精品解析：贵州省遵义市凤冈县第二中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

凤冈县第二中学2025至2026学年度第一学期第一次月考试卷高二数学学科 命题人：王洪强 审题人：谭占礼 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在复平面内，复数 (i为虚数单位)对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出即可判断作答. 【详解】根据题意知，， 所以在复平面内，复数对应的点在第一象限. 故选：A 2. 用斜二测画法画出的边长为a的水平放置的正方形的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法及平行四边形面积公式可得答案. 【详解】由斜二测画法知直观图的面积. 故选：B. 3. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 【详解】由题可知， 所以， 由余弦定理， 所以． ， ． 4. 如果是空间中的两条直线，是空间中的两个平面，下列命题错误的是（ ） A. 直线与要么相交，要么不相交 B. 当直线与不相交时，与要么平行，要么异面 C. 直线平面，要么与平行，要么在内 D. 平面与要么相交，要么不相交 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间两条直线的共面或异面的位置空间及线面位置关系，两个平面的位置关系可判断各个命题的真假. 【详解】 对于AB：空间中的两条直线a，b的位置关系有共面和异面两种情况，共面时有相交和平行两种情况， 若直线与要么相交，要么不相交，故A正确； 当a与b不相交时，a与b要么平行，要么异面， 故B是正确； 对于C：直线、平面，要么与平行，要么在内,还有可能直线与平面相交，故C是错误的； 对于D：空间两个平面与的位置关系为相交或平行，空间两个平面要么相交，要么不相交，故D正确. 故选：C. 5. 如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它要爬行到上底面的点B处.当圆柱的高等于8cm，底面半径为3cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是（ ） A. 12 cm B. cm C. 18 cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】之间的最短路程为两直角边分别为圆柱的高，底面周长的一半的构成的直角三角形的斜边长． 【详解】如图所示，在圆柱的侧面展开图中， 的长为底面圆周长的一半，即cm， 蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程 cm. 故选：D. 6. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据诱导公式进行化简，然后对原式进行齐次化，转化为只含有的代数式，代入计算可知结果为选项B. 【详解】利用诱导公式化简： 已知角的终边经过点，可得，且. 分子分母同时除以： . 故选：B 7. 已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，圆锥的母线长为，依题意得到求得，继而求出圆锥的高，最后求即得. 【详解】设圆柱的底面半径为，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为， 依题意圆锥的底面半径为，设圆锥的母线长为， 因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以，解得， 则圆锥的高为， 圆柱的体积，圆锥的体积， 所以. 故选：B. 8. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（  ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助奇函数与偶函数的性质可得函数周期性，再利用周期性计算即得. 【详解】由为奇函数，则， 即，则， 由为偶函数，则， 则，则， 则，则， 故周期为，则， 由，则， 则. 故选：D. 二、多项选择（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】借助向量数量积公式、平行性质、模的定义与夹角余弦公式计算即可得. 【详解】对A：，则，故A正确； 对B：由，则，解得，故B错误； 对C：，则，故C错误； 对D：，化简得， 解得，但当时，，故舍去， 故，故D错误. 故选：A. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 在区间的值域为 【答案】AB 【解析】 【分析】借助正弦函数的性质逐项计算并判断即可得. 【详解】对A：当时，，由函数关于对称， 故的图象关于直线对称，故A正确； 对B：当时，，由函数关于点对称， 故的图象关于点对称，故B正确； 对C：当时，， 由函数在上单调递增， 故在区间上单调递增，故C错误； 对D：当时，， 由函数在时的值域为， 则在区间的值域为，故D错误. 故选：AB. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B. 存在点，使得直线平面 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可①②③确定ABC的正误，利用展开法和点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A， ∵正方体的对面互相平行， ∴过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行， 又∵为线段的中点，∴截面交BC于其中点G， 连接，则四边形即为所求截面，显然为等腰梯形， 且， 梯形的高， 面积为，故A正确； 如图所示，设为的中点， 因为，平面，平面， 所以平面， 假设直线平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为分别为正方形的边的中点，所以， 又因为， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 而直线与平面相交，所以直线与平面相交， 这与平面矛盾，故假设直线平面不成立，故B错误. ∵，平面，不在平面内， ∴平面， 又∵，∴到平面AD1C的距离为定值，又∵的面积为定值， ∴当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，故C正确； 将等腰直角三角形展开到与矩形在同一平面内， ， 当共线时取等号，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求不等式的解集_______________. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式后计算即可得. 【详解】由，则，解得. 故答案为：. 13. 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】运用球的体积公式，结合长方体外接球知识解题. 【详解】设球的半径为，长方体外接球的直径长等于长方体体对角线长， 即，故， 所以． 故答案为：. 14. 如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助向量线性运算及数量积公式可得，再求出最小值即可得. 【详解】连接，则 ， 由最小值为中以为底的高， 则， 经检验等号成立时满足题意. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在正四棱锥中，是这个四棱锥的高，是斜高，且，. （1）求这个四棱锥的侧棱长； （2）求这个四棱锥的全面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用勾股定理计算出，可得出，然后利用勾股定理可计算出，即为该四棱锥的侧棱长； （2）计算出该正四棱锥的侧面积和底面积，相加即可得出该正四棱锥的全面积. 【详解】（1）在中，. 在中，，， 侧棱长； （2），，. 【点睛】本题考查正四棱锥的相关计算，涉及正四棱锥的侧棱长以及表面积的计算，计算时要充分分析正四棱锥的结构特征，考查计算能力，属于中等题. 16. 本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩，被抽取的成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按照如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，画出频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求该样本的中位数； （3）为进一步了解学生的学习情况，从分数位于的学生中，按照第二组，第三组，第四组分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数不在同一组内的概率. 【答案】（1） （2）75 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1列方程即可求解； （2）结合频率分布直方图和中位数的定义即可求解； （3）通过列举法和对立事件即可求得概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得： ， 得； 【小问2详解】 设中位数为该样本的中位数为， 所以，得； 【小问3详解】 由分层抽样知，第二组中抽1人，记作，第三组中抽2人，记作，第四组中抽3人，记作， 这6人中抽取2人有，，，，，，，，，，，，，，，共个样本点； 2人来自同一组的有，，，共4个样本点， 所以2人来自不同组的的概率. 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求周长的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化角后计算即可得； （2）借助正弦定理可用角表示出周长，再利用三角恒等变换公式化简计算即可得. 【小问1详解】 由，则， 由，则，则，则， 由，则； 【小问2详解】 ，则、， 则周长为 ， 由，则，则，则， 则， 即周长的范围为. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 【答案】（1） 在四棱锥中，平面，平面，平面， 平面平面，所以； （2） 如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点， 所以且，由（1）知，又， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，则平面. （3） 取中点N，连接，， 因为E，N分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 线段存在点N，使得平面，理由如下： 由（2）知：平面，又，平面，平面， 所以平面平面，又M是上的动点，平面， 所以平面，所以线段存在点N，使得平面. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明； （3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）求的定义域； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组求解即可； （2）根据题意可知，结合二次函数性质利用指数函数单调性求解，分类讨论求解函数的最大值，列不等式求解即可. 【小问1详解】 要使函数有意义，则，解得， 所以的定义域为； 【小问2详解】 因为，所以， ，因为，所以， 所以当时，， 对于函数，， 若，则函数在定义域上单调递减，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以，则， 因为，所以，无解； 若，则函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以， 则，又，所解得； 综上，的取值范围为. 【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤冈县第二中学2025至2026学年度第一学期第一次月考试卷高二数学学科 命题人：王洪强 审题人：谭占礼 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在复平面内，复数 (i为虚数单位)对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 用斜二测画法画出的边长为a的水平放置的正方形的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 4. 如果是空间中的两条直线，是空间中的两个平面，下列命题错误的是（ ） A. 直线与要么相交，要么不相交 B. 当直线与不相交时，与要么平行，要么异面 C. 直线平面，要么与平行，要么在内 D. 平面与要么相交，要么不相交 5. 如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它要爬行到上底面的点B处.当圆柱的高等于8cm，底面半径为3cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是（ ） A. 12 cm B. cm C. 18 cm D. cm 6. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（  ） A. 1 B. C. 0 D. 二、多项选择（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 在区间的值域为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B. 存在点，使得直线平面 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求不等式的解集_______________. 13. 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的体积为__________． 14. 如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在正四棱锥中，是这个四棱锥的高，是斜高，且，. （1）求这个四棱锥的侧棱长； （2）求这个四棱锥的全面积. 16. 本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩，被抽取的成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按照如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，画出频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求该样本的中位数； （3）为进一步了解学生的学习情况，从分数位于的学生中，按照第二组，第三组，第四组分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数不在同一组内的概率. 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求周长的范围. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 19. 已知函数. （1）求的定义域； （2）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $