. 即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面 积最大，为40.5cm2. 第25课时实际问题与二次函数(2)（抛物线形问题） 1.C2.203.3 4.解：(1)OA=5,OB=5,∴.A(0,5),B(5,0). 分别代入y=一x2+bx十c,得 1c=5, =25+56十c=0.解得6=4’ 故该抛物线的函数解析式为y=一x2+4x十5. (2)令y=2,则-x2+4x+5=2, 整理，得x2一4x一3=0， 解得x=2十√7，x2=2-√7（不合题意，舍去）， 故小明走出(2十√7)m时，头顶刚好碰到树枝 5.解：(1)根据题意，得E(20,6)和C(0,2), 设抛物线的解析式为y=a(x一20)2+6， 代入点C的坐标，得2=a(0-20)2+6, 解得a=-0.01, 故抛物线的解析式为y=一0.01(x一20)2+6. (2)当y=3时，3=一0.01(x-20)2+6, 解得x1=20+10√5，x2=20-10√3（舍去）. 答：点O到训练墙AB的距离OA的长度为(20+10√3)米. 6.解：(1)由题意知，抛物线的顶点坐标为(5,3.2)， 设抛物线的解析式为y=a(x一5)2十3.2， 将(0,0.7)代人，得0.7=25a十3.2，解得a=一10， y品x-5+3.2=-0r+x+0 即抛物线的解析式为)一一十x十品 (2②)当y=1.6时，-0+x+0-1.6, 1 解得x=1或x=9, .她与爸爸的水平距离为3-1=2(m)或9一3=6(m), 即当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m 或6m. 7.解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O到水面 CD的距离为hm. 则D(5,-h),B(10,-h-3), 10a=--3,解得a 将C,D两点坐标代人，得25a=-h, h=1, 抛物线的解折式为y=一宏。 (2)根据题意，得船行驶到桥下的时间为35÷5=7(h), 水位上升的高度为0.25×7=1.75(m). 由(1)知，B(10,-4), 当A=-4+1.75=-225时，令-云=-2.25， 解得x=7.5或x=一7.5（不符合题意，舍去）， ∴.2x=15>10. .水面宽是15m,它能安全通过此桥. 参考咨案 第26课时实际问题与二次函数(3) (建立平面直角坐标系) 1.解：建立如答图所示的平面直角坐标系，设该同学所处的地 方本为点C,作CD⊥x轴交抛物线于点D. 0A=号×10=5(m, y个 0C=5-1=4(m), CD=1.8m, A ∴.A(5,0),C(4,0),D(4,1.8). -10m c1m成 :抛物线的顶点为大门的最高 点，B(0,h). 答图 设抛物线的解析式为y=ax2十h, 将A(5,0),D(4,1.8)代入y=ax2+h, 1 (25ah=0,。解得a=一方 得16a十h=1.8, h=5. 答：该大门的高h为5m. 2.解：(1)根据题意可得第一个拱所在的抛物线经过A(0,0),B (12,0),且最高点的纵坐标为4，设第一个拱所在的抛物线解 析式为y=a.x(x-12). y=ax(x-12)=a.x2-12ax=a(x-6)2-36a, .-36a=4,解得a=一9 故第一个拱所在的抛物线的解析式为)=一号+号。 1 (2)当水面离拱顶最大距离为1m时，水面与抛物线交点的 纵坐标为3. 在y=-日+号x中，令y=3, 4 得-日+号x=8,解得=3，西=0. 故9-3=6(m). 答：拱内水面的宽度为6m. 3.解：(1)如答图，分别以地面和墙面所在直线为x轴、y轴建 立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+20, 3 个M 把点A(0,5)代人抛物线解析式，得a=一 5 3· 故抛物线的解析式为y=一号（。一1十号。 B 3 7777777 (2)当y=0时，五=-1（舍去），x=3. 答图 .'.OB=3 m. ∴水流下落点B离墙距离OB的长是3m. 4,解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所 在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如答图， 则C(一40,0)，D(40,0). 设外侧抛物线的解析式为 y=a(x+40)(x-40), 将(0,300)代入，得 1300m 225m 300=a(0+40)(0-40), 解得a=一。，放外侧抛物线的解析式为 C-8om→b 3 y=-6x+30. 答图 将y=25代入，得-是+30=25，解得x=士20， 故A(-20,225),B(20,225), ∴.AB=40m. 答：在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度AB为 40m.数学·九年级·上册（人教版） 第25课时 实际问题与二 A基础巩固·。 落实课标 1.烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间 t(s)的解析式是h=一2t+20t+1,若这种礼 炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火到引 爆需要的时间为 ( A.3s B.4s C.5s D.10s 2.某桥拱是近似的抛物线 ↑y(m) 形，建立如图所示的平面 x(m D 直角坐标系，其函数解析 式为y=一云，当水面离桥拱顶的高度OD 是4m时，这时水面宽度AB为 m 3.某菜农搭建了一个横截面为抛 物线的大棚，尺寸如图（单位： m),若菜农身高为1.8m,他在 不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是 m. 4.如图1是某街道旁的 棵垂柳，这棵垂柳中某一 枝的形状呈如图2所示 ol B/m 的抛物线型，它距离地面 图1 图2 的高度y(m)与到树干的水平距离x(m)之间 满足解析式y=一x2十bx十c.已知这枝垂柳 的始端到地面的距离OA=5m,末端B恰好 接触地面，且到始端的水平距离OB=5m. (1)求该抛物线的函数解析式； 次函数(2)（抛物线形问题） (2)踩着高跷的小明头顶距离地面2m,他从 点O出发向点B处走去，请计算小明走出 多远时，头顶刚好碰到树枝？ B能力提升●。 灵活应用 5.如图，一名垒球运动员进行 投球训练，站在点O开始 投球，球出手的高度是2 米，球运动的轨迹是抛物 线，当球达到最高点E时，水平距离EG=20 米，与地面的高度EF=6米，掷出的球恰好落 在训练墙AB上B点的位置，AB=3米. (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点O到训练墙AB的距离OA的长度. 6.如图1，小红看到一处喷水景观，喷出的水柱 呈抛物线形状，她对此展开研究：如图2，测得 喷水头P距地面0.7m,水柱在距喷水头P水 平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m; 建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线 的解析式为y=a(x一h)2十，其中x(m)是水 柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面 的高度. (1)求抛物线的解析式； (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P的水 平距离为3m.身高1.6m的小红在水柱 下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时， 求她与爸爸的水平距离. ◆y/m 3.2 5 图1 图2 ●>6 第二十六章二次函数 C拓展应用。。。 深度思考 7.如图1，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时 水面宽AB=20m,当水位上升3m时，水面 宽CD=10m. 个y Ctrettt D (1)按如图2所示的直角坐标系，求此抛物线 的函数解析式； (2)有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶 来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好 在AB处，之后水位每小时上涨0.25m,当 水位达到CD处时，将禁止船只通行.如果 该船的速度不变，继续向此桥行驶35km 时，水面宽是多少？它能否安全通过此桥？