第3章 图形的相似 能力提升卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第3章图形的相似能力提升卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．（2026秋•顺义区校级月考）已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026秋•顺义区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 3．（2026秋•和平区校级月考）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，则下列选项中的阴影三角形（顶点均在格点上）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026秋•和平区校级月考）如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABD＝∠C，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 5．（2026秋•皇姑区校级月考）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝3，BC＝4，DE＝5，则EF的长度是（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•赤坎区校级期末）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OB：OE＝1：2，若S△ABC＝2，则S△DEF为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 7．（2026秋•闵行区校级期中）如图，在▱ABCD中，AB，AO＝1，CO＝2，则下列各对三角形中相似的有（　　）个． ①△AOE与△COB； ②△AOB与△ABC； ③△AOE与△CBA； ④△BAE与△COB． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026秋•虹口区校级月考）如图，在△ABC中，M是AC的中点，P，Q为BC边上的点，且BP＝PQ＝CQ，BM与AP，AQ分别交于D，E点，则BD：DE：EM等于（　　） A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：3：2 D．5：2：1 9．（2025秋•蓝山县期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠ADE B． C． D．∠C＝∠E 10．（2026秋•市中区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH＝BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：①；②1；③BE平分∠CBD；④2AB2＝DE•DH．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•杭州月考）如图，△ABC∽△DAC，若∠B＝31°，∠D＝117°，则∠BCD＝________ ． 12．（2026秋•武昌区校级月考）如果三条线段a，b，c满足a＞b＞c，且使得，则a：b：c＝____________________ （c为整数）． 13．（2026秋•虹口区校级月考）有下列各组图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个等边三角形；④两副三角板中的含30°角的直角三角形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是_______ （填序号）． 14．（2026秋•市中区校级月考）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A，B，C，过点B的直线DE分别交l1，l3于点D，E．若AB＝2，BC＝4，DE＝9，则线段DB的长为_____ ． 15．（2026秋•东西湖区月考）“黄金分割”在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，如图1，点C把线段AB分成AC和BC两部分，其中AC＞BC，如果AC：AB＝BC：AC＝k，那么称点C是线段AB的黄金分割点，则k的值为____________________ ，我们把底与腰的比值为k的等腰三角形称为“黄金三角形”，如图2中，△DEF，△EFG，△GKF均为“黄金三角形”，则_________________ ． 16．（2026秋•闵行区校级期中）如图，在▱ABCD中，F在BC的延长线上，，那么___________________ ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•虹口区校级月考）如图．直线a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C、交直线n于点D、E，F． （1）若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长； （2）若，DE＝6，求DF的长． 18．（2026秋•虹口区校级月考）如图，在△ABC中，点D是边BC上的点，F为边AC上一点，AD与BF交于点E，若BD：DC＝2：1，AE：ED＝2：3，求BE：EF的值． 19．（2026秋•市中区校级月考）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B，点E在AD边上，CD＝CE． （1）求证：△ABD∽△CAE； （2）若AB＝6，，AD＝5，求CD的长． 20．（2025秋•宝安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比是1：2． （1）请画出△A′B′C′； （2）△A′B′C′与△ABC的周长之比为________ ； （3）若△ABC内部一点M的坐标为（a，b），则点M的对应点M′的坐标是____________________ ． 21．（2026秋•单元）（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长． （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值． 22．（2026•凉州区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，在CD边上取一点E，将△BCE翻折，使点C落在点P处，折痕为BE，BE⊥CP交于点Q． 【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边AD上，求证：△BCE∽△CDP； 【变式求异】（2）如图2，若点E是CD的中点，点P落在矩形内部，求点P到CD的距离； 【化归探究】（3）如图3，若CE＝3DE，EP交AD于点F，求DF的长． 第3章图形的相似能力提升卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026秋•顺义区校级月考）已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、∵， ∴2x＝3y， 故A符合题意； B、∵， ∴3x＝2y， 故B不符合题意； C、∵， ∴xy＝6， 故C不符合题意； D、∵， ∴3x＝2y， 故D不符合题意； 故选：A． 2．（2026秋•顺义区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 【解答】解：∵矩形的对应边不一定成比例， ∴A错误，不符合题意； ∵正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴B正确，符合题意； ∵各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴C错误，不符合题意； ∵相似比是对应边的比， ∴D错误，不符合题意． 故选：B． 3．（2026秋•和平区校级月考）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，则下列选项中的阴影三角形（顶点均在格点上）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、如图①，由勾股定理得到DE，DF2，得到DE：CB＝DF：CA：1，又∠EDF＝∠ACB＝90°，判定△DEF∽△CBA，故A符合题意； B、阴影三角形两直角边的比是1：3，而△ABC的两直角边的比是1：2，因此两个三角形不相似，故B不符合题意； C、如图②，由勾股定理得到GH2＝GI2＝12+22＝5，HI2＝12+32＝10，得到GH2+GI2＝HI2，推出∠HGI＝90°，因此△GHI是等腰直角三角形，而△ABC不是等腰直角三角形，因此两个三角形不相似，故C不符合题意； D、阴影三角形是等腰直角三角形，而△ABC不是等腰直角三角形，因此两个三角形不相似，故D不符合题意． 故选：A． 4．（2026秋•和平区校级月考）如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABD＝∠C，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 【解答】解：∵∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∵AD＝2，CD＝4， ∴AC＝AD+CD＝2+4＝6， ∴， ∴AB＝2， 故选：D． 5．（2026秋•皇姑区校级月考）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝3，BC＝4，DE＝5，则EF的长度是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴，即， 解得：EF， 故选：B． 6．（2025秋•赤坎区校级期末）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OB：OE＝1：2，若S△ABC＝2，则S△DEF为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【解答】解：∵OB：OE＝1：2，且△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵∠EOF＝∠BOC， ∴△OBC∽△OEF， ∴， ∴， ∵S△ABC＝2， ∴S△DEF＝8， 故选：D． 7．（2026秋•闵行区校级期中）如图，在▱ABCD中，AB，AO＝1，CO＝2，则下列各对三角形中相似的有（　　）个． ①△AOE与△COB； ②△AOB与△ABC； ③△AOE与△CBA； ④△BAE与△COB． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEO＝∠CBO，∠EAO＝∠BCO， ∴△AOE∽△COB； ∵AO＝1，CO＝2，， ∴AC＝AO+OC＝3， ∵，， ∴， 又∵∠BAO＝∠CAB， ∴△AOB∽△ABC； ∴∠ABO＝∠ACB， 即∠ABE＝∠OCB， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBO， 又∵∠ABE＝∠OCB， ∴△BAE∽△COB， 综上所述，各对三角形中相似的有3对， 故选：C． 8．（2026秋•虹口区校级月考）如图，在△ABC中，M是AC的中点，P，Q为BC边上的点，且BP＝PQ＝CQ，BM与AP，AQ分别交于D，E点，则BD：DE：EM等于（　　） A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：3：2 D．5：2：1 【解答】解：过A作AF∥BC交BM延长线于F，设BC＝3a， 则BP＝PQ＝QC＝a， ∵AM＝CM，AF∥BC， ∴AF：BC＝AM：CM＝1， ∴AF＝BC＝3a， ∴BD：DF＝BP：AF＝1：3， ∴BD， 同理可得： BEBM， ∴DE＝BE﹣BD，EM＝BM﹣BE， ∴BD：DE：EM：：5：3：2． 故选：C． 9．（2025秋•蓝山县期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠ADE B． C． D．∠C＝∠E 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， A、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意； B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定△ABC∽△ADE，故符合题意； C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意； D、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意， 故选：B． 10．（2026秋•市中区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH＝BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：①；②1；③BE平分∠CBD；④2AB2＝DE•DH．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①设AB＝a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝a，DC∥AB， 由勾股定理可得，， ∵∠CDF＝∠BHF，∠DCF＝∠HBF， ∴△DCF∽△HBF， ∴，说法正确，故符合题意； ②∵，AD＝a， ∴， ∴，说法正确，故符合题意； ③∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°，DC＝BC，AD＝AB，AC⊥BD， ∴AC垂直平分BD， ∴DE＝BE， ∴∠BDE＝∠DBE， ∵BD＝BH， ∴∠H＝∠BDH， ∴∠ABD＝∠BDE+∠H，即45°＝2∠BDE， 解得∠BDE＝22.5°， ∴∠DBE＝22.5°， ∴∠EBC＝∠CBD﹣∠DBE＝22.5°， ∴∠EBC＝∠EBD， ∴BE平分∠CBD，说法正确，故符合题意； ④∵∠BDE＝∠BDH，∠DBE＝∠H， ∴△DEB∽△DBH， ∴， ∴DB2＝DE•DH， ∵，即BD2＝2AB2， ∴2AB2＝DE•DH，说法正确，故符合题意， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•杭州月考）如图，△ABC∽△DAC，若∠B＝31°，∠D＝117°，则∠BCD＝　64°　 ． 【解答】解：∵△ABC∽△DAC，∠B＝31°，∠D＝117°， ∴∠DAC＝∠B＝31°，∠BAC＝∠D＝117°， ∴∠BCD＝360°﹣∠B﹣∠BAD﹣∠D＝360°﹣31°﹣117°﹣31°﹣117°＝64°， 故答案为：64°． 12．（2026秋•武昌区校级月考）如果三条线段a，b，c满足a＞b＞c，且使得，则a：b：c＝　（3）：（1）：2　 （c为整数）． 【解答】解：∵a＝b+c，， ∴， ∴b2﹣bc﹣c2＝0， ∴bc（舍去负值）， ∵a＝b+c， ∴ac， ∴a：b：c＝（3）：（1）：2． 故答案为：（3）：（1）：2． 13．（2026秋•虹口区校级月考）有下列各组图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个等边三角形；④两副三角板中的含30°角的直角三角形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是　③④　 （填序号）． 【解答】解：①两个等腰三角形的对应角不一定相等，故不符合题意； ②两个直角三角形的对应角不一定相等，故不符合题意； ③两个等边三角形的对应角相等，故符合题意； ④两副三角板中的含30°角的直角三角形，对应角相等，故符合题意； ⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形，当一个角是顶角，一个角是底角时不相似，故不符合题意； 综上所述，一定相似的是③④， 故答案为：③④． 14．（2026秋•市中区校级月考）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A，B，C，过点B的直线DE分别交l1，l3于点D，E．若AB＝2，BC＝4，DE＝9，则线段DB的长为　3　 ． 【解答】解：∵AB＝2，BC＝4，DE＝9， ∴， ∵直线l1∥l2∥l3， ∴， ∴BE＝2DB， ∵DE＝DB+BE＝3DB，DE＝9， ∴3DB＝9， ∴DB＝3， 故答案为：3． 15．（2026秋•东西湖区月考）“黄金分割”在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，如图1，点C把线段AB分成AC和BC两部分，其中AC＞BC，如果AC：AB＝BC：AC＝k，那么称点C是线段AB的黄金分割点，则k的值为　　 ，我们把底与腰的比值为k的等腰三角形称为“黄金三角形”，如图2中，△DEF，△EFG，△GKF均为“黄金三角形”，则　2　 ． 【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点， ∴AC：AB＝BC：AC， ∴k， 设DF＝x， ∵△DEF，△EFG，△GKF均为“黄金三角形”， ∴，，， ∴EFx，EGx＝（）2x，EK（）2x＝（）3x， ∴（）32， 故答案为：，2． 16．（2026秋•闵行区校级期中）如图，在▱ABCD中，F在BC的延长线上，，那么　　 ． 【解答】解：如图，，过点O作OG∥BC，交CD于点G， ∴△EOG∽△EFC， ∴． 在▱ABCD中，对角线交于点O， ∴． ∵OG与BC平行， ∴△OGD∽△BCD， ∴， ∴， ∵BF＝BC+CF， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•虹口区校级月考）如图．直线a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C、交直线n于点D、E，F． （1）若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长； （2）若，DE＝6，求DF的长． 【解答】解：（1）∵直线a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C、交直线n于点D、E，F，AB＝3，BC＝5，DE＝4， ∴，即， ∴； （2）∵a∥b∥c， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴DF＝15． 18．（2026秋•虹口区校级月考）如图，在△ABC中，点D是边BC上的点，F为边AC上一点，AD与BF交于点E，若BD：DC＝2：1，AE：ED＝2：3，求BE：EF的值． 【解答】解：如图，过点D作DG∥AC交BF于点G， ∴△AEF∽△DEG， ∴， ∵AE：ED＝2：3， ∴FE：GE＝2：3， 设FE＝2x，则GE＝3x， ∴GF＝FE+GE＝5x， ∵DG∥AC， ∴， ∵BD：DC＝2：1， ∴BG：GF＝2：1， ∴BG：5x＝2：1， ∴BG＝10x， ∴BE＝BG+GE＝10x+3x＝13x， ∴BE：EF＝13x：2x＝13：2． 19．（2026秋•市中区校级月考）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B，点E在AD边上，CD＝CE． （1）求证：△ABD∽△CAE； （2）若AB＝6，，AD＝5，求CD的长． 【解答】（1）证明：∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠CED， ∵∠CDE+∠ADB＝180°，∠CED+∠CEA＝180°， ∴∠ADB＝∠CEA， ∵∠DAC＝∠B， ∴△ABD∽△CAE； （2）解：由（1）知△ABD∽△CAE， ∴， ∵AB＝6，，AD＝5， ∴， ∴CE， ∵CD＝CE， ∴CD． 20．（2025秋•宝安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比是1：2． （1）请画出△A′B′C′； （2）△A′B′C′与△ABC的周长之比为　1：2　 ； （3）若△ABC内部一点M的坐标为（a，b），则点M的对应点M′的坐标是　　 ． 【解答】解：（1）与△ABC位似，且位似比是1：2的△A′B′C′，如图即为所求； （2）∵△A′B′C′与△ABC位似，且位似比是1：2． ∴△A′B′C′与△ABC的周长之比为1：2， 故答案为：1：2； （3）∵△A′B′C′与△ABC位似，且位似比是1：2． 又∵点M的坐标为（a，b）， ∴点M的对应点M′的坐标为． 故答案为：． 21．（2026秋•单元）（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长． （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值． 【解答】解：（1）如图1所示： 设AB＝AC＝a，CP＝b， 在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°， 由勾股定理得：CB， ∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∠PCB＝∠PBA， ∴∠ACB﹣∠PCB＝∠ABC﹣∠PBA， ∴∠ACP＝∠CBP， 在△ACP和△CBP中， ∠PAC＝∠PCB，∠ACP＝∠CBP， ∴， ∵AP＝1， ∴， 由，得b， 将b代入，得：， ∴BP＝2； （2）过点A作AD⊥CB于点D，如图所示： ∴∠ADC＝90°， 在△ABC中，AB＝AC，AD⊥CB于点D，∠ACB＝30°， ∴点D是CB的中点，∠ACB＝∠ABC＝30°， ∴BC＝2CD， 设AD＝m，CP＝x， 在Rt△ADC中，∠ACB＝30°， ∴AC＝2AD＝2m， 由勾股定理得：CD， ∴BC＝2CD， ∵∠ACB＝∠ABC＝30°，∠PCB＝∠PBA， ∴∠ACB﹣∠PCB＝∠ABC﹣∠PBA， ∴∠ACP＝∠CBP， 在△ACP和△CBP中， ∠PAC＝∠PCB，∠ACP＝∠CBP， ∴△ACP∽△CBP， ∴， ∴， ∴AP，BP， ∴． 22．（2026•凉州区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，在CD边上取一点E，将△BCE翻折，使点C落在点P处，折痕为BE，BE⊥CP交于点Q． 【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边AD上，求证：△BCE∽△CDP； 【变式求异】（2）如图2，若点E是CD的中点，点P落在矩形内部，求点P到CD的距离； 【化归探究】（3）如图3，若CE＝3DE，EP交AD于点F，求DF的长． 【解答】（1）证明：∵BE⊥CP， ∴∠BQC＝90°， ∴∠QBC+∠QCB＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴∠QCB+∠DCP＝90°， ∴∠QBC＝∠DCP， ∵∠BCE＝∠D＝90°， ∴△BCE∽△CDP； （2）解：如图，过P作PH⊥CD 于点H， ∵AB＝8，AD＝12，点E是CD的中点， ∴BC＝12，CE8＝4， 同（1）可得△BCE∽△CHP， ∴，即， ∴CH＝3PH， 设PH＝x，则CH＝3x， ∴HE＝3x﹣4， ∵将△BCE翻折，使点C落在点P处， ∴CE＝PE＝4， 在Rt△EHP中，PH2+HE2＝PE2， ∴x2+（3x﹣4）2＝42， 解得x＝0或x； ∴PH； 即点P到CD的距离为； （3）解：如图，过P作 PG⊥CD于点G，连接CP， ∵CE＝3DE，CD＝8， ∴CE＝6，DE＝2， 同（1）可得△BCE∽△CGP， ∴， ∴CG＝2PG， 设 PG＝m，则CG＝2m， ∴GE＝2m﹣6， 而EP＝EC＝6， 在Rt△EGP中，PG2+GE2＝EP2， ∴m2+（2m﹣6）2＝62， 解得m＝0或m， ∴GE＝2m﹣6＝26； ∵PG∥FD， ∴△EDF∽△EGP， ∴， 即， 解得DF． ∴DF的长为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $